Post on 08-Mar-2019
Modul 1
Pendahuluan
1.1. Pengertian Matriks
Definisi 1.1 (Pengertian Matriks)
Matriks didefinisikan sebagai suatu susunan bilangan berbentuk segiempat. Bilangan-
bilangan yang terdapat dalam susunan itu disebut e lemen matriks tersebut. Secara umum,
matriks dapat dituliskan sebagai berikut :
A =
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
...
.........
...
...
21
22221
11211
Atau dapat dituliskan sebagai :
A = ija
Penulisan matriks dinyatakan dengan huruf kapital. Misalnya A.B,C.
Contoh 1.1
Nilai dari 3 mahasiswa mata kuliah kalkulus adalah 55, 80 dan 75. Nilai matakuliah Pengantar Metode Statistika adalah 40, 70 dan 90. Sedangkan nilai matakuliah Bahasa
Indonesia adalah 80, 85 dan 90. Maka nilai-nilai tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk matriks A sebagai berikut :
909075
857080
804055
A
Contoh 1.2.
Dari susunan bilangan berikut manakah yang dikatakan suatu matriks ?
i.
4
0
2
1
3
1
ii. 3012 iii.
000
05.03
2 e
iv.
3
1 v.
1
32
Definisi 1.2 (Ukuran Matrik )
Ukuran matrik adalah banyaknya baris dan banyaknya kolom yang terdapat di dalam
matrik. Secara umum, matrik A yang mempunyai jumlah baris m dan jumlah kolom n
2
mempunyai ukuran m x n. Angka pertama menunjukkan banyaknya baris dan angka kedua
menunjukkan banyaknya kolom.
Contoh 1.3
Dalam contoh 1.2, tentukan ukuran matriks
Jawab :
(i) matriks yang berukuran 3 x 2, (ii) matriks ukuran 1 x 4, (iii) matriks ukuran 3 x 3 dan
(iv) matriks ukuran 2 x 1.
Sebuah matriks dengan hanya satu kolom disebut matriks kolom (vektor kolom), dan
sebuah matriks dengan hanya satu baris disebut matrik baris (vektor baris). Pada contoh
diatas, (ii) merupakan matrik baris dan (iv) merupakan matrik kolom.
Definisi 1.3. (Kesamaan Matrik )
Dua matrik dikatakan sama jika kedua matriks mempunyai ukuran yang sama dan entri-
entri yang bersangkutan di dalam kedua matriks sama.
Contoh 1.4
Nilai-nilai dari dua mahasiwa D3 untuk mata kuliah Matriks dan PMS pada kelas
paralel A, B dan C dinyatakan dalam bentuk metriks sebagai berikut :
A =
4030
1080 B =
5030
1020 C =
4030
1080
Manakah dari matriks-matriks tersebut yang dapat dikatakan sama
1.2. Operasi Dasar Matriks
Definisi 1.4. ( Penjumlahan Matriks)
Penjumlahan dari dua matriks A dan B adalah menambahkan bersama-sama entri yang
bersangkutan di dalam kedua matrik tersebut.
Yaitu :
A + B = ijij ba
Dua matriks dapat dijumlahkan jika ukuran dua matriks tersebut sama.
Contoh 1.5
Diketahui matriks-matriks sebagai berikut :
3
A =
724
201
012
B =
423
022
534
C =
32
21
Tentukan penjumlahan :
i. A + B
ii. A + C
iii. B + C
Jawab :
i). A + B =
307
221
542
ii). A + C = tidak terdefinisi, karena ukuran matriks tidak sama
iii). B + C = tidak terdefinisi, karena ukuran matriks tidak sama
Definisi 1.5. (Selisih Matriks)
Selisih dua matriks A – B adalah matriks yang diperoleh dengan mengurangkan anggota A
dengan anggota B.
A – B = ( aij – bij)
Selisih dua matriks ada jika kedua matriks mempunyai ukuran yang sama.
Contoh 1.6
Dari contoh 1.4 tentukan selisih matriks :
i. A - B
ii. A - C
iii. B - C
Jawab :
i).A – B =
1141
223
526
ii). A - C = tidak terdefinisi, karena ukuran matriks tidak sama
iii). B - C = tidak terdefinisi, karena ukuran matriks tidak sama
4
Definisi 1.6 (Perkalian dengan Skalar)
Jika A adalah suatu matriks dan c adalah skalar, maka hasil kali (product) cA adalah
matriks yang diperoleh dengan mengalikan masing-masing entri dari A oleh c.
Dalam notasi matriks :
c A = (c aij)
Contoh 1.7
Jika diketahui matriks A dan skalar c sebagai berikut, tentukan cA
A =
131
432 c = 2
Jawab :
c A =
262
864
Definisi 1.7 (Perkalian Matriks)
Jika A matriks ukuran m x r dan B matriks ukuran r x n, maka hasil kali AB adalah
matriks ukuran m x n, yang anggota-anggotanya didefinisikan sebagai berikut :
Untuk mencari entri dalam baris i dan kolom j dari AB, pilihlah baris i dari matriks A
dan kolom j dari matriks B. Kalikan entri-entri yang bersesuaian dari baris dan kolom
tersebut, kemudian tambahkan hasil kali yang dihasilkan.
Contoh 1.8
Diketahui matriks A dan B sebagai berikut, tentukan perkalian AB :
A =
062
421 B =
572
310
414
Definisi perkalian AB mensyaratkan bahwa jumlah kolom faktor pertama A sama dengan
jumlah baris faktor kedua B. Jika syarat ini tidak terpenuhi, maka hasil kalinya tidak
terdefinisi. Sebagai contoh matriks A, B, dan C dengan ukuran sebagai berikut :
A 3 x 4 B 4 x 7 C 7 x 3
Maka :
AB terdefinisi dan merupakan matriks dengan ukuran 3 x 7
CA terdefinisi dan merupakan matriks dengan ukuran 7 x 4
5
BC terdefinisi dan merupakan matriks dengan ukuran 4 x 3
Sedangkan AC, CB dan BA semuanya tak terdefinisi.
Definisi 1.8 (Transpose)
Jika A adalah sebarang matriks berukuran m x n, maka transpoes A dinyatakan dengan AT
didefinisikan sebagai matriks n x m yang didapatkan dengan mempertukarkan baris dan
kolom dari A, yaitu kolom pertama dari AT adalah baris pertama dari A, kolom kedua dari
AT adalah baris kedua dari A, dan seterusnya.
Contoh 1.9
Tentukan transpos dari matriks-matriks berikut :
A =
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
B =
65
41
32
C = 531
Sifat-sifat Transpose
Jika α dan β adalah skalar, A & B matriks, maka :
i. TTAA
ii. TTA = A
iii. TTTBABA
iv. TTTABAB
1.3. Sifat-Sifat Matriks
Dalam operasi penjumlahan berlaku hukum-hukum sebagai berikut :
1. Komutatif
A + B = B + A
2. Asosiatif
A + (B + C) = (A + B) + C
3. Distributif terhadap perkalian skalar
k(A + B) = KA + KB
dimana k = Skalar.
6
Sedangkan untuk operasi perkalian berlaku hukum-hukum sebagai berikut :
1. Tidak Komutatif
AB ≠ BA
2. Asosiatif
A(BC) = (AB)C
3. Distributif
A(B + C) = AB + AC
4. Distributif terhadap perkalian skalar
(k1 + k
2) A = K
1A + K
2A
k1, k
2= Skalar
1. 4. Jenis- jenis Matriks
1. Matriks Bujursangkar
Matriks bujursangkar adalah matriks yang mempunyai jumlah baris dan jumlah kolom
sama, dengan kata lain matriks yang berukuran n x n. Dan biasanya disebut dengan
matriks bujursangkar orde –n.
Contoh 1.10 :
A =
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
Matriks A adalah matriks bujursangkar orde-3
2. Matriks Diagonal
Matriks diagonal adalah Matriks bujursangkar dimana semua entri diluar diagonal
utama adalah nol.
A =
nna
a
a
...00
............
0...0
0...0
22
11
3. Matriks Segitiga
a. Matriks Segitiga Bawah
Matriks bujursangkar dimana elemen-elemen diatas diagonal utama
bernilai nol.
7
A =
nnnn aaa
aa
a
...
............
0...
0...0
21
2221
11
b. Matriks Segitiga Atas
Matriks bujursangkar dimana elemen-elemen dibawah diagonal utama
bernilai nol.
A =
nn
n
n
a
aa
aaa
...00
............
...0
...
222
11211
4. Matriks Nol
Matriks nol adalah matriks yang semua entrinya bernilai nol, yang biasanya dinotasi-
kan dengan 0
Contoh 1.11 :
0 =
0000
0000
0000
0000
0 =
00
00
00
Sifat-sifat matriks nol :
i. A + 0 = 0 + A = A
ii. A – A = 0
iii. 0 – A = - A
iv. A 0 = 0 A = 0
5. Matriks Identitas
Matriks identitas adalah matriks bujursangkar dimana pada diagonal utama bernilai 1
dan bernilai nol selainnya.
Matriks identitas biasanya dinotasikan dengan I
I =
100
010
001
6. Matriks Simetris
Matriks n x n dikatakan matriks simetris jika A = A T
8
Contoh :
A =
135
312
521
B =
36
63
Sifat – sifat matriks simetris :
Jika A dan B adalah matriks-matriks simetris dengan ukuran yang sama, dan jika k
adalah sebarang skalar, maka :
i. AT simetris
ii. A + B dan A – B simetris
iii. k A adalah simetris
Bukti sebagai latihan
7. Matriks Idempoten
Suatu matriks bujursangkar A disebut matriks idempoten jika dan hanya jika A = A2
Teorema 1.1.
Jika A dan B adalah matriks idempoten, maka berlaku sifat-sifat berikut
i. A + B merupakan matrik idempoten jika AB = BA = 0
ii. C = AB merupakan matrik idempoten jika AB = BA
iii. I – A merupakan matriks idempoten
8. Matriks Nilpoten
Suatu matriks bujursangkar yang tidak nol dikatakan matriks nilpoten atas indeks r
jika Ar = 0 tetapi Ar-1 0 untuk r > 1.
Contoh :
A =
0000
6000
1400
2520
Matriks A diatas merupakan matriks nilpoten indeks 4 karena :
A3 =
0000
6000
0000
48000
0
Tetapi A4 = 0
9
Definisi 1.9 (TRACE)
Jika A adalah suatu matriks bujursangkar, maka trace A dinyatakan dengan tr(A),
didefinisikan sebagai jumlah anggota-anggota pada diagonal utama A.
tr(A) =
n
i
iia1
Trace a tidak terdefinisi jika A bukan matriks bujursangkar.
Contoh 1.9
Tentukan trace dari matriks berikut :
i). A =
233231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
ii). B =
53
21
iii). C =
268
712
Sifat-sifat Trace :
i). tr(AT) = tr(A)
ii). tr(kA) = k tr(A)
iii). tr(A+B) = tr(A) + tr(B)
iv). tr(AB) = tr(BA)
v). tr(ATA) = 0, jika dan hanya A = (0)
Definisi 1.10 (PARTISI MATRIKS)
Sebuah matriks bisa dibagi atau dipartisi menjadi matriks-matriks yang lebih kecil dengan
menyisipkan garis horisontal dan vertikal di antara baris dan kolom yang ditentukan.
Sebagai contoh :
i) A =
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
=
2221
1211
AA
AA
Matriks A diatas dipartisi menjadi empat sub-matriks yaitu A11, A12, A13,
dan A22
10
Dimana : A11 =
232221
131211
aaa
aaa
A12 =
24
14
a
a
A21 = 343231 aaa
A22 = 34a
ii) B =
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
=
1
2
3
R
R
R
Matriks B diatas dipartisi menjadi 3 sub matriks yaitu : r1, r2, r3
Dimana R1 = 14131211 aaaa
R2 = 24232221 aaaa
R3 = 34333231 aaaa
iii) C =
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
= 1 2 3 4C C C C
Matriks C diatas dipartisi menjadi 4 sub matriks yaitu : C1, C2, C3 dan C4
Dimana C1 =
31
21
11
a
a
a
C2 =
32
22
12
a
a
a
C3 =
33
23
13
a
a
a
C4 =
34
24
14
a
a
a
1.5. Vektor Random
Pada bagian ini akan dibahas, tentang vektor random dan beberapa konsep statistik. Jika
sebuah unit eksperimem menghasilkan sebuah variabel terukur, maka variabel tersebut
disebut variabel random. Namun jika unit eksperimen tersebut menghasilkan m variabel
terukur, maka disebut variabel random. Sehingga variabel random merupakan elemen dari
vektor random.
Barisan variabel random X1, X2, … , Xm diskrit yang saling berhubungan dimodelkan
oleh fungsi probabilitas multivariat, yaitu px(t), sedangkan untuk variabel random kontinu
dinyatakan dalam fungsi densitas multivariat, yaitu fx(t).
11
Fokus pada sub bab ini akan dibahas untuk kontinyu, khususnya fungsi densitas
multivariat normal. Jika X variabel random berdistribusi normal dengan mean dan
variansi 2 , yang dinotasikan 2( , )x N dengan fungsi densitas normal :
2
12 21
( ) ; ; ; 02
x
f x e x
Fungsi densitas normal standar (PDF normal standar) :
f(z) =
212
1
2
ze
Fungsi densitas multivariat normal standar (PDF multivariate normal standart) :
T2 1122
/ 21
1 2
1 1( ) ;
(2 )2
i
mz
mi
T
n
f z e e
Z z z z
z z
,
Persamaan diatas dinotasikan z ~ Nm(0, Im).
Sehingga setiap zi ~ N(0,1), i = 1, 2, … , m, dan antar zi saling independen.
Jika X berdistribusi normal multivariate dari m variabel, maka fungsi densitas multivariat
normal (PDF mul-tivariate normal) :
f(x) =
T -112
( ) ( )
/ 2 1/ 2
T -112/ 2 1/ 2
1
(2 ) | |
1( ) ( )
(2 ) | |
e
exp
x x
m
mx x
,
dinotasikan x ~ Nm(, ).
Bila vektor random x ~ Nm(, ), maka setiap
xi ~ N(i, 2
i ), i = 1, 2, … , m; tetapi sebaliknya belum tentu berlaku.
Mean vektor dari vektor random x, dinotasikan , yang berisi nilai harapan dari setiap xi.
1 2 3 1 2 3( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )TT
m mE E x E x E x E x μ X
12
Ukuran hubungan linear antara xi dengan xj, dinyatakan ddengan kovariansi yang
notasikan cov(x i,xj), atau ij , didefinisikan :
ij = cov(xi,xj) = E[(xi i)(xj j)]
= E(xi,xj) ij
Pada saat i = j maka ij = ii = 2
i , yang disebut sebagai variansi xi, dinotasikan var(xi).
2 2 2 2var( ) ( ) ( )i x xx E x E x
Sehingga Jika dua variabel xi dan x j saling bebas, maka :
E(x i,xj) = E(xi) E(xj) = ij,
sehingga :
ij = ij ij = 0
Jika 1, 2, 1, dan 2 masing-masing skalar, maka berlaku :
cov(1 + 1xi , 2 + 2xj) = 12 cov(xi,x j)
Bukti sebagai latihan!
Jika adalah sebuah matriks dengan elemen-elemen ke (i,j) adalah ij , matriks ini
disebut matrik variansi kovariansi vektor x, atau matrik kovariansi vektor x, dengan bentuk
sebagai berikut :
=
11 12 1
21 22 2
1 2
m
m
m m mm
Dimana :
= var(x) = E[(x )( x )T]
= E(x xT) T
Jika α dan β merupakan vektor konstanta berukuran mx1 dan didefinisikan variabel
random Ty α x dan Tw β x maka
E(y) = E(T x) = T E(x)
= T
dan
cov(y,w) = cov(Tx, Tx) = E((Tx )( Tx)T)-E(Tx)E((Tx)T)
13
= E(Tx xT )-T E(x)E(xT)
= T E(x x)T) -T E(x)E(xT)
= T [E(x xT) T ]
=T
var(y) = cov(y,y) = T
var(w) = cov(w,w) = T
Secara umum jika A adalah matriks konstanta berukuran pm, maka :
E(y) = E(Ax) = A E(x) = A
var(y) = E[{y E(y)}{y E(y)}T]
= E[{Ax E(Ax)}{ Ax E(Ax)}T]
= A AT
Bila v dan w masing-masing adalah vektor random, maka berlaku :
cov(v,w) = E(v wT) E(v) E(w)T
Selanjutnya jika A matriks konstan berukuraaan pxm, bila v = A x dan w = B x, maka :
cov(v,w) = A cov(x, x) B = A BT
Ukuran keeratan hubungan antara xi dengan xj, dinyatakan dengan nilai koefisien
korelasi, di notasikan ij , didefinisikan :
cov( , )i j
ij
ii jj
x x
Pada saat i=j, maka diperoleh ij =1.
Jika x merupakan vektor random Matrik Korelasi dari variabel x , dinotasikan P, dengan
elemen-elemen ke (i,j) adalah ij , sebagai berikut :
P =
11 12 1
21 22 2
1 2
m
m
m m mm
,
P=
12 1
21 11
1 2
1
1
1
m
m m
14
Hubungan antara matrik korelasi, P, dengan matrik kovariansi, , adalah sebagai berikut :
didefinisikan suatu matrik diagonal, dinotasikan 1/ 2D
, yang setiap elemennya bernilai satu
per simpangan baku setiap variabel random yang membentuk matrik random, yaitu 1/ 2
ii
, i = 1, 2, … , m,
1/ 2D
= diag 1/ 2 1/ 2 1/ 2
11 22, , ... , mm
1/ 2D
=
1/ 2
11
1/ 2
22
1/ 2
0 0
0
0
mm
selanjutnya, hubungan antara matrik korelasi dan matrik kovarian dapat dinyatakan sebagai
berikut :,
P = 1/ 2D
1/ 2D
.
Matrik P bersifat definit tak negatif.
Mean, varians, covarian dan korelasi merupakan parameter yang tidak diketahui maka
parameter-parameter tersebut akan diestimasi dari sampel. Anggap x1, x2, … , xn sampel
random dari variabel random x dari suatu distribusi dengan mean µ dan var iansi 2. Maka
diperoleh :
22 2
i
1 1
1 1ˆ, =s
1
n n
i i
i i
x x x xn n
Pada kasus multivariat, jika x1, x2, … , xn sampel random dari vektor random x berukuran
mx1 dengan vektor mean µ dan matriks kovariansi . Maka diperoleh :
1 1
1 1ˆ, =S1
n nT
i
i i
xn n
i iμ x - x x - xx
Sedangkan estimasi P, adalah
1/ 2 1/ 2
s sR D SD
Dimana :
15
1/ 2
SD= diag 1/ 2 1/ 2 1/ 2
11 22, , ... , mms s s
1/ 2D
=
1/ 2
11
1/ 2
22
1/ 2
0 0
0 0
0 0 0
0 0 0 mm
s
s
s
Contoh 1.12:
Pengamatan dari nilai 3 mata kuliah dari 3 mahasiswa sebagai berikut :
75 60 65
80 70 55
80 80 75
x
Tentukan vektor mean dan matriks kovarian dari x dan matriks korelasi
Jawab:
78,33 8,33 25 0
ˆ70 , =S 25 100 50
65 0 50 100
μ x ,
1 0,866 0
R 0,866 1 0,5
0 0,5 1
1.6. Aplikasi Dengan Software
Untuk menghitung operasi matriks, dapat dilakukan dengan bantuan software maatlab.
Contoh 1.13.
Diberikan matriks A dan B sebagai berikut :
A =
1234
2463
3642
4321
B =
2332
3553
3553
2332
Maka dalam Matlab anda harus menuliskan :
» A=[1 2 3 4;2 4 6 3;3 6 4 2;4 3 2 1]
A =
1 2 3 4
2 4 6 3
3 6 4 2
4 3 2 1
16
» B=[2 3 3 2;3 5 5 3;3 5 5 3;2 3 3 2]
B =
2 3 3 2
3 5 5 3
3 5 5 3
2 3 3 2
Bentuk A dan B merupakan matriks yang kita masukkan, yang diinte rpretasikan sebagai :
A =
1234
2463
3642
4321
dan
B =
2332
3553
3553
2332
Untuk selanjutnya, setiap hasil dari program Matlab pada modul-modul berikutnya akan
mempunyai interpretasi seperti ini.
Jika ingin menghitung operasi-operasi dasar seperti :
a. A + B
b. A – B
c. AB
maka operasi yang dituliskan dalan matlab dan hasil yang didapatkan adalah sebagai
berikut ::
>> A+B
ans =
3 5 6 6
5 9 11 6
6 11 9 5
6 6 5 3
Nilai-nilai yang terdapat dibawah “ans =” seperti diatas menunjukkan matriks hasil operasi
yang diperoleh. Begitu juga untuk hasil operasi dari output-output selanjutnya.
17
Jadi A + B =
3566
59116
61195
6653
>> A-B
ans =
-1 -1 0 2
-1 -1 1 0
0 1 -1 -1
2 0 -1 -1
>> A*B
ans =
25 40 40 25
40 65 65 40
40 65 65 40
25 40 40 25
Selanjutnya untuk beberapa matrik-matrik khusus, sudah tersedia statement khusus seperti
:
- Zeros () : untuk mengkonstruksi matrik nol
- ones () : untuk mengkonstruksi matrik yang semua elenennya bernilai 1
- eye () : untuk mengkonstruksi matrik diagonal
Berikut ini diberikan contoh cara mengkonstruksi matriks :
>> zeros(4,4)
ans =
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
>> eye(3,3)
ans =
1 0 0
0 1 0
18
0 0 1
Untuk mendapatkan trace dari matriks A diatas, dapat anda lakukan dengan melakukan
perintah :
» B=trace(A)
B =
10
Dari hasil output diatas, dapat diketahui bahwa tr(A) adalah 10.
Untuk mendapatkan nilai mean, covariansi dan korelasi dari matriks pada contoh 1.10.
>> A=[75 60 65;80 70 55;80 80 75]
A =
75 60 65
80 70 55
80 80 75
Untuk mendapatkan nilai mean, maka dilakukan perintah sebagai berikut :
>> mean(A)
ans =
78.3333 70.0000 65.0000
Nilai tersebut merupakan
78,33
70
65
μ
1 0,866 0
R 0,866 1 0,5
0 0,5 1
Serdangkan untuk mendapatkan matriks Kovariansi dilakukan dengan perintah sebagfai
berikut :
>> cov(A)
ans =
8.3333 25.0000 0
25.0000 100.0000 50.0000
0 50.0000 100.0000
Dan untuk mendaoatkan matriks korelasi R, dilakukan dengan perintah sebagai berikut :
19
>> corr(A)
ans =
1.0000 0.8660 0
0.8660 1.0000 0.5000
0 0.5000 1.0000
Referensi
Anton, H., 2000, Dasar-Dasar Aljabar Linear, Interaksara, Batam
Basilevsky, A.,1983, Applied Matrix Algebra in the Statistical Sciences, New
York
Schott, R. James, 1990, Matrix Analysis for Statistics, John Wiley & Sons,
New York