PD Orde 2Lecture 3

Rudy Dikairono

Today’s Outline

• PD Orde 2 Linear Homogen• PD Orde 2 Linear Tak Homogen

– Metode koefisien tak tentu– Metode variasi parameter

Beberapa Pengelompokan Persamaan Diferensial

Order of ODE’s

PD Orde 2 Linear Homogen

• Bentuk umum persamaan diferensial linear orde 2

)()()( ''' xryxqyxpy =++

• Bentuk umum persamaan diferensial linear homogen orde 2

0)()( ''' =++ yxqyxpy

PD Orde 2 Linear Homogen

0)()( ''' =++ yxqyxpy

,rxey = ,' rxrey =rxery 2'' =

Dengan

Dengan substitusi, didapatkan

0)()(2 =++ rxrxrx eqreper

0)( 2 =++⇔ qprrerx

02 =++⇔ qprr Persamaan bantu

Penyelesaian umum persamaan bantu

)4(21 2

1 qppr −+−=

02 =++ qprr

)4(21 2

2 qppr −−−=

Terdapat 3 kemungkinan penyelesaian yang mungkin.

Jika r1 dan r2 adalah akar-akar riil berlainan dari persamaan bantu, maka penyelesaian umum dari:

02'

1'' =++ yayay

xrxr eCeCy 2121 +=

adalah:

Penyelesaian dengan kemungkinan 1

Jika r1 dan r2 adalah akar-akar kembar dari persamaan bantu, maka penyelesaian umum dari:

02'

1'' =++ yayay

adalah:

rxrx xeCeCy 21 +=

Penyelesaian dengan kemungkinan 2

Penyelesaian dengan kemungkinan 3

Jika persamaan bantu memiliki akar-akar bilangan kompleks, a + bi dan a – bi, maka penyelesaian umum dari:

02'

1'' =++ yayay

adalah:

)( 21

)(2

)(1

bixbixax

xbiaxbia

eCeCeeCeCy

−

−+

+=

+=

)sincos(

sin)(cos)(

)sincos sincos(

2121

22

11

bxBbxAeybxiCCbxCCey

bxiCbxCbxiCbxCey

ax

ax

ax

+=

−++=

−++=

Contoh1:

Tentukanlah penyelesaian umum dari persamaan:

0127 ''' =++ yyy

Penyelesaian:

-

4,30)4)(3(0127

21

2

=−=⇒=++⇔=++

rrrr

rr

xx eCeCy 42

31

−− +=

Contoh2:

Tentukanlah penyelesaian umum dari persamaan:

Penyelesaian:

096 ''' =+− yyy

30)3(

0)3)(3(096

21

2

2

==⇒=−⇔

=−−⇔=+−

rrr

rrrr

xx xeCeCy 32

31 +=

Contoh3:

Tentukanlah penyelesaian umum dari persamaan:

Penyelesaian:

0134 ''' =+− yyy

irirrr

32,320134

21

2

−=+=⇒=+−

xBexAey xx 3sin3cos 22 +=

PD Orde 2 Linear Tak Homogen

• Persamaan Diferensial dikatakan linear jika dapat ditulis menjadi:

dimana p,q, dan r adalah fungsi kontinyu dari x.• Dan dikatakan homogen jika r(x) = 0;

• Dan jika r(x) /= 0, maka persamaan PD 2 tersebut dikatakan tidak homogen.

• Penyelesaian untuk persamaan (1) adalah:

yp adalah penyelesaian partikular untuk (1)

• Untuk menyelesaikan yh dilakukan dengan penyelesaian PD 2 homogen.

• Untuk penyelesaian yp dilakukan dengan dua cara yaitu:– Metode koefisien tak tentu– Metode variasi parameter

Metode Koefisien Tak Tentu

• Rubah (1) menjadi:

• Pilih bentuk penyelesain yp berdasarkan bentuk r(x) sesuai tabel berikut:

• Metode ini mempunyai 3 aturan:1. Jika r(x) dalam (4) masuk dalam tabel, maka

yp dapat diselesaikan berdasarkan nilai tabel yang sesuai.

2. Jika salah satu fungsi dari yp adalah suatu penyelesaian terhadap penyelesaian homogen, maka kalikan penyelesaian ypdengan x (atau dengan x2 jika persamaan homogennya adalah akar kembar).

3. Jika r(x) adalah penjumlahan dari fungsi-fungsi pada kolom pertama, maka penyelesaian yp adalah penjumlahan dari kolom ke dua.

Contoh aturan 1

• Selesaikan persamaan berikut:

• Penyelesaian:Penyelesaian umum untuk yh adalah:

r(x) = 0.001x2

Dengan substitusi didapatkan

Berdasarkan tabel

Penyelesaian untuk initial value

Contoh Aturan 2

• Selesaikan persamaan berikut:

Penyelesaian:Penyelesaian homogen

Penyelesaian non homogenBerdasarkan tabel, persamaan sebelah kanan e-1.5x

menghasilkan Ce-1.5x. Tetapi fungsi ini juga merupakan penyelesaian untuk yh(akar kembar), sehingga kita kalikan dengan x2.

Dengan substitusi kita dapatkan:

Dengan membandingkan koefisien x2, x1, x0 kita dapatkan 2C = -10, C = -5.

Penyelesaian untuk initial value

Contoh Aturan 3

• Selesaikan persamaan berikut:

Penyelesaian:Penyelesaian homogen

Penyelesaian non homogen

Substitusi ke dalam persamaan diferensial kita dapatkan

Substitusi ke dalam persamaan diferensial kita dapatkan:

Persamaan 1

Persamaan 2

Didapatkan

Hasil akhir

Penyelesaian untuk initial value

Metode Variasi Parameter

• Persamaan linear non homogen

Untuk r(x) yang tidak ada dalam tabel metode koefisien tak tentu, dapat diselesaikan dengan metode Lagrange

Dimana y1 dan y2 adalah penyelesaian homogen dari (1). Dan W adalah Wornskian dari y1 dan y2.

Contoh

• Selesaikan persamaan berikut:

Penyelesaian:Penyelesaian basis homogennya adalah

Wornskian

Dari (2) kita dapatkan

Hasil akhirnya

Ide dari metode ini

Penyelesaian umum PD adalah

Kita substitusikan yp dan turunannya berdasarkan (5), (7) dan (8) ke dalam (1)

y1 dan y2 adalah penyelesaian homogen persamaan di atas berubah menjadi

dan persamaan (6)

Untuk menghilangkan v’ kita kalikan (9a) dengan –y2 dan (9b) dengan y2’ dan ditambahkan, sehingga kita dapatkan

Untuk menghilangkan u’ kita kalikan (9a) dengan y1 dan (9b) dengan –y1’ dan ditambahkan, sehingga kita dapatkan

dan kita dapatkan

dan dengan integrasi kita dapatkan

Kita masukkan persamaan ini ke (5) kita dapatkan (2).

Thank you