Post on 16-Jan-2016
description
i
ALGORITMA PEMBAGIAN
SUKU BANYAK
KELAS XI SEMESTER 2
Penulis : Suharyanti, S.Pd
SEKOLAH MENENGAH ATAS (SMA) 2 WONOSARI Jl. Ki Ageng Giring 3 Wonosari, Gunungkidul
2011
MODUL MATEMATIKA
ii
Kata Pengantar
Puji syukur kami panjatkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa atas karunia
dan hidayah-Nya, kami dapat menyusun bahan ajar modul Algoritma Pembagian
Suku Banyak untuk kelas XI IPA Semester 2.
Kami mengharapkan saran dan kritik dari para pakar akademik sebagai
bahan untuk melakukan peningkatan kualitas modul. Diharapkan para pemakai
berpegang pada azas keterlaksanaan, kesesuaian dan fleksibilitas, dengan
mengacu pada perkembangan IPTEK dalam rangka membekali kompetensi yang
terstandar pada peserta didik.
Demikian, semoga modul ini dapat bermanfaat bagi kita semua,
khususnya peserta SMA untuk mata-pelajaran Matematika, atau praktisi yang
sedang mengembangkan modul pembelajaran untuk SMA.
Wonosari , Desember 2011
Penyusun .
iii
DAFTAR ISI Halaman Judul .................................................................................... i
Kata Pengantar................................................................................... ii
Daftar Isi ............................................................................................. iii
Bab I PENDAHULUAN
A. Petunjuk Penggunaan Modul ........................................................ 1
B. Standar Kompetensi ………………………………………………. 2
C. Kompetensi Dasar ………………………………………………….. 2
D. Tujuan Pembelajaran Yang Akan Dicapai ..................................... 2
E. Glosarium ..................................................................................... 2
BAB II KEGIATAN BELAJAR
A. KEGIATAN BELAJAR I …………………………………………….. 3
1. Algoritma Pembagian Suku Banyak …………………………. 3
2. Latihan soal 1 ………………………………………………. 5
3. Kunci jawaban latihan soal 1 …………………………….. 6
B. KEGIATAN BELAJAR II ………………………………………… 7
1. Pembagian Suku Banyak …………………………………… 7
2. Latihan soal 2 ………………………………………………. 10
3. Kunci jawaban latihan soal 2 …………………………….. 10
BAB III EVALUASI AKHIR
A. Lembar tes tertulis ……………………………………….. 11
B. Lembar kunci jawaban tes tertulis ……………………… 12
DAFTAR PUSTAKA …………………………………………………. 13
1
BAB I
PENDAHULUAN
Dalam modul ini akan diuraikan tentang pembagian suku banyak,
teorema sisa dan teorema faktor. Terlebih dahulu akan diuraikan tentang
pengertian suku banyak, nilai suku banyak, dan pembagian suku banyak.
A. Petunjuk penggunaan modul
Selamat Anda dapat mencapai kelas XI IPA dengan sukses. Anda akan
mempelajari modul matematika di kelas XI IPA ini tentang pembagian suku
banyak. Modul ini merupakan kelanjutan dari Modul Matematika X tentang
Fungsi. Jika Anda sudah lupa tentang isi modul tersebut, silahkan dibaca
kembali.
Selanjutnya, untuk dapat memahami materi dalam modul Matematika XI IPA
ini, silahkan Anda ikuti petunjuk berikut ini :
- Bacalah setiap penjelasan pada tiap-tiap kegiatan dengan baik
- Kerjakan latihan dan kegiatan serta tes dalam modul ini sendiri atau
berkelompok.
- Cocokkan jawaban Anda dengan kunci jawaban yang ada di akhir modul
ini
- Jika Anda mengalami kesulitan memahami materi yang ada dalam modul
ini, silahkan diskusikan dengan teman atau guru pembimbing
- Jangan memaksakan diri sebelum betul-betul menguasai bagian demi
bagian dalam modul ini, karena masing-masing saling berkaitan
- Jika anda belum menguasai 75 % dari setiap kegiatan, maka ulangi
kembali langkah-langkah di atas dengan seksama
- Bacalan buku-buku Matematika selain modul ini untuk memperbanyak
latihan soal dan mempermudah pemahaman anda.
Selamat belajar, semoga sukses.
2
B. Standar Kompetensi
Menggunakan aturan suku banyak dalam penyelesaian masalah.
C. Kompetensi Dasar:
1. Menggunakan algoritma pembagian suku banyak untuk menentukan hasil bagi dan sisa pembagian.
D. Tujuan Pembelajaran yang akan dicapai
Setelah membaca modul belajar ini, diharapkan Anda mampu;
1. Menjelaskan pengertian dan komponen-komponen suku banyak
2. Melakukan operasi aljabar suku banyak( penjumlahan, pengurangan, dan pembagian)
3. Menjelaskan kesamaan suku banyak
4. Menentukan nilai suku banyak dengan substitusi dan bagan/skema
5. Membagi suku banyak dengan pembagian bersusun
6. Membagi suku banyak dengan pembagian sintetik (skematik/cara Horner)
7. Menentukan derajat sukubanyak hasil bagi dan sisa pembagian dalam algoritma pembagian.
8. Menentukan hasil bagi dan sisa pembagian sukubanyak oleh bentuk linear atau kuadrat.
E. Glosarium
Istilah Keterangan
Suku banyak Bentuk yang berhubungan dengan persamaan linear dan
kuadrat, atau mempunyai pangkat lebih dari dua.
Derajat Pangkat tertinggi dari suku banyak.
Hasil bagi Hasil dari pembagian suku banyak, dengan pangkat
tertinggi kurang dari pangkat suku banyak.
Sisa Sisa dari pembagian suku banyak.
3
BAB II
KEGIATAN BELAJAR
1. Algoritma Pembagian Suku Banyak
a. Pengertian Suku Banyak
Masih Ingatkah anda pelajaran Matematika Kelas X, tentang
Persamaan linear dan persamaan kuadrat? Dalam suku banyak
bentuk persamaan linear dan persamaan kuadrat merupakan bentuk
dari suku banyak yang berderajat satu dan berderajat dua.
Coba anda perhatikan bentuk –bentuk aljabar berikut:
1) x3 + 2x2 + 3x – 4 → disebut suku banyak / polinom berderajat 3
2) 5x4 + 6x2 + 3x – 1 → disebut suku banyak / polinom berderajat 4
3) x5 + x4 – 2x3 + 2x – 1→disebut suku banyak / polinom berderajat 5
Definisi :
Contoh :
1) x3 + 2x2 + 3x – 4 adalah suku banyak berderajat 3, dengan koefisien
x3 adalah 1, koefisien x2 adalah 2, koefisien x1 adalah 3, dan suku
tetapnya -4.
2) 5x4 + 6x2 + 3x – 1 adalah suku banyak berderajat 4, dengan
koefisien x4 adalah 5, koefisien x3 adalah 0, koefisien x2 adalah 6,
koefisien x1 adalah 3 dan suku tetapnya – 1.
3) x5 + x4 – 2x3 + 2x – 1 adalah suku banyak berderajat 5, dengan
koefisien x5 adalah 1, koefisien x4 adalah 1, koefisien x3 adalah - 2,
koefisien x2 adalah 0, koefisien x1 adalah 2 dan suku tetapnya – 1.
Suku banyak adalah suatu bentuk yang memuat variabel berpangkat. Suku banyak dalam x berderajat n dinyatakan dengan: 01
22
11 ...)( axaxaxaxaxP n
nn
nn
n +++++= −−
−−
Dengan syarat n ∈bilangan cacah, aaaa nnn ,...,,, 21 −− = koefisien-koefisien suku banyak
yang berupa konstanta real. 0a = suku tetap yang berupa konstanta real.
0≠na
A. KEGIATAN BELAJAR 1
4
b. Menentukan Nilai Suku Banyak
Suku banyak berderajat n yang dinyatakan dengan
012
21
1 ...)( axaxaxaxaxP nn
nn
nn +++++= −
−−
− , nilai P(x) merupakan nilai
suku banyak yang dapat dihitung dengan dua carabyaitu dengan cara
substitusi dan cara skema.
1) Menentukan nilai suku banyak dengan cara substitusi
Contoh :
a) Hitung nilai suku banyak P(x) = 1574 3 +− xx untuk x = 2
b) Hitung nilai suku banyak P(x)= 1752 24 +−− xxx untuk x = - 1
Penyelesaian
a) P(x) = 1574 3 +− xx
P(2) = 152.72.4 3 +−
= 4.8 – 14 + 15
= 32 – 14 + 15
P(2) = 33
Jadi, nilai suku banyak P(x) untuk x = 2 adalah 33
b) P(x)= 1752 24 +−− xxx
P(-1) = 1)1.(7)1.(5)1.(2 24 +−−−−−
= 2.1 – 5. 1 + 7 + 1
= 2 – 5 + 7 + 1
= 5
Jadi, nilai suku banyak P(x) untuk x = - 1 adalah 5
2) Menghitung nilai suku banyak dengan cara skema/cara
Horner/sintetik
Contoh :
a) Hitung nilai suku banyak f(x) = 347 23 +−− xxx untuk x = 5
b) Hitung nilai suku banyak f(x) = 82 24 +− xx untuk x = - 3
Penyelesaian
Langkah awal adalah koefisien-koefisien x disusun dari pangkat
terbesar sampai terkecil.
Perpangkatan x yang tidak ada dituliskan 0
5
Tanda panah pada skema berarti mengalikan dengan pembagi,
kemudian dijumlahkan dengan koefisien yang berada di
atasnya.
a) 5 1 -7 -4 3
5 -10 -70 +
1 -2 -14 -67
Jadi, nilai suku banyak f(x) untuk x = 5 adalah – 67
b) – 3 2 0 -1 0 8
-6 18 -51 153 +
2 -6 17 -51 161
Jadi, nilai suku banyak f(x) untuk x = - 3 adalah 161.
2. Latihan soal 1
a. Tentukan derajat, koefisien-koefisien, dan suku tetap dari suku
banyak berikut.
1) 5342 345 +−+− xxxx
2) )3)(12( 2 −++ xxx
b. Hitung nilai dari setiap suku banyak berikut dengan cara substitusi.
1) 634 4 +− xx untuk x = - 2
2) 13 +− xx untuk x = 3
1−
c. Hitung nilai dari setiap suku banyak berikut dengan cara Horner.
1) 328)( 245 +−+= xxxxf untuk x = 0,5
2) 11273)( 23 +++= xxxxf untuk x = 1
6
3. Kunci jawaban latihan soal 1
a. 1) Derajat suku banyak = 5, koefisien 25 =x , koefisien 44 −=x ,
koefisien 33 =x , koefisien 02 =x , koefisien 1−=x , dan suku
tetapnya adalah 5.
2) Derajat suku banyak = 3, koefisien 23 =x , koefisien 32 =x ,
koefisien 5−=x , dan suku tetapnya adalah -3.
b. 1) 766616.46)2.(3)2.(4 4 =++=+−−−
2) 27
351
3
1
27
11
3
1
3
13
=++−=+
−−
−
c. 1) 0,5 8 2 0 -1 3
4 3 1,5 0,25 +
8 6 3 0,5 3,25
Nilai suku banyak untuk x = 0,5 adalah 3,25.
2) 1 3 7 2 11
3 10 12 +
3 10 12 23
Nilai suku banyak untuk x = 1 adalah 23.
7
1. Pembagian Suku Banyak
Definisi :
P(x) = Q(x) . H(x) + S(x)
P(x) = suku banyak yang dibagi, Q(x) = pembagi, H(x) = hasil bagi,
Dan S(x) = sisa pembagian.
a. Pembagian Bersusun
Pembagian suku banyak dengan pembagian bersusun prosedurnya
hampir sama dengan pembagian pada bilangan bulat.
Contoh :
Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian
P(x) = 632 23 +++ xxx dibagi oleh ( x – 2 )
Jawab :
P(x) berderajat 3, Q(x) berderajat 1, hasil bagi H(x) berderajat
3 – 1 = 2, sisa pembagian S(x) berderajat 1 – 1 = 0.
1142 ++ xx ← hasil bagi
Pembagi → x – 2 632 23 +++ xxx ← yang dibagi
23 2xx − -
634 2 ++ xx
xx 84 2 − -
11x + 6
11x - 22 -
28 ← sisa
Dari sini kita peroleh hasil bagi H(x) = 1142 ++ xx , sedangkan
sisanya S(x) = 28.
B. KEGIATAN BELAJAR 2
8
b. Pembagian dengan cara Horner/Sintetik
contoh 1 :
Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian
P(x) = 532 23 ++ xx dibagi oleh (x + 1)
Jawab :
x = -1 2 3 0 5
-2 -1 1 +
44 344 21
bagihasilkoefisien
112 − 6 = sisa pembagian
Hasil yang diperoleh adalah : H(x) = 12 2 −+ xx , dan sisa S(x) = 6
c. Pembagian suku banyak oleh bentuk kuadrat )( 2 cbxax ++ ,
a ≠ 0
pembagian suku banyak oleh bentuk kuadrat dapat dilakukan
dengan dua cara, yaitu dengan cara Horner jika pembaginya dapat
difaktorkan, dan dengan cara bersusun jika pembaginya tidak dapat
difaktorkan.
Contoh :
Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian suku banyak
382 23 −++ xxx dibagi ( )62 −− xx
Jawab :
P(x) = 382 23 −++ xxx
Q(x) = ( )62 −− xx , difaktorkan menjadi (x – 3)( x + 2 ) = 21.PP
1P = ( x – 3 ), bernilai 0 pada x = 3
2P = ( x + 2 ), bernilai 0 pada x = - 2
9
Dengan cara Horner sebagai berikut :
P(x) = 382 23 −++ xxx
x = 3 1 2 8 -3
3 15 69 +
1 5 23 66 = S1
x =- 2 -2 -6 +
1 3 17 = S2
Jadi, hasil pembagian 382 23 −++ xxx oleh
( )62 −− xx adalah H(x) = x + 3, sedangkan sisanya dapat
dihitung dengan rumus S(x) = P1.S2 + S1
S(x) = ( x – 3 ).17 + 66
= 17x – 51 + 66
= 17x + 15
Jadi jika pembagi dapat difaktorkan menjadi P1 dan P2,
maka P(x) = )()(.)()().( 212 xSxHPPxSxHcbxax +=+++
langkah-langkah menentukan hasil bagi dan sisa pembagian suku
banyak oleh bentuk kuadrat yang dapat difaktorkan adalah
sebagai berikut :
1) Bagilah P(x) dengan P1 dengan hasil H0(x) dan sisa S1
2) Bagilah H0(x) oleh P2 ddengan hasil H(x) dan sisa S2
3) Hasil bagi P(x) oleh P1.P2 adalah H(x) dengan sisanya adalah
S(x) = P1.S2 + S1. Jika P1 atau P2 berbentuk (ax – b) dengan a ≠
0, maka anda perlu membagi H0(x) atau H(x) dengan a untuk
memperoleh hasil baginya.
10
2. Latihan Soal 2
a. Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian dari suku banyak berikut.
1) 31532 23 −++ xxx dibagi ( 2x + 1 )
2) 724 +− xx dibagi ( x + 1 )
3) 1514104 23 −+− xxx dibagi ( x – 5 )
b. Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian dari suku banyak berikut.
1) 2325 246 ++− xxx dibagi 42 +x
2) 123 34 −+− xxx dibagi 22 −− xx
3) 52543 234 +−−+ xxxx dibagi 322 −+ xx
c. Tentukan nilai a dan hasil bagi pada pembagian berikut!
1) 16 23 ++− axxx dibagi ( 3x + 1 ) sisanya 0
2) 63 5 −+ axx dibagi ( x – 1 ) sisanya 2
3) axxxx +−+− 813124 234 habis dibagi ( 2x – 1 )
3. Kunci Jawaban Latihan Soal 2
a. 1) H(x) = 1422 2 ++ xx , S(x) = -10
2) H(x) = 23 xx − , S(x) = 7
3) H(x) = 64104 2 ++ xx , S(x) = 305
b. 1) H(x) = 91225 24 +− xx , S(x) = - 362
2) H(x) = xx 22 − , S(x) = -2x – 1
3) H(x) = 823 2 +− xx , S(x) = -24x + 29
c. 1) a = 2, H(x) = 12 2 +− xx
2) a = 5, H(x) = 83333 234 ++++ xxxx
3) a = 2, H(x) = 2452 23 −+− xxx
11
BAB III
EVALUASI AKHIR
A. Lembar tes tertulis
Pilihlah jawaban yang benar!
1. Derajat suku banyak ( 3x4 + 2x )3 ( 2x2 – 5 )4 adalah … . A. 12 B. 13 C. 18 D. 20 E. 42
2. Koefisien x2 pada suku banyak ( 4x - 2)( x +1)(3x+1) adalah … .
A. 4 B. 5 C. 6 D. 9 E. 10
3. Nilai suku banyak 4x3 + 2x2 - 3x + 5, untuk x = – 2 adalah … . A. 6 B. 5 C. – 10 D. – 13 E. – 15
4. Suku banyak 5x3 – 4x2 – 24x + 17 dibagi ( 2x +4) sisanya adalah… .
A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 E. 16
5. Jika f(x) = 4x3 + 8x2 – x – 2 dibagi oleh (2x – 1), hasil baginya adalah ….
A. 2x2 + 5x – 2 B. 2x2 + 5x + 2 C. 4x2 – 10x – 4 D. 4x2 +10x + 4 E. 4x2 + 10x – 4
6. Suku banyak 2x3 + x2 + 4x + 4 dan 2x3 + x2 + 2x + a dibagi (2x – 3)
diperoleh sisa yang sama maka nilai a = .... A. 19 B. 12 C. 7 D. 5 E. – 6
12
7. Hasil bagi (2x3 – 4x + 7) : (x2 – x – 2) adalah … . A. – 2x + 2
B. – 2x + 3
C. – 2x – 2
D. – 2x + 1
E. – 2x – 3
8. Nilai suku banyak 12x5 – 7x3 + 2x + 4 , untuk x = –21 adalah … .
A. 2
15−
B. 2
13−
C. 4
1−
D. 2
13
E. 2
15
9. Suku banyak x5 – 2x3 + 4x – 7 dibagi ( 3x – 6) sisanya adalah… .
A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 E. 19
10. Hasil bagi jika f(x) = 12x4 + 11x3 – 15x2 - 6x – 10 dibagi (3x + 5) adalah
….
A. 234 23 ++ xx
B. 234 23 −− xx
C. 324 23 −− xx
D. 6912 23 ++ xx
E. 6912 23 −− xx
11. Jika f(x) = 12 345 ++−+ xxmxx dan f(2) = 3, maka nilai f(- 2 ) adalah .... A. – 33 B. – 22 C. – 11 D. 22 E. 33
13
12. Hasil bagi dan sisa pembagian f(x) = 6352 23 +−+ xxx oleh (x – 3) berturut-turut adalah ....
A. 30112 2 +− xx dan 96
B. 30112 2 −+ xx dan 96
C. 30112 2 ++ xx dan 86
D. 30112 2 ++ xx dan 96
E. 30112 2 ++− xx dan 79
13. Jika suku banyak f(x) = 1452 234 +−+− axxxx habis dibagi (x – 2) maka hasil baginya adalah ....
A. 75 23 −− xx
B. 75 23 −+ xx
C. 753 −+ xx
D. 753 ++ xx
E. xxx 75 23 −+
14. Sisa pembagian f(x) = 1234 234 +−+− xxxx oleh 22 −− xx adalah .... A. – 6x + 5 B. – 6x – 5 C. 6x + 5 D. 6x – 5 E. 6x – 6
15. Hasil bagi dan sisa pembagian f(x) = 25 23 +− xx dibagi oleh
142 −+ xx berturut-turut adalah .... A. x – 9 dan 37x – 7 B. x + 9 dan 37x – 7 C. x – 9 dan 37x + 7 D. x + 9 dan 37x + 7 E. x – 9 dan 27x – 7
B. Lembar kunci jawaban tes tertulis
1. D 6. C 11. A
2. E 7. A 12. D
3. D 8. D 13. C
4. C 9. C 14. A
5. B 10. B 15. A
14
DAFTAR PUSTAKA
H. Sigit Suprijanto dkk 2009. Matematika SMA Kelas XI Program IPA. Terbitan
pertama.: Penerbit Yudhistira.
Nugroho Soedyarto, Maryanto. 2008. Matematika Jilid 2. Jakarta : Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional.