8/17/2019 Penyelesaian Fisika Matematik 2 tentang matriks

1/9

 

PRODI PENDIDIKAN FISIKA

JURUSAN PENDIDIKAN MIPA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS NUSA CENDANA

2015 

Muhammad Hilal Sudarbi 

  NIM: 1401051028 

  Semester : IV 

Tugas 6 

Fisika Matematika II 

8/17/2019 Penyelesaian Fisika Matematik 2 tentang matriks

2/9

 

Muhammad Hilal Sudarbi | 2

MACAM-MACAM OPERASI MATRIKS

TEOREMA MATRIKS TRANPOS

Buktikan teorema berikut:

1.   Jika ( AT )T =  A 

2.   Jika  A Dan  B Adalah Matriks Yang Berorde Sama Maka;

  ( A + B)T =  AT  + BT  

  ( AB)T =  BT  AT .

Penyelesaian:

1.  Jika ( AT )T = A 

  Matriks A:  = 2 4 65 3 7   Matriks Transpor dari A:   = [2 54 36 7]   Sehingga () = 2 4 65 3 7 

Maka, () =  2 4 65 3 7 = 2 4 65 3 7 

Jadi, matriks tranpos dari sebuah matriks kemudian di transpos-kan lagi

maka hasilnya adalah matriks sebelum di-transpos.

() =  ►Teorema terbukti 2.  Jika A dan B adalah matriks yang berorde sama maka;

a. 

( A + B)T = AT  + BT  

  Matriks  = [2 7 83 6 94 5 1]  ; A transpos  = [2 3 47 6 58 9 1] 

  Matriks = [2 7 83 6 94 5 1]  ; B transpos  = [2 3 47 6 58 9 1] 

8/17/2019 Penyelesaian Fisika Matematik 2 tentang matriks

3/9

 

Muhammad Hilal Sudarbi | 3

(  + ) = [2 7 83 6 94 5 1] + [2 7 83 6 94 5 1] = [

4 1 4 1 66 1 2 1 88 1 0 2 ] 

  ( + ) = [ 4 6 81 4 1 2 1 01 6 1 8 2 ]     +   = [2 3 47 6 58 9 1] + [

2 3 47 6 58 9 1] 

= [ 4 6 81 4 1 2 1 01 6 1 8 2 ] 

Maka, ( + ) =  +  

[ 4 6 81 4 1 2 1 01 6 1 8 2 ]   = [ 4 6 81 4 1 2 1 01 6 1 8 2 ] 

Jadi, penjumlahan dua buah matriks yang memiliki orde sama kemudian

di transpos hasilnya akan sama dengan penjumlahan dua buah matris

yang masing-masing di-transpos-kan

( + ) =  +  ►Teorema terbukti

 b. 

( AB)T = BT  AT .

Matriks  = [2 7 83 6 94 5 1]  ; A transpos  = [2 3 47 6 58 9 1] 

Matriks = [2 7 83 6 94 5 1]  ; B transpos  = [2 3 47 6 58 9 1] 

  = [2 7 83 6 94 5 1] × [2 7 83 6 94 5 1] = [

5 2 9 6 8 76 0 1 0 2 8 72 7 6 3 7 8] 

() = [5 2 6 0 2 79 6 1 0 2 6 38 7 8 7 7 8

] 

8/17/2019 Penyelesaian Fisika Matematik 2 tentang matriks

4/9

 

Muhammad Hilal Sudarbi | 4

  .  = [2 3 47 6 58 9 1] × [2 3 47 6 58 9 1] 

= [5 2 6 0 2 79 6 1 0 2 6 38 7 8 7 7 8] 

Maka, () =  +  [5 2 6 0 2 79 6 1 0 2 6 38 7 8 7 7 8]   = [

5 2 6 0 2 79 6 1 0 2 6 38 7 8 7 7 8] 

Jadi, perkalian dua buah matriks yang memiliki orde sama kemudian di

transpos hasilnya akan sama dengan perkalian dua buah matris yang

masing-masing di-transpos-kan

() =  +  ►Teorema terbukti 

MATRIKS SIMETRIS, ANTISIMETRIS DAN ORTOGONAL

SIFAT-SIFAT MATRIKS

Buktikan s ifat-sifat berikut:

1.  Simetris, jika dipenuhi sifat:  AT  = A 

2. 

 Antisimetris,  jika dipenuhi sifat:  AT  = -A 

3.  Ortogonal,  jika dipenuhi sifat:  AT  A = AAT  = I  

Penyelesaian:1.   AT  = A 

    = 3 22 3     = 3 22 3 

Jika sebuah matriks transpos,  = 3 22 3 memiliki hasil yang samadengan matriks sebelum di transpos,

  = 1 22 3

 

8/17/2019 Penyelesaian Fisika Matematik 2 tentang matriks

5/9

 

Muhammad Hilal Sudarbi | 5

Dapat kita bahwa matriks  = 3 22 3 adalah matriks simetris karenamemenuhi sifat yaitu:    =  

2.   Antisimetris, jika dipenuhi sifat: AT  = -A 

Matriks  = [  0 5 4 5 6 14 3 8 ] Sehingga nilai dari matriks  adalah

= [

 0 5 4

5 6 1 4 3 8] 

Dan nilai dari  adalah  = [  0 5 45 6 1 4 3 8] Dapat kita katakan matriks A adalah matriks ansimetri karena memenuhi

sifat yaitu:     =  

3.  Ortogonal, jika dipenuhi sifat: AT  A = AAT  = I  

  Matriks  = 0 1 00 0 11 0 0   Matriks transpos dari A:  = [0 0 11 0 00 1 0] 

 

A = [

0 0 1

1 0 00 1 0] × [

0 1 0

0 0 11 0 0] = [

1 0 0

0 1 00 0 1] 

  = [0 1 00 0 11 0 0] × [0 0 11 0 00 1 0] = [

1 0 00 1 00 0 1] Matriks A merupakan matriks Ortogona karena : (1) memiliki nilai diagonal

utama sama sehingga disebut dengan matriks identitas dan memenuhi sifat:

 AT  A = AAT  = I

8/17/2019 Penyelesaian Fisika Matematik 2 tentang matriks

6/9

 

Muhammad Hilal Sudarbi | 6

MATRIKS KOMPLEKS

KONJUGAT HERMIT

Buktikan teorema berikut:

1.   (†)† = ∗ 2.

 

Jika  A dan  B adalah matriks berorde sama, maka:

a.   ( + )† = † + †  b.  ()† = † † 

Penyelesaian:

1.  (†)† = ∗   Matriks kompleks  =    1 4 52 3 6 7 +   ;dengan = √ 1   Operasi konjugat kompleks menghasilkan matriks: 

 ∗ =    1 4 52 + 3 6 7    Sedangkan konjugat Hermit menghasilkan matriks 

 † = [   1 2 + 3

4 65 7  ] 

maka (†)† =    1 4 52 + 3 6 7  Jadi, (†)† = ∗ ►Teorema terbukti 

2. 

Jika A dan B adalah matriks berorde sama, maka:

a.  ( + )† = † + † o  Matriks kompleks

  =  4 2 6 1    

  Konjugat kompleks ∶ ∗ =    4 2 6 1    Konjugat Hermit ∶ † =  4 6 2 1    

o  Matriks kompleks =  7 3 5 1      Konjugat kompleks ∶ ∗ =    7 3 5 1    Konjugat Hermit ∶ † =  7 5

3 1   

8/17/2019 Penyelesaian Fisika Matematik 2 tentang matriks

7/9

 

Muhammad Hilal Sudarbi | 7

(  + ) =  4 2 6 1   +  7 3 5 1    =  1 1 5 11 2     

( + )†

 = 11 115 2  

 

   † + † =  4 6 2 1   + 7 5 3 1    = 11 115 2    

Dikarenakan nilai ( + )† sama dengan hasil  † + † Maka, ( + )† = † + † ►Teorema terbukti

 b.  ()† = † † 

o  Matriks kompleks  =  4 2 6 1      Konjugat kompleks ∶ ∗ =    4 2 6 1    Konjugat Hermit ∶ † =  4 6 2 1    

o  Matriks kompleks =  7 3 5 1      Konjugat kompleks ∶ ∗ =    7 3

5 1 

  Konjugat Hermit ∶ † =  7 5 3 1    

( ) =  4 2 6 1   ×  7 3 5 1    = 28 10 12 242 + 5 18 + 1    ()† = 28 + 10 42 512 + 2 18 + 1      † † =  4 6

2 1  ×  7 5

3 1   

= 28+10 42 512 + 2 18 + 1    Dikarenakan nilai ()† sama dengan hasil  †† Maka, ()† = † † ►Teorema terbukti

8/17/2019 Penyelesaian Fisika Matematik 2 tentang matriks

8/9

 

Muhammad Hilal Sudarbi | 8

MATRIKS HERMITIS, ANTI HERMITIS, DAN UNITER

SIFAT-SIFAT MATRIKS

Buktikan s ifat-sifat berikut:

1.    Hermitis,  jika dipenuhi sifat:  = † 2.    Anti Hermitis,  jika dipenuhi sifat:   = † 3.   Uniter,   jika dipenuhi sifat:  − = † 

Penyelesaian:

1.    = †  

Matriks kompleks  =  2 6 6 1    o  Konjugat kompleks ∶ ∗ =    2 6 6 1  o  Konjugat Hermit ∶ † =  2 6 6 1    

Jika sebuah Matriks kompleks  =  2 6 6 1    memiliki hasil yang samadengan operasi Konjugat Hermit ∶ † =  2 6 6 1    Dapat kita bahwa Matriks kompleks  =  2 6 6 1    adalah matriks

 Hermitis karena memenuhi sifat yaitu:   = † 2.

    = †   Matriks kompleks  = [4 3 1 + 22 5 24 1 8   ]  

Konjugat kompleks ∶ ∗

 = [4 3 1 2 2 5 24 1 8   ]

 

  Konjugat Hermit ∶ † = [   4 2 43 5 21 2 1 8 ] Sedangankan † = [4 3 1 2 2 5 24 1 8   ] Dapat kita katakan matriks A adalah matriks anti-Hermitis karena

memenuhi sifat yaitu:   = † 

8/17/2019 Penyelesaian Fisika Matematik 2 tentang matriks

9/9

 

Muhammad Hilal Sudarbi | 9

3.   − = †   Matriks kompleks  =  2

4 1  

o  Konjugat kompleks ∶ ∗ =    2 4 1 o  Konjugat Hermit ∶ † = 2 4 1    

   Nilai − =   d 2 4 1  = 2 4 1    

Matriks A merupakan matriks Uniter karena memenuhi sifat:

 −

 = †