Post on 10-Sep-2015
description
S
OSEANOGRAFI DINAMIK
Kuliah ke-11 Perairan Lintang Sedang
Mei 2015 J.I. Pariwono - Dept. ITK 1
Aliran Quasi-Geostropik
Mei 2015 J.I. Pariwono - Dept. ITK 2
o Mekanisme perairan yang berotasi menyesuaikan diri terhadap perubahan-perubahan yang lambat (skala waktu >> f -1 perlu mendapat perhatian khusus
o Karena perubahan-perubahan dinamika arus dari minggu satu ke minggu berikutnya mempunyai kaif iat (characteristics) serupa
o Dasar untuk memahami mekanisme ini berasal dari persamaan geostropik, dimana aliran geostropik memenuhi persamaan sinambung sepenuhnya
o Dengan lain kata, ada tiga persamaan tetapi hanya memberikan solusi untuk 2 variabel (bukan 3) !!
Aliran Quasi-Geostropik (2)
Mei 2015 J.I. Pariwono - Dept. ITK 3
o Kita tidak bisa mengetahui komponen arus vertikal (w) dari persamaan geostropik murni
o Sehingga untuk mengetahui alirannya, perubahan (departures) dari kondisi geostropik perlu dikaji lebih lanjut (walau pun perubahannya kecil)
o Perubahan-perubahan yang kecil ini dikenal sebagai quasi-geostrophic
Aliran Quasi-Geostropik (3)
Mei 2015 J.I. Pariwono - Dept. ITK 4
o Untuk mendapatkan nilai (u, v) dari (ug, vg), perlu ditetapkan bahwa D/Dt haruslah kecil dibandingkan dengan nilai f
DuDt f v =
1px f vg (1)
DvDt + f u =
1py + fug (2)
o dimana ug dan vg dikenal sebagai geostrophic wind
f ug = 1py (3.a)
f vg = +1px (3.b)
Aliran Quasi-Geostropik (4)
Mei 2015 J.I. Pariwono - Dept. ITK 5
o Solusinya dapat dilakukan dengan menghilangkan u dan v dari pers (1) dan (2) untuk memperoleh persamaan berikut
D2uDt 2 + f
2u = f 2 ug fDvgDt
f py
DDt
1 px
&
' (
)
* + (4)
D2vDt 2 + f
2v = f 2 vg + fDugDt +
f p x
DDt
1 py
&
' (
)
* + (5)
o Dan karena D/Dt
Aliran Quasi-Geostropik (5)
Mei 2015 J.I. Pariwono - Dept. ITK 6
o Pada kasus linier, dapat dilakukan pendekatan berikut:
o Sehingga persamaan (6) menjadi:
u ug 1fvgt
1f 0
%p y
1f 20
2 %ptx (7.a)
v vg +1fugt +
1f 0
%p x
1f 20
2 %pty (7.b)
1. Operator D/Dt dapat diganti menjadi 2. Densitas diganti menjadi densitas stabil 0 3. Tekanan p dapat diganti dengan nilai perturbasinya yaitu p
/t
Aliran Quasi-Geostropik (6)
Mei 2015 J.I. Pariwono - Dept. ITK 7
o Pada kondisi linier maka pers (7) menghasilkan konvergensi horisontal sbb
ux +
vy =
1f 20
t
2 % p x 2 +
2 % p y 2
&
' (
)
* +
1f
t
vgx
ugy
&
' (
)
* + (8)
o Kontur dari laju perubahan (rate of change) tekanan dikenal sebagai ISALLOBAR
o Yang dimaksud dengan konvergensi horisontal adalah o Untuk kondisi linier, pers (7) memperlihatkan
bahwa kontribusi kepada horisontal convergence hanya berasal dari komponen issalobaric
1 f ug ,vg( )
t#
$ % %
&
' ( (
Geostrophic
Mei 2015 J.I. Pariwono - Dept. ITK 8
Isallobar
Mei 2015 J.I. Pariwono - Dept. ITK 9
Isallobar
Mei 2015 J.I. Pariwono - Dept. ITK 10
Garis Hitam isobar
Garis Merah isallobar
VG Kec. Geostrophic
VI Kec. Isallobar
V Resultante Kec.
Issalobaric-Wind
Mei 2015 J.I. Pariwono - Dept. ITK 11
Aliran Quasi-Geostropik (7)
Mei 2015 J.I. Pariwono - Dept. ITK 12
vx
uy
1f 20
2 & p x 2 +
2 & p y 2
'
( )
*
+ ,
vgx
ugy
'
( )
*
+ , (9)
o Di sisi lain, pers (7) juga memperlihatkan bahwa komponen issalobaric tidak memberikan kontribusi kepada pusaran (vorticity)
o Pada aliran dengan frekuensi , dengan pers (8) dan (9) diperoleh bahwa
divergencepusaran berkisar pada nilai
f (10)
o dimana nilai /f diasumsikan kecil
Aliran Quasi-Geostropik (8)
Mei 2015 J.I. Pariwono - Dept. ITK 13
t
vx
uy
$
% &
'
( ) + f u
x +vy
$
% &
'
( ) = 0 (11)
o Persamaan-persamaan di atas juga menunjukkan bagaimana pers. pusaran (vorticity) memegang peranan sentral dalam teori aliran fluida yang lambat pada perairan yang berputar
o Menghilangkan komponen tekanan dari pers. (8) dan (9) akan menghasilkan
o Pers (11) ini sama persis jika kita turunkan dari persamaan gerak yang linier
o Ini berarti bahwa persamaan vorticity mengandung informasi2 tentang perubahan (departures) dari kondisi geostropik
o Ini juga berarti bahwa persamaan vorticity dapat digunakan untuk mendapatkan informasi tentang gerak fluida yang belum diperoleh dari persamaan Geostropik saja
Aliran Quasi-Geostropik (9)
Mei 2015 J.I. Pariwono - Dept. ITK 14
o Mengapa kita perlu mengetahui divergensi horisontal (horisontal divergence) pada suatu perairan yang diteliti, walaupun nilainya kecil ?
o JAWABNYA: o Karena divergensi horisontal memberikan kemungkinan
terjadinya gerakan vertikal
o Dan gerakan vertikal ini perlu diketahui jika kita ingin menghitung bagaimana gravitasi bekerja untuk mencapai kondisi yang ekuilbrium
Aliran Quasi-Geostropik (10)
Mei 2015 J.I. Pariwono - Dept. ITK 15
o Persamaan yang mengandung persamaan pusaran dengan persamaan yang mengatur aliran menegak (vertikal) adalah: PERSAMAAN PUSARAN POTENSIAL
o Persamaan pusaran potensial menjadi acuan penting utama dalam teori fluida yang berputar (seperti yang ditemukan oleh Rossby untuk perairan yang homogen)
Aliran Quasi-Geostropik (11)
Mei 2015 J.I. Pariwono - Dept. ITK 16
Aliran Quasi-Geostropik (12)
Mei 2015 J.I. Pariwono - Dept. ITK 17
Pada Aliran Fluida Yang Lambat
Mei 2015 J.I. Pariwono - Dept. ITK 18
o Pada aliran fluida yang lambat, pers (9) dapat digunakan untuk mendapatkan persamaan aproksimasi bagi persamaan pusaran potensial
o Untuk kasus fluida yang tan-mampat (in-compressible), ruas kiri dari pers (8) dapat diganti menjadi
wz
o Dan w berkaitan dengan gaya gravity restoring forces, dan dapat dinyatakan sbb
N 2 w = 10
2 % p z t (12)
Pada Aliran Fluida Yang Lambat (2)
Mei 2015 J.I. Pariwono - Dept. ITK 19
o Dengan menggabungkan pers (12) dengan (8) , diperoleh
o Pers (13) merupakan persamaan Quasi-geostropik dari perubahan (perturbation) pusaran potensial, untuk:
Fluida tan-mampat Berotasi secara seragam (uniform) (nilai f = konstan)
t
1f 2
# $ %
2 & p x 2 +
2 & p y 2
'
( )
*
+ , + 0
z
10N 2
& p z
'
( )
*
+ , . / 0
= 0 (13)
Pada Aliran Fluida Yang Lambat (3)
Mei 2015 J.I. Pariwono - Dept. ITK 20
o CONTOH: aliran quasi-geostropik melewati bukit berbentuk lingkaran
0 > 0
< 0
> 0 0
Bidang Beta di Katulistiwa
Mei 2015 J.I. Pariwono - Dept. ITK 21
o Untuk dinamika di dekat katulistiwa, maka aproksimasi yang dapat digunakan adalah:
o Aproksimasi ini dikenal sebagai aproksimasi bidang beta (beta-plane approximation)
o Dengan aproksimasi ini nilai beta merupakan suatu konstanta dengan nilai
sin , dan cos 1
= 2 r = 2.3 1011 m1 s1
Bidang Beta di Katulistiwa (2)
Mei 2015 J.I. Pariwono - Dept. ITK 22
o Dan parameter Coriolis f menjadi
o Aproksimasi ini dapat digunakan hingga sekitar 300 lintang, dimana kesalahan maksimum di lintang tersebut adalah sekitar 14%
f = ydimanay = r
Bidang Beta di Lintang Sedang
Mei 2015 J.I. Pariwono - Dept. ITK 23
o Parameter Coriolis f bervariasi terhadap lintang bumi o Keadaan ini berdampak kepada gelombang-gelombang
yang berada di lautan o Berkaitan dengan parameter Coriolis tersebut, kita dapat
menyebutkan bahwa gelombang-gelombang tersebut dapat digolongkan ke dalam 2 kelas yang berbeda:
Gelombang berfrekuensi t inggi, yang tidak terpengaruh oleh variasi Coriolis f. Contohnya: gelombang-gelombang gravitasi
G e l o m b a n g b e r f r e k u e n s i r e n d a h , d i m a n a keberadannya ditentukan oleh nilai f.
Frekuensi tertinggi dari gelombang ini = ( c / 2 f ), dan frekuensi minimumnya adalah f
Bidang Beta di Lintang Sedang (2)
Mei 2015 J.I. Pariwono - Dept. ITK 24
o Nisbah (ratio) antara kedua frekuensi tersebut cukup besar yaitu 2/ , dimana dinyatakan dengan
o Contoh, pada lintang 450 , nisbah frekuensi tersebut adalah
= c f 2 (L _1)
2 =
2 f 2 c =
1300ms1( )c (L _2)
o Karena kelas gelombang ini begitu berbeda dengan ge lombang grav i tas i , maka dapa t d ipe la ja r i menggunakan aproksimasi tertentu
Bidang Beta di Lintang Sedang (3)
Mei 2015 J.I. Pariwono - Dept. ITK 25
o Gerak perairan berfrekuensi rendah cenderung mengikuti keseimbangan geostropik
o Akan tetapi variasi (departure) dari keseimbangan geostropik sangat penting untuk diketahui
o Mengapa? o Karena gerak vertikal hanya terjadi akibat variasi dari
keseimbangan geostropik ini
Bidang Beta di Lintang Sedang (4)
Mei 2015 J.I. Pariwono - Dept. ITK 26
o Kita mulai pembahasan kita dengan persamaan gerak untuk komponen horisontal di bidang bola (tanpa friksi, sebagai berikut
DuDt 2 +
urcos
%
& '
(
) * v sin = 1
rcosp
(L _ 3)
DvDt + 2 +
urcos
%
& '
(
) * u sin = 1
rp
(L _ 4)
o Kemudian kita ingin mendapatkan solusi untuk kondisi quasi-geostropik menggunakan koordinat Cartesian
Bidang Beta di Lintang Sedang (5)
Mei 2015 J.I. Pariwono - Dept. ITK 27
o Untuk itu perlu didapatkan koordinat yang cocok untuk keperluan ini
o Koordinat yang memenuhi keperluan ini adalah proyeksi Merkator lokal
o Jika radius bumi adalah R dan adalah bujur, maka koordinat Merkator lokal dinyatakan sebagai berikut
x = Rcos0 (1.a)
y = R d $ cos0cos $ 0
= Rcos0 ln1+ sin( )cos01+ sin0( )cos
& ' (
) * +
, + (1.b)
Proyeksi Mercator
Mei 2015 J.I. Pariwono - Dept. ITK 28
Diciptakan untuk keperluan navigasi oleh Gerardus Mercator dari Flander (wilayah di Belanda dan Belgia) pd tahun 1569
Proyeksi Mercator adalah proyeksi silindris
Proyeksi Mercator (2)
Mei 2015 J.I. Pariwono - Dept. ITK 29
Proyeksi Mercator (3)
Mei 2015 J.I. Pariwono - Dept. ITK 30
Proyeksi Mercator (4)
Mei 2015 J.I. Pariwono - Dept. ITK 31
Proyeksi Mercator (5)
Mei 2015 J.I. Pariwono - Dept. ITK 32
Untuk bidang yang terbatas, sudut PKQ 900
Proyeksi Mercator (6)
Mei 2015 J.I. Pariwono - Dept. ITK 33
tan RcosR , tan =xy
maka,
Proyeksi Mercator (7)
Mei 2015 J.I. Pariwono - Dept. ITK 34
parallel scale factor k ( ) = !P !MPM =x
Rcos
meridian scale factor h ( ) = !P !KPK =yR
Proyeksi Mercator (8)
Mei 2015 J.I. Pariwono - Dept. ITK 35
tan = Rsec!y ( )
tan , k = sec , h = !y ( )R
Karena meridian di petakan pada sumbu x dengan nilai tetap, maka
Proyeksi Mercator (9) (Faktor skala k)
Mei 2015 J.I. Pariwono - Dept. ITK 36
Pada lintang 30 k= sec 30 = 1.15 Pada lintang 45 k= sec 45 = 1.41 Pada lintang 60 k= sec 60 = 2.00 Pada lintang 80 k= sec 80 = 5.76 Pada lintang 85 k= sec 85 =11.50
Bidang Beta di Lintang Sedang (6)
Mei 2015 J.I. Pariwono - Dept. ITK 37
o Untuk persamaan sinambung, kita perlu membuat modifikasi dari komponen2 kecepatannya sbb
u = u , v = v (2)dimana = cos0 cos = R
1 dyd (3)
o Nilai hampir = 1 di pusat lintang dari bidang yang diamati
Bidang Beta di Lintang Sedang (7)
Mei 2015 J.I. Pariwono - Dept. ITK 38
o Menggunakan pers (2) dan (3) ke dalam pers L_3 & L_4, akan diperoleh
D u Dt f
v = 1 % p x (4)
D v Dt + f
u + 1R u 2 + v 2( ) tan = 1
% p y (5)
o dimana
DDt
t +
2 u x +
v y
$
% &
'
( ) + w
z (6)
Bidang Beta di Lintang Sedang (8)
Mei 2015 J.I. Pariwono - Dept. ITK 39
o Persamaan sinambung untuk perairan tan-mampat dalam koordinat bola
f = 2 sin (7)
o dimana
2 u x +
v y
#
$ %
&
' ( +
wz = 0 (8)
Bidang Beta di Lintang Sedang (9)
Mei 2015 J.I. Pariwono - Dept. ITK 40
o Persamaan ini adalah persamaan gerak untuk bidang f, akan tetapi f sekarang merupakan fungsi dari y
o Untuk gerakan beramplitudo kecil, komponen kuadrat pada pers (4) dan (5) dapat diabaikan, sehingga dalam koordinat Merkator, persamaan gerak menjadi
u t f
v = 1 % p x (9)
v t + f
u = 1 % p y (10)
Bidang Beta di Lintang Sedang (10)
Mei 2015 J.I. Pariwono - Dept. ITK 41
o Dimana v0 adalah skala kecepatan dan L skala jarak mendatar
o Aproksimasi bidang beta, adalah memperluas nilai f dari lintang pusat bidang yang diamati, sebagai fungsi linier dari y
o Untuk itu dilakukan dengan memperkenalkan scaled variables
x* = x L , y* = y L , t
* = L t(11)
u* = u v0 , v* = v v0 , p
* = # p L f v0
Bidang Beta di Lintang Sedang (11)
Mei 2015 J.I. Pariwono - Dept. ITK 42
o Dimana f0 adalah nilai f di lintang pusat/sumbu, dan L dinyatakan sebagai
o Dengan penskalaan tersebut, maka parameter Coriolis f dapat dinyatakan dalam y*
f f0 1+ L y*( ) (12)
L =Lcot0 R =
Lf0 (13)
o Dimana adalah gradien dari parameter Coriolis
= 2R$ % & '
( ) cos0 (14)
Bidang Beta di Lintang Sedang (12)
Mei 2015 J.I. Pariwono - Dept. ITK 43
o Karena aliran geostopik merupakan tan-divergen, maka perlu mengetahui kondisi aliran hingga aproksimasi berikutnya
o Ini adalah untuk mengetahui bagaimana aliran fluida berubah terhadap waktu
o Untuk aproksimasi pertama dari persamaan di atas, aliran adalah geostropik, sehingga u = ug dan v = vg
f0 ug = 1 % p y , f0 vg = +
1 % p x (15)
Bidang Beta di Lintang Sedang (13)
Mei 2015 J.I. Pariwono - Dept. ITK 44
o Pada saat ini cukup disebutkan bahwa komponen aliran a-geostropik mempunyai ordo L relatif terhadap komponen geostropik
o Maka diperkenalkan komponen a-geostropik dari aliran yang diamati (ua, va), sehingga
u = ug + ua , v = vg + va (16)
f0 ua = y ug vg
t 1 f0 y ' p
y( ) * +
, -
2 ' p tx
. / 0
1 2 3
(17)
f0 va = y vg +ug
t 1 f0 y ' p
x( ) * +
, -
2 ' p ty
. / 0
1 2 3
(18)
A-Geostrophic Wind
Mei 2015 J.I. Pariwono - Dept. ITK 45
Bidang Beta di Lintang Sedang (14)
Mei 2015 J.I. Pariwono - Dept. ITK 46
o Pers (17) dan (18) ini merupakan persamaan gerak quasi-geostropik linier dari aliran yang berubah terhadap waktu
f0 ua = y ug vg
t 1 f0 y ' p
y( ) * +
, -
2 ' p tx
. / 0
1 2 3
(17)
f0 va = y vg +ug
t 1 f0 y ' p
x( ) * +
, -
2 ' p ty
. / 0
1 2 3
(18)
Kontribusi bid-Beta Di Aliran a-geostropik
Mei 2015 J.I. Pariwono - Dept. ITK 47
o Ada dua komponen yang berkontribusi ke aliran a-geostropik di atas:
Komponen beta Komponen issalobarik
f0 ua = y ug vg
t 1 f0 y ' p
y( ) * +
, -
2 ' p tx
. / 0
1 2 3
(17)
f0 va = y vg +ug
t 1 f0 y ' p
x( ) * +
, -
2 ' p ty
. / 0
1 2 3
(18)
Kontribusi bid-Beta Di Aliran a-geostropik (2)
Mei 2015 J.I. Pariwono - Dept. ITK 48
o Komponen beta menunjukkan bahwa untuk gradien tekanan yang diberikan, maka kecepatan aliran yang berada dalam keseimbangan geostropik pada setiap lintang, akan bertambah besar sejalan mendekati katulistiwa
f0 ua = y ug vg
t 1 f0 y ' p
y( ) * +
, -
2 ' p tx
. / 0
1 2 3
(17)
f0 va = y vg +ug
t 1 f0 y ' p
x( ) * +
, -
2 ' p ty
. / 0
1 2 3
(18)
o Ini berarti bahwa alirannya adalah divergen
Kontribusi bid-Beta Di Aliran a-geostropik (3)
Mei 2015 J.I. Pariwono - Dept. ITK 49
o Komponen beta dari kecepatan a-geostropiknya adalah
o dan divergennya diberikan oleh
= y f0 ug ,vg( ) (19)
divergence = vg f0 f02
&
' (
)
* + - p
x
Kontribusi Issalobarik Di Aliran a-geostropik
Mei 2015 J.I. Pariwono - Dept. ITK 50
o Komponen issalobarik dari kecepatan a-geostropiknya adalah
o dan divergennya diberikan oleh
= 1 f02
x , y
% & ' (
) * + p t% & ' (
) * (20)
divergence = 1 f0 g
t%
& '
(
) * 1
f02%
& '
(
) *
2( ) . p t
Mei 2015 J.I. Pariwono - Dept. ITK 51