Post on 10-Jul-2015
MODUL 1PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE SATU
RUMUS-RUMUS DASAR INTEGRAL
caxa
axdxax
caxa
axdx
caxa
axdxax
caxa
ax
caxa
axdx
caxa
axdx
cx
ncxndxx
nn
csc1
cotcsc).7(
cot1
csc).6(
sec1
tansec).5(
tan1
sec).4(
sin1
cos).3(
cos1
sin).2(
||ln
1,1
1).1(
2
2
1
-1n ,
caxdxax
x
cxxxdx
cx
cxxdx
cxxxdx
cx
cxxdx
22
22).12(
|cotcsc|lncsc)11(
|sin|ln
|csc|lncot)10(
|tansec|lnsec)9(
|cos|ln
|sec|lntan)8(
c|bax|lna
b
a
xdx
bax
x )14(
c|bax|lna
1
bax
dx )13(
2
cax
axln
a2
1dx
ax
1)16(
c|ax|ln2
1dx
ax
x )15(
22
2222
c|axx|ln2
1
ax
dx )17( 22
22
dxexa
n
a
exdxex)20(
cedue)19(
cea
1dxe)18(
ax1naxn
axn
uu
axax
ca
xcos
ca
xsindx
xa
1 )21(
1
1
22
ca
xcot
a
1
ca
xtan
a
1dx
xa
1 )22(
1
122
ca
xcsc
a
1
ca
xsec
a
1dx
axx
1 )23(
1
1
22
Rumus-rumus Reduksi
dx xsinn
1nxcosxsin
n
1dx xsin).1 2n1nn
dx xcosn
1nxsinxcos
n
1dx xcos).2 2n1nn
dx xtanxtan1n
1dx xtan).3 2n1nn
dx xcotxcot1n
1dx xcot).4 2n1nn
dx xsec1n
2ntanxsec
1n
1dx xsec).5 2n2nn
dx xcsc1n
2nxcotxcsc
1n
1dx xcsc).6 2n2nn
dxbxcosxb
nbxcos
b
xdxbxsinx).7 1n
nn
dxbxsinxb
nbxsin
b
xdxbxcosx).8 1n
nn
dx exa
nex
a
1dx ex).9 ax1naxnaxn
dx axaln
nax
aln
1dx ax).10 x1nxnxn
c)bxcosbbxsina(ba
edx bxsine).11
22
axax
c)bxcosabxsinb(ba
edxbxcose).12
22
axax
c)1n(
xxln
1n
xdx xlnx).13
2
1n1nn
cdxxlnnxlnxdxxln).14 1nnn
cdxxlnx1m
n
1m
xlnxdxxlnx).15 1nm
n1mnm
PENGERTIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL
Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang melibatkan satu atau lebihturunan fungsi yang belum diketahui, dan atau persamaan itu mungkin jugamelibatkan fungsi itu sendiri dan konstanta.
SOLUSI PERSAMAAN DIFERENSIAL
Solusi persamaan diferensial adalah menentukan suatu fungsi dimanaturunnya, dan disubsitutiskan memenuhi persamaan diferensial yang diberikan.
Contoh : Diberikan persamaan diferensial,
dy = (4x + 6 cos 2x)dx
Dengan cara mengintegralkandiperoleh solusi PD yaitu :
cxx
dxxxy
2sin32
)2cos64(
2
Contoh : Apakah, y = e2x, solusi persamaandiferensial,
y” – 4y’ + 4y = 0
Dengan caramensubstitusikan, y=e2x, y’ = 2e2x, dany’’ = 4e2x pada persamaan dihasilkan,
4e2x - 4(2e2x) + 4e2x = 00=0
Jadi 4e2x e2x 4adalah solusi PD.Jadi, y= 2x2 + 3 sin 2x + c adalah solusiPD
PD Variabel Terpisah
Bentuk Umum PD Variabel Terpisah,
cdyyg
ygdx
xf
xf
dyyg
ygdx
xf
xf
ygxf
dyygxfdxygxf
)(
)(
)(
)(
0)(
)(
)(
)(
)()(
0)()()()(
1
2
2
1
1
2
2
1
12
2211
PD Solusi
Contoh :Carilah penyelesaian umum PD,
(4x + 6xy2)dx + 3(y + x2y)dy = 0
Tulislah PD menjadi,
2x(2 + 3y2)dx + 3y(1 + x2)dy = 0---------------------------(1 + x2)(2 + 3y2)Diperoleh PD,
032
3
1
2
22
dy
y
ydx
x
x
Solusi PD adalah,
cyx
cyx
cdyy
ydx
x
x
)32()1(
ln)32ln(2
1)1ln(
32
3
1
2
222
22
22
Soal Latihan PD Variabel Terpisah
1. x(1 + y)dx + y(1 + x) dy = 0 2. xydx + (x2 – 1)ln y dy = 03. (1 + y2)sin x dx + 2y (1 – cos x)dy= 0 4. (1 + y) (1 + sin x)dx + y cos x dy = 05. xy dx + (x – 1)(1 + ln y)dy = 0 6. 2(1 + ey)dx + x(1 + x)dy = 0 7. 2xy(1 – y)dx + (x2 – 4)dy = 08. (y2 − 4) dx + x(x – 2)dy = 0 9. y(1 + x2)dx + 2x(1 + ln y)dy = 010. ex(1 + ey)dx + (1 + ex )e−y dy = 0
PD HOMOGEN
Fungsi f(x,y) dikatakan fungsi homogen berderajad n, jika terdapat α, sedemikiansehingga
f(αx, αy) = αn f(x,y)Bentuk umum PD :
g(x,y)dx + h(x,y)dy = 0---------------------------------------------------------------------------------------------------------
Kasus 1. Substitusi, y=ux, dy=udx+xduPD menjadi.[g(1,u)+uh(1,u)]dx + xh(1,u)du=0
cduuuhug
uhdx
x
duuuhug
uhdx
x
),1(),1(
),1(1
0),1(),1(
),1(1
Solusi
Kasus 2. Substitusi, x=vy, dx=vdy + ydvPD menjadi.yg(v,1)dv + [vg(v,1)+h(v,1)]dy=0
cdyy
dvvhvvg
vg
dyy
dvvhvvg
vg
1
)1,()1,(
)1,(
01
)1,()1,(
)1,(
Solusi
Contoh
Carilah penyelesaian umum PD,.(4x2 – 3y2)dx + 4xy dy = 0
Jawab
Substitusikan, y = ux,dy=udx+xduke persamaan , maka dihasilkan :x2(4–3u2)dx + x24u(udx + x du) = 0(4–3u2)dx + 4u(udx + x du) = 0(4–3u2+4u2) dx + 4xu du) = 0
3222
22
2
2
2
)4(
,ln)4(ln
ln)4ln(2ln
ln4
41
04
41
cxyx
x
yucux
cux
cduu
udx
x
duu
udx
x
Carilah penyelesaian umum, PD,x2ydx – (x3 + y3) dy = 0
JawabSubstitusi, x=vy, dx=vdy+ydv, ke PD diperoleh,v2y3 (vdy +ydv) – y3(v3 + 1)dy = 0
v2(vdy +ydv) – (v3 + 1)dy = 0v2y dv – dy = 0
3)/(
3
3
2
2
3
3,lnln
lnln3
1
ln1
01
cye
y
xvcye
cyv
cdyy
dvv
dyy
dvv
yx
v
Reduksi Persamaan Homogen
Kasus khusus PD berbentuk,(ax+by+d)dx + (px+qy+r)dy=0
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
Kasus1, d=0,r=0Jika d=r=0, PD menjadi(ax+by)dx+(px+qy)dy=0Substitusikan, y=ux,dy=udx+xdudiperoleh,
x(a+bu)dx+x(p+qu)(udx+xdu) = 0atau,
[a+(b+p)u+qu2]dx+x(p+qu) du = 0
cduaupbqu
pqudx
x
duaupbqu
pqudx
x
)(
1
0)(
1
2
2
Solusi,
Contoh :Carilah penyelesaian umum PD,(x + 4y)dx + (4x + 2y)dy = 0JawabSubstitusi, y=ux,dy=udx+xdu. PD menjadi,
x(1+4u)dx + x(4+2u)[udx+xdu] = 0atau,(1 + 8u + 2u2)dx + x (4 + 2u) du = 0
cduuu
udx
x
duuu
udx
x
182
421
0182
421
2
2
Solusi,
Kasus 2 aq – bp = 0Bila, aq – bp =0 maka berlaku :
px + qy = k(ax + by)konstanta tak nol. Substitusikanlah,
z = ax + by , dz = adx + bdy
diperoleh PD,
b
adxdzdy
cdzarbdzakb
rkzdx
dzarbdzakb
rkzdx
dzrkzdxzakbarbd
b
adxdzrkzdxdz
)()(
0)()(
0)(])()[(
0)()(
Solusi,
ContohCarilah penyelesaian umum PD,(2x+5y + 2)dx+(4x+10y + 3)dy=0Jawabaq – bp = (2)(10) – (5)(4) = 0. Subsitusi, 4x + 10y = 2(2x + 5y), dan z=2x+5y, dz=2dx+5dy. Maka diperoehPD
czzx
cdzz
zdx
dzz
zdx
dzzdxz
dxdzzdxz
)4ln(52
4
32
04
32
0)32()4(
05
2)32()2(
Solusi,
Kasus Ketiga, aq – bp ≠ 0
(ax+by+d)dx + (px+qy+r)dy=0 Substitusi pertama,
u=ax+by+d, du=adx+bdyv=px+qy+r, dv=pdx+qdy
atau,
diperoleh
dv
du
dy
dx
qp
ba
0)()(
0
dvavbudupvqu
bpaq
advpduv
bpaq
bdvqduu
bpaq
advpdudy
bpaq
bdvqdudx
PD diperoleh Sehingga
Substitusi kedua,
v = uz dan dv = udz + zdu
kedalam persamaan homogen, sehingga dihasilkan :
u(q–pz)du + u(az – b)(udz+zdu) = 0[az2 – (b+p)z + q]du + u(az–b)dz = 0
cduqzpbaz
bazdu
u
duqzpbaz
bazdu
u
)(
1
0)(
1
2
2
Solusi,
Contoh
Carilah penyelesaian umum PD,(2x + 4y + 2)dx + (4x + 3y + 3)dy = 0JawabSubstitusi pertamau=2x + 4y + 2, v=4x + 3y + 3,
10
24
10
43
dvdudy
dvdudx
dv
du
dy
dx
34
42
Diperoleh PD,
(3u – 4v)du + (–4u + 2v) dv = 0
010
24
10
43
dvduv
dvduu
Substitusi kedua,v=uz, dv=udz+zdu
diperoleh hasil,(3u–4uz)du + (–4u+2uz)(udz+zdu)= 0 u(3–4z)du + u(–4+2z)(udz+zdu) = 0(3 – 4z – 4z + 2z2)du +(2z – 4)d
czzu
czzu
cdzzz
zdu
u
dzzz
zdu
u
)382(
ln)382ln(2
1ln
382
421
0382
421
22
2
2
2
Solusi,
Soal-soal Latihan PD Homogen
1. (x2 + y2)dx – xydy = 0 2. x2y dx + (x3 + y3)dy = 03. y dx – (x−yex/y)dy = 0 4. y(1 + ey/x) dx + (xey/x+ y) dy = 05. x2(x+3y)dx + (x3+ y3)dy = 06. y(y + xex/y)dx – x2ex/y dy = 0 7. (3x2y + y3)dx + (x3+ 3xy2)dy = 08. (2x – 3y)dx + (3x – 8y)dy = 0 9. (2x – 2y + 3)dx + (2x – 8y+4)dy = 0 10. (2x – y)dx + (x – 6y + 2)dy = 011. (2x + 5y + 2)dx + (5x + 3y – 2)dy = 0 12. (x – 2y + 3)dx + (2x – 9y – 4)dy = 0
PD Eksak dan Non Eksak
Persamaan diferensial linier orde satu yang berbentuk,M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0
dikatakan sebagai persamaan diferensial eksak jika hanya jika
--------------------------------------------------------------------------------------------------------x
N
y
M
Solusi, F(x,y)=c dimana
dydxyxMy
yxNyg
yxNygdxyxMy
ygdxyxMyxF
),(),()(
),()(),(
)(),(),(
dimana
Solusi, F(x,y)=c dimana
dxdyyxNx
yxMxf
yxMxfdyyxNx
xfdyyxNyxF
),(),()(
),()(),(
)(),(),(
dimana
Contoh : Carilah penyelesaian PD,(1 + yexy) dx +(xexy + 2y) dy = 0JawabPD Eksak, karena :
Solusi, F(x,y)=C, dimana
Contoh : Carilah penyelesaian PD,
JawabPD Eksak, karena :
Solusi, F(x,y)=c dimana :
01
sin)]1(ln(cos1[
dy
y
xydxyx
xyxyxy
xyxyxy
exyyexex
N
exyxeyey
M
)1()(
)1()(
cyex
cyydyyg
yxeygexy
ygex
ygdxxeyxF
xy
xyxy
xy
xy
2
2
,
2)(
2)]([
)(
)()1(),(
Solusi
y
x
x
N
y
x
y
M
1
cos
1
cos
)1()1(,
)1ln(1
)(
1
sin)]()1ln(sin[
)()1ln(sin(
)()1ln(cos1(),(
sin ycye
yydyy
yyg
y
xyygyxx
y
ygyxx
ygdxyxyxF
xyx
Solusi
PD Non Eksak dan Faktor Integrasi
Persamaan diferensial linier orde satu yang berbentuk,M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0
dikatakan sebagai persamaan diferensial non eksak jika hanya jika
PD Non eksak diubah menjadi PD eksak dengan mengalikan faktor integrasi u, sehingga PD berbentuk.
uM(x,y)dx+uN(x,y)dy = 0--------------------------------------------------------------------------------------------------------
0
x
N
y
M
x
N
y
M atau
Kasus Pertama, u = u(x)Faktor integrasi u diberikan oleh,
N
x
N
y
M
xp
eudxxp
)(
)(
Kasus Kedua, u = u(y)Faktor integrasi u diberikan oleh,
M
x
N
y
M
yq
eudyyq
)(
)(
Contoh :Carilah penyelesaian umum PD,
(4x3 + x2 – y2)dx + 2xy dy = 0 JawabPD Eksak or Non eksak
xy
y
N
x
N
y
M
pyx
N
y
M
yx
Ny
y
M
xyNyxxM
2
4,4
2,2
2,4 223
Faktor Integrasi u
2
1ln
ln22
12
xe
eeu
x
xdx
x
PD menjadi,
02
14
0)2(1
)4(1
2
2
2223
2
dyx
ydx
x
yx
xydyx
dxyxxx
PD Eksak,
Solusi PD Eksak, F(x,y) = c, dimana :
cygygx
yxx
ygdxx
yxyxF
)()(2
)(14),(
22
2
2
Solusi.2x3 + x2 + y2 = cx
Contoh :Carilah penyelesaian umum PD,
JawabPD Eksak or Non eksak
0ln32
34)(
22
dyy
xyedxxyey xx
yxyey
xye
M
x
N
y
M
q
xyex
N
y
M
xyex
Nxye
y
M
yx
yeNxyeyM
x
x
x
xx
xx
2
)(
)(2
)(2
342
ln32
34,
22
,
Faktor Integrasi u
2ln
ln2
2
2ye
eeu
y
ydy
y
PD Non Eksak
PD menjadi,
0ln32
34)(
0ln32
34)(
222
334
2222
dyyyyx
eydxxyey
dyyx
yeydxxyeyy
xx
xx
PD Eksak
Solusi PD Eksak, F(x,y)=c dimana :
332
222
3324
324
34
3
1lnln3)(
ln32
34)(
2
1
)(
)(2
1
)()(),(
yyyydyyyg
yyyx
eyygyxeyy
yg
ygyxey
ygdxxyeyyxF
xx
x
x
: dari diperoleh
cyyyyxey x 33324
3
1ln
2
1
Soal Latihan PD Eksak Non Eksak
1. (x3 + y2)dx + (2xy − y3)dy = 02. (x + y sin 2x)dx + (sin2 x + 3y2)dy = 03. [2x + y cos(xy)] dx + [x cos(xy) – 2y]dy = 04. (x + y)2 dx + (x2 + 2xy + yey)dy = 05. (xex + yexy)dx + (1 + xexy )dy = 06. (xex − ey)dx + ey(y − x)dy = 07. 3x2(y − 1)2dx + 2x3 (y − 1)dy = 0
0)1()33(.10
0)1ln(1
)1(.9
0lnln.8
3/2
22
2
dyxdxyey
dyxdxx
yx
dyyy
xydxx
x
PD Linier Orde Satu
Persamaan diferensial biasa linier orde satuadalah suatu persamaan yang berbentuk,
y′ + P(x)y = Q(x)Tulislah PD menjadi,
[P(x)y – Q(x)]dx + dy = 0
Persamaan diatas adalah non eksak faktorintegrasinya adalah,
dxxP
eu)(
Solusi PD adalah,
cdxexQyedxxPdxxP
)()(
)(
ContohCarilah penyelesaian umum PD,
xy′ + (1 – x)y = 4xex ln xJawabTulis PD menjadi,
cxxxyxe
dxxx
dxxexeyxe
xeeeeu
xxdxx
xdxxp
xeyx
xy
x
xxx
xxxxx
x
22
lnln
ln2
ln4
))(ln4(
ln1
)(
ln41
Solusi,
integrasi, Faktor
PD BernoulliBentuk umum PD Bernoulli,
y′ + P(x)y = Q(x)yn
Tulislah PD menjadi,
yny′ + P(x)y1–n = Q(x)
Substitusi, z = y1–n,dan z′=(1–n)y–n y′, PD menjadi
z′ + (1 – n)P(x)z = (1 – n)Q(x)
PD adalah linier orde satu,
cdxexQnze
eu
dxxPndxxPn
dxxPn
Solusi,
integrasi, Faktor
)()1()()1(
)()1(
)()1(
ContohCarilah pernyelesaian umum PD,
xy′ + y = y3 x3 ln xJawabTulislah PD menjadi,
Substitusi, z = y–2, z′=–2y–3 y′, PD menjadi,
xxyx
yy ln1 223
cdxx
xxx
z
xeeu
xxzx
z
xdx
x
22
2
2ln2
2
2
1ln2
1
ln22
PD, Solusi
integrasi, Faktor
PD Bernoulli Bentuk umum PD Bernoulli - lain
yn–1 y′ + P(x)yn = Q(x)
Substitusi, z = yn,dan z′=nyn – 1y′, PD menjadi
z′ + n P(x)z = nQ(x)
PD adalah linier orde satu,
cdxexnQze
eu
dxxnPdxxnP
dxxnP
Solusi,
integrasi, Faktor
)()(
)(
)(
ContohCarilah penyelesaian PD,
Jawab,Substitusi , z = y3,dan z′= 3y2y′, PD menjadi
xxyx
xyy 2sin
13 32
cdxxex
ey
cdxex
xxex
z
ex
eeu
xxzx
xz
xx
xx
xxxdx
x
x
PD Solusi
integrasi, Faktor
2sin
12sin
1
1
2sin1
3
ln1
Reduksi Orde PD
Bantuk Umum PD adalah,
y(n) + P(x)y(n–1) = Q(x)
Substitusi, z = y(n–1),dan z′= y(n), PD menjadi
z′ + P(x)z = Q(x)
PD adalah linier orde satu,
cdxexQey
cdxexQze
eu
dxxPdxxPn
dxxPdxxP
dxxP
Solusi,
integrasi, Faktor
)()()1(
)()(
)(
)(
)(
Contohcarilah penyelesaian khusus dari,
y′′′ – y′′ = xex
y(0) = 1, y′(0) = 2 dan y′′(0) = 4JawabSubstitusi, z = y′′,dan z′= y′′′, PD menjadi,
z′ – z = xex
Faktor integrasi,
dxcecexe
y
dxceexey
cexeey
cdxexeze
eeu
xxx
xxx
xxx
xxx
xdx
1
22
22
2
4
3
2
])[(
])([
)(
Solusi,
Soal-soal Latihan1. y′ + y tan x = 2 x cos x 2. y′ – xy = 6xe2x
3. (1 + x2)y′ + 2xy = x2
4. x2 ln x y′ + xy = 15. x y′ + 2 y = 4 ln x 6. sin x y′ + y cos x = sin x – x cos x7. (1 + x2) y′ + 2xy = x ln x 8. (x – 1) y′ – 2y = x(x − 1)4
9. (1 + ex)y′ + ex y= xex
10. x ln x y′ + y = x3 ln x11. 3y′ + y = (1 − 2x)y4
12. x ln x y′ – y = x3 y2
13. x y′′′ – y′′ = x4 ln x 14. y′′′ – 2y′′ = x e2x