Post on 21-Jul-2016
description
Konstrukcija na grafici na funkcii so primena na izvodite
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________ 1
Voved
Elementarnite postapki za utvrduvawe na nekoi svojstva na funkciite, na
primer, monotonost , ili postoewe na ekstremi seu{te ne ni ovozmo`uvaat da go
utvrdime tekot na dadena funkcija vo nejzinata oblast na opredelenost. Precizno
ispituvawe na tekot na diferencijabilnite funkcii se vr{i so pomo{ na prviot i
vtoriot izvod. So nivna pomo{ }e go ispituvame povedenieto na dadena funkcija, ne
samo vo nekoja to~ka od oblasta na opredelenost tuku i vo celata oblast na
opredelenost. Ovde pred sé, }e se zadr`ime na ispituvawe na monotonost na
funkcijata i opredeluvawe na ekstreminite vrednosti.Prethodno }e gi dademe
osnovnite pravila za opredeluvawe na monotonost na funkcija i ekstremni vrednosti
na funkcija , potoa }e razgledame pove}e primeri, vo koi {to }e treba da go
konstruirame grafikot na dadenata funkcija preku op{ta {ema.
1. Rastewe i opa|awe na funkcija
Ovde }e najde vrska me|u prviot izvod i svojstvoto na rastewe i opa|awe na
dadena funkcija f(x), {to e opredelena vo nekoj interval (a,b). Teorema 1: Ako funkcijata f(x) na intervalot (a,b) e diferencijabilna i monotono
raste~ka (monotono opadnuva~ka) toga{:
f’(x) 1)0 (f’(x) 0) x (a,b)
Dokaz: Neka funkcijata f(x) e monotono raste~ka funkcija na intervalot (a,b) i
neka se x, x+h (a,b).(Crt.1)
O x x+h x
y
f(x)f(x+h)-f(x)
Crt.1
Toga{: f(x+h)-f(x)>0 koga h>0 i f(x+h)-f(x)<0 koga h<0. Spored toa, sekoga{:
0
h
)x(f)hx(f od kade {to sleduva: 0
0
)x('f
h
)x(f)hx(flimh
{to
treba{e da se doka`e.
Analogno se doka`uva ako funkcijata e monotono opa|a~ka.
Teorema 2 : (Obratna teorema) Neka funkcijata f(x) e diferencijabilna na
intervalot (a,b) . Toga{ funkcijata e monotono raste ako f’(x)> 0 , a monotono opa|a ako
f’(x)<0 .
Primer 1: Da se oredelat intervalite na monotonost na funkcijata f(x)=x2, x R.
Re{enie: a) Od ravenstvoto f'(x) >0 za h>0, t.e funkcijata monotono raste na
intervalot 0 b) Od ravenstvoto f'(x) <0 za h<0, t.e funkcijata monotono opa|a na intervalot 0 v) f'(x) =0 za h=0. Vo ovaa to~ka velime deka funkcijata stagnira. Taaa to~ka se vika
stacionarna to~ka (Crt. 2).
1) Znakot za ravenstvo mo`e da va`i samo za nekoi to~ki od intervalot (a,b)
Konstrukcija na grafici na funkcii so primena na izvodite
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________ 2
x
y
-3 -2 -1 0 1 2 3
0
2
4
Crt.2
Voop{to, to~kite od apcisnata oska vo koi {to f'(x) =0 se vikaat stacionarni
to~ki na funkcijata f(x).
Primer 2: Da se ispita monotonosta na funkcijata f(x)=sinx vo inervalot [0, )
Re{enie: Bidej}i f'(x)=cosx , imame ;
a) f'(x) >0 t.e cosx>0, za
20
,x b) f'(x) <0 t.e cosx<0, za
,x
2v) f'(x) =0 t.e cosx=0,
za
2
x .
Zaklu~uvame deka funkcijata sinx monotono raste na intervalot
20
, , monotono
opa|a na intervalot
,
2 , a stagnira vo to~kata
2
x . (Crt. 3).
x
y
-1
1
Crt.3
Primer 3: Da se ispita monotonosta na funkcijata f(x)=tgx vo inervalot
22
, .
Re{enie: Bidej}i
xcos
1(x)f'
2 f'(x) za
22
,x zaklu~uvame deka funkcijata
f(x)=tgx monotono raste na intervalot
22
, (Crt. 4).
x
y
-5
5
Crt.4
Primer 4: Da se ispita monotonosta na funkcijata f(x)=2x .
Konstrukcija na grafici na funkcii so primena na izvodite
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________ 3
Re{enie: Bidej}i 0ln22(x)f' x za sekoj Rx zaklu~uvame deka funkcijata
f(x)=2x monotono raste na intervalot , (Crt. 5).
x
y
-3 -2 -1 0 1 2 3
2
4
6
8
Crt.5
Primer 5: Da se ispita monotonosta na funkcijata f(x)=x3 .
Re{enie: Bidej}i 03(x)f' 2 x za sekoj {0}\Rx zaklu~uvame deka funkcijata
f(x)=x3 monotono raste na intervalot , (Crt. 6).
x
y
-5 0 5
-25
25
Crt.6
Koristej}i go geometriskoto tolkuvawe na prviot izvod, mo`eme da go dodademe
slednovo geometrisko tolkuvawe na pogore izlo`enite teoremi:
a) Ako f(x) monotono raste na intervalot (a,b) (f’(x) 0, ),( bax , toga{ tangentata
vo sekoja to~ka od toj interval, so pozitivnata nasoka na apcisnata oska zafa}a ostar
agol, ili vo nekoi to~ki e paralelna na apcisnata oska (Crt.7a).
b) Ako f(x) monotono opa|a na intervalot (a,b) (f’(x) 0, ),( bax , toga{ tangentata
vo sekoja to~ka od toj interval, so pozitivnata nasoka na apcisnata oska zafa}a tap
agol, ili vo nekoi to~ki e paralelna na apcisnata oska (Crt.7b).
O x
y
Crt.7
a)
O x
y b)
Konstrukcija na grafici na funkcii so primena na izvodite
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________ 4
2. Ekstremni vrednosti na funkcija
Ovde }e gi primenime prviot i vtoriot izvod na daena funkcija za opredeluvawe
na nejzinite ekstremni vrednosti: maksimum i minimum. Od porano znaeme deka deka
funkcijata f(x) vo intervalot (a,b) ima maksimum (minimum) za ),(0 bax , ako postoi
broj takov {to za sekoj ),( 00 xxx i 0xx va`i neravenstvoto
))()((),()( 00 xfxfxfxf (Crt.8). Isto taka, znaeme deka to~kata so apcisa 0x vo koja
{to funkcijata ima maksimum (Crt.8/a) go odeluva intervalot na rastewe od
intervalot na opa|awe. Ako pak, funkcijata ima minimum vo to~kata so apcisa 0x
(Crt.8/b) toga{ taa go odeluva intervalot na opa|awe od intervalot na rastewe.
O x
ya)
0x0x 0x
O x
y
Crt.8
b)
0x0x 0x
Od prethodno ka`anoto sleduva deka: Prviot izvod na funkcijata f(x) go menuva
znakot od pozitiven vo negativen koga funkcijata ima maksimum i od negativen vo
pozitiven koga funkcijata ima minimum, a samo vo to~kata so apcisa 0x toj e dnakov na
0 t.e. f’(x)=0.
Geometriski zna~i deka tangentata na krivata vo to~kata so apcisa 0x e paralena
so apcisnata oska .
Od prethodno ka`anoto doa|ame do slednovo svojstvo:
Ako funkcijata f(x) ima ekstrem za to~kata Dxx 0 , toga{ f’(x)=0.
No, obratnoto tvrdewe neva`i, t.e funkcijata mo`e da ima prv izvod vo dadena
to~ka ednakov na 0, no vo taa to~ka funkcijata da nema ekstrem. Na primer, funkcijata
f(x)=x3 vo to~kata 0x =0 ima prv izvod ednakov na 0, t.e f’(0)=0, a sepak , za 0x =0, nema
ekstrem t.e. taa monotono raste za celata oblast na opredelenost.
Od prethodniov primer mo`e da se zaklu~i deka f’(x0)=0 e samo potreben uslov, no,
ne i dovolen uslov da dadena funkcija vo 0x ima ekstrem. .
Dovolnite uslovi za toa dali dadena funkcija f(x) ima ekstrem , vo dadena to~ka
0x za koja f’(x0)=0 i dali toj ekstrem e maksimum i minimum proizleguvaat od
definiciite za ekstremi i glasat:
a) Ako f ’(x)>0 za x < 0x i f ’(x)<0 za x > 0x , t.e. funkcijata f (x) levo od to~kata
0x raste, a desno od to~kata 0x opa|a, toga{ f(x0) e najgolema vrednost na f(x) vo
intervalot ),( 00 xx i po definicija pretstavuva maksimum na funkcijata.
b) Ako f ’(x)<0 za x < 0x i f ’(x)>0 za x > 0x , t.e. funkcijata f (x) levo od to~kata
0x opa|a, a desno od to~kata 0x raste, toga{ f(x0) e najmala vrednost na f(x) vo
intervalot ),( 00 xx i po definicija pretstavuva minimum na funkcijata.
v) Ako f ’(x)<0(f ’(x)>0 ) za sekoj ),( 00 xxx , t.e. f ’(x) ne go menuva
znakot za vrednostite na argumentot od okolinata na to~kata 0x , toga{ funkcijata
nema ekstremna vrednost vo to~kata x0 .
Zaklu~ok: Ako pri premin, od levo na desno na argumentot h niz to~kata x0, vo
koja f’(x)=0,
Konstrukcija na grafici na funkcii so primena na izvodite
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________ 5
prviot izvod go menuva znakot od pozitiven vo negativen, toga{
funkcijata f(x) vo to~kata 0x ima maksimum.
prviot izvod go menuva znakot od negativen vo pozitiven , toga{ funkcijata
f(x) vo to~kata 0x ima minimum.
prviot izvod ne go menuva znakot funkcijata f(x) nema ekstremni vrednosti.
Primer 6: Funkcijata f(x)=1+x2 ima prv izvod f’(x)=2x, koj {to e ednakov na nula vo
to~kata x0=0, t.e.f’(0)=0. Bidej}I f’(x)<0 za x<0 i f’(x)>0 za x>0 sleduva deka funkcijata
ima minimum vo to~kata x0=0 koj {to ednakov na 1, t.e. f(0)=1.(Crt.9)
Zabele{ka 1: Funkcijata f(x) vo to~kata Dx mo`e da ima ekstrem iako vo taa
to~ka prviot izvod ne postoi, a samo go menuva znakot .
Primer 7: Funkcijata
0x,x
0x,xx)x(f ima prv izvod
0x,1
0x,1)x('f koj {to go
menuva znakot od negativen vo pozitiven vo x0=0, pa spored toa vo to~kata ima
minimum, iako f’(0) ne postoi.(Crt.10)
x
y
-3 -2 -1 0 1 2 3
1
2
3
4
5
Crt.10
Primer 8: Da se opredelat ekstremnite vrednosti na funkcijata
1x3x23
x)x(f 2
3
Re{enie: Prviot izvod na funkcijata e: 3x4x)x('f 2 . So re{avawe na
ravenkata 03x4x2 gi nao|ame to~kite h1=1 i h2=3. Spored toa )3x)(1x()x('f .
Go ispituvame znakot na f’(x) vo sekoja od to~kite h1=1 i h2=3 {to pretstavuvaat
stacionarni to~ki na funkcijata.
Imame: f’(x)>0 za x<1 i f’(x)>0 za x>1, a toa zna~i deka funkcijata za h=1 ima
maksimum {to e ednakov na
3
7)x(f . f’(x)<0 za 1<x<3 i za x>3, pa spored toa funkcijata
ima minim vo to~kata h=3 {to e ednakov na f(3)=1.(crt.11)
Konstrukcija na grafici na funkcii so primena na izvodite
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________ 6
Crt.11
Utvrduvaweto na znakot na prviot izvod na funkcijata f(x) vo oklinata na
stacionarnata to~ka ne e sekoga{ lesno, a toa zna~i deka, ne e lesno i samoto
opredeluvawe na ekstremnite vrednosti so pomo{ na prviot izvod. Ponekoga{ toa se
olesnuva ako funkcijata f(x) ima vtor izvod vo stacionarnata to~ka.
Neka pretpostavime deka funkcijata f(x) ima vtor izvod vo stacionarnata to~ka x0
i vo nejzinata okolina ima prv i vtor izvod i pritoa neka f’(x)=0. Kako {to se utvduva,
vrz osnova na znakot na prviot izvod vo oklinata na to~kata x0. dali funkcijata raste
ili opa|a , taka vrz osnova na znakot na vtoriot izvod (f’’(x)) , mo`e da se utvrdi dali
funkcijata f’(x) raste ili opa|a vo oklinata na to~kata x0.
O~igledno, ako funkcijata f(x) vo to~kata x0 ima maksimum, toga{ nejziniot prv
izvod f’(x) vo okolinata na to~kata x0 opa|a preminuvaj}i od pozitivni vrednosti preku
nulata na negativni vrednosti. Toa zna~i deka, toga{, vo okolinata na to~kata x0
prviot izvod (f’(x))’=f’’(x) na funkcijata f(x) e negativen, t.e. f’’(x)<0.
Ako, pak, funkcijata f(x) vo to~kata x0 ima minimum, toga{ neziniot prv izvod f’(x) vo okolinata na to~kata x0 raste preminuvaj}i od negativni vrednosti preku nulata na
pozitivni vrednosti. Toa zna~i deka, toga{, vo okolinata na to~kata x0 prviot izvod
(f’(x))’=f’’(x) na funkcijata f(x) e pozitivenen, t.e. f’’(x)>0.
Vo praktikata, za utvrduvawe dali funkcijata f(x) ima ekstrem vo to~kata x0 i od
koj vid e toj ekstrem, se koristi slednovo pravilo:
Ako f’(x)=0 i f’’(x)<0, toga{ vo to~kata x0 funkcijata f(x) ima maksimum, ako pak
f’(x)=0 i f’’(x>,0, toga{ vo to~kata x0 funkcijata f(x) ima minimum.
Zabele{ka 2: Ova pravilo ne mo`e da se primeni ako vo to~kata x0 i vtoriot
izvod na funkcijata f(x) e nula, t.e. f’’(x0)=0. Toga{ utvduvaweto dali funkcijat f(x) vo
to~kata x0 ima ekstrem i od koj vid e toj ekstrem, se vr{i so utvduvawe na znakot na
prviot izvod na funkcijata.
Funkcijata f(x)=x4 ima prv izvod f’(x)=4x3, {to ednakov na nula vo to~kata x0=0. No vo taa
to~ka i vtoriot izvod f’’(x)=12x2 e ednakov na nula , pa zatoa gornoto pravilo ne dava
mo`nost da se utvrdi ekstrem vo to~kata x0=0 i od koj vid e toj ekstrem. So utvrduvawe
na znakot na prviot izvod vo taa to~ka (go menuva znakot od negativen vo poziteven)
zaklu~uvame deka funkcijata vo x0=0 ima minimum. (Crt.12)
Konstrukcija na grafici na funkcii so primena na izvodite
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________ 7
x
y
-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5
0
1
2
3
4
5
Crt.12
Prakti~no, opredeluvaweto na ekstremnite vrednosti na funkcijata f(x) se
sveduva na slednovo pravilo:
1. Se opredeluva prviot izvod f’(x).
2. Prviot izvod se izramnuva na nula i se re{ava ravenkata f’(x)=0, t.e. se
opredeluvaat stacionarnite to~ki.
3. Se opredeluva vtoriot izvod f’’(x) i se ispituva negoviot znak vo sekoja
stacionarna to~ka, posebno.
Primer 9: Da se opredelat ekstremnite vrednosti na funkcijata:
f(x)=2x3-9x2+12x. Re{enie:
1o: f’(x)=6x2-18x+12
2o f(‘x)=0 sleduva 6x2-18x+12=0, od kade se nao|aat stacionarnite to~ki x1=1 i x2=2 3o f’’(x)=12x-18
Sega }e go ispitame znakot na vtoriot izvod vo stacionarnite to~ki: f”(1)=-6<0 od
kade sleduva deka funkcijata ima maksimum vo to~kata x1=1 ednakov na f(1) =5,
f”(2)=6>0 od kade sleduva deka funkcijata ima minimum vo to~kata x2=2 ednakov na f(2)
=4.(Crt.13)
Crt.13
Primer 11: Da se opredelat ekstremnite vrednosti na funkcijata f(x)=sinx ,
x[0,].
Re{enie:
1o: f’(x)=cosx
2o f(‘x)=0 sleduva cosx=0, od kade se nao|aat stacionarnite to~ki x1=2
i x2=
2
3
3o f’’(x)=-sinx
Konstrukcija na grafici na funkcii so primena na izvodite
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________ 8
Sega }e go ispitame znakot na vtoriot izvod vo stacionarnite to~ki: f”(
2
)=-
sin2
=-1<0 od kade sleduva deka funkcijata ima maksimum vo to~kata x1=
2
ednakov na
f(2
) =1, f”(
2
3)=sin
2
3=-1>0 od kade sleduva deka funkcijata ima minimum vo to~kata
x2=2
3 ednakov na f(
2
3) =-1.(Crt.14)
Crt.14
3. Asimtoti
Pri konstrukcijata na grafikot na funkcijata f(x) treba da se odredat i
asimtotite (ako funkcijata ima ) koi davaat mo`nost za poprecizno konstruirawe na
grafikot. Za taa cel }e definirame koja prava e asiptota (vertikalna, horizontalna i
kosa ), a vo ispituvaweto na tekot na funkcijata (vo dolunavedinite primeri) }e
poka`eme i kako tie se nao|aat.
1. Pravata x=a e vertikalna asimtota na funkcijata y=f(x) ako
)(lim xfax
2. Pravata x=b e horizontalna asimtota na funkcijata y=f(x) ako bxfx
)(lim
3.Pravata y=kx+n e kosa asimtota na funkcijata y=f(x) ako
x
xfk
x
)(lim
, ))((lim kxxfn
x
4. Op{ta {ema za ispituvawe na funkcii
Kako {to vidovme prethodno, prviot i vtoriot izvod na funkcijata, ni davaa
mo`nost za ispituvawe na monotonosta i ekstremnite vrednosti na funkcijata.
Koristej}i gi elementarnite postapki za ispituvawe na drugite svojstva na funkcijata
(parnost, periodi~nost i dr) i odreduvaweto na asimptotite na grafikot dobivame
celosna slika za tekot na funkcijata i mo`eme nego grafi~ki da go pretstavime.
Ispituvaweto na tekot na funkcijata }e go vr{ime po slednava op{ta {ema za
ispituvawe na funkcijata:
1) Se opredeluva oblasta na opredelenost;
2) Se nao|aat prese~nite to~ki na grafikot so koordinatnite oski;
Konstrukcija na grafici na funkcii so primena na izvodite
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________ 9
3) Se ispituva parnosta ili neparnosta na funkcijata, ako taa e
opredelena na simetri~na oblast;
4) Se ispituva periodi~nosta na funkcijata, ako ima smisla za toad a se
zboruva za dadena funkcija;
5) Se nao|aat to~kite na prekin, ako postojat i se ispituva povedenieto na
funkcijata vo blizina na tie to~ki;
6) Se nao|aat asimtotite na grafikot na funkcijata (ako ima);
7) Se presmetuva prviot izvod na funkcijata i se opredeluvaat
stacionarnite to~ki;
8) Se ispituva znakot na prviot izvod i se opredeluvaat intervalite na
monotonost;
9) Se nao|aat ekstremnite vrednosti i se odreduva nivnata priroda.
Sega }e go ispitame tekot na pove}e funkcii, so redosled iska`an vo op{tata
{ema i }e go konstruirame grafikot na dadenata funkcija.
Primer 12 : Da se ispita grafikot na funkcijata 34)( 2 xxxf i da se nacrta
nejziniot grafik.
Re{enie: Dadenata funkcijaa e polinom , pa zatoa nejzinata definiciona oblast
na oredelenost e mno`eatvoto R. Taa nema to~ki na prekin. Prese~nite to~ki so
koordinatnite oski se A(0,3)(so y-oskata) i B(1,0) i C(3,0) ( presek so x-oskata koi se
dobivaat so re{avawe na ravenkata x2
4x 3 =0) .
Prviot f'(x)= 2 x 4 koj e ednakov na nula za x=2. o~igledno f'(x)<0 za x<0 i f'(x)>0 za
x>2, {to zna~i prviot izvod go menuva znakot od negativen vo pozitiven i zatoa ima
minimum za x=2 f(2)=-1. Za sekoj ]2,(x funkcija monotono opa|a , a za sekoj
),2[ x . Koga )(xfx . (Crt. 15)
Crt.15
Primer 13 : Da se ispita grafikot na funkcijata 13)( 23 xxxf i da se nacrta
nejziniot grafik.
Re{enie: Dadenata funkcijaa e polinom , pa zatoa nejzinata definiciona oblast
na oredelenost e mno`eatvoto R. Taa nema to~ki na prekin i nema asimtoti.
Prese~nitato~ka so y-oskata e A(0,1). Prviot f'(x)= f'(x)= 3 x2
3 ,a od f'(x)=
3 x 1( ) x 1( ) =0 sleduva deka stacionarnite to~ki se x1=-1 i x2=1 . Vtoriot izvod na
funkcijata e f''(x)= x6 . f(1)=1>0 sleduva deka funkcijata ima minimum ednalov na -1 , a f’’(-1) =-6<0 od kade {o sleduva deka funkcijata ima maksimum ednakov na 3. Za sekoj
)1,1(x funkcija monotono opa|a , a za sekoj ),1()1,( x funkcijata raste. Koga
)(xfx ,a koga )(xfx . (Crt. 16)
Konstrukcija na grafici na funkcii so primena na izvodite
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________ 10
Crt.16
Primer 14 : Da se ispita grafikot na funkcijata 2)( 3 xxxf i da se nacrta
nejziniot grafik.
Re{enie: Dadenata funkcijaa e polinom , pa zatoa nejzinata definiciona oblast
na oredelenost e mno`eatvoto R. Taa nema to~ki na prekin i nema asimtoti.
Prese~nitato~ka so y-oskata e A(0,-2), a so h-oskata prese~nata to~ka e V(1,0). Prviot
f'(x)= 3 x2
1 >0 za sekoj realen broj {to zna~i deka funkcijata raste vo celata obast na
opredelenost i nema ekstremni vrednosti. Koga )(xfx ,a koga
)(xfx )(xfx . (Crt. 17)
Crt. 17
Primer 15 : Da se ispita grafikot na funkcijata 24)( 24 xxxf i da se nacrta
nejziniot grafik.
Re{enie: Dadenata funkcijaa e polinom , pa zatoa nejzinata definiciona oblast
na oredelenost e mno`eatvoto R. Taa nema to~ki na prekin i nema asimtoti.
Prese~nitato~ka so y-oskata e A(0,2), a so h-oskata prese~ni to~ki se V( 2 2 ,0),
S( 2 2 ,0), D( 2 2 ,0), E ( 2 2 ,0). Prviot f'(x)= 8 x 4 x3
, a od
f'(x)= 4 x 2 x2
=0 sleduva deka stacionarnite to~ki se x1= 2 i x2=0, x3= 2 .
Vtoriot izvod na funkcijata e f''(x)= 8 12 x2
. f’’(0)=-8<0 sleduva deka funkcijata ima
maksimum ednalov na 2 , a f’’( 2 ) =16>0 i f’’( 2 ) =16<0 od kade {o sleduva deka
funkcijata ima minimum ednakov na -2., Za sekoj )2,0()2,( x funkcija
monotono opa|a , a za sekoj )0,2()0,2( x . Koga )(xfx . (Crt. 18)
Konstrukcija na grafici na funkcii so primena na izvodite
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________ 11
Crt. 18
Primer 16 : Da se ispita grafikot na funkcijata
1
12)(
x
xxf i da se nacrta
nejziniot grafik.
Re{enie: Dadenata funkcija e opredelena za sekoj hR\{1}. Taa e prekinata vo
to~kata h=1 i pravata h=1 e vertikalna asimtota i grafikot na funkcijata }e se
pribli`uva do asimptotata na sledniov na~in: 1x
2x 1
x 1lim
1x
2 x 1
x 1l im
.
Od
x
2x 1
x 1lim
2
sleduva deka pravata u=2 e horizontalna asimtota. Prese~nita
to~ka so y-oskata e A(0,-1), a so h-oskata prese~ni to~ki se V(
2
1 ,0). Prviot f'(x)=
2
x 1( )
2 x 1( )
x 1( )2
<0 sleduva deka prviot izvod e negativen za sekoj h od definicionata
oblast , {to zna~i funkcijata nema ekstrem t.e. funkcijata monotono opa|a co celata
oblast na oredelenost. (Crt. 19)
Crt. 19
Primer 17 : Da se ispita grafikot na funkcijata
1)(
2
x
xxf i da se nacrta
nejziniot grafik.
Re{enie: Dadenata funkcija e opredfelena za sekoj hR, bidej}i 012 x . Taa e
neprekinata. Edinstvena prese~na to~ka na grafikot so koordinatnite oski e
koordinatniot po~etok O(0,0). Od
x
x
x2
1
lim
0
sleduva deka pravata u=0 e
Konstrukcija na grafici na funkcii so primena na izvodite
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________ 12
horizontalna asimtota. Funkcijata e neparna zatoa {to
)(11)(
)(22
xfx
x
x
xxf
, {to zna~i deka nejziniot grafik e simetri~en vo
odnos na koordinatniot po~etok. Prviot izvod e f'(x)=2222
2
)1(
)1)(1(
)1(
1
x
xx
x
x
. Od f’(x)=0
sleduva deka stacionarni to~ki se h1=-1 i h2=1 prviot izvod e negativen za sekoj
),1()1,( x {to zna~i vo ovoj interval funkcijata opa|a, a prviot izvod za sekoj
)1,1(x e pozitiven {to zna~i vo ovoj interval funkcijata raste. Od prethodno
ka`anoto sleduva deka funkcijata vo to~kata so apcisa h=-1 ima minimum ednakov na
2
1 , a vo to~kata so apcisa h=1 ima maksimum ednakov na
2
1. Koga 0)( xfx .
(Crt. 20)
Crt. 20
Primer 18 : Da se ispita grafikot na funkcijata xxexf )( i da se nacrta
nejziniot grafik.
Re{enie: Dadenata funkcija e opredfelena za sekoj hR, bidej}i 0xe . Taa e
neprekinata. Edinstvena prese~na to~ka na grafikot so koordinatnite oski e
koordinatniot po~etok O(0,0). Od 0lim
x
xxe
sleduva deka pravata u=0 e horizontalna
asimtota. Prviot izvod e f'(x)= xex )1( . Od f’(x)=0 sleduva deka stacionarna to~ka se
h=1, prviot izvod e pozitiven negativen za sekoj )1,(x {to zna~i vo ovoj interval
funkcijata raste, a prviot izvod za sekoj ),1( x e negativen {to zna~i vo ovoj
interval funkcijata opa|a. Od prethodno ka`anoto sleduva deka funkcijata vo to~kata
so apcisa h=-1 ima minimum ednakov na e
e11 . Koga )(xfx ,a koga
)(xfx 0)( xfx . (Crt. 21)
Crt. 21
Konstrukcija na grafici na funkcii so primena na izvodite
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________ 13
Primer 19: Da se ispita grafikot na funkcijata 4)( 23 xxxf i da se
nacrta nejziniot grafik.
Re{enie: Dadenata funkcija e opredelena za sekoj hR. Taa e neprekinata.
Prese~nita to~ka so y-oskata e A(0,4), a so h-oskata prese~ni to~ki se B(-1,0) i C(4,0).
Funkcijata nema asimtoti. Prviot izvod e f'(x)= xx 63 2 . Od f’(x)=0 sleduva deka
stacionarni to~ka se h1=0 i h2=2.. Vtoriot izvod na funkcijata e f’’(x)= 6x-6. f(0)=-
6<0 sleduva deka funkcijata ima maksimum ednalov na 4 , a f’’(2) =6>0 od kade {o
sleduva deka funkcijata ima minimum ednakov na 0. Za sekoj )2,0(x funkcija
monotono opa|a , a za sekoj ),2()0,( x funkcijata raste. Koga
)(xfx ,a koga )(xfx . (Crt. 22)
Crt. 22
Primer 20: Da se ispita grafikot na funkcijata 78)( 24 xxxf i da se nacrta
nejziniot grafik.
Re{enie: Dadenata funkcija e opredelena za sekoj hR. Taa e neprekinata.
Prese~nita to~ka so y-oskata e A(0,7), a so h-oskata prese~ni to~ki se B(-3,0) C(-1,0),
D(1,0). i E(3,0). Funkcijata nema asimtoti. Prviot izvod e f'(x)= xx 164 3 . Od f’(x)=0
sleduva deka stacionarni to~ka se h1=0 , h2=-2. i h3=2. Vtoriot izvod na funkcijata e
f’’(x)= 12x2-16. f(0)=-16<0 sleduva deka funkcijata ima maksimum ednalov na 7 , a f’’( 2)
=32>0 od kade {o sleduva deka funkcijata ima minimum ednakov na -9. Za sekoj
)2,0()2,( x funkcija monotono opa|a , a za sekoj ),2()0,2( x funkcijata
raste. Koga )(xfx . (Crt. 23)
Crt. 23
Konstrukcija na grafici na funkcii so primena na izvodite
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________ 14
Primer 21 : Da se ispita grafikot na funkcijata
1
1)(
2
xxf i da se nacrta
nejziniot grafik.
Re{enie: Dadenata funkcija e opredelena za sekoj hR, bidej}i 012 x . Taa e
neprekinata. Edinstvena prese~na to~ka na grafikot so koordinatnite oski e to~kata
A(0,1). Od 01
1lim
2
xx
sleduva deka pravata u=0 e horizontalna asimtota. Funkcijata
e parna zatoa {to )(1
1
1)(
1)(
22xf
xxxf
, {to zna~i deka nejziniot grafik e
simetri~en vo odnos na ordinatnata oska. Prviot izvod e f'(x)=22 )1(
2
x
x
. Od f’(x)=0
sleduva deka stacionarna to~ka e h1=0, prviot izvod e negativen za sekoj ),0( x {to
zna~i vo ovoj interval funkcijata opa|a, a prviot izvod za sekoj )0,(x e pozitiven
{to zna~i vo ovoj interval funkcijata raste. Od prethodno ka`anoto sleduva deka
funkcijata vo to~kata so apcisa h=0 ima maksimum ednakov na 1.
Koga 0)( xfx . (Crt. 24)
Crt. 24
Primer 22 : Da se ispita grafikot na funkcijata
1
1)(
2
2
x
xxf i da se nacrta
nejziniot grafik.
Re{enie: Dadenata funkcija e opredelena za sekoj hR, bidej}i 012 x . Taa e
neprekinata. Edinstvena prese~na to~ka na grafikot so koordinatnite oski e to~kata
A(0,-1). Od 11
1lim
2
2
x
x
x
sleduva deka pravata u=1 e horizontalna asimtota. Funkcijata
e parna zatoa {to )(1
1
1)(
1)()(
2
2
2
2
xfx
x
x
xxf
, {to zna~i deka nejziniot grafik e
simetri~en vo odnos na ordinatnata oska. Prviot izvod e f'(x)=22 )1(
4
x
x
. Od f’(x)=0
sleduva deka stacionarna to~ka e h1=0, prviot izvod e pozitiven za sekoj
),0( x {to zna~i vo ovoj interval funkcijata raste, a prviot izvod za sekoj
)0,(x e negativen {to zna~i vo ovoj interval funkcijata opa|a. Od prethodno
ka`anoto sleduva deka funkcijata vo to~kata so apcisa h=0 ima minimum ednakov na -
1. Koga 1)( xfx . (Crt. 25)
Konstrukcija na grafici na funkcii so primena na izvodite
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________ 15
Crt. 24
Primer 23 : Da se ispita grafikot na funkcijata
x
xxf
1
1)( i da se nacrta
nejziniot grafik.
Re{enie: Dadenata funkcija e opredelena za sekoj hR\{1}.Taa e prekinata vo
to~kata so apcisa h=1. Edinstvena prese~na to~ka na grafikot so koordinatnite oski e
to~kata A(0,1). Od 11
1lim
x
x
x
sleduva deka pravata u=-1 e horizontalna asimtota.
Pravata h=1 e vertikalna asimtota. Koga )(1 xfx , a koga
)(1 xfx . Prviot izvod e f'(x)=2)1(
2
x . Prviot izvod e pozitiven za sekoj
realen broj {to zna~i deka funkcijata raste, a ottuka sleduva deka funkcijata nema
ekstremi. Koga 1)( xfx . (Crt. 25)
Crt. 25
Primer 24 : Da se ispita grafikot na funkcijata 21
)(x
xxf
i da se nacrta
nejziniot grafik.
Re{enie: Dadenata funkcija e opredelena za sekoj hR\{-1,1}.Taa e prekinata vo
to~kata so apcisa h=1 i h=-1 . Edinstvena prese~na to~ka na grafikot so
koordinatnite oski e koordinatniot po~etok O(0,0). Od 01
lim2
x
x
x
sleduva deka
pravata u=0 e horizontalna asimtota. Pravite h=1 i h= -1 se vertikalni asimtoti. Koga
)(1 xfx , a koga )(1 xfx . Koga )(1 xfx , a koga
)(1 xfx . Prviot izvod e f'(x)=22
2
)1(
1
x
x
. Prviot izvod e pozitiven za sekoj
realen broj {to zna~i deka funkcijata raste, a ottuka sleduva deka funkcijata nema
ekstremi. Koga 0)( xfx . (Crt. 26)
Konstrukcija na grafici na funkcii so primena na izvodite
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________ 16
Crt. 26
Primer 25 : Da se ispita grafikot na funkcijata 2
2
1)(
x
xxf
i da se nacrta
nejziniot grafik.
Re{enie: Dadenata funkcija e opredelena za sekoj hR\{-1,1}.Taa e prekinata vo
to~kata so apcisa h=1 i h=-1 . Edinstvena prese~na to~ka na grafikot so
koordinatnite oski e koordinatniot po~etok O(0,0). Od 11
lim2
2
x
x
x
sleduva deka
pravata u=-1 e horizontalna asimtota. Pravite h=1 i h= -1 se vertikalni asimtoti.
Koga )(1 xfx , a koga )(1 xfx . Koga )(1 xfx , a koga
)(1 xfx . Prviot izvod e f'(x)=22 )1(
2
x
x
. Od f’(x)=0 sleduva deka
stacionarna to~ka e h1=0, prviot izvod e pozitiven za sekoj ),0( x {to zna~i vo
ovoj interval funkcijata raste, a prviot izvod za sekoj )0,(x e negativen {to zna~i
vo ovoj interval funkcijata opa|a. Od prethodno ka`anoto sleduva deka funkcijata vo
to~kata so apcisa h=0 ima minimum ednakov na 0. Koga 0)( xfx . (Crt. 27)
Crt. 27
Primer 26 : Da se ispita grafikot na funkcijata
1)(
2
x
xxf i da se nacrta
nejziniot grafik.
Re{enie: Dadenata funkcija e opredelena za sekoj hR\{1}.Taa e prekinata vo
to~kata so apcisa h=1. Edinstvena prese~na to~ka na grafikot so koordinatnite oski e
koordinatniot po~etok O(0,0).Funkcijata nema horizontalna asimtota. Pravata h=1 e
vertikalna asimtota. Koga )(1 xfx , a koga )(1 xfx . Za kosata
asimptota y=kx+n dobivame
Konstrukcija na grafici na funkcii so primena na izvodite
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________ 17
11
1
1limlim
)(lim
2
2
x
xx
x
x
xfk
xxx,
11
1
1lim
1lim])([lim
2
x
xx
xkxxfn
xxx {to zna~i deka y=x+1 e kosa asimtota.
Prviot izvod e f'(x)=2
2
)1(
2
x
xx
. Od f’(x)=0 sleduva deka stacionarni to~ki se h1=0 i h2=2 .
Vtoriot izvod na funkcijata e f’’(x)= 3)1(
2
x. f(0)=-2<0 sleduva deka funkcijata ima
maksimum ednalov na 0 , a f’’(2) =2>0 od kade {o sleduva deka funkcijata ima minimum
ednakov na 4. Prviot izvod e pozitiven za sekoj ),2()0,( x {to zna~i vo ovoj
interval funkcijata raste, a prviot izvod za sekoj )2,0(x e negativen {to zna~i vo
ovoj interval funkcijata opa|a. (Crt. 28)
Crt. 28