1

2

MATERI INTI :

I.Proposisi (pernyataan), perangkai kalimat, ingkaran (negasi), operasi pada proposisi,

dan tabel kebenaran; invers, konvers, kontraposisi; tautologi dan kontradiksi;

Penarikan kesimpulan

II. Metode deduksi : pembuktian langsung dan tak langsung, pembuktian dengan

induksi matematik; kuantor universal dan eksistensial; dan pengantar logika

aksiomatik.

3

MATERI I

4

Logika Matematika

Logika merupakan alat untuk

menarik kesimpulan yang

sahih (sah)

5

Pernyataan/Proposisi

Definisi : Suatu pernyataan (statement) adalah suatu kalimat deklaratif yang bernilai benar saja, atau salah saja, tetapi tidak sekaligus benar dan salah.

6

Pernyataan/Proposisi

Kalimat yang mempunyai salah satu

dari nilai benar atau salah

disebut proposisi atau pernyataan.

Pernyataan ditulis dengan

huruf kecil p, q, r dan seterusnya

7

Contoh : 1. 4 kurang dari 5

2. Indonesia terdiri atas 33 propinsi3. 2 adalah bilangan prima yang genap4. 3 adalah bilangan genap

dan tidak akan dibicarakan kalimat-kalimat seperti :

5. Berapa umurmu ? (Kalimat tanya)6. Bersihkan tempat tidurmu ! (Kalimat perintah)

7. Sejuk benar udara di sini ! (Kalimat ungkapan perasaan)

8. Mudah-mudahan terkabul cita-citamu. (Kalimat pengharapan)

8

Dari contoh-contoh di atas, : kalimat 1, 2, dan 3, bernilai benar, : sedang kalimat 4 bernilai salah.

: Kalimat 5, 6, 7, dan 8, tidak dapat ditentukan nilai benar atau salahnya.

: Nilai benar artinya ada kesesuaian antara yang dinyatakan oleh kalimat itu dengan keadaan sesungguhnya (realitas yang dinyatakannya), yaitu benar dalam arti matematis.

9

Ingkaran Pernyataan

Negasi atau ingkaran dari

pernyataan p, ditulis ~p

adalah pernyataan lain yang

menyangkal pernyataan yang

diberikan

10

Tabel Kebenaran Ingkaran

Contoh: p : hari ini hujan~p : hari ini tidak hujan atau tidak benar hari ini hujan

p ~p

BS

SB

11

Pernyataan Majemuk

adalah pernyataan baru yang

dibentuk dari beberapa pernyataan

tunggal (komponen) dengan

menggunakan kata hubung logika

Seperti: ‘dandan’, ‘’, ‘atauatau’, ‘’, ‘jika…maka…jika…maka…’,’,

atau atau ‘‘…jika dan hanya jika……jika dan hanya jika…’’

12

Nilai KebenaranPernyataan Majemuk

tergantung:

▪ nilai kebenaran dari pernyataan

tunggalnya (komponennya)

▪ kata hubung logika yang digunakan

13

KonjungsiPernyataan majemuk yang dibentuk

dari pernyataan-pernyataan p dan q

dengan menggunakan

kata hubung logika ‘dan’.

Konjungsi “p dan q”

dilambangkan “p Λ q”

14

Tabel Kebenaran Konjungsi

‘p Λ q’ bernilai benar hanya apabila p dan q sama-sama bernilai benar

p q p Λ q

BBSS

BSBS

B

S

S

S

15

Disjungsi

Pernyataan majemuk yang dibentuk

dari pernyataan-pernyataan p dan q

dengan menggunakan

kata hubung logika ‘atau’.

Disjungsi “p atau q”

dilambangkan “p V q”

16

Tabel Kebenaran Disjungsi

‘p V q’ bernilai salah hanya apabila p dan q sama-sama bernilai salah

p q p V q

BBSS

BSBS

B

B

B

S

17

Implikasi

Pernyataan majemuk yang disusun

dari pernyataan-pernyataan p dan q

dalam bentuk ‘jika p maka q’

Implikasi “Jika p maka q”

dilambangkan “p → q”

18

Tabel Kebenaran Implikasi

‘p → q’ bernilai salah apabila p bernilai benar dan q bernilai salah

p q p → q

BBSS

BSBS

B

S

B

B

19

Biimplikasi

Pernyataan majemuk yang disusun

dari pernyataan-pernyataan p dan q

dengan kata hubung

‘jika dan hanya jika’

Biimplikasi “p jika dan hanya jika q”

dilambangkan “p ↔ q”

20

Tabel Kebenaran Biimplikasi

‘p ↔ q’ bernilai benar apabila p dan q keduanya bernilai

benar atau salah

p q p ↔ q

BBSS

BSBS

B

S

S

B

21

Contoh 1Kalimat (p → q) → r bernilai benarJika(1) p benar, q salah, r salah(2) p salah, q benar, r salah(3) p salah, q salah, r benar(4) p salah, q salah, r salah

22

Jawab

Jadi, pernyataan yang benar adalah pernyataan (1) dan (3)

S

B

B

B

B

S

B

S

Pernyataan ke

p q (p →q ) r (p → q) → r

1234

BSSS

SBSS

SSBS

23

Contoh 2Diberikan empat pernyataan p, q, r, dan s. Jika pernyataan berikut benar

p ↔ q, q → r, r → s dan s pernyataan yang salah, maka di antara pernyataan berikut yang salah adalah….a. ~p b. ~r c. ~qd. p Λ r e. p V ~r

24

Jawabs pernyataan yang salah

r → s benar; berarti r salah

q → r benar; berarti q salah

p ↔ q benar; berarti p salah

Jadi, ~p benar; ~r benar; ~q benar

p Λ r salah; → jawaban d

p V ~r benar

25

NEGASI

dari

PERNYATAAN MAJEMUK

26

EkivalensiPernyataan Majemuk

Dua pernyataan majemuk

yang ekivalen

adalah dua pernyataan majemuk

yang mempunyai nilai kebenaran

yang sama

27

Pernyataan Ekivalen

1. ~(p Λ q) ≡ ~p V ~q

2. ~(p V q) ≡ ~p Λ ~q

3. p Λ (q V r) ≡ (p Λ q) V (p Λ r)

4. p V (q Λ r) ≡ (p V q) Λ (p V r)

28

Pernyataan Ekivalen

5. p → q ≡ ~p V q

6. ~(p → q) ≡ p Λ ~q

7. p↔q ≡ (p → q) Λ (q → p)

≡ (~p V q) Λ (~q V p)

8. ~(p ↔ q) ≡ (p Λ ~q) V (q Λ ~p)

29

Contoh 1:Ingkaran yang benar dari pernyataan

“Saya lulus Ujian Nasional dan saya

senang”

adalah….

30

(1). Saya tidak lulus Ujian Nasional dan saya tidak senang(2). Tidak benar bahwa saya lulus Ujian Nasional dan saya senang(3). Saya lulus Ujian Nasional dan saya tidak senang(4) Saya tidak lulus Ujian Nasional atau saya tidak senang

31

Jawab:Ingkaran p Λ q adalah ~(p Λ q) ≡ ~p V ~qJadi pernyataan yang benaradalah (2) Tidak benar saya lulus Ujian nasional dan saya senang (4) Saya tidak lulus Ujian Nasional atau saya tidak senang

32

Contoh 2:Ingkaran dari (p Λ q) → r adalah….a. ~p V ~q V r b. (~p Λ ~q) V rc. p Λ q Λ ~r d. ~p Λ ~q Λ re. (~p V q) Λ r

Jawab: ingat bahwa: ~(p→q) ≡ p Λ ~q ~[(p Λ q) → r] ≡ (p Λ q) Λ ~r ≡ p Λ q Λ ~r Jadi, jawabannya adalah c

33

Contoh 3:Ingkaran pernyataan:“Jika guru tidak hadir maka semua murid senang” adalah….a. Guru hadir dan semua murid tidak senangb. Guru hadir dan ada beberapa murid senangc. Guru hadir dan semua murid senang

34

d. Guru tidak hadir dan ada beberapa murid tidak senange. Guru tidak hadir dan semua murid tidak senangJawab:Ingat bahwa: ~(p → q) ≡ p Λ ~qJadi ingkaran dari “Jika guru tidak hadirmaka semua murid senang” adalah“guru tidak hadir dan ada beberapamurid tidak senang” → jawaban d

35

Konvers, Invers, danKontraposisi

Jika diketahui implikasi p → q maka:

Konversnya adalah q → pq → p

Inversnya adalah ~p → ~q~p → ~q

Kontraposisinya adalah ~q → ~p

Catatan: p → q ≡ ~q → ~p

36

Contoh 1:~p → q mempunyai nilai kebenaran sama dengan….(1). p V q (2). p Λ q(3). ~q → p (4). ~q Λ ~p

Jawab: ingat bahwa: p → q ≡ ~p V ~q ≡ ~q → ~p ~p → q ≡ ~q → p… (3) ≡ p V q … (1)

37

Contoh 2:Pernyataan berikut yang ekivalendengan:“Jika p benar maka q salah” adalah….a. p benar atau q salahb. Jika q salah maka p benarc. Jika p salah maka q benard. Jika q benar maka p salahe. Jika q benar maka p benar

38

Jawab:Implikasi p → q ekivalen dengan Kontraposisi ~q → ~p dan ~p V qJadi “Jika p benar maka q salah”ekivalen dengan “Jika q benar maka p salah” atau “p salah atau q salah”

39

Penarikan Kesimpulan

menentukan pernyataan nilai

(konklusi) dari pernyataan-

pernyataan (premis) melalui

aturan tertentu

40

Suatu kesimpulan (konklusi)

dianggap sah jika:

▪ implikasi dari konjungsi premisnya

dengan konklusinya adalah tautologi

(selalu benar untuk semua kondisi)

▪ Konjungsi semua premisnya

benar maka konklusinya benar

41

Penarikan Kesimpulanyang sah

Di dalam logika matematika ada

beberapa penarikan kesimpulan

yang sah, di antaranya adalah

42

1. Modus Ponens: p → q (premis 1 = benar)

p (premis 2 = benar)

q (konklusi benar) Contoh: Jika hujan lebat maka terjadi banjir Hari ini hujan lebat Terjadi banjir

∴

∴

43

2. Modus Tollens: p → q (premis 1 = benar)

~q (premis 2 = benar)

~p (konklusi benar) Contoh: Jika BBM naik maka ongkos bis naik Ongkos bis tidak naik BBM tidak naik

∴

∴

44

3. Silogisme: p → q (premis 1 = benar)

q → r (premis 2 = benar)

p → r (konklusi benar)

Contoh: Jika Budi rajin belajar maka lulus UN Jika lulus UN maka orangtua senang Jika Budi rajin belajar maka orangtua senang

∴

∴

45

Soal 1:Diketahui pernyataan p dan q Argumenatsi: ~p → q ~r → ~q r → p disebut….a. Implikasi b. Kontraposisic. Modus ponens d. Modus tollense. silogisme

∴

46

Bahasan

Argumentasi: ~p → q ~p → q ~r → ~q ≡ q → r (kontraposisi) ~r → p ~p → r ≡ ~r → p (kontraposisi)Jadi, disebut silogisme jawaban e

∴ ∴

47

Soal 1:Diketahui pernyataan p dan q Argumenatsi: ~p → q ~r → ~q r → p disebut….a. Implikasi b. Kontraposisic. Modus ponens d. Modus tollense. silogisme

∴

48

Soal 2 Penarikan kesimpulan dari premis- premis: p V q ~q …. a. p b. ~p c. q d. ~(p V q) e. ~ q

∴

49

Bahasan p V q ≡ ~p → q (ekivalensi) ~p → q ≡ ~q → p (kontraposisi)dengan demikian p V q ~qberarti: ~q → p ~q p Jawabannya a

Modus ponens

∴

50

Soal 2 Penarikan kesimpulan dari premis- premis: p V q ~q …. a. p b. ~p c. q d. ~(p V q) e. ~ q

∴

51

Soal 3 Penarikan kesimpulan dari 1. p V q ~p q yang sah adalah…. a. hanya 1 b. hanya 1 dan 2 c. hanya 3 d. hanya 1 dan 3 e. hanya 2 dan 3

∴

2. p → q q → ~r ~r → ~p ∴

3. p → ~q q V r p → r ∴

52

Bahasan

1. p V q ~p q argumenatsi nomor 1 di atas sah karena merupakan modus ponens

∴

≡ ~p → q (ekivalen)~p

∴q

53

Bahasan

2. p → q q → ~r ~r → ~p argumenatsi nomor 2 di atas tidak sah karena bukan silogisme

∴≡

p → qq→ ~r

∴p→ ~r

p→ ~r r→ ~p (kontraposisi)

54

Bahasan

3. p → ~q q V r p → r

argumentasi nomor 3 di atas sah karena merupakan silogismeJadi, jawabannya hanya 1 dan 3 → d

∴≡

p → ~q~q → r

∴ p → r (ekivalensi)

55

Soal 3 Penarikan kesimpulan dari 1. p V q ~p q yang sah adalah…. a. hanya 1 b. hanya 1 dan 2 c. hanya 3 d. hanya 1 dan 3 e. hanya 2 dan 3

∴

2. p → q q → ~r ~r → ~p ∴

3. p → ~q q V r p → r ∴

56

SELAMAT BELAJAR