i

ALGORITMA PEMBAGIAN

SUKU BANYAK

KELAS XI SEMESTER 2

Penulis : Suharyanti, S.Pd

SEKOLAH MENENGAH ATAS (SMA) 2 WONOSARI Jl. Ki Ageng Giring 3 Wonosari, Gunungkidul

2011

MODUL MATEMATIKA

ii

Kata Pengantar

Puji syukur kami panjatkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa atas karunia

dan hidayah-Nya, kami dapat menyusun bahan ajar modul Algoritma Pembagian

Suku Banyak untuk kelas XI IPA Semester 2.

Kami mengharapkan saran dan kritik dari para pakar akademik sebagai

bahan untuk melakukan peningkatan kualitas modul. Diharapkan para pemakai

berpegang pada azas keterlaksanaan, kesesuaian dan fleksibilitas, dengan

mengacu pada perkembangan IPTEK dalam rangka membekali kompetensi yang

terstandar pada peserta didik.

Demikian, semoga modul ini dapat bermanfaat bagi kita semua,

khususnya peserta SMA untuk mata-pelajaran Matematika, atau praktisi yang

sedang mengembangkan modul pembelajaran untuk SMA.

Wonosari , Desember 2011

Penyusun .

iii

DAFTAR ISI Halaman Judul .................................................................................... i

Kata Pengantar................................................................................... ii

Daftar Isi ............................................................................................. iii

Bab I PENDAHULUAN

A. Petunjuk Penggunaan Modul ........................................................ 1

B. Standar Kompetensi ………………………………………………. 2

C. Kompetensi Dasar ………………………………………………….. 2

D. Tujuan Pembelajaran Yang Akan Dicapai ..................................... 2

E. Glosarium ..................................................................................... 2

BAB II KEGIATAN BELAJAR

A. KEGIATAN BELAJAR I …………………………………………….. 3

1. Algoritma Pembagian Suku Banyak …………………………. 3

2. Latihan soal 1 ………………………………………………. 5

3. Kunci jawaban latihan soal 1 …………………………….. 6

B. KEGIATAN BELAJAR II ………………………………………… 7

1. Pembagian Suku Banyak …………………………………… 7

2. Latihan soal 2 ………………………………………………. 10

3. Kunci jawaban latihan soal 2 …………………………….. 10

BAB III EVALUASI AKHIR

A. Lembar tes tertulis ……………………………………….. 11

B. Lembar kunci jawaban tes tertulis ……………………… 12

DAFTAR PUSTAKA …………………………………………………. 13

1

BAB I

PENDAHULUAN

Dalam modul ini akan diuraikan tentang pembagian suku banyak,

teorema sisa dan teorema faktor. Terlebih dahulu akan diuraikan tentang

pengertian suku banyak, nilai suku banyak, dan pembagian suku banyak.

A. Petunjuk penggunaan modul

Selamat Anda dapat mencapai kelas XI IPA dengan sukses. Anda akan

mempelajari modul matematika di kelas XI IPA ini tentang pembagian suku

banyak. Modul ini merupakan kelanjutan dari Modul Matematika X tentang

Fungsi. Jika Anda sudah lupa tentang isi modul tersebut, silahkan dibaca

kembali.

Selanjutnya, untuk dapat memahami materi dalam modul Matematika XI IPA

ini, silahkan Anda ikuti petunjuk berikut ini :

- Bacalah setiap penjelasan pada tiap-tiap kegiatan dengan baik

- Kerjakan latihan dan kegiatan serta tes dalam modul ini sendiri atau

berkelompok.

- Cocokkan jawaban Anda dengan kunci jawaban yang ada di akhir modul

ini

- Jika Anda mengalami kesulitan memahami materi yang ada dalam modul

ini, silahkan diskusikan dengan teman atau guru pembimbing

- Jangan memaksakan diri sebelum betul-betul menguasai bagian demi

bagian dalam modul ini, karena masing-masing saling berkaitan

- Jika anda belum menguasai 75 % dari setiap kegiatan, maka ulangi

kembali langkah-langkah di atas dengan seksama

- Bacalan buku-buku Matematika selain modul ini untuk memperbanyak

latihan soal dan mempermudah pemahaman anda.

Selamat belajar, semoga sukses.

2

B. Standar Kompetensi

Menggunakan aturan suku banyak dalam penyelesaian masalah.

C. Kompetensi Dasar:

1. Menggunakan algoritma pembagian suku banyak untuk menentukan hasil bagi dan sisa pembagian.

D. Tujuan Pembelajaran yang akan dicapai

Setelah membaca modul belajar ini, diharapkan Anda mampu;

1. Menjelaskan pengertian dan komponen-komponen suku banyak

2. Melakukan operasi aljabar suku banyak( penjumlahan, pengurangan, dan pembagian)

3. Menjelaskan kesamaan suku banyak

4. Menentukan nilai suku banyak dengan substitusi dan bagan/skema

5. Membagi suku banyak dengan pembagian bersusun

6. Membagi suku banyak dengan pembagian sintetik (skematik/cara Horner)

7. Menentukan derajat sukubanyak hasil bagi dan sisa pembagian dalam algoritma pembagian.

8. Menentukan hasil bagi dan sisa pembagian sukubanyak oleh bentuk linear atau kuadrat.

E. Glosarium

Istilah Keterangan

Suku banyak Bentuk yang berhubungan dengan persamaan linear dan

kuadrat, atau mempunyai pangkat lebih dari dua.

Derajat Pangkat tertinggi dari suku banyak.

Hasil bagi Hasil dari pembagian suku banyak, dengan pangkat

tertinggi kurang dari pangkat suku banyak.

Sisa Sisa dari pembagian suku banyak.

3

BAB II

KEGIATAN BELAJAR

1. Algoritma Pembagian Suku Banyak

a. Pengertian Suku Banyak

Masih Ingatkah anda pelajaran Matematika Kelas X, tentang

Persamaan linear dan persamaan kuadrat? Dalam suku banyak

bentuk persamaan linear dan persamaan kuadrat merupakan bentuk

dari suku banyak yang berderajat satu dan berderajat dua.

Coba anda perhatikan bentuk –bentuk aljabar berikut:

1) x3 + 2x2 + 3x – 4 → disebut suku banyak / polinom berderajat 3

2) 5x4 + 6x2 + 3x – 1 → disebut suku banyak / polinom berderajat 4

3) x5 + x4 – 2x3 + 2x – 1→disebut suku banyak / polinom berderajat 5

Definisi :

Contoh :

1) x3 + 2x2 + 3x – 4 adalah suku banyak berderajat 3, dengan koefisien

x3 adalah 1, koefisien x2 adalah 2, koefisien x1 adalah 3, dan suku

tetapnya -4.

2) 5x4 + 6x2 + 3x – 1 adalah suku banyak berderajat 4, dengan

koefisien x4 adalah 5, koefisien x3 adalah 0, koefisien x2 adalah 6,

koefisien x1 adalah 3 dan suku tetapnya – 1.

3) x5 + x4 – 2x3 + 2x – 1 adalah suku banyak berderajat 5, dengan

koefisien x5 adalah 1, koefisien x4 adalah 1, koefisien x3 adalah - 2,

koefisien x2 adalah 0, koefisien x1 adalah 2 dan suku tetapnya – 1.

Suku banyak adalah suatu bentuk yang memuat variabel berpangkat. Suku banyak dalam x berderajat n dinyatakan dengan: 01

22

11 ...)( axaxaxaxaxP n

nn

nn

n +++++= −−

−−

Dengan syarat n ∈bilangan cacah, aaaa nnn ,...,,, 21 −− = koefisien-koefisien suku banyak

yang berupa konstanta real. 0a = suku tetap yang berupa konstanta real.

0≠na

A. KEGIATAN BELAJAR 1

4

b. Menentukan Nilai Suku Banyak

Suku banyak berderajat n yang dinyatakan dengan

012

21

1 ...)( axaxaxaxaxP nn

nn

nn +++++= −

−−

− , nilai P(x) merupakan nilai

suku banyak yang dapat dihitung dengan dua carabyaitu dengan cara

substitusi dan cara skema.

1) Menentukan nilai suku banyak dengan cara substitusi

Contoh :

a) Hitung nilai suku banyak P(x) = 1574 3 +− xx untuk x = 2

b) Hitung nilai suku banyak P(x)= 1752 24 +−− xxx untuk x = - 1

Penyelesaian

a) P(x) = 1574 3 +− xx

P(2) = 152.72.4 3 +−

= 4.8 – 14 + 15

= 32 – 14 + 15

P(2) = 33

Jadi, nilai suku banyak P(x) untuk x = 2 adalah 33

b) P(x)= 1752 24 +−− xxx

P(-1) = 1)1.(7)1.(5)1.(2 24 +−−−−−

= 2.1 – 5. 1 + 7 + 1

= 2 – 5 + 7 + 1

= 5

Jadi, nilai suku banyak P(x) untuk x = - 1 adalah 5

2) Menghitung nilai suku banyak dengan cara skema/cara

Horner/sintetik

Contoh :

a) Hitung nilai suku banyak f(x) = 347 23 +−− xxx untuk x = 5

b) Hitung nilai suku banyak f(x) = 82 24 +− xx untuk x = - 3

Penyelesaian

Langkah awal adalah koefisien-koefisien x disusun dari pangkat

terbesar sampai terkecil.

Perpangkatan x yang tidak ada dituliskan 0

5

Tanda panah pada skema berarti mengalikan dengan pembagi,

kemudian dijumlahkan dengan koefisien yang berada di

atasnya.

a) 5 1 -7 -4 3

5 -10 -70 +

1 -2 -14 -67

Jadi, nilai suku banyak f(x) untuk x = 5 adalah – 67

b) – 3 2 0 -1 0 8

-6 18 -51 153 +

2 -6 17 -51 161

Jadi, nilai suku banyak f(x) untuk x = - 3 adalah 161.

2. Latihan soal 1

a. Tentukan derajat, koefisien-koefisien, dan suku tetap dari suku

banyak berikut.

1) 5342 345 +−+− xxxx

2) )3)(12( 2 −++ xxx

b. Hitung nilai dari setiap suku banyak berikut dengan cara substitusi.

1) 634 4 +− xx untuk x = - 2

2) 13 +− xx untuk x = 3

1−

c. Hitung nilai dari setiap suku banyak berikut dengan cara Horner.

1) 328)( 245 +−+= xxxxf untuk x = 0,5

2) 11273)( 23 +++= xxxxf untuk x = 1

6

3. Kunci jawaban latihan soal 1

a. 1) Derajat suku banyak = 5, koefisien 25 =x , koefisien 44 −=x ,

koefisien 33 =x , koefisien 02 =x , koefisien 1−=x , dan suku

tetapnya adalah 5.

2) Derajat suku banyak = 3, koefisien 23 =x , koefisien 32 =x ,

koefisien 5−=x , dan suku tetapnya adalah -3.

b. 1) 766616.46)2.(3)2.(4 4 =++=+−−−

2) 27

351

3

1

27

11

3

1

3

13

=++−=+

−−

−

c. 1) 0,5 8 2 0 -1 3

4 3 1,5 0,25 +

8 6 3 0,5 3,25

Nilai suku banyak untuk x = 0,5 adalah 3,25.

2) 1 3 7 2 11

3 10 12 +

3 10 12 23

Nilai suku banyak untuk x = 1 adalah 23.

7

1. Pembagian Suku Banyak

Definisi :

P(x) = Q(x) . H(x) + S(x)

P(x) = suku banyak yang dibagi, Q(x) = pembagi, H(x) = hasil bagi,

Dan S(x) = sisa pembagian.

a. Pembagian Bersusun

Pembagian suku banyak dengan pembagian bersusun prosedurnya

hampir sama dengan pembagian pada bilangan bulat.

Contoh :

Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian

P(x) = 632 23 +++ xxx dibagi oleh ( x – 2 )

Jawab :

P(x) berderajat 3, Q(x) berderajat 1, hasil bagi H(x) berderajat

3 – 1 = 2, sisa pembagian S(x) berderajat 1 – 1 = 0.

1142 ++ xx ← hasil bagi

Pembagi → x – 2 632 23 +++ xxx ← yang dibagi

23 2xx − -

634 2 ++ xx

xx 84 2 − -

11x + 6

11x - 22 -

28 ← sisa

Dari sini kita peroleh hasil bagi H(x) = 1142 ++ xx , sedangkan

sisanya S(x) = 28.

B. KEGIATAN BELAJAR 2

8

b. Pembagian dengan cara Horner/Sintetik

contoh 1 :

Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian

P(x) = 532 23 ++ xx dibagi oleh (x + 1)

Jawab :

x = -1 2 3 0 5

-2 -1 1 +

44 344 21

bagihasilkoefisien

112 − 6 = sisa pembagian

Hasil yang diperoleh adalah : H(x) = 12 2 −+ xx , dan sisa S(x) = 6

c. Pembagian suku banyak oleh bentuk kuadrat )( 2 cbxax ++ ,

a ≠ 0

pembagian suku banyak oleh bentuk kuadrat dapat dilakukan

dengan dua cara, yaitu dengan cara Horner jika pembaginya dapat

difaktorkan, dan dengan cara bersusun jika pembaginya tidak dapat

difaktorkan.

Contoh :

Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian suku banyak

382 23 −++ xxx dibagi ( )62 −− xx

Jawab :

P(x) = 382 23 −++ xxx

Q(x) = ( )62 −− xx , difaktorkan menjadi (x – 3)( x + 2 ) = 21.PP

1P = ( x – 3 ), bernilai 0 pada x = 3

2P = ( x + 2 ), bernilai 0 pada x = - 2

9

Dengan cara Horner sebagai berikut :

P(x) = 382 23 −++ xxx

x = 3 1 2 8 -3

3 15 69 +

1 5 23 66 = S1

x =- 2 -2 -6 +

1 3 17 = S2

Jadi, hasil pembagian 382 23 −++ xxx oleh

( )62 −− xx adalah H(x) = x + 3, sedangkan sisanya dapat

dihitung dengan rumus S(x) = P1.S2 + S1

S(x) = ( x – 3 ).17 + 66

= 17x – 51 + 66

= 17x + 15

Jadi jika pembagi dapat difaktorkan menjadi P1 dan P2,

maka P(x) = )()(.)()().( 212 xSxHPPxSxHcbxax +=+++

langkah-langkah menentukan hasil bagi dan sisa pembagian suku

banyak oleh bentuk kuadrat yang dapat difaktorkan adalah

sebagai berikut :

1) Bagilah P(x) dengan P1 dengan hasil H0(x) dan sisa S1

2) Bagilah H0(x) oleh P2 ddengan hasil H(x) dan sisa S2

3) Hasil bagi P(x) oleh P1.P2 adalah H(x) dengan sisanya adalah

S(x) = P1.S2 + S1. Jika P1 atau P2 berbentuk (ax – b) dengan a ≠

0, maka anda perlu membagi H0(x) atau H(x) dengan a untuk

memperoleh hasil baginya.

10

2. Latihan Soal 2

a. Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian dari suku banyak berikut.

1) 31532 23 −++ xxx dibagi ( 2x + 1 )

2) 724 +− xx dibagi ( x + 1 )

3) 1514104 23 −+− xxx dibagi ( x – 5 )

b. Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian dari suku banyak berikut.

1) 2325 246 ++− xxx dibagi 42 +x

2) 123 34 −+− xxx dibagi 22 −− xx

3) 52543 234 +−−+ xxxx dibagi 322 −+ xx

c. Tentukan nilai a dan hasil bagi pada pembagian berikut!

1) 16 23 ++− axxx dibagi ( 3x + 1 ) sisanya 0

2) 63 5 −+ axx dibagi ( x – 1 ) sisanya 2

3) axxxx +−+− 813124 234 habis dibagi ( 2x – 1 )

3. Kunci Jawaban Latihan Soal 2

a. 1) H(x) = 1422 2 ++ xx , S(x) = -10

2) H(x) = 23 xx − , S(x) = 7

3) H(x) = 64104 2 ++ xx , S(x) = 305

b. 1) H(x) = 91225 24 +− xx , S(x) = - 362

2) H(x) = xx 22 − , S(x) = -2x – 1

3) H(x) = 823 2 +− xx , S(x) = -24x + 29

c. 1) a = 2, H(x) = 12 2 +− xx

2) a = 5, H(x) = 83333 234 ++++ xxxx

3) a = 2, H(x) = 2452 23 −+− xxx

11

BAB III

EVALUASI AKHIR

A. Lembar tes tertulis

Pilihlah jawaban yang benar!

1. Derajat suku banyak ( 3x4 + 2x )3 ( 2x2 – 5 )4 adalah … . A. 12 B. 13 C. 18 D. 20 E. 42

2. Koefisien x2 pada suku banyak ( 4x - 2)( x +1)(3x+1) adalah … .

A. 4 B. 5 C. 6 D. 9 E. 10

3. Nilai suku banyak 4x3 + 2x2 - 3x + 5, untuk x = – 2 adalah … . A. 6 B. 5 C. – 10 D. – 13 E. – 15

4. Suku banyak 5x3 – 4x2 – 24x + 17 dibagi ( 2x +4) sisanya adalah… .

A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 E. 16

5. Jika f(x) = 4x3 + 8x2 – x – 2 dibagi oleh (2x – 1), hasil baginya adalah ….

A. 2x2 + 5x – 2 B. 2x2 + 5x + 2 C. 4x2 – 10x – 4 D. 4x2 +10x + 4 E. 4x2 + 10x – 4

6. Suku banyak 2x3 + x2 + 4x + 4 dan 2x3 + x2 + 2x + a dibagi (2x – 3)

diperoleh sisa yang sama maka nilai a = .... A. 19 B. 12 C. 7 D. 5 E. – 6

12

7. Hasil bagi (2x3 – 4x + 7) : (x2 – x – 2) adalah … . A. – 2x + 2

B. – 2x + 3

C. – 2x – 2

D. – 2x + 1

E. – 2x – 3

8. Nilai suku banyak 12x5 – 7x3 + 2x + 4 , untuk x = –21 adalah … .

A. 2

15−

B. 2

13−

C. 4

1−

D. 2

13

E. 2

15

9. Suku banyak x5 – 2x3 + 4x – 7 dibagi ( 3x – 6) sisanya adalah… .

A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 E. 19

10. Hasil bagi jika f(x) = 12x4 + 11x3 – 15x2 - 6x – 10 dibagi (3x + 5) adalah

….

A. 234 23 ++ xx

B. 234 23 −− xx

C. 324 23 −− xx

D. 6912 23 ++ xx

E. 6912 23 −− xx

11. Jika f(x) = 12 345 ++−+ xxmxx dan f(2) = 3, maka nilai f(- 2 ) adalah .... A. – 33 B. – 22 C. – 11 D. 22 E. 33

13

12. Hasil bagi dan sisa pembagian f(x) = 6352 23 +−+ xxx oleh (x – 3) berturut-turut adalah ....

A. 30112 2 +− xx dan 96

B. 30112 2 −+ xx dan 96

C. 30112 2 ++ xx dan 86

D. 30112 2 ++ xx dan 96

E. 30112 2 ++− xx dan 79

13. Jika suku banyak f(x) = 1452 234 +−+− axxxx habis dibagi (x – 2) maka hasil baginya adalah ....

A. 75 23 −− xx

B. 75 23 −+ xx

C. 753 −+ xx

D. 753 ++ xx

E. xxx 75 23 −+

14. Sisa pembagian f(x) = 1234 234 +−+− xxxx oleh 22 −− xx adalah .... A. – 6x + 5 B. – 6x – 5 C. 6x + 5 D. 6x – 5 E. 6x – 6

15. Hasil bagi dan sisa pembagian f(x) = 25 23 +− xx dibagi oleh

142 −+ xx berturut-turut adalah .... A. x – 9 dan 37x – 7 B. x + 9 dan 37x – 7 C. x – 9 dan 37x + 7 D. x + 9 dan 37x + 7 E. x – 9 dan 27x – 7

B. Lembar kunci jawaban tes tertulis

1. D 6. C 11. A

2. E 7. A 12. D

3. D 8. D 13. C

4. C 9. C 14. A

5. B 10. B 15. A

14

DAFTAR PUSTAKA

H. Sigit Suprijanto dkk 2009. Matematika SMA Kelas XI Program IPA. Terbitan

pertama.: Penerbit Yudhistira.

Nugroho Soedyarto, Maryanto. 2008. Matematika Jilid 2. Jakarta : Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional.