PEMBUKTIAN DALAM

MATEMATIKA

Prodi S.1 PGMI/SD STAI Al-Ihya Kuningan

Metode Pembuktian Matematika

• Pembuktian langsung

• Pembuktian tidak langsung

• Induksi matematika

Pembuktian Langsung

Pembuktian langsung dalam matematikadilakukan dengan menguraikan premis dengandilandasi oleh definisi, fakta, aksioma yang adauntuk sampai pada suatu kesimpulan (konklusi)

Contoh 1

Buktikan bahwa : “jika n bilangan ganjil, makan2 bilangan ganjil”.

Bukti:

Diketahui bahwa n bilangan ganjilKarena n bilangan ganjil, maka n = 2k+1, dengan k bilangan bulatn2 = (2k+1) 2 = 4k2 + 4k + 1 = 2(2k2+2k) + 1Bentuk 2(2k2+2k) + 1 adalah bilangan ganjilJadi n2 bilangan ganjil

Pembuktian Tidak Langsung

Pembuktian tidak langsung atau pembuktiandengan kemustahilan (reductio ad absurdum) yang dibahas ada 2 cara yaitu :

Kontraposisi

Kontradiksi

Kontraposisi

• Pembuktian tidak langsung kontraposisidigunakan untuk membuktikan pernyataanimplikasi

• Untuk membuktikan pernyataan implikasi kitacukup membuktikan kontraposisi dari implikasipernyataan tersebut

• Secara simbolik :p → q ≡ ~q → ~p

artinya untuk membuktikan kebenaran p → q kita cukup membuktikan kebenaran ~q → ~p

Contoh :

Buktikan bahwa: “jika n2 bilangan ganjil, maka n bilangan ganjil”.

Bukti:

Untuk membuktikan pernyataan tersebut kita akanmembuktikan kebenaran kontraposisinya.Misalnya :p = n2 bilangan ganjilq = n bilangan ganjil

Apakah p → q benar ?Kita akan periksa apakah ~q → ~p benar ?Andaikan n bukan bilangan ganjil, maka n bilangan genap, sehingga n dinyatakan dengansebagai n = 2k, k bilangan asli.Akibatnya n2 = (2k)2 = 4k2 = 2(2k2). Artinya n2 bilangan genap.Jadi pengandaian bahwa n bukan bilangan ganjilBENAR, sehingga kontraposisi ~q →~p BENAR. Jadi implikasi p → q benar , ini berarti n2 bilanganganjil maka n bilangan ganjil.

Kontradiksi

• Pembuktian tidak langsung dengan kontradiksidilakukan dengan mengandaikan konklusi yang salah dan menemukan suatu hal yang bertentangan dengan fakta, aksioma, atauteorema yang ada.

• Pengandaian konklusi salah tidak bisa diterimadan akibatnya konklusi yang ada benarberdasarkan premis yang ada

Contoh :

Buktikan bahwa : “Untuk semua bilangan bulat n, jka n2

ganjil, maka n ganjil”.

Bukti:

Andaikan bahwa q salah, atau ~q benar yaitu n bukan bilanganbulat ganjil, maka n bilangan bulat genap. Dapat dimisalkan n = 2k dengan k bilangan bulat. Dengan demikian maka :n2 = (2k) 2

n2 = 4k2

n2 = bilangan bulat genap (~p)Terjadilah suatu kontradiksi : yang diketahui pbenar, sedangdari lang-langkah logis diturunkan ~p benar. Oleh karena itukontradiksi tidak boleh terjadi, maka pengandaian harusdiingkar yang berarti ~q salah atau q benar.

Induksi Matematika

Induksi matematika adalah salah satu metodeuntuk membuktikan suatu pernyataan tertentuyang berlaku untuk bilangan asli

Prinsip Induksi Matematika

Misalkan P(n) adalah suatu pernyataan yang menyangkut bilangan asli n. Apabila P(1) benar, dan apabila P(k) benar maka P(k+1) juga benar, maka P(n) benar untuk semua n.

Contoh :

Buktikan bahwa : “1 + 3 + 5 + 7 + … + (2n-1) = n2, untuk semua bilangan asli n”.

Bukti:

Misalkan P(n) adalah 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2n-1) = n2,

(a). P(1) benar, sebab 1 = 1

(b). Apabila P(k) benar, yaitu apabila ; 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2k-1) = k2, maka 1 + 3 + 5 + 7 + … + 2k-1 + 2k+1= (1 + 3 + 5 + 7 + … + 2k-1 + 2k+1.

= k2 + 2k + 1

= (k + 1) 2

Sehingga P(k+1) benar