Post on 15-Jan-2016
description
2.3.3 Persamaan Poisson dan Persamaan Laplace
Kita temukan pada bagian 2.3.1 bahwa medan listrik dapat dituliskan sebagai gradien dari sebuah potensial skalar.
E=−∇V .
Muncul pertanyaan: Apa persamaan fundamental untuk E.
∇ .E= ρϵ 0
dan∇ x E=0
seperti telihat dalam kasus V, ∇ .E=∇ . (−∇V )=−∇2V , jadi, selain mempertahankan tanda minus, divergensi dari E adalah Laplacian dari V. Hukum Gauss kemudan berkata bahwa
∇2V=0(2.24)
Ini di ketahui sebagai persamaan Poisson. Pada daerah diamana tidak ada muatan, atau ρ = 0, persamaan Poisson berubah menjadi persamaan Laplace,
∇2V=0 (2.25)
Kita akan membahas persamaan-persamaan tersebut lebih jelas pada Bab 3.Hukum Curl mengatakan bahwa
∇ x E=∇ x (−∇V )Harus sama dengan nol. Tetapi tidak ada kondisi diamana gradien V-curl selalu bernilai nol. Tentu, kita menggunakan hukum curl untuk menunjukkan bahwa E dapat digambarkan sebagai gradien dari sebuah skalar. Jadi, tidak mengejutkan bahwa ∇ x E=0 dapat dituliskan sebagai E=−∇V . Ini hanya memerlukan satu kali penurunan rumus (Poisson) untuk mendapatkan V, karena V adalah skalar, sedangkan untuk mendapatkan nilai E kita perlu menurunkan dua kali, divergensi dan curl.
2.3.4 Potensial oleh Distribusi Muatan
Berdasarkan: V (r )=−∫0
r
E⃗ . d l⃗
Gambar 2.32Anggap titik acuan tak hingga, potensial dari muatan q pada titik asal adalah
Secara umum, potensial muatan q adalah
V (r )= 14 π ϵ 0
qr
(2.26)lalu, potensial dari sebuah kumpulan muatan q adalah
V (r )= 14 π ϵ 0
∑i=1
n q iri
(2.27)Atau, untuk distibusi kontinu
V (r )= 14 π ϵ 0
∫ 1rdq
(2.28)Secara khusus, untuk muatan volume
V (r )= 14 π ϵ 0
∫ ρ(r ')r
d τ '
(2.29)Ini adalah persamaan yang kita cari, kita dapat menemukan V saat ρ diketahuai.
Kita bandingkan persamaan 2.29 dengan persamaan koresnponden untuk medan listrik dari persamaan ρ (persamaan 2.8)
E (r )= 14 π ϵ 0
∫ ρ(r ' )r2 r̂ dτ '
Titik utama yang perlu diperhatikan adalah vektor satuan π̂ hilang, secara tidak langsung, potensial muatan garis dan muatan permukaan adalah
14 π ϵ 0
∫ λ(r ')rd l' dan
14 π ϵ0
∫ σ (r ')rd a'
(2.30)Contoh 2.7Tentukan potensial oleh suatu bola yang bermuatan homogen pada kulitnya.
Tinjau titik r pada sumbu z lalu gunakan rumus cosinus untuk mendapatkan r pada sudut θ
Gambar 2.33 29Elemen luas di permukaan bola R2 sin θ' dθ' dϕ ' R
Untuk titik luar bola z > R, √(R−Z )2=z−R; Untuk titik dalam bola z < R, √(R−Z )2=R−z
Diluar:
Didalam: