ANALISIS KESTABILAN DAN MEAN DISTRIBUSI

MODEL EPIDEMIK SIR PADA WAKTU DISKRIT

Arisma Yuni Hardiningsih

1206 100 050

Dosen Pembimbing :

Dra. Laksmi Prita Wardhani, M.Si

Jurusan Matematika

Institut Teknologi Sepuluh Nopember

Surabaya

Model matematika merupakan salah satu alat yang dapatdigunakan dalam menyelesaikan masalah di kehidupan nyata.

Salah satu penerapannya yaitu di bidang biologi yang kemudiandisebut dengan matematika biologi. Contohnya yaitu aplikasiuntuk mengetahui model penyebaran penyakit menular pada

suatu daerah tertentu.

Untuk mengetahui proses penyebaran penyakit menular, dikenalbeberapa model penyebaran penyakit baik model yang bersifat

deterministik maupun model yang bersifat stokastik. Model-model tersebut antara lain SI, SIS, SIR, dan SEIR.

SIR merupakan model penyebaran penyakit dengan karakteristikbahwa setiap individu rentan terinfeksi suatu penyakit(S), individu

yang rentan berinteraksi dengan individu terinfeksi sehinggamenjadi terinfeksi(I). Dengan pengobatan medis atau proses alam,

individu terinfeksi mungkin akan sembuh, yang dinotasikandengan R .

Sebuah penelitian telah dilakukan oleh Sari (2009) tentangpenyebaran penyakit yakni Model Epidemik SIS. Dalam penelitian

tersebut dianalisis tentang hubungan kesetimbangan Model Epidemik SIS baik secara deterministik maupun stokasttik.

Dalam penelitian ini dianalisis stabilitas danmean distribusi probabilitas yang merupakan

metode matematis yang dapat digunakan untukmenganalisis kesetimbangan model epidemik

SIR baik model deterministik maupunstokastiknya.

1. Bagaimana menentukan kestabilan pada model epidemik SIR deterministik

2. Bagaimana menentukan mean distribusi probabilitaspada model epidemik SIR stokastik

3. Bagaimana mengkaji hasil analisis model epidemikSIR secara deterministik dan stokastik

1. Model epidemik yang dianalisis merupakan model tipe SIR waktu diskrit.

2. Model stokastik waktu diskrit merupakan Model Rantai Markov dengan pendekatan waktu kontinudan state space berhingga.

3. Model epidemik SIR tidak membahas tentangpemberian vaksinasi atau sejenisnya.

4. Jumlah total populasi suatu wilayah tertentudiasumsikan tetap ( konstan ).

Lanjutan…

5. Kestabilan yang dianalisis pada model deterministikadalah kestabilan lokal

6. Mean distribusi yang dianalisis pada model stokastikadalah mean distribusi individu terinfeksi

Adapun tujuan dari Tugas Akhir ini adalah :1. Mendapatkan kestabilan untuk model epidemik SIR

deterministik2. Mendapatkan nilai mean distribusi probabilitas untuk

model epidemik SIR stokastik.3. Mengkaji hasil analisis dan menginterpretasikannya

Adapun manfaat dari penelitian ini adalah dapatmemberikan informasi tentang pola penyebaran wabahsehingga dapat dilakukan pencegahan wabah yang lebihmeluas.

1. Studi dari penelitian sebelumnya

Penelitian mengenai analisis penyebaran penyakitdengan model epidemik yang bersifat deterministikdan stokastik telah diteliti sebelumnya oleh Sari(2009) pada tugas akhir yang berjudul AnalisisStabilitas Model SIS Epidemik Deterministik danMean Distribusi Probabilitas SIS EpidemikStokastik.

Diagram Kompartemen SIR

S I R

β

β β β

τ γ

2. Model Epidemik SIR Deterministik

Model epidemik SIR determistik waktu diskrit adalahsebagai berikut :

(2.1)

(2.2)

(2.3)

3. Bilangan Reproduksi Dasar

Bilangan reproduksi dasar (R0) merupakan parameter pentingdalam matematika epidemilogi yang merupakan ambang batas(threshold) terjadinya penyebaran penyakit. Bilangan inidiperoleh dengan menentukan nilai eigen matriks Jacobian padatitik setimbang bebas penyakit dan titik setimbang endemik.Jika R0 < 1 maka jumlah individu yang terinfeksi berkurang,sedangkan jika R0 > 1 maka jumlah individu yang terinfeksibertambah.

4. LinearisasiAdalah proses hampiran persamaan diferensial tak linear dengan persamaan diferensial linear.

5. Kestabilan dan Akar Karakteristik

Sistem persamaan linear dengan koefisien konstanyang diperoleh dari proses linearisasi kemudian dicariakar-akar karakteristiknya. Bagian real-real akarkarakteristik tersebut menentukan kestabilan titikkesetimbangan pada sistem.

6. Proses Stokastik

Definisi : Suatu proses stokastik adalahhimpunan/koleksi peubah acak (variabel random).

dengan T adalah beberapa himpunanindeks disebut parameter space dan S adalah ruangsampel dari peubah acak disebut state space.

1. Untuk setiap t tertentu dinyatakan suatupeubah acak yang didefinisikan pada S.

2. Untuk tiap s tertentu berhubungan denganfungsi yang didefinisikan pada T yang disebut lintasansampel.

7. Rantai Markov Waktu Diskrit

Proses Stokastik Markov adalah suatu proses stokastikdimana perilaku yang akan datang (besok) dari sistemhanya bergantung pada keadaan sekarang dan tidakbergantung pada keadaan yang lalu, atau dapatdikatakan hanya bergantung pada keadaan satulangkah kebelakang.

LANJUTAN…….

Definisi : Suatu proses stokastik dengan waktu diskrit

pada state space S dikatakan dikatakanmempunyai sifat Markov atau Rantai Markov WaktuDiskrit ( DTMC ) jika :

atau

8. Proses Kelahiran dan Kematian Murni

Proses kelahiran dan kematian murni diformulasikansebagai Rantai Markov waktu diskrit. Probabilitaskelahiran dan kematian pada model Rantai Markovtersebut tidaklah konstan, akan tetapi bergantungpada jumlah populasi. Untuk mendefinisikan proseskelahiran dan kematian, misalkan :

adalah probabilitas kelahiran

adalah probabilitas kematian

adalah jumlah populasi pada saat n

adalah jumlah maksimal populasi

Studi Literatur Penyelesaian model epidemik SIR deterministik dan stokastik

Mengkaji dan menginterpretasi hasilanalisis

Penarikan kesimpulan

4.1 Model Epidemik SIR Dterministik dengan JumlahPopulasi Konstan

4.1.1 Model Turunan Terhadap Waktu S, I, dan R

Model turunan terhadap waktu dari persamaan(2.1), (2.2), dan (2.3) adalah sebagai berikut :

(4.1)

(4.2)

(4.3)

Titik setimbang adalah titik yang invarian terhadap waktu.Mengingat redundan karena R tidak muncul pada keduapersamaan lainnya ,maka titik setimbang diperoleh jika

Adapun dua titik setimbang tersebut adalah :Titik setimbang bebas penyakit (disease-free equilibrium)

dan titik setimbang endemik (endemic-equilibrium)

.

a) Linearisasi Model

Dari linerisasi diperoleh matriks Jacobian yang merupakan hampiran linearnya

b) Kestabilan Lokal Titik Setimbang bebas Penyakit

Untuk titik diperoleh matriks Jacobian

Lanjutan…

Dengan matriks karakteristik

Diperoleh akar-akar karakteristiknya

Atau

Sehingga titik stabil asimtotis jika

c) Kestabilan Lokal Titik Setimbang Endemik

Untuk titik diperolehmatriks Jacobian

Dengan persamaan karakteristik

G

Diperoleh akar-akar karakteristiknya

Titik stabil asimtotis jika

Sehingga diperoleh bilangan reproduksi dasar

Fungsi probabilitas bersama untuk Model Epidemik SIR stokastik adalah .

Misalkan :

a) menyatakan probabilitas sebuah infeksi baru pada waktu ∆t

b) menyatakan probabilitas kesembuhan satu individu pada waktu ∆t

,

Lanjutan….

c) menyatakan probabilitas kematian dari satu individu terinfeksi pada waktu ∆t

d) menyatakan probabilitas kematian dari satu individu yang sembuh pada waktu ∆t

Sehingga didapatkan persamaan beda yang memenuhi fungsi probabilitas bersama adalah

Pada model epidemik SIR deterministik, titiksetimbang berhubungan dengan ada tidaknya individuterinfeksi di dalam populasi, sehingga selanjutnyapada model epidemik SIR stokastik dicari distribusiprobabilitas individu terinfeksi. Karena diasumsikanbahwa pada waktu hanya terjadi satu kejadianmaka :

Untuk individu terinfeksi yaitu jika diperolehyang yang hanya berubah ke . Jadi,probabilitas transisi dari Model Epidemik SIRstokastik untuk individu yang terinfeksi adalah :

dan probabilitas memenuhi persamaan beda sebagai berikut:

dengan i = 1,2,....,N dan untuk i {0,1,2,...,N}.

4.2.1 Mean Distribusi Probabilitas Individu Terinfeksi

Mean distribusi probabilitas individu terinfeksiberhubungan dengan kesetimbangan pada ModelEpidemik SIR stokastik. Mean distribusi probabilitasuntuk individu yang terinfeksi dinotasikan dengan

dimana .

4.2.2 Analisis Kesetimbangan Mean DistribusiProbabilitas Individu Terinfeksi

Keadaan setimbang (steady state) mean distribusi probabilitas individu terinfeksi diperoleh jika

diperoleh atau .

a) Ketika nilai dapat disimpulkan bahwa didalam populasi tidak terdapat individu terinfeksi ataudengan kata lain terjadi kesetimbangan bebaspenyakit yang diperoleh ketika

.

b) Ketika nilai dapat disimpulkan bahwa nilai yang berarti bahwa terdapat individu yang terinfeksi di dalam populasi atau dengan kata lain terjadi kesetimbangan endemik yang terjadi jika

Contoh kasus pada model deterministik:

Setimbang bebas penyakit

Contoh Kasus pada Model Stokastik:

Setimbang bebas penyakit

Setimbang endemik

Kesimpulan :

a) Pada model epidemik SIR deterministik diperolehnilai titik setimbang bebas penyakit dantitik setimbang endemik .Adapun nilai bilangan reproduksi dasar, R0 , yangmempengaruhi kestabilan kedua titik setimbangtersebut adalah .

b) Pada model epidemik SIR stokastik diperoleh solusiuntuk keadaan setimbang mean distribusi probabilitasindividu terinfeksi yakni atau .

c) Dari analisis bab sebelumnya diperoleh kesimpulanbahwa hubungan antara model epidemik SIRdeterministik dan stokastik terletak pada hubunganantara bilangan reproduksi dasar (R0) pada modelepidemik SIR deterministik dengan solusi keadaansetimbang (steady state) mean distribusi probabilitasindividu terinfeksi pada model epidemik SIR stokastik.

Saran

Pada Tugas Akhir ini diteliti Model Epidemik SIRdengan jumlah populasi konstan, baik modeldeterministik maupun model stokastik. Diharapkanpada penelitian berikutnya diteliti model epidemikSIR atau yang lain dengan jumlah populasi yang tidakkonstan serta dapat pula menambahkan adanyavaksinasi pada populasi.

Allen, L.J.S. 2003. An Introduction to Stochastic Processes with Applications to Biology.New Jersey : Pearson Education, Inc.

Allen, L.J.S. , Burgin Amy M. 2000. Comparison of Deterministic and stochastic SIS and SIR models in discrete time. Mathematical Bioscience 163(200) 1-33.

Finizio, N dan Ladas, G. 1988. Ordinary Differential Equations with Modern Applications. California: Wadsworth Publishing Company.

Hines, W.W dan Montgomery, D.C. 1990. Probabilita dan Statistikdalam Ilmu Rekayasa dan Manajemen. Jakarta : UI Press.

Sari, D.M. 2009. Analisis Stabilitas Model SIS Epidemik Deterministik dan Mean Distribusi Probabilitas SIS Epidemik Stokastik. Surabaya : Tugas Akhir Jurusan Matematika ITS.

Supriatna, A.K. 2004. Tingkat Vaksinasi minimum untukPencegahan Epidemik Berdasarkan Model Matematika SIR. Matematika Integratif. Vol 2: 41-49.

TERIMA KASIH