Pemrograman Non Linier(NLP)

10/17/2016 1

Pemrograman Non Linier(NLP)

Program tak linier (Non linear programming (NLP)) adalah suatu program dalam masalah optimisasi yang mempunyai fungsi objektif tidak linier dan beberapa atau semua fungsi kendala tidak linier, akan tetapi tidak diketahui konveks atau tidak konveks

10/17/2016 2

Konsep NLP

Mencari nilai dari suatu peubah keputusan x1, ..., xn dari permasalahan:

max (min) z =f(x1,...xn)

s.t. g1 (x1,...xn) (≤,=,≥)b1

.

.

.

gm (x1,...xn) (≤,=,≥)bm

di mana z dan gi, i = 1, ..., n suatu fungsi yang non linier. Dimungkinkan maksimisasi/minimisasi tanpa kendala

10/17/2016 3

Perbedaan antara NLP dan Pemrograman Linier (LP)

Himpunan Konveks (Convex set):

himpunan titiktitik S di mana sembarang pasangan titik di dalam himpunan S dihubungkan oleh garis yang seluruh titik pada garis tersebut juga di S

10/17/2016 4 (a) dan (b) himpunan konveks

Definisi daerah feasibel (feasible region):

• Himpunan titik (x1,...xn) yang memenuhi seluruh m kendala

10/17/2016 5

Definisi solusi optimal bagi NLP

• Kasus maks:

• Kasus min:

Suatu titik di feasible region di mana

Untuk semua x di feasible region

Suatu titik di feasible region di mana

Untuk semua x di feasible region

• Di dalam LP dengan daerah feasibel yang berupa himpunan konveks, solusi optimal adalah salah satu dari titik ekstrim (titik pojok)

• Di dalam NLP, walalupun daerah feasibel berupa himpunan konveks, solusi optimal belum tentu pada titik ekstrim (titik pojok)

10/17/2016 6

Contoh :

Jika digunakan K unit alat dan L orang tenaga kerja, maka suatu perusahaan dapat memproduksi KL unit suatu produk.

Jika alat dapat dibeli $4 per unit, tenaga kerja harus dibayar $1/orang, dan dimiliki modal $8 untuk membeli alat dan membayar tenaga kerja, bagaimana perusahaan tadi memaksimumkan jumlah barang yang akan diproduksi?

10/17/2016 7

10/17/2016 8

Fungsi obyektif: memaksimumkan jumlah produksi sebagai fungsi dari alat dan tenaga kerja

Kendala modal, dan non negatifitas

Daerah feasibel (ABC) berupa himpunan konveks

Titik D terkena garis isoprofit paling akhir, tapi bukan titik pojok

Ekstremum Lokal (maks/min)

Suatu titik feasibel x = (x1, ... , xn) adalah titik maksimum lokal jika

- Untuk relatif kecil dan sembarang titik feasibel x’ = (x’1, ... , x’n) di mana

10/17/2016 9

Berlaku:

Ekstremum Lokal (maks/min)

Suatu titik feasibel x = (x1, ... , xn) adalah titik minimum lokal jika

- Untuk relatif kecil dan sembarang titik feasibel x’ = (x’1, ... , x’n) di mana

10/17/2016 10

Berlaku:

Ekstremum Lokal (maks/min)

Untuk suatu LP maksimum/minimum lokal pasti solusi optimal, tetapi tidak untuk NLP

10/17/2016 11

Contoh 2

Fungsi obyektif non linier dengan daerah feasibel berupa selang tertutup di antara 0 sampai dengan 10

10/17/2016 12

• Titik A dan B adalah titik maksimum lokal • Akan tetapi hanya C yang merupakan solusi

optimal karena bersifat maksimum global

10/17/2016 13

• NLP tidak mempunyai asumsi aditif dan proportionalitas seperti di dalam LP

• Pada LP jika nilai peubah keputusan x dinaikkan satu unit, maka fungsi obyektif akan meningkat/menurun secara proporsional

• Tidak berlaku bagi NLP

10/17/2016 14

Contoh 3

• Diberikan NLP berikut ini

10/17/2016 15

• Jika x diperbesar 2 kali lipat, kontribusi terhadap z tidak akan 2 kali lipat ataupun kelipatannya.