TUGAS PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA

Aplikasi P.DOrde-1

JURUSAN MATEMATIKAFAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAMUNIVERSITAS NEGERI PADANG2014A. Trayektori OrtogonalTrayektori ortogonal adalah dua rumpun kurva yang saling tegak lurus.System I : System II : Setiap kurva system II memotong tegak lurus setiap kurva system I (garis singgung saling tegak lurus).System II merupakan trayektori orthogonal dari system I atau sebaliknya, sehingga

Langkah untuk menentukan trayektori orthogonal :1. Sistem kurva diketahui2. Menentukan P.D pada system I (P.D 1)3. Mengganti

4. Selesaikan P.D 1 dan 2Contoh SoalTentukan lintasan ortogonal dari setiap keluarga kurva yang diberikan. Dalam setiap kasus, sketsalah beberapa anggota keluarga dan beberapa lintasan ortogonal pada sumbu yang sama.1. Jawab :Diketahui sistem I adalah

Akan dicari P.D dari sistem I, maka

Subsitusikan nilai c, sehingga diperoleh,

Akan dicari trayektori orthogonal, maka didapat,

Untuk mencari solusinya, misalkan : Subsitusikan ke P.D Homogen, sehingga

Jadi, Keluarga kurva adalah trayektori orthogonal dari .2. Jawab :Diketahui sistem I adalah

Akan dicari P.D dari sistem I, maka

Maka,

Subsitusikan nilai c, sehingga diperoleh,

Akan dicari trayektori orthogonal, maka didapat,

Sehingga, didapat solusinya,

Jadi, Keluarga kurva adalah trayektori orthogonal dari .

B. Masalah PencampuranPerhatikan sebuah tangki yang pada awalnya menampung air asin sebanyak galon yang mengandung a lb garam. Suatu larutan air asin lainnya yang mengandung b lb garam per gallon dituangkan kedalam tangki tersebut dengan laju e gal/menit, sementara pada saat yang sama larutan yang sudah teraduk dengan baik meninggalkan tangki dengan laju f gal/menit. Soal yang ingin diselesaikan adalah menentukan jumlah garam didalam tangki pada setiap waktu t.Anggaplah Q melambangkan jumlah (dalam pon) garam dalam tangki pada setiap waktu t.lju perubahan Q, dQ/dt, sama dengan laju masuknya garam kedalam tangki dikurangi dengan laju keluarnya garam dari tangki. Garam memasuki tangki dengan laju b e lb/menit. Untuk menentukan laju keluarnya garam dari tangki, pertama-tama kita hitung volume air asin didalam tangki pada setiap waktu t, dengan volume awal ditambah dengan volume air asin yang ditambahkan dan dikurangi dengan volume air asin yang dikeluarkan ft. Jadi, volume air asin pada setiap waktu adalah

Konsentrsi garam didalam tangki pada setiap waktu adalah

sehingga dari sini dikatahui garam keluar dari tangki dengan laju

Contoh Soal1. Sebuah bak memuat 100 liter air. Karena suatu kesalahan 300 kg garam tertaburkan dalam bak yang seharusnya diperlukan hanya 200 kg. untuk mengatasi masalah ini, dibuangah air yang sudah tercampur air garam secara teratur 3 liter/menit. Dalam waktu yang sama bak juga dimasukkan 3 liter air murni. Jika dijaga agar kondisi garam dalam bak merata setiap saat dengan dilakukan pengadukan, berapa lama agar garam yang ada dalam bak sesuai dengan yang diharapkan, yaitu 200 kg.Jawab :

Sehingga,

Solusi,

Karena kita ingin garam di bak hanya 200 kg, maka,

Maka,

5 menitJadi, air garam dalam bak akan sesuai dengan yang diharapkan dalam waktu 13.5 menit.

2. Sebuah tangki berisi 20 kg garam yang dilarutkan dalam 5000 L air. Larutan garam yang mengandung 0.03 kg garam per liter air memasuki tangki dengan laju 25 L/menit. Larutan tetap teraduk rata dan dialirkan keluar dari tangki dengan laju yang sama. Berapa banyak garam yang terdapat dalam tangki setelah setengah jam?3. Jawab:Misalkan :

Jadi, dari persamaan diperoleh,

Sehingga,

engan menyelesaikan persamaan diferensialterpisah ini, kita peroleh,

, jadi

130

130 C. Masalah PertumbuhanAnggaplah N(t) melambangkan jumlah zat (populasi) yang bertumbuh atau luruh. Jika kita mengansumsikan bahwa dN/dt, laju perubahan zat ini, proporsional terhadap jumlah zat yang ada, maka dN/dt=kN, atau

Dimana k adalah konstanta proporsionalitas.Kita mengansumsikan bahwa N(t) adalah suatu fungsi yang dapat diturunkan terhadap waktu, sehingga dengan demikian adalah fungsi kontiku. Untuk soal-soal populasi, dimana N(t) pada kenyataannya adalah diskrit dan memiliki nilai integer (bilangan bulat), asumsi ini tidak tepat. Walaupun demikian, tetap memberikan perkiraan yag baik untuk hukum-hukum fisis yang mengatur system semacam itu.

Contoh Soal1. Suatu kultura bakteri diketahui berkembang dengan laju yang proporsional dengan jumlah yang ada. Setelah satu jam, 1000 untai bakteri teramati dalam kultur tersebut dan setelah 4 jam menjadi 3000 untai. Cariah ekspresi matematika perkiraan jumlah untaian bakteri yang ada dalam kultura tersebut pada setiap saat dan perkirakan jumlah awal untai bakteri dalam kultur tersebut!Jawab :a. Ekspresi matematika perkiraan jumlah untaian bakteri yang ada dalam kultura pada setiap saat.Misalkan : pada waktu t

Sehingga,

Solusi,

Subsitusikan nilai k, pada syarat sehingga diperoleh, didapat Maka diperoleh solusi,

Jadi, model matematika untuk jumlah bakteri yang ada pada waktu t adalah

b. Perkirakan jumlah awal untai bakteri dalam kultura Jadi, jumlah awal untaan bakteri adalah 694 untaian

2. Populasi penduduk di Amerika diketahui meningkat dengan laju yang porposional dengan jumlah penduduk yang sekarang hidup. Dalam tahun 1790 jumlah penduduk Amerika 3.93 juta penduduk kemudian pada tahun 1890 jumlah penduduknya menjadi 62.95 juta jiwa. Perkirakan pertumbuhan penduduk Amerika sebagai fungsi dari waktu!Jawab :Misalkan :

Sehingga,

Solusi,

Diperoleh,

D. Masalah Perbankan1. Seseorang menyimpan $20000 dalam rekening tabugan dengan bunga 5% pertahun yang dibungakan lagi secara kontinu. Carilah jumlah uang di dalam rekening tersebut selama 3 tahun dan waktu yang dibutuhkan untuk menggandakan nilai tabungan dengan mengasumsikan tidak ada penambilan dan penambahan uang!Jawab :Misalkan :

Solusi,

Jadi, model matematika untuk jumlah saldo pada tiap waktunya adalah

a. Uang selama 3 tahun

Jadi, banyak saldo selama 3 tahun adalah $23236.68

b. Kapan tabungan akan menjadi 2 kali lipat yaitu $40000?

ln

Jadi, tabungan akan menjadi 2 kali lipat setelah 13.86 tahun.

2. Seseorang menyimpan $5000 dalam sebuah rekening yang ditambahkan secara kontinu. Dengan mengasumsikan tidak ada pengambian dan penambahan uang, berapakah saldo dalam rekening tersebut setelah 7 tahun jika suku bunganya konstan sebesar 8.5% selama tahun pertama dan konstan sebesar 9.25% selama tiga tahun terakhir?Jawab :

Solusinya,

Jadi, model matematika untuk jumlah saldo adalah

Jumlah saldo setelah 4 tahun adalah

yaitu Selama 3 tahun terakhir suku bunga menjadi 9.25%, sehingga

Pada saat, Subsitusikan nilai

Dengan memasukkan t=4 ke bentuk persamaan terakhir, diperoleh

Jadi, saldo setelah 7 tahun adalah

E. Masalah Benda JatuhAnggaplah suatu benda dengan massa m yang jatuh secara vertical dipengaruhi hanya oleh gravitasi dan suatu hambatan uara yang proporsional terhadap kecepatan benda tersebut. Asumsikan bahwa gravitasi dan massa tetap konstan dan untuk memudahkan, tentukan arah kebawah sebagai arah positif.Hukum Gerak Kedua Newton : Gaya netto yang bekerja pada benda sebanding dengan laju perubahan momentum benda tersebut atau untuk massa konstan.

benda w, yang sama dengan mgn dan (2)gaya karena hambatan udara kv, dimana k adalah suatu konstanta proporsionalitas. Tanda minus diperlukan karena gaya ini melawan kecepatan, artinya gaya ini bekerja kearah atas, atau negative. Dengan demikian gaya netto F pada benda adalah F=mg-kv. Dengan memasukkan hasil ini ke dalam bentuk terakhir, sehingga

Sebagai persamaan gerak benda.Jika hambatan udara dapat diabaikan atau tidak ada, maka k=0 sehingga menjadi,

Contoh Soal1. Sebuah benda dengan massa 5 kgdijatuhkan dari ketinggian 100 m dengan kecepatan nol. Diasumsikan tidak ada hambatan udara. Carilah :a. Ekspresi matematika untuk kecepatan benda pada setiap waktu tb. Ekspresi matematika untuk posisi pada tiap waktu tc. Waktu yang diperlukan untuk mencapai permukaan tanahJawab :a. Pada kondisi awal dimana tidak ada hambatan udara, maka Sehingga,

Diperoleh,

Jadi, kecepatan benda pada tiap waktu adalah b. Karena kecepatan adalah laju perubahan perpindahan terhadap waktu maka,

Karena padaa kondisi awal maka,

Diperoleh,

Jadi, posisi benda pada tiap waktu t adalah .c. Akan dicari waktu yang dibutuhkan benda untuk mencapai permukaan tanahJarak awal benda terhadap permukaan tanah100 ft.Sehingga,

diperoleh Jadi, waktu yang diperlukan untuk mencapai permukaan tanah adalah .

2. Suatu benda seberat 64 newton dijatuhkan dari ketinggian 100 m dengan kecepatan awal 100 m/s. Asumsikan bahwa hambatan udara proporsional terhadap kecepatan benda tersebut. Jika limit kecepatan diketahui sebesar 128 m/s. Carilah :a. Ekspresi matematis untuk kecepatan benda pada setiap waktu t.b. Ekspresi matematis untuk posisi benda pada setiap waktu t.Jawab :a. Diketahui : Sehingga,

Masukkan nilai-nilai ini ke persamaan

Sehingga, diperoleh

,

Integralkan, sehingga..

Saat kondisi awal

Jadi, ekspresi matematis untuk kecepatan benda tiap waktu adalah

b. Akan dicari posisi benda pada setiap waktu t

Kondisi awal

Jadi, perpindahan benda pada setiap waktu adalah

F. Masalah Rangkaian Listrik

1. Sebuah rangkaian memiliki emf 5 volt, reisitensi 50 ohm, induktansi 1 henry, dan tanpa arus awal. Carilah arus dalam rangkaian ini pada setiap waktu t.Jawab :Diketahui : Subsitusikan, ke persamaan

Sehingga menjadi,

Integralkan kedua ruas, sehingga diperoleh,

Pada saat

Jadi, arus dalam rangkaian ini pada setiap waktu t adalah

2. Sebuah rangkaian listrik dihubungkan seri terdiri dari sumber tegangan V volt, tahanan R ohm, dan inductor L henry. L, V, dan R konstanta. Berapa besar arus i(t) jika diketahui pada t=0, i=0.Jawab :Dengan menggunakan hokum khircoff 1 diperoleh :

Kalikan FI terhadap P.D

Integralkan kedua ruas, sehingga didapat

Gunakan syarat awal t=0 dan i=0, sehingga

Jadi, besar arus jika diketahui pada adalah

G. Masalah Temperatur1. Sebuah batang metal dengan temperatur 100o F diletakkan dalam sebuah ruangan yang memiliki temperatur konstan 0o F. jika setelah 20 menit temperatur dari batang menjadi 50o F, carilah waktu yang diperlukan oleh batang tersebut agar mencapai suhu 25o F dan tentukan suhu batang tersebut setelah 10 menit!Jawab:Karena temperatur benda konstan, maka Tm=0 sehingga diperoleh

Karena , maka

Diperoleh solusi

Dari soal diketahui . Sub ke solusi sehingga

diperoleh temperatur batang pada tiap waktu t yaitu :

Akan dicari waktu yang dibutuhkan untuk mencapai suhu maka

jadi waktu yang dibutuhkan untuk mencapai suhu adalah 39,608 menit.

Akan dicari juga temperatur batang setelah 10 menit, maka

Jadi temperatur batang setelah 10 menit adalah .2. Suatu benda dengan temperatur 50o F diletakkan di luar ruangan yang temperaturnya 100o F. Jika setelah 5 menit temperatur berubah menjadi 60o F, carilah waktu yang dibutuhkan benda tersebut untuk mencapai temperatur 75o F dan hitung temperatur benda tersebut setelah 20 menit!Diket: (mediumnya udara luar)Jawab: :

Dari hukum pendinginan newton diperoleh

Syarat maka

Solusi menjadi Syarat maka

Diperoleh persamaan temperatur benda tersebut pada tiap waktu t, yaitu

Akan dicari waktu yang diperlukan agar T=75, maka

Jadi waktu yang diperlukan agar T=75 adalah 15,403 menit.

Akan dicari suhu benda setelah 20 menit, maka

Jadi suhu benda setelah 20 menit adalah 3. Diketahui suhu udara 450K, zat tertentu mendingin dari 370K ke 230K dalam 10 menit! Cariah suhu zat tersebut setelah 40 menit!Diket :

Syarat: maka

Syarat maka

Jadi suhu zat pada waktu tertentu adalah

Suhu setelah 40 menit adalah

H. Masalah Peluruhan1. Suatu zat radioaktif tertentu diketahui mengalami peluruhan dengan laju yang porposional terhadap jumlah yang ada. Jika pada awalnya terdapat 50 miligram zat dan setelah dua jam diamati zat tersebut teah kehilangan 10% dari masa awalnya. Carilah ekspresi matematis untuk massa zat tersebut yang tersisa pada setiap waktu t, massa zat tersebut setelah 4 jam, dan lamanya waktu yang dibutuhkan sehingga zat tersebut luruh menjadi setengahnya!Jawab:Misalkan :

Solusi,

Karena maka

Maka

Karena setelah 2 jam zat kehilangan 10% massa awalnya, maka diperoleh

Sehingga

Dengan demikian, diperoleh jumlah massa pada waktu :

Akan dicari massa stelah 4 jam (R(4))

Jadi massa setelah4 jam adalah 40.45 mg.

Akan dicari lagi waktu yang dibutuhkan sehingga zat tersebut luruh setengahnya

Jadi waktu yang dibutuhkan sehingga zat tersebut luruh setengahnya adalah 13,078 jam.

2. Radio aktif plutonium 240 berkurang dan memenuhi persamaan

Temukan waktu parohnya! Jika sekarang ada 50 mg, berapa sisa setelah 10 tahun?Jawab:Misalkan :

a. Jadi waktu paruhnya adalah Karena maka

Jadi sehingga

Jadi sisa plutonium setelah 10 tahun ada lah 29,5777 mg.

I. MASALAH PENYEBARAN PENYAKIT1. Lima ekor tikus dalam suatu populasi sebesar 500 yang stabil secara sengaja ditulari dengan suatu penyakit menular untuk menguji teori sebaran epidemic yang memperkirakan bahwa laju perubahan dalam populasi yang terinfeksi tersebut profesianal dengan hasil kali dari jumlah tikus yang tertular dengan jumlah tikus yang tidak tertular. Mengasumsikan bahwa teori tersebut adalah benar, berapa lama waktu yang dibutuhkan sehingga setengah dari populasi tersebut menjadi tertular ? Jawab:Anggaplah N(t) melambangkan jumlah tikus yang tertular pada waktu t.Kita mengetahui bahwa N(0) =5,dengan demikian 500-N(t) adalah jumlah tikus yang tidak tertular pada waktu t.Teori memperkirakan bahwa

Dimana k adalah konstanta proporsionalitas. Karena laju perubahan tidak lagi proporsional terhadap jumlah tikus yang tertular saja. Sehingga kita memiliki bentuk differensial :

Maka:

Sehingga,

Solusinya adalah,

atau

Yang dapat ditulis,

Pada saat t=0, N=5. Dengan memasukkan nilai-nilai ke bentuk terakhir,

Sehingga C=1/99, maka

Kita mencari nilai t ketika N=250, setengah dari populasi. Dengan memasukkan N=250 ke bentuk terakhir, dan diperoleh,

Atau t = 0.00919/k unit waktu. Jadi, waktu yang dibutuhkan sehingga setengah dari populasi tersebut menjadi tertular adalah t = 0.00919/k unit waktu.

2