Logika mat-simpel
-
Upload
nurul-mocymocy-nacava -
Category
Documents
-
view
1.996 -
download
0
Transcript of Logika mat-simpel
1
2
MATERI INTI :
I.Proposisi (pernyataan), perangkai kalimat, ingkaran (negasi), operasi pada proposisi,
dan tabel kebenaran; invers, konvers, kontraposisi; tautologi dan kontradiksi;
Penarikan kesimpulan
II. Metode deduksi : pembuktian langsung dan tak langsung, pembuktian dengan
induksi matematik; kuantor universal dan eksistensial; dan pengantar logika
aksiomatik.
3
MATERI I
4
Logika Matematika
Logika merupakan alat untuk
menarik kesimpulan yang
sahih (sah)
5
Pernyataan/Proposisi
Definisi : Suatu pernyataan (statement) adalah suatu kalimat deklaratif yang bernilai benar saja, atau salah saja, tetapi tidak sekaligus benar dan salah.
6
Pernyataan/Proposisi
Kalimat yang mempunyai salah satu
dari nilai benar atau salah
disebut proposisi atau pernyataan.
Pernyataan ditulis dengan
huruf kecil p, q, r dan seterusnya
7
Contoh : 1. 4 kurang dari 5
2. Indonesia terdiri atas 33 propinsi3. 2 adalah bilangan prima yang genap4. 3 adalah bilangan genap
dan tidak akan dibicarakan kalimat-kalimat seperti :
5. Berapa umurmu ? (Kalimat tanya)6. Bersihkan tempat tidurmu ! (Kalimat perintah)
7. Sejuk benar udara di sini ! (Kalimat ungkapan perasaan)
8. Mudah-mudahan terkabul cita-citamu. (Kalimat pengharapan)
8
Dari contoh-contoh di atas, : kalimat 1, 2, dan 3, bernilai benar, : sedang kalimat 4 bernilai salah.
: Kalimat 5, 6, 7, dan 8, tidak dapat ditentukan nilai benar atau salahnya.
: Nilai benar artinya ada kesesuaian antara yang dinyatakan oleh kalimat itu dengan keadaan sesungguhnya (realitas yang dinyatakannya), yaitu benar dalam arti matematis.
9
Ingkaran Pernyataan
Negasi atau ingkaran dari
pernyataan p, ditulis ~p
adalah pernyataan lain yang
menyangkal pernyataan yang
diberikan
10
Tabel Kebenaran Ingkaran
Contoh: p : hari ini hujan~p : hari ini tidak hujan atau tidak benar hari ini hujan
p ~p
BS
SB
11
Pernyataan Majemuk
adalah pernyataan baru yang
dibentuk dari beberapa pernyataan
tunggal (komponen) dengan
menggunakan kata hubung logika
Seperti: ‘dandan’, ‘’, ‘atauatau’, ‘’, ‘jika…maka…jika…maka…’,’,
atau atau ‘‘…jika dan hanya jika……jika dan hanya jika…’’
12
Nilai KebenaranPernyataan Majemuk
tergantung:
▪ nilai kebenaran dari pernyataan
tunggalnya (komponennya)
▪ kata hubung logika yang digunakan
13
KonjungsiPernyataan majemuk yang dibentuk
dari pernyataan-pernyataan p dan q
dengan menggunakan
kata hubung logika ‘dan’.
Konjungsi “p dan q”
dilambangkan “p Λ q”
14
Tabel Kebenaran Konjungsi
‘p Λ q’ bernilai benar hanya apabila p dan q sama-sama bernilai benar
p q p Λ q
BBSS
BSBS
B
S
S
S
15
Disjungsi
Pernyataan majemuk yang dibentuk
dari pernyataan-pernyataan p dan q
dengan menggunakan
kata hubung logika ‘atau’.
Disjungsi “p atau q”
dilambangkan “p V q”
16
Tabel Kebenaran Disjungsi
‘p V q’ bernilai salah hanya apabila p dan q sama-sama bernilai salah
p q p V q
BBSS
BSBS
B
B
B
S
17
Implikasi
Pernyataan majemuk yang disusun
dari pernyataan-pernyataan p dan q
dalam bentuk ‘jika p maka q’
Implikasi “Jika p maka q”
dilambangkan “p → q”
18
Tabel Kebenaran Implikasi
‘p → q’ bernilai salah apabila p bernilai benar dan q bernilai salah
p q p → q
BBSS
BSBS
B
S
B
B
19
Biimplikasi
Pernyataan majemuk yang disusun
dari pernyataan-pernyataan p dan q
dengan kata hubung
‘jika dan hanya jika’
Biimplikasi “p jika dan hanya jika q”
dilambangkan “p ↔ q”
20
Tabel Kebenaran Biimplikasi
‘p ↔ q’ bernilai benar apabila p dan q keduanya bernilai
benar atau salah
p q p ↔ q
BBSS
BSBS
B
S
S
B
21
Contoh 1Kalimat (p → q) → r bernilai benarJika(1) p benar, q salah, r salah(2) p salah, q benar, r salah(3) p salah, q salah, r benar(4) p salah, q salah, r salah
22
Jawab
Jadi, pernyataan yang benar adalah pernyataan (1) dan (3)
S
B
B
B
B
S
B
S
Pernyataan ke
p q (p →q ) r (p → q) → r
1234
BSSS
SBSS
SSBS
23
Contoh 2Diberikan empat pernyataan p, q, r, dan s. Jika pernyataan berikut benar
p ↔ q, q → r, r → s dan s pernyataan yang salah, maka di antara pernyataan berikut yang salah adalah….a. ~p b. ~r c. ~qd. p Λ r e. p V ~r
24
Jawabs pernyataan yang salah
r → s benar; berarti r salah
q → r benar; berarti q salah
p ↔ q benar; berarti p salah
Jadi, ~p benar; ~r benar; ~q benar
p Λ r salah; → jawaban d
p V ~r benar
25
NEGASI
dari
PERNYATAAN MAJEMUK
26
EkivalensiPernyataan Majemuk
Dua pernyataan majemuk
yang ekivalen
adalah dua pernyataan majemuk
yang mempunyai nilai kebenaran
yang sama
27
Pernyataan Ekivalen
1. ~(p Λ q) ≡ ~p V ~q
2. ~(p V q) ≡ ~p Λ ~q
3. p Λ (q V r) ≡ (p Λ q) V (p Λ r)
4. p V (q Λ r) ≡ (p V q) Λ (p V r)
28
Pernyataan Ekivalen
5. p → q ≡ ~p V q
6. ~(p → q) ≡ p Λ ~q
7. p↔q ≡ (p → q) Λ (q → p)
≡ (~p V q) Λ (~q V p)
8. ~(p ↔ q) ≡ (p Λ ~q) V (q Λ ~p)
29
Contoh 1:Ingkaran yang benar dari pernyataan
“Saya lulus Ujian Nasional dan saya
senang”
adalah….
30
(1). Saya tidak lulus Ujian Nasional dan saya tidak senang(2). Tidak benar bahwa saya lulus Ujian Nasional dan saya senang(3). Saya lulus Ujian Nasional dan saya tidak senang(4) Saya tidak lulus Ujian Nasional atau saya tidak senang
31
Jawab:Ingkaran p Λ q adalah ~(p Λ q) ≡ ~p V ~qJadi pernyataan yang benaradalah (2) Tidak benar saya lulus Ujian nasional dan saya senang (4) Saya tidak lulus Ujian Nasional atau saya tidak senang
32
Contoh 2:Ingkaran dari (p Λ q) → r adalah….a. ~p V ~q V r b. (~p Λ ~q) V rc. p Λ q Λ ~r d. ~p Λ ~q Λ re. (~p V q) Λ r
Jawab: ingat bahwa: ~(p→q) ≡ p Λ ~q ~[(p Λ q) → r] ≡ (p Λ q) Λ ~r ≡ p Λ q Λ ~r Jadi, jawabannya adalah c
33
Contoh 3:Ingkaran pernyataan:“Jika guru tidak hadir maka semua murid senang” adalah….a. Guru hadir dan semua murid tidak senangb. Guru hadir dan ada beberapa murid senangc. Guru hadir dan semua murid senang
34
d. Guru tidak hadir dan ada beberapa murid tidak senange. Guru tidak hadir dan semua murid tidak senangJawab:Ingat bahwa: ~(p → q) ≡ p Λ ~qJadi ingkaran dari “Jika guru tidak hadirmaka semua murid senang” adalah“guru tidak hadir dan ada beberapamurid tidak senang” → jawaban d
35
Konvers, Invers, danKontraposisi
Jika diketahui implikasi p → q maka:
Konversnya adalah q → pq → p
Inversnya adalah ~p → ~q~p → ~q
Kontraposisinya adalah ~q → ~p
Catatan: p → q ≡ ~q → ~p
36
Contoh 1:~p → q mempunyai nilai kebenaran sama dengan….(1). p V q (2). p Λ q(3). ~q → p (4). ~q Λ ~p
Jawab: ingat bahwa: p → q ≡ ~p V ~q ≡ ~q → ~p ~p → q ≡ ~q → p… (3) ≡ p V q … (1)
37
Contoh 2:Pernyataan berikut yang ekivalendengan:“Jika p benar maka q salah” adalah….a. p benar atau q salahb. Jika q salah maka p benarc. Jika p salah maka q benard. Jika q benar maka p salahe. Jika q benar maka p benar
38
Jawab:Implikasi p → q ekivalen dengan Kontraposisi ~q → ~p dan ~p V qJadi “Jika p benar maka q salah”ekivalen dengan “Jika q benar maka p salah” atau “p salah atau q salah”
39
Penarikan Kesimpulan
menentukan pernyataan nilai
(konklusi) dari pernyataan-
pernyataan (premis) melalui
aturan tertentu
40
Suatu kesimpulan (konklusi)
dianggap sah jika:
▪ implikasi dari konjungsi premisnya
dengan konklusinya adalah tautologi
(selalu benar untuk semua kondisi)
▪ Konjungsi semua premisnya
benar maka konklusinya benar
41
Penarikan Kesimpulanyang sah
Di dalam logika matematika ada
beberapa penarikan kesimpulan
yang sah, di antaranya adalah
42
1. Modus Ponens: p → q (premis 1 = benar)
p (premis 2 = benar)
q (konklusi benar) Contoh: Jika hujan lebat maka terjadi banjir Hari ini hujan lebat Terjadi banjir
∴
∴
43
2. Modus Tollens: p → q (premis 1 = benar)
~q (premis 2 = benar)
~p (konklusi benar) Contoh: Jika BBM naik maka ongkos bis naik Ongkos bis tidak naik BBM tidak naik
∴
∴
44
3. Silogisme: p → q (premis 1 = benar)
q → r (premis 2 = benar)
p → r (konklusi benar)
Contoh: Jika Budi rajin belajar maka lulus UN Jika lulus UN maka orangtua senang Jika Budi rajin belajar maka orangtua senang
∴
∴
45
Soal 1:Diketahui pernyataan p dan q Argumenatsi: ~p → q ~r → ~q r → p disebut….a. Implikasi b. Kontraposisic. Modus ponens d. Modus tollense. silogisme
∴
46
Bahasan
Argumentasi: ~p → q ~p → q ~r → ~q ≡ q → r (kontraposisi) ~r → p ~p → r ≡ ~r → p (kontraposisi)Jadi, disebut silogisme jawaban e
∴ ∴
47
Soal 1:Diketahui pernyataan p dan q Argumenatsi: ~p → q ~r → ~q r → p disebut….a. Implikasi b. Kontraposisic. Modus ponens d. Modus tollense. silogisme
∴
48
Soal 2 Penarikan kesimpulan dari premis- premis: p V q ~q …. a. p b. ~p c. q d. ~(p V q) e. ~ q
∴
49
Bahasan p V q ≡ ~p → q (ekivalensi) ~p → q ≡ ~q → p (kontraposisi)dengan demikian p V q ~qberarti: ~q → p ~q p Jawabannya a
Modus ponens
∴
50
Soal 2 Penarikan kesimpulan dari premis- premis: p V q ~q …. a. p b. ~p c. q d. ~(p V q) e. ~ q
∴
51
Soal 3 Penarikan kesimpulan dari 1. p V q ~p q yang sah adalah…. a. hanya 1 b. hanya 1 dan 2 c. hanya 3 d. hanya 1 dan 3 e. hanya 2 dan 3
∴
2. p → q q → ~r ~r → ~p ∴
3. p → ~q q V r p → r ∴
52
Bahasan
1. p V q ~p q argumenatsi nomor 1 di atas sah karena merupakan modus ponens
∴
≡ ~p → q (ekivalen)~p
∴q
53
Bahasan
2. p → q q → ~r ~r → ~p argumenatsi nomor 2 di atas tidak sah karena bukan silogisme
∴≡
p → qq→ ~r
∴p→ ~r
p→ ~r r→ ~p (kontraposisi)
54
Bahasan
3. p → ~q q V r p → r
argumentasi nomor 3 di atas sah karena merupakan silogismeJadi, jawabannya hanya 1 dan 3 → d
∴≡
p → ~q~q → r
∴ p → r (ekivalensi)
55
Soal 3 Penarikan kesimpulan dari 1. p V q ~p q yang sah adalah…. a. hanya 1 b. hanya 1 dan 2 c. hanya 3 d. hanya 1 dan 3 e. hanya 2 dan 3
∴
2. p → q q → ~r ~r → ~p ∴
3. p → ~q q V r p → r ∴
56
SELAMAT BELAJAR