Post on 19-Mar-2016
description
LOGIKA MATEMATIKAA. PERNYATAANPernyataan adalah kalimat yang hanya bernilai benar saja atau salah saja, tidak bisa sekaligus benar dan salah
Contoh:a : 2 adalah bilangan genap (bernilai benar)b : 4 habis dibagi 3 (bernilai salah)
Pernyataan yang benar dikatakan mempunyai nilai kebenaran B (benar), sedangkan pernyataan yang salah dikatakan mempunyai nilai kebenaran S (salah).
Kata nilai kebenaan dilambangkan dengan (tau).
Contoh:a: 8 adalah bilangan genap, merupakan pernyataan yang benar, (a)=Bp : 5 lebih kecil dari 4, merupakan pernyataan yang salah, (p)=S
Suatu pernyataan biasanya dilambangkan dengan huruf kecil seperti :a, b, c , dll.
B. KALIMAT TERBUKAKalimat terbuka adalah yang memuat peubah/variable, sehingga belum dapat ditentukan nilai kebenarannya (benar/salah)
Contoh:1. 8112 x2. itu adalah benda cair
A. NEGASIJika p merupakan sebuah pernyataan, maka ingkaran atau negasi dari p ditulis dengan lambang ~p Dan dibaca bukan p atau tidak benar p.Contoh:p: 7 adalah bilangan prima , maka ~p: 7 bukan bilangan primaq : 3+2 sama dengan 6 , maka ~q: 3+2 tidak sama dengan 6
p~
Tabel kebenaran
p
BS
SB
Hubungan ingkaran pernyataan dengan komplemen himpunan
~pp
S
B. DISJUNGSIDisjungsi adalah gabungan dari dua pernyataan yang dirangkai dengan menggunakan kata hubung atau.Disjungsi pernyataan p dan pernyataan q, ditulis dengan lambang:qp Dibaca p atau q
Tabel kebenaran disjungsi adalah sebagai berikut:
qp P q
BBSS
BSBS
BBBS
Kalimat untuk mengingat :
“ anak – anak besok kalian harus membawa pensil atau pulpen ”
Hubungan disjungsi pernyataan dengan gabungan dua himpunan
qpqp
qp
qp
qp
C. KONJUNGSIKonjungsi adalah pernyataan yang dibentuk dari dua pernyataan yang dirangkai dengan kata hubung dan.Konjungsi pernyataan p dan pernyataan q, ditulis dengan lambang:
Tabel kebenaran
P qBBSS
BSBS
BSSS
Dibaca p dan q
Kalimat untuk mengingat :
“ anak – anak besok kalian harus membawa buku dan pulpen ”
Hubungan konjungsi pernyataan dengan irisan dua himpunan
qpqp
D. IMPLIKASIImplikasi adalah pernyataan majemuk yang dibentuk dari dua pernyataan p dan pernyataan q dalam bentuk jika p maka q
Implikasi jika p maka q ditulis dengan lambang: qp
Tabel kebenaran implikasi adalah sebagai berikut:
qp P q
BBSS
BSBS
BSBB
Kalimat untuk mengingat :
“ jika kamu lulus ujian maka kamu saya beri hadiah “
Hubungan implikasi pernyataan dengan himpunan bagian
Dibaca jika p maka q ataup hanya jika qq jika pp syarat cukup bagi qq syarat perlu bagi p
qpqp
E. BIIMPLIKASIBiimplikasi dari pernyataan-pernyataan p dan q dapat dituliskan sebagai berikut:
qp dibaca :p jika dan hanya jika qJika p maka q dan jika q maka
pp syarat perlu dan cukup bagi
qq syarat perlu dan cukup bagi
p
qp
Tabel kebenaran
P q
BBSS
BSBS
BSSB
Cara mengingat :
+ x − = −− x + = −− x − = +
+ x + = +
Hubungan biimplikasi pernyataan dengan kesamaan dua himpunan
PERNYATAAN MAJEMUKPernyataan majemuk adalah pernyataan yang dibentuk dari beberapa pernyataan tunggal (componen) yang dirangkai dengan menggunakan kata hubung logika.
qp ~pqp )~(
Contoh pernyataan majemuk: 1.
2.
Contoh:Tentukan nilai kebenaran dari pqp )~(
Untuk menentukan nilai kebenaran, biasanya menggunakan tabel kebenaran
q~ )~( qp pqp )~(
BS
BS
BBSS
qP
Jadi nilai kebenaran dari pqp )~( adalah B,B,B,S
Atau ditulis: ])~[( pqp B B B S
SBSB
BBSB
BBBS
(p ~ q) P
Jadi nilai kebenaran dari pqp )~( adalah B,B,B,S
Atau ditulis: ])~[( pqp B B B S
BBSS
BBSB
SBSB
BSBS
BBBS
BBSS
Urutan pengerjaan dalam operasi LOGIKA dari yang paling kuat sampai yang terlemah
~ , ,
)( qp )( qpp p q
BBSS
BSBS
BBBS
BBBB
Tabel
Jadi pernyataan merupakan tautologi)( qpp
TAUTOLOGITautologi adalah sebuah pernyataan majemuk yang selalu benar untuk semua kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan komponennya.
Contoh:Tunjukkan bahwa pernyataan majemuk )( qpp adalah sebuah tautologi
KONTRADIKSIKontradiksi adalah sebuah pernyataan majemuk yang selalu salah untuk semua kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan komponennya.
)~(~)(~ qpqp
)~(~)(~ qpqp
)~()(~ qpqp
)~()~()(~ pqqpqp
)(~)( qpqp
Ekuivalen
DUA BUAH PERNYATAAN MAJEMUK YANG EKUIVALENDua buah penyataan majemuk dikatakan ekuivalen, jika kedua pernyataan majemuk itu memiliki nilai kebenaran yang sama untuk semua kemungkinan nilai kebenaran pernyataan komponen-komponennyaLambang dari dua buah pernyataan majemuk yang equivalen adalah qp
)~(~)(~ qpqp
p : Mama mengantar adik , q : Saya belajar
(p V q) : Mama mengantar adik atau saya belajar
~(p V q) : (~p~q) =Mama tidak mengantar adik dan saya tidak belajar
)~()(~ qpqp
p : Saya naik kelas , q : Saya dapat hadiah
pq : Jika Saya naik kelas maka Saya dapat hadiah
~(pq) =(p~q) : Saya naik kelas dan Saya tidak dapat hadiah
Saya naik kelas tetapi Saya tidak dapat hadiah
Pada disjungsi dan konjungsi berlaku sifat komutatif, asososiatif dan ditributif
pqqp
pqqp
Sifat Komutatif
)()( rqprqp
)()( rqprqp
Sifat Asosiatif
Distributif konjungsi terhadap disjungsiSifat Distributif
)()()( rpqprqp
Distibutif konjungsi terhadap disjungsi
)()()( rpqprqp
qp
pq qp
qp ~~ qp
pq ~~ qp
. HUBUNGAN KONVERS, INVERS, DAN KONTRAPOSISI DENGAN IMPLIKASI
, maka kita bisa membuat beberapa buah implikasi yang lain, yaitu
, disebut konvers dari implikasi
, disebut invers dari implikasi
, disebut kontraposisi dari implikasi
Jika kita mempunyai sebuah implikasi
qp pq ~~ pq qp ~~
≡
≡
Implikasi ekuivalen dengan kontraposisinya
Konvers ekuivalen dengan invers
p q ~p ~q pq ~q~p qp ~p~qB
B
S
S
B
S
B
S
S
S
B
B
S
B
S
B
B
S
B
B
B
S
B
B
B
B
S
B
B
B
S
B
IMPLIKASI LOGIS P(x) Q(x)
Implikasi logis adalah implikasi dimana antara P(x) dengan Q(x) ada hubungannya
Hubungan yang dimaksud yaitu tiap pengganti nilai x yang menyebabkan kalimat P(X) benar akan menyebabkan kalimat Q(X) benar juga
Contoh
1. Jika x > 2, maka x2 > 4
Implikasi diatas bernilai BENAR karena setiap kita mengambil nilai x > 2 maka pastilah x2 > 4
2-22
Tapi jika arahnya dibalik maka kalimat tersebut menjadi salah
2. Jika x2 > 4, maka x > 2 MENGAPA ???
3. Jika x – 1 = 0, maka x2 – 1 = 0
4. Jika x2 – 1 = 0, maka x – 1 = 0
)(, xpx)(, xpSx
KUANTOR UNIVERSAL Semua siswa Kelas X SMA Saint Peter pandai.Kata semua atau setiap merupakan kuantor universal (umum)Lambang dari kuator universal adalah:
dibaca, untuk semua x berlakulah p(x) atau
dibaca, untuk semua x anggota S berlakulah p(x)
KUANTOR EKSISTENSIAL Beberapa siswa kelas X SMA Saint Peter pandai.Kata beberapa atau ada merupakan kuantor eksistensial (khusus)Misalkan:U=himpunan semua siswa SMA di JakartaA=himpunan semua siswa SMA Saint PeterB=himpunan semua siswa kelas X SMA Saint Peter yang pandaiPernyataan “Beberapa siswa kelas X SMA Saint Peter pandai”, dapat ditulis dengan lambang berikut: BxAxx dan ,
dibaca: Beberapa siswa SMA Saint Peter pandai, atau Sekurang-kurangnya ada seorang ada seorang siswa kelas X SMA Saint Peter yang pandai.
INGKARAN PERNYATAAN BERKUANTOR
)(~,)](,[~ xpxxpx
)(~,)](,[~ xpxxpx
p : Semua siswa Saint Peter rajin belajar
~p : Ada siswa Saint Peter yang tidak rajin belajar
q : Ada siswa Saint Peter yang rumahnya di Kelapa Gading
~q : Semua siswa Saint Peter rumahnya tidak di Kelapa Gading
r : Jika semua siswa kelas satu naik kelas maka Saya senang
~r : Semua siswa kelas satu naik kelas dan Saya tidak senang
~r : Semua siswa kelas satu naik kelas tetapi Saya tidak senang
Contoh:
Penarikan kesimpulan
qp
rq
rp
SILLOGISME
premis 1
premis 2
kesimpulan/konklusi
Contoh:Jika hari ini hujan, maka saya tidak berangkat ke sekolah premis 1Jika saya tidak berangkat sekolah, maka ayah akan marah premis 2
Maka konklusinya adalah: Jika hari ini hujan, maka ayah akan marah
Proses penarikan kesimpulan terdiri atas beberapa pernyataan yang diketahui nilai kebenarannya disebut premisKemudian dengan menggunakan prinsip logika dapat diturunkan pernyataan baru (kesimpulan/ konklusi) Penarikan kesimpulan tersebut sering juga disebut argumentasi
Suatu argumentasi dikatakan sah jika premis-premisnya benar, maka konklusinya juga benar
qp
p
q
Modus ponenpremis 1
premis 2
kesimpulan/konklusi
Contoh:Jika saya punya uang banyak, maka saya akan membeli rumah premis 1Saya punya uang banyak premis 2
Maka konklusinya adalah Saya akan membeli rumah
qp
q~
p~
Modus tolenpremis 1
premis 2
kesimpulan/konklusi
Contoh:Jika hari ini cuaca cerah , maka saya datang ke pestamu premis 1Saya tidak datang ke pestamu premis 2
Maka konklusinya adalah Hari ini cuaca tidak cerah
Suatu argumentasi dikatakan sah jika konjungsi dari premis-premisnya berimplikasi dengan konklusinya merupakan TAUTOLOGI