Post on 22-Jul-2015
ILUSTRASI FENOMENA FISIK
u(x,t)
ISOLATOR
X
t xo xt
PENENTUAN
MODEL MATEMATIKA
Aliran panas di dalam suatu benda homogen mengikuti persamaan
panas:
Dengan adalah suhu dalam benda tersebut, k adalah
konduktifitas
termal, s adalah panas jenis, dan r adalah kerapatan benda,
adalah
Laplacian dari u, dan relatif terhadap koordinat Kartesius x, y, z:
Sebagai salah satu penerapan penting, marilah kita tinjau suhu pada
suatu
batang atau kawat tipis panjang, yang irisan melintangnya konstan
Maka u tergantung hanya pada x dan waktu t dan
persamaan panasnya menjadi apa yang dinamakan
persamaan panas berdemensi-satu, yaitu:
penyelesaian
MODEL MATEMATIKA
Marilah kita mulai dengan kasus kedua ujung batangnya (x=0dan
x=L) dipertahankan pada suhu nol. Maka syarat-syaratbatasnya
adalah:
untuk setiap t > 0.
Jika f(x) adalah suhu awal batang tersebut, maka syaratawalnya
adalah:
diketahui
Selanjutnya, kita akan menentukan solusi u(x,t) bagi (1) yang
memenuhi (2)& (3).
Langkah Pertama. Dengan menerapkan metode pemisahan variabel,
mula-mula kita tentukan solusi bagi (1) yang memenuhi syarat batas (2)
Kita mulai dengan:
Sehingga diperoleh:
Kita simpulkan bahwa kedua ruas itu pasti sama dengan suatu konstanta
misalnya k.
Untuk , misalkan , sehingga kita peroleh dari (5):
Diperoleh:
Kita lihat bahwa ini menghasilkan dua persamaan diferensial
biasa:
Langkah Kedua. Kita perhatikan (6).
Dengan menggunakan pers. bantu diperoleh:
Solusi umumnya adalah:
Syarat batas atas (2) berakibat bahwa:
dan
Jika G=0, berimplikasi u=0 (tidak mungkin)
Jika G≠0, maka F(0)=0 dan F(L)=0.
Dari (8):
Untuk
Berdasarkan (*)& (**) diperoleh:
Dengan mengambil B=1, kita memperoleh solusi (6) yang
memenuhi (2):
Sekarang dari (7):
Integralkan kedua ruas:
Diketahui , maka:
Solusi umumnya adalah:
Jadi, fungsi-fungsi:
Merupakan solusi bagi pers. panas (1) yang memenuhi (2).
,
Langkah Ketiga. Untuk memperoleh solusi yang juga
memenuhi (3),
kita perhatikan:
(10)
CONTOH SOAL
Misalkan suhu di dalam sebatang tembaga yang telah
diisolasi
yang panjang 80 cm suhu awalnya adalah 100 sin (πx/80)° C
dan
ujung-ujungnya dipertahankan pada suhu 0°C. Berapa lama
sampai
suhu maksimum di dalam batang tembaga itu turun menjadi
50°C?
Data fisik untuk tembaga:
Kerapatan 8.92 gr/cm3, panas jenis 0,092 kal/°C, konduktifitas
termal 0.95 kal/cm det°C.
Penyelesaian
Diketahui : Panjang = L = 80 cm
Konduktivitas termal = K = 0,95 kal/cm det
°C
Panas jenis = s = 0,092 kal/gr °C
Kerapatan = ρ = 8,92 gr/cm3
Syarat awal menghasilkan:
Dari perhitungan di atas, kita peroleh:
Di dalam dibutuhkan , dengan
Sehingga diperoleh:
Solusi bagi adalah
Selanjutnya:
detik
menit