Logika mat-simpel

56
1

Transcript of Logika mat-simpel

Page 1: Logika mat-simpel

1

Page 2: Logika mat-simpel

2

MATERI INTI :

I.Proposisi (pernyataan), perangkai kalimat, ingkaran (negasi), operasi pada proposisi,

dan tabel kebenaran; invers, konvers, kontraposisi; tautologi dan kontradiksi;

Penarikan kesimpulan

II. Metode deduksi : pembuktian langsung dan tak langsung, pembuktian dengan

induksi matematik; kuantor universal dan eksistensial; dan pengantar logika

aksiomatik.

Page 3: Logika mat-simpel

3

MATERI I

Page 4: Logika mat-simpel

4

Logika Matematika

Logika merupakan alat untuk

menarik kesimpulan yang

sahih (sah)

Page 5: Logika mat-simpel

5

Pernyataan/Proposisi

Definisi : Suatu pernyataan (statement) adalah suatu kalimat deklaratif yang bernilai benar saja, atau salah saja, tetapi tidak sekaligus benar dan salah.

Page 6: Logika mat-simpel

6

Pernyataan/Proposisi

Kalimat yang mempunyai salah satu

dari nilai benar atau salah

disebut proposisi atau pernyataan.

Pernyataan ditulis dengan

huruf kecil p, q, r dan seterusnya

Page 7: Logika mat-simpel

7

Contoh : 1. 4 kurang dari 5

2. Indonesia terdiri atas 33 propinsi3. 2 adalah bilangan prima yang genap4. 3 adalah bilangan genap

dan tidak akan dibicarakan kalimat-kalimat seperti :

5. Berapa umurmu ? (Kalimat tanya)6. Bersihkan tempat tidurmu ! (Kalimat perintah)

7. Sejuk benar udara di sini ! (Kalimat ungkapan perasaan)

8. Mudah-mudahan terkabul cita-citamu. (Kalimat pengharapan)

Page 8: Logika mat-simpel

8

Dari contoh-contoh di atas, : kalimat 1, 2, dan 3, bernilai benar, : sedang kalimat 4 bernilai salah.

: Kalimat 5, 6, 7, dan 8, tidak dapat ditentukan nilai benar atau salahnya.

: Nilai benar artinya ada kesesuaian antara yang dinyatakan oleh kalimat itu dengan keadaan sesungguhnya (realitas yang dinyatakannya), yaitu benar dalam arti matematis.

Page 9: Logika mat-simpel

9

Ingkaran Pernyataan

Negasi atau ingkaran dari

pernyataan p, ditulis ~p

adalah pernyataan lain yang

menyangkal pernyataan yang

diberikan

Page 10: Logika mat-simpel

10

Tabel Kebenaran Ingkaran

Contoh: p : hari ini hujan~p : hari ini tidak hujan atau tidak benar hari ini hujan

p ~p

BS

SB

Page 11: Logika mat-simpel

11

Pernyataan Majemuk

adalah pernyataan baru yang

dibentuk dari beberapa pernyataan

tunggal (komponen) dengan

menggunakan kata hubung logika

Seperti: ‘dandan’, ‘’, ‘atauatau’, ‘’, ‘jika…maka…jika…maka…’,’,

atau atau ‘‘…jika dan hanya jika……jika dan hanya jika…’’

Page 12: Logika mat-simpel

12

Nilai KebenaranPernyataan Majemuk

tergantung:

▪ nilai kebenaran dari pernyataan

tunggalnya (komponennya)

▪ kata hubung logika yang digunakan

Page 13: Logika mat-simpel

13

KonjungsiPernyataan majemuk yang dibentuk

dari pernyataan-pernyataan p dan q

dengan menggunakan

kata hubung logika ‘dan’.

Konjungsi “p dan q”

dilambangkan “p Λ q”

Page 14: Logika mat-simpel

14

Tabel Kebenaran Konjungsi

‘p Λ q’ bernilai benar hanya apabila p dan q sama-sama bernilai benar

p q p Λ q

BBSS

BSBS

B

S

S

S

Page 15: Logika mat-simpel

15

Disjungsi

Pernyataan majemuk yang dibentuk

dari pernyataan-pernyataan p dan q

dengan menggunakan

kata hubung logika ‘atau’.

Disjungsi “p atau q”

dilambangkan “p V q”

Page 16: Logika mat-simpel

16

Tabel Kebenaran Disjungsi

‘p V q’ bernilai salah hanya apabila p dan q sama-sama bernilai salah

p q p V q

BBSS

BSBS

B

B

B

S

Page 17: Logika mat-simpel

17

Implikasi

Pernyataan majemuk yang disusun

dari pernyataan-pernyataan p dan q

dalam bentuk ‘jika p maka q’

Implikasi “Jika p maka q”

dilambangkan “p → q”

Page 18: Logika mat-simpel

18

Tabel Kebenaran Implikasi

‘p → q’ bernilai salah apabila p bernilai benar dan q bernilai salah

p q p → q

BBSS

BSBS

B

S

B

B

Page 19: Logika mat-simpel

19

Biimplikasi

Pernyataan majemuk yang disusun

dari pernyataan-pernyataan p dan q

dengan kata hubung

‘jika dan hanya jika’

Biimplikasi “p jika dan hanya jika q”

dilambangkan “p ↔ q”

Page 20: Logika mat-simpel

20

Tabel Kebenaran Biimplikasi

‘p ↔ q’ bernilai benar apabila p dan q keduanya bernilai

benar atau salah

p q p ↔ q

BBSS

BSBS

B

S

S

B

Page 21: Logika mat-simpel

21

Contoh 1Kalimat (p → q) → r bernilai benarJika(1) p benar, q salah, r salah(2) p salah, q benar, r salah(3) p salah, q salah, r benar(4) p salah, q salah, r salah

Page 22: Logika mat-simpel

22

Jawab

Jadi, pernyataan yang benar adalah pernyataan (1) dan (3)

S

B

B

B

B

S

B

S

Pernyataan ke

p q (p →q ) r (p → q) → r

1234

BSSS

SBSS

SSBS

Page 23: Logika mat-simpel

23

Contoh 2Diberikan empat pernyataan p, q, r, dan s. Jika pernyataan berikut benar

p ↔ q, q → r, r → s dan s pernyataan yang salah, maka di antara pernyataan berikut yang salah adalah….a. ~p b. ~r c. ~qd. p Λ r e. p V ~r

Page 24: Logika mat-simpel

24

Jawabs pernyataan yang salah

r → s benar; berarti r salah

q → r benar; berarti q salah

p ↔ q benar; berarti p salah

Jadi, ~p benar; ~r benar; ~q benar

p Λ r salah; → jawaban d

p V ~r benar

Page 25: Logika mat-simpel

25

NEGASI

dari

PERNYATAAN MAJEMUK

Page 26: Logika mat-simpel

26

EkivalensiPernyataan Majemuk

Dua pernyataan majemuk

yang ekivalen

adalah dua pernyataan majemuk

yang mempunyai nilai kebenaran

yang sama

Page 27: Logika mat-simpel

27

Pernyataan Ekivalen

1. ~(p Λ q) ≡ ~p V ~q

2. ~(p V q) ≡ ~p Λ ~q

3. p Λ (q V r) ≡ (p Λ q) V (p Λ r)

4. p V (q Λ r) ≡ (p V q) Λ (p V r)

Page 28: Logika mat-simpel

28

Pernyataan Ekivalen

5. p → q ≡ ~p V q

6. ~(p → q) ≡ p Λ ~q

7. p↔q ≡ (p → q) Λ (q → p)

≡ (~p V q) Λ (~q V p)

8. ~(p ↔ q) ≡ (p Λ ~q) V (q Λ ~p)

Page 29: Logika mat-simpel

29

Contoh 1:Ingkaran yang benar dari pernyataan

“Saya lulus Ujian Nasional dan saya

senang”

adalah….

Page 30: Logika mat-simpel

30

(1). Saya tidak lulus Ujian Nasional dan saya tidak senang(2). Tidak benar bahwa saya lulus Ujian Nasional dan saya senang(3). Saya lulus Ujian Nasional dan saya tidak senang(4) Saya tidak lulus Ujian Nasional atau saya tidak senang

Page 31: Logika mat-simpel

31

Jawab:Ingkaran p Λ q adalah ~(p Λ q) ≡ ~p V ~qJadi pernyataan yang benaradalah (2) Tidak benar saya lulus Ujian nasional dan saya senang (4) Saya tidak lulus Ujian Nasional atau saya tidak senang

Page 32: Logika mat-simpel

32

Contoh 2:Ingkaran dari (p Λ q) → r adalah….a. ~p V ~q V r b. (~p Λ ~q) V rc. p Λ q Λ ~r d. ~p Λ ~q Λ re. (~p V q) Λ r

Jawab: ingat bahwa: ~(p→q) ≡ p Λ ~q ~[(p Λ q) → r] ≡ (p Λ q) Λ ~r ≡ p Λ q Λ ~r Jadi, jawabannya adalah c

Page 33: Logika mat-simpel

33

Contoh 3:Ingkaran pernyataan:“Jika guru tidak hadir maka semua murid senang” adalah….a. Guru hadir dan semua murid tidak senangb. Guru hadir dan ada beberapa murid senangc. Guru hadir dan semua murid senang

Page 34: Logika mat-simpel

34

d. Guru tidak hadir dan ada beberapa murid tidak senange. Guru tidak hadir dan semua murid tidak senangJawab:Ingat bahwa: ~(p → q) ≡ p Λ ~qJadi ingkaran dari “Jika guru tidak hadirmaka semua murid senang” adalah“guru tidak hadir dan ada beberapamurid tidak senang” → jawaban d

Page 35: Logika mat-simpel

35

Konvers, Invers, danKontraposisi

Jika diketahui implikasi p → q maka:

Konversnya adalah q → pq → p

Inversnya adalah ~p → ~q~p → ~q

Kontraposisinya adalah ~q → ~p

Catatan: p → q ≡ ~q → ~p

Page 36: Logika mat-simpel

36

Contoh 1:~p → q mempunyai nilai kebenaran sama dengan….(1). p V q (2). p Λ q(3). ~q → p (4). ~q Λ ~p

Jawab: ingat bahwa: p → q ≡ ~p V ~q ≡ ~q → ~p ~p → q ≡ ~q → p… (3) ≡ p V q … (1)

Page 37: Logika mat-simpel

37

Contoh 2:Pernyataan berikut yang ekivalendengan:“Jika p benar maka q salah” adalah….a. p benar atau q salahb. Jika q salah maka p benarc. Jika p salah maka q benard. Jika q benar maka p salahe. Jika q benar maka p benar

Page 38: Logika mat-simpel

38

Jawab:Implikasi p → q ekivalen dengan Kontraposisi ~q → ~p dan ~p V qJadi “Jika p benar maka q salah”ekivalen dengan “Jika q benar maka p salah” atau “p salah atau q salah”

Page 39: Logika mat-simpel

39

Penarikan Kesimpulan

menentukan pernyataan nilai

(konklusi) dari pernyataan-

pernyataan (premis) melalui

aturan tertentu

Page 40: Logika mat-simpel

40

Suatu kesimpulan (konklusi)

dianggap sah jika:

▪ implikasi dari konjungsi premisnya

dengan konklusinya adalah tautologi

(selalu benar untuk semua kondisi)

▪ Konjungsi semua premisnya

benar maka konklusinya benar

Page 41: Logika mat-simpel

41

Penarikan Kesimpulanyang sah

Di dalam logika matematika ada

beberapa penarikan kesimpulan

yang sah, di antaranya adalah

Page 42: Logika mat-simpel

42

1. Modus Ponens: p → q (premis 1 = benar)

p (premis 2 = benar)

q (konklusi benar) Contoh: Jika hujan lebat maka terjadi banjir Hari ini hujan lebat Terjadi banjir

Page 43: Logika mat-simpel

43

2. Modus Tollens: p → q (premis 1 = benar)

~q (premis 2 = benar)

~p (konklusi benar) Contoh: Jika BBM naik maka ongkos bis naik Ongkos bis tidak naik BBM tidak naik

Page 44: Logika mat-simpel

44

3. Silogisme: p → q (premis 1 = benar)

q → r (premis 2 = benar)

p → r (konklusi benar)

Contoh: Jika Budi rajin belajar maka lulus UN Jika lulus UN maka orangtua senang Jika Budi rajin belajar maka orangtua senang

Page 45: Logika mat-simpel

45

Soal 1:Diketahui pernyataan p dan q Argumenatsi: ~p → q ~r → ~q r → p disebut….a. Implikasi b. Kontraposisic. Modus ponens d. Modus tollense. silogisme

Page 46: Logika mat-simpel

46

Bahasan

Argumentasi: ~p → q ~p → q ~r → ~q ≡ q → r (kontraposisi) ~r → p ~p → r ≡ ~r → p (kontraposisi)Jadi, disebut silogisme jawaban e

∴ ∴

Page 47: Logika mat-simpel

47

Soal 1:Diketahui pernyataan p dan q Argumenatsi: ~p → q ~r → ~q r → p disebut….a. Implikasi b. Kontraposisic. Modus ponens d. Modus tollense. silogisme

Page 48: Logika mat-simpel

48

Soal 2 Penarikan kesimpulan dari premis- premis: p V q ~q …. a. p b. ~p c. q d. ~(p V q) e. ~ q

Page 49: Logika mat-simpel

49

Bahasan p V q ≡ ~p → q (ekivalensi) ~p → q ≡ ~q → p (kontraposisi)dengan demikian p V q ~qberarti: ~q → p ~q p Jawabannya a

Modus ponens

Page 50: Logika mat-simpel

50

Soal 2 Penarikan kesimpulan dari premis- premis: p V q ~q …. a. p b. ~p c. q d. ~(p V q) e. ~ q

Page 51: Logika mat-simpel

51

Soal 3 Penarikan kesimpulan dari 1. p V q ~p q yang sah adalah…. a. hanya 1 b. hanya 1 dan 2 c. hanya 3 d. hanya 1 dan 3 e. hanya 2 dan 3

2. p → q q → ~r ~r → ~p ∴

3. p → ~q q V r p → r ∴

Page 52: Logika mat-simpel

52

Bahasan

1. p V q ~p q argumenatsi nomor 1 di atas sah karena merupakan modus ponens

≡ ~p → q (ekivalen)~p

∴q

Page 53: Logika mat-simpel

53

Bahasan

2. p → q q → ~r ~r → ~p argumenatsi nomor 2 di atas tidak sah karena bukan silogisme

∴≡

p → qq→ ~r

∴p→ ~r

p→ ~r r→ ~p (kontraposisi)

Page 54: Logika mat-simpel

54

Bahasan

3. p → ~q q V r p → r

argumentasi nomor 3 di atas sah karena merupakan silogismeJadi, jawabannya hanya 1 dan 3 → d

∴≡

p → ~q~q → r

∴ p → r (ekivalensi)

Page 55: Logika mat-simpel

55

Soal 3 Penarikan kesimpulan dari 1. p V q ~p q yang sah adalah…. a. hanya 1 b. hanya 1 dan 2 c. hanya 3 d. hanya 1 dan 3 e. hanya 2 dan 3

2. p → q q → ~r ~r → ~p ∴

3. p → ~q q V r p → r ∴

Page 56: Logika mat-simpel

56

SELAMAT BELAJAR