TRANSFORMASI LAPLACE

11 April 2011 EL2032 Sinyal dan Sistem 1

Asep NajmurrokhmanJurusan Teknik ElektroUniversitas Jenderal Achmad Yani

Tujuan Belajar :

• mengetahui ide penggunaan dan definisi transformasi Laplace.

• menurunkan transformasi Laplace beberapa sinyal. • mengetahui dan menggunakan sifat-sifat

transformasi Laplace.• menerapkan konsep dan sifat transformasi Laplace

dalam menyelesaikan persamaan diferensial.• menggunakan tabel transformasi Laplace dalam

menganalisis sinyal dan sistem.

11 April 2011 EL2032 Sinyal dan Sistem 2

Inovator

11 April 2011 EL2032 Sinyal dan Sistem 3

Pierre-Simon Laplace, French Mathematician (1749-1827)

Ide

11 April 2011 EL2032 Sinyal dan Sistem 4

Persamaan diferensial Persamaan aljabar

Solusi persamaan diferensial

Transformasi Laplace

Domain waktu Domain frekuensi

Ilustrasi

11 April 2011 EL2032 Sinyal dan Sistem 5

tutytyRC

?

?

Transformasi Laplace

11 April 2011 EL2032 Sinyal dan Sistem 6

0

stF s f t e dt

F(s) = L(f(t))

• s C (bilangan kompleks)

•F adalah fungsi bernilai kompleks dari bilangan kompleks

• s disebut variabel frekuensi dengan satuan per detik, sehingga st tidak bersatuan

• Bentuk integral di atas mengasumsikan bahwa f tidak mengandung impuls di t = 0.

• Dalam beberapa literatur, jika huruf kecil menandakan sinyal, maka hurufbesarnya menandakan transformasi Laplacenya, misalnya U = L(u), Vin = L(vin), dst.

Transformasi Laplace adalah sebuah tipetransformasi integral

Berikan sebuah fungsi ke dalamnya0

s te dt

( )f t

maka diperoleh fungsi baru

( )F s

Fungsi baru dalam domain yang berbeda

11 April 2011 EL2032 Sinyal dan Sistem 7

( )F s adalah transformasi Laplace dari ( ).f tSimbol : ( ) ( ),f t F sL

0 s te dt

( )f t ( )F sJika

( ) ( ),

( ) ( ), etc.

y t Y s

x t X s

LL

11 April 2011 EL2032 Sinyal dan Sistem 8

Korespondensi satu-satu

11 April 2011 EL2032 Sinyal dan Sistem 9

L(f) = L(g) f = g

j

j

st dsesFj

tf21

Transformasi Laplace balik

Contoh (1)

Tentukan transformasi Laplace dari f(t) = et.

11 April 2011 EL2032 Sinyal dan Sistem 10

1 1

00 0

1 11 1

s t s tt stF s e e dt e dt es s

1 0s te t ∞

Jawab :

Integral di atas terpenuhi jika apabila

yang mensyaratkan bagian real dari variabel s lebih dari 1

ROC (region of convergence) = daerah konvergensi

Contoh (2)

Tentukan transformasi Laplace untuk fungsi f(t) = 1 , t 0.

11 April 2011 EL2032 Sinyal dan Sistem 11

00

1 1st stF s e dt es s

Contoh (3)

Tentukan transformasi Laplace dari fungsi sinusoidal :

f(t) = cos t

11 April 2011 EL2032 Sinyal dan Sistem 12

1 12 2

j t j tf t e e

Jawab :

Ubah ke bentuk eksponensial

0 0 0

1 1 1 12 2 2 2

s j t s j tst j t j te e e dt e dt e dt

1 1 1 12 2s j s j

2 2s

s

Transformasi Laplace

f(t) F(s) ROC

δ(t) (impuls) 1 semua s

1 (unit step) Re(s)>0

tn Re(s)>0

e-at Re(s)+Re(a)>0

cos ωtRe(s)>0

sin ωtRe(s)>0

11 April 2011 EL2032 Sinyal dan Sistem 13

s1

1

!ns

n

as 1

22 ss

22

s

Sifat-sifat Transformasi Laplace

11 April 2011 EL2032 Sinyal dan Sistem 14

Sifat f(t) F(s)

Linieritas a f(t) + b g(t) a F(s) + b G(s)

Penskalaan waktu f(at)

Penundaan waktu f(t-T) e-sT F(s)

Penskalaan eksponensial eat f(t) F(s-a)

Konvolusi waktu x(t) * y(t) X(s) Y(s)

asF

a1

Sifat-sifat Transformasi Laplace

11 April 2011 EL2032 Sinyal dan Sistem 15

Sifat f(t) F(s)

Konvolusi frekuensi (modulasi) x(t) y(t)

Perkalian dengan t g(t) = t f(t)

Diferensiasi waktu

Integral

)(*)(21 sYsX

j

)(txdtd

n

n

1

0

)()0(

1)(n

k

kknn xssXs

t

dftg0

011

tdfs

sFs

sG

sFsG

Linieritas

L (3(t) - 2et) = 3 L ((t)) - 2 L (et)

11 April 2011 EL2032 Sinyal dan Sistem 16

231s

3 51

ss

Penyekalaan eksponensial

L(cos t) =12 s

s

11 April 2011 EL2032 Sinyal dan Sistem 17

L(e-tcos t) = ?

221

111

22

ss

ss

s

0 1 2 3 4 5 6-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Penundaan waktu

se as 1

se as 1

11 April 2011 EL2032 Sinyal dan Sistem 18

a b

1

1 1

a b

s

eeeesFbsas

sbs

sas

11

Turunan

11 April 2011 EL2032 Sinyal dan Sistem 19

bxaxtxtxtx 0,0;023

L (x') = s L(x) – x(0) = sX(s) – aSifat turunan :

L (x'') = s2X(s) – sx(0) - x'(0) = s2X(s) - s a - b

0232 sXassXbassXsdidapat :

23

32

ssabassX

Aplikasi Trans. Laplace dalam rangkaian elektrik :Contoh (1)

• R = 1 • C = 1 F

• Kapasitor tidak bermuatan pada t = 0, yaitu y(0) = 0

• sinyal input u berupa tangga satuan. Tentukanbentuk sinyal y.

11 April 2011 EL2032 Sinyal dan Sistem 20

Solusi :Persamaan rangkaian tutyty

s

sYssY 1Transf. Laplace

Jawab

11 April 2011 EL2032 Sinyal dan Sistem 21

11

1

1

ssssY s

111

11

sssssY tety 1

s

sYssY 1

Contoh (2)

Perhatikan rangkaian berikut, saklar ditutup saat t = 0 dan VC(0) = 1.0 V. Cari i(t) dalam rangkaian.

11 April 2011 EL2032 Sinyal dan Sistem 22

Jawab

Persamaan rangkaian dapat dituliskan dalam bentuk berikut

atau

11 April 2011 EL2032 Sinyal dan Sistem 23

Terapkan transformasi Laplace sehingga didapat

Karena VC(0) = 1.0 V maka

11 April 2011 EL2032 Sinyal dan Sistem 24

Dengan demikian diperoleh

sehingga transformasi Laplace persamaan rangkaian berbentuk

11 April 2011 EL2032 Sinyal dan Sistem 25

Bentuk terakhir adalah

sehingga diperoleh

11 April 2011 EL2032 Sinyal dan Sistem 26

11 April 2011 EL2032 Sinyal dan Sistem 27

Contoh (3)Perhatikan rangkaian berikut

Kapasitor tidak memiliki muatan saat t = 0. Jikasaklar ditutup, tentukan arus i1 dan i2, sertamuatan pada C untuk t > 0

11 April 2011 EL2032 Sinyal dan Sistem 28

Jawab

Dengan menggunakan hukum Kirchhoff diperoleh

atau

11 April 2011 EL2032 Sinyal dan Sistem 29

Substitusi (2) ke (1) diperoleh

atau

(3)

11 April 2011 EL2032 Sinyal dan Sistem 30

Karena

dan maka sehinggatransformasi laplace persamaan (3) berbentuk

atau didapat

11 April 2011 EL2032 Sinyal dan Sistem 31

Bentuk i(t) adalah

Dari persamaan (2) diperoleh

atau

11 April 2011 EL2032 Sinyal dan Sistem 32

Untuk menghitung muatan pada kapasitor, kita memerlukan informasi tegangan pada kapasitor dan diperoleh

atau

11 April 2011 EL2032 Sinyal dan Sistem 33

Karena maka

11 April 2011 EL2032 Sinyal dan Sistem 34

Tugas#31. Perhatikan rangkaian berikut

Kapasitor memiliki muatan awal 1 mC dan saklar beradadi posisi 1 cukup lama sampai tercapai kondisi tunak. Saklar dipindahkan ke posisi 2 saat t = 0. Tentukan arusi(t) untuk t > 0.

11 April 2011 EL2032 Sinyal dan Sistem 35

2. Perhatikan sistem berikut

a. nyatakan hubungan antara sinyal u dan y dalam bentuk LCCODE. Petunjuk : jika keluaran sebuah integrator w maka masukannya adalah w’ (turunan dari w).

11 April 2011 EL2032 Sinyal dan Sistem 36

b. anggap kondisi mulanya nol, yaitu y(0) = y’(0) = y’’(0) = 0, nyatakan transformasi Laplace sinyal y sebagai fungsi transformasi Laplace dari sinyal u, yaitu

11 April 2011 EL2032 Sinyal dan Sistem 37

sUsY

3. Sumber tegangan v(t) diberikan kepada sebuah motor arus searah (DC motor). Model sederhana dari motor tersebut adalah rangkaian seri antara sebuah induktansi L dan sebuah resistansi R, sehingga arus yang mengalir dalam motor memenuhi persamaan

11 April 2011 EL2032 Sinyal dan Sistem 38

vRidtdiL

Sudut putar motor ditandai dengan (t) dan kecepatansudutnya (t), artinya . Arus motor menghasilkantorsi (t) yang sebanding dengan besar arusnya, yaitu

dengan k adalah konstanta motor. Inersia putar motor ditandai dengan J dan koefisien redamannya b. Persamaan Newton yang berlaku berbentuk

11 April 2011 EL2032 Sinyal dan Sistem 39

dtd

tkit

bki

dtdJ

Anggap bahwa i(0) = 0, , dan . Nyatakan perbandingan transformasi Laplace(t) dengan transformasi Laplace v(t).

11 April 2011 EL2032 Sinyal dan Sistem 40

00 00