Post on 26-Feb-2018
7/25/2019 Metode Kekakuan Langsung
1/22
1
4 Metode Kekakuan Langsung
K L 3 1 0 1 K E L A S 0 1
S E M E S E R I 2 0 1 3 / 2 0 1 4
Pengantar
Pada metode kekakuan langsung, matriks kekakuan
elemen.
Matriks kekakuan dan vektor beban struktur dirakit
dari komponen matriks kekakuan dan vektor bebanmasing-masing elemen pada derajat kebebasan yangsesuai.
7/25/2019 Metode Kekakuan Langsung
2/22
2
Derajat Kebebasan Elemen
Setiap struktur balok/portal 2-D disusun olehelemen-elemen an masin -masin memiliki 6derajat kebebasan.
d1
d2d5
d6
d4d5 d6
d34 d1d2
d3
Matriks Kekakuan Elemen
0 0 0 0EA EA
L L
3 2 3 2
2 2
12 6 12 60 0
6 4 6 20 0
0 0 0 0
EI EI EI EI
L L L L
EI EI EI EIL L L L
kEA EA
L L
3 2 3 2
2 2
12 6 12 60 0
6 2 6 40 0
EI EI EI EI
L L L L
EI EI EI EI
L L L L
7/25/2019 Metode Kekakuan Langsung
3/22
3
Gaya-gaya Ujung Elemen
Persamaan keseimbangan di tingkat elemen:
{f} = vektor gaya-gaya ujung elemen
[k] = matriks kekakuan elemen
{d} = vektor perpindahan ujung elemen
{f0} = vektor gaya ujung jepit akibat beban
f4f5 f6
0f k d f
yang bekerja pada bentang elemen.
f1
f2
f3
f4
f5f6
f1f2
f3
Matriks Kekakuan Struktur
Matriks kekakuan struktur, [K], dirakit dari, ,
derajat kebebasannya sesuai.
Contoh:
A B C
D1D2 D3D4
matriks kekakuan [K] = (4 4)
7/25/2019 Metode Kekakuan Langsung
4/22
4
Derajat kebebasan struktur D1D2 D3D4
matriks kekakuan [K] = (4 4)
AB C
Derajat kebebasan elemen ABd1
d2
d3
d4
d5d6
matriks kekakuan [k] = (6 6)
d1d2
d3
d4
5d6
Derajat kebebasan elemenBC
matriks kekakuan [k] = (6 6)
matriks kekakuan struktur
11 12 13 14
21 22 23 24
31 32 33 34
K K K K
K K K K K
K K K K
41 42 43 44
11 12 13 14 15 16
21 22 23 24 25 26
31 32 33 34 35 36
k k k k k k k k k k k k
k k k k k k k
11 12 13 14 15 16
21 22 23 24 25 26
31 32 33 34 35 36
k k k k k k
k k k k k k
k k k k k k k
matriks kekakuan elemen AB matriks kekakuan elemen BC
41 42 43 44 45 46
51 52 53 54 55 56
61 62 63 64 65 66
k k k k k k
k k k k k k
51 52 53 54 55 56
61 62 63 64 65 66
k k k k k k
k k k k k k
7/25/2019 Metode Kekakuan Langsung
5/22
5
matriks kekakuan struktur
0 0
0 0
0 0 0 0K
11 12 13 14 15 16
21 22 23 24 25 26
31 32 33 34 35 36
k k k k k k
k k k k k k
k k k k k k k
11 12 13 14 15 16
21 22 23 24 25 26
31 32 33 34 35 36
k k k k k k
k k k k k k
k k k k k k k
k k k k k k
matriks kekakuan elemen AB matriks kekakuan elemen BC
5
51 52 53 54 55 56
61 62 63 64 65 66
k k k k k k
k k k k k k
51 52 53 54 55 56
61 62 63 64 65 66
k k k k k k
k k k k k k
Transformasi Koordinat
Pemetaan nomor derajat kebebasan elemen ke
dilakukan apabila derajat kebebasan tersebutdinyatakan dalam koordinat yang sama.
Sampai saat ini, perpindahan {d} dan gaya ujung {f}masih dinyatakan dalam koordinat lokal elemen.Sedangkan derajat kebebasan struktur dinyatakandalam koordinat global.
Oleh karena itu, perlu dilakukan transformasi untukmengubah perpindahan dan gaya ujung darikoordinat lokal ke koordinat global, atau sebaliknya.
7/25/2019 Metode Kekakuan Langsung
6/22
6
Transformasi Koordinat
Mengubah vektor perpindahan {d} dan gaya ujungan berorientasi ada koordinat lokal elemen
menjadi vektor {dG} dan {fG} yang berorientasi padakoordinat global (struktur), atau sebaliknya.
d4d5 d6
dG4dG6
dG5
d1d2
d3
transformasi
dG1
dG2
dG3
dG2
y
yG
d1
d2
dG1
x
xG
cos sind d d
2 1 2
3 3
sin cosG G
G
d d d
d d
Sudut adalah sudut yang diukur dari sumbu xGke sumbux, atau dari dG1 ke d1.
7/25/2019 Metode Kekakuan Langsung
7/22
7
Matriks Transformasi
Gd T d
Gf T f
cos sin 0 0 0 0
sin cos 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 cos sin 0
0 0 0 sin cos 0
0 0 0 0 0 1
T
Transformasi Matriks Kekakuan
1
G G
G G
f k dT f k T d
f T k T d
G G G
T
Gk T k T
7/25/2019 Metode Kekakuan Langsung
8/22
8
Vektor Beban
Vektor beban join {F} ditentukan dari beban luaryang sesuai dengan vektor perpindahan struktur{D}.
Vektor gaya ujung jepit {F0} disusun denganmenjumlahkan {F0}isumbangan dari masing-masingelemen. Gaya ujung jepit akibat beban pada elemen dimasukkan ke
dalam vektor beban elemen {f0}.
{f0} kemudian ditransformasikan ke koordinat global menjadi{f0G}.
Elemen dari {f0G} yang sesuai dengan derajat kebebasanstruktur dimasukkan ke dalam vektor beban {F0}i.
Tabel Insidens
Menyajikan hubungan antara derajat kebebasan
kebebasan struktur.
Nomorelemen
Nomor derajat kebebasan elemen, dGi
1 2 3 4 5 6
1 0 0 0 1 0 2
2 1 0 2 5 0 7
3
nomor derajat
kebebasan
struktur yang
sesuai, Di.
7/25/2019 Metode Kekakuan Langsung
9/22
9
Tabel Insidens
Contoh:Nomor Nomor derajat kebebasan elemen, dGi
Elemen 1 d , d , d tidak digunakan sebagai derajat kebebasan struktur.
elemen 1 2 3 4 5 6
1 0 0 0 1 0 2
2 1 0 2 5 0 7
dG4 =D1, dG6 =D2.
Elemen 2 dG2 dan dG5 tidak digunakan sebagai derajat kebebasan struktur.
dG1 =D1, dG3 =D2, dG4 =D5, dG5 =D7.
Implikasi terhadap Matriks Kekakuan
Nomor Nomor derajat kebebasan elemen, dGi
[K]1, matriks kekakuan struktur sumbangan elemen 1 K = k ,K = k ,K = k ,K = k
e emen 1 2 3 4 5 6
1 0 0 0 1 0 2
2 1 0 2 5 0 7
Kij lainnya = 0.
[K]2, matriks kekakuan struktur sumbangan elemen 2 K11 = kG11,K12 = kG13,K15 = kG14,K17 = kG16 K21 = kG31,K22 = kG33,K25 = kG34,K27 = kG36 dst.
7/25/2019 Metode Kekakuan Langsung
10/22
10
Implikasi terhadap Vektor Beban
Nomor Nomor derajat kebebasan elemen, dGi
{Fo}1, vektor beban sumbangan elemen 1
e emen 1 2 3 4 5 6
1 0 0 0 1 0 2
2 1 0 2 5 0 7
o1 = oG4, o2 = oG6 Foi lainnya = 0.
{Fo}2, vektor beban sumbangan elemen 2 Fo1 =foG1,Fo2 =foG3,Fo5 =foG4,Fo7 =foG6 Foi lainnya = 0.
Prosedur Metode Kekakuan Langsung
Persiapan ,
Tentukan derajat kebebasan masing-masing elemen dalamkoordinat lokal {d}idan koordinat global {dG}i. Kemudian
tentukan besarnya i, sudut antara sumbu global dengansumbu lokal.
Susun tabel insidens.
7/25/2019 Metode Kekakuan Langsung
11/22
11
Prosedur Metode Kekakuan Langsung
Matriks kekakuan elemen, [k]idan [kG]i
untuk masing-masing elemen.
Transformasi matriks kekakuan elemen ke koordinat global
Perakitan matriks kekakuan struktur, [K]
Susun matriks kekakuan struktur sumbangan dari masing-
[kG]i= [T]iT[k]i[T]i
masing elemen [K]i. Gabungkan (jumlahkan) [K]idari setiap elemen menjadi
matriks kekakuan struktur [K].
[K] = [K]1 + [K]2 + [K]3 + ...
Prosedur Metode Kekakuan Langsung
Penyusunan vektor beban, {F} dan {Fo} .
Susun vektor gaya ujung jepit {f0}iakibat beban luar untukmasing-masing elemen
Transformasi {f0}ike koordinat global menjadi {f0G}i. Susun vektor gaya ujung jepit sumbangan dari masing-masing
elemen, {F0}i.
0 0 .
{Fo} = {Fo}1 + {Fo}2 + {Fo}3 + ...
7/25/2019 Metode Kekakuan Langsung
12/22
12
Prosedur Metode Kekakuan Langsung
Persamaan keseimbangan struktur = o
untuk memperoleh nilai vektor perpindahan struktur {D}.
Vektor perpindahan elemen, {dG}idan {d}i Masukkan nilai perpindahan yang sesuai dari {D} ke vektor
perpindahan elemen {dG}i.
Transformasi {dG}ike koordinat lokal menjadi {d}i.
aya-gaya u ung e emen, i Hitung gaya-gaya ujung elemen menggunakan persamaan
keseimbangan elemen:
{f}i= [k]i {d}i+ {fo}i
Contoh 1
Tentukan reaksi dan gaya-gaya dalam di ujung elemenpada struktur seperti tergambar. Perhitungkan semuaperpindahan, termasuk perpindahan aksial.
Diketahui:E= 200 GPa,A = 80 mm2,I= 60 106 mm4.
25 kN/m
CB60 kN
A
1.5 m 1.5 m 3 m
7/25/2019 Metode Kekakuan Langsung
13/22
13
Derajat kebebasan struktur: D2
D1
D3
Elemen 1: Elemen 2:d4d5 d6
dG4dG6
dG5d1
d2d4
d5d6
d1d2
d3dG1
dG2
dG3
3dG5
dG4dG6
dG2dG1
dG3
cos 1 = 0.6sin 1 = 0.8
cos 2 = 1sin 2 = 0
Matriks kekakuan elemen
1
3.2 0 0 3.2 0 0
0 1.152 2.88 0 1.152 2.88
0 2.88 9.6 0 2.88 4.81000
3.2 0 0 3.2 0 0k
0 1.152 2.88 0 1.152 2.88
0 2.88 4.8 0 2.88 9.6
5.33 0 0 5.33 0 0
0 5.33 8 0 5.33 8
2
10005.33 0 0 5.33 0 0
0 5.33 8 0 5.33 8
0 8 8 0 8 16
k
7/25/2019 Metode Kekakuan Langsung
14/22
14
Matriks transformasi
1
0.6 0.8 0 0 0 00.8 0.6 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 0.6 0.8 0T
2
1 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0T
Matriks kekakuan elemen dalam koordinat global
0 0 0 0.8 0.6 0
0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1
1.8893 0.983 2.304 1.8893 0.983 2.304
0.983 2.4627 1.728 0.983 2.4627 1.728
1
2.304 1.728 9.6 2.304 1.728 4.81.8893 0.983 2.304 1.8893 0.983 2.304
0.983 2.4627 1.728 0.983 2.4627 1.728
2.304 1.728 4.8 2.304 1.728 9.6
Gk
1000
Tabel insidens
Nomor
elemen
Nomor derajat kebebasan elemen, dGi
1 2 3 4 5 6
1 0 0 0 1 2 3
Matriks kekakuan struktur
2 1 2 3 0 0 0
1 2
1.8893 0.983 2.304 5.33 0 0
0.983 2.4627 1.728 0 5.33 8 1000K K K
. . .
7.2226 0.983 2.304
0.983 7.7961 6.272 1000
2.304 6.272 25.6
7/25/2019 Metode Kekakuan Langsung
15/22
15
Vektor beban
0
0
0
F
60 kN
f06
f05
0
0
37.5
25 kN/m
f02
f06
f05f03
f02f03 0 1
30
37.5
0
30
37.5
f
0 218.75
0
37.5
18.75
f
24
0 02 2Gf f
0 01 1 137.5
24
18
37.5
T
Gf T f
0 0 01 2
24 0 24
18 37.5 55.5
37.5 18.75 18.75
F F F
Persamaan keseimbangan struktur
1
2
3
7.2226 0.983 2.304 0 24
0.983 7.7961 6.272 1000 0 55.5
2.304 6.272 25.6 0 18.75
D
D
D
1
2
3
0.0038
0.0099
0.0028
D
D
D
1
1
2
0 0
0 0
0 0
0.0038
0.0099
Gd
D
D
1
2
3
2 2
0.0038
0.0099
0.0028
0 0
0 0
G
D
D
Dd d
0
3 0.0028D 0 0
1 1 1
0
0
0.0056
0.0089
0.0028
Gd T d
7/25/2019 Metode Kekakuan Langsung
16/22
16
Gaya-gaya ujung elemen
01 1 1 1
17.9871
48.3676
76.6818
17.9871f k d f
02 2 2 2
20.09827.4102
15.1561
20.0982f k d f
11.6324
15.1561
67.5898
75.1132
60 kN11.63 kN
17.99 kN15.16 kN-m
25 kN/m15.16 kN-m 75.11 kN-m
20.10 kN 20.10 kN
48.37 kN76.68 kN-m
17.99 kN
. .
Elemen Rangka Batang
Dalam koordinat lokal, elemen rangka batang hanya
masing-masing ujungnya.
d1d2
d
d2
7/25/2019 Metode Kekakuan Langsung
17/22
17
Elemen Rangka Batang
Dalam koordinat global, setiap elemen memiliki duadera at kebebasan di masin -masin u un n a.
dG1
dG2 dG4
dG3
dG4
dG3
dG1
dG2
Matriks Kekakuan dan Matriks Transformasi
EA EA
1 1
1 1
EAL Lk
EA EA L
L L
0 0 cos sin
T
7/25/2019 Metode Kekakuan Langsung
18/22
18
Transformasi
Hubungan antara besaran dalam koordinat lokalden an besaran dalam koordinat lobal teta samaseperti sebelumnya.
G
G
d T d
f T f
T
G
Metode Kekakuan Langsung: Rangka Batang
Tentukan derajat kebebasan struktur, {D}
-dalam koordinat lokal {d} dan koordinat global {dG}.Kemudian tentukan besarnya , sudut antara sumbu
global dengan sumbu lokal.
Susun tabel insidens.
transformasi [T]ipada masing-masing elemen.
7/25/2019 Metode Kekakuan Langsung
19/22
7/25/2019 Metode Kekakuan Langsung
20/22
20
Contoh 2
Tentukan gaya-gaya batang pada struktur rangka batangseperti tergambar.
Diketahui:E= 200 GPa,A = 80 mm2.
CB
60 kN
4 m
A
3 m 3 m
Derajat kebebasan struktur: D2
D1CB
Elemen 1: Elemen 2:d2
dG3
dG4 d1 d2
A
d1
dG1
dG2
dG4
dG3
dG2dG1cos 1 = 0.6
sin 1 = 0.8
cos 2 = 1sin 2 = 0
7/25/2019 Metode Kekakuan Langsung
21/22
21
Matriks kekakuan elemen
1
3.2 3.21000
3.2 3.2k
2
5.33 5.331000
5.33 5.33k
Matriks transformasi
1
0.6 0.8 0 0
0 0 0.6 0.8T
1
1 0 0 0
0 0 1 0T
Matriks kekakuan elemen dalam koordinat global
1152 1536 1152 1536
1536 2048 1536 2048
5333.3 0 5333.3 0
0 0 0 0
1 1152 1536 1152 1536
1536 2048 1536 2048
G
2 5333.3 0 5333.3 0
0 0 0 0
G
Tabel insidensNomor
elemen
dGi
1 2 3 4
1 0 0 1 2
2 1 2 0 0
Matriks kekakuan struktur
1 21152 1536 5333.3 0
1536 2048 0 0
6485.3 1536
1536 2048
K K K
Vektor beban
0
60F
7/25/2019 Metode Kekakuan Langsung
22/22
Persamaan keseimbangan struktur
1
2
6485.3 1536 0
1536 2048 60
D
D
1
2
0.0084
0.0356
D
D
Vektor perpindahan elemen
1
1
2
0 0
0 0
0.0084
0.0356
Gd
D
D
1
2
2
0.0084
0.0356
0 0
0 0
G
D
Dd
1 1 1 0.0234Gd T d
2 2 2 . 0G
d T d
Gaya-gaya ujung elemen
1 1 1
75
75f k d
2 2 2
45
45f k d
75 kN45 kN 45 kN
75 kN