Post on 05-Feb-2018
Derivatif
ALZ DANNY WOWOR
KALKULUS (IT 131)
Fakultas Teknologi Informasi - Universitas Kristen Satya Wacana
Bagian 4
Monday, July 1, 2013
Cakupan Materi
A. Defenisi Derivatif
B. Rumus-rumus Derivatif
C. Aplikasi Derivatif
Monday, July 1, 2013
A. Defenisi Derivatif
Monday, July 1, 2013
Pendahuluan
Derivatif yang sering disebut sebagai diferensial atau turunan, merupakan salah satu bagian terbesar dari Kalkulus selain integral
Defenisi dari derivatif dapat ditemukan dengan menggunakan konsep limit.
Monday, July 1, 2013
1. Defenisi derivatif dari konsep limit
Diberikan grafik berikut
Turunan fungsi f pada bilangan a dinyatakan dengan f’(a) adalah
f '(x) = limh→0
f (a + h) − f (a)h
jika limitnya ada
Monday, July 1, 2013
Carlah turunan dari f(x) = x2 − 8x + 9 pada bilangan a.
Contoh 1
Penyelesaian:
Monday, July 1, 2013
2. Dervatif sebagai kemiringan garis singgung
Garis singgung pada y = f(x) di titik (a, f(a)) adalah garis yang melalui (a, f(a)) yang kemiringannya sama dengan fʼ(a), yakni turunan f di a.
Sehingga persamaan garis singgung pada kurva y = f(x) di titik (a, f(a)):
y − f (a) = ′f (a)(x − a)
Monday, July 1, 2013
Carlah persamaan garis singgung pada parabola y = x2 − 8x + 9 di titik (3, −6).
Contoh 2
Monday, July 1, 2013
Penyelesaian Contoh 2
Jadi persamaan garis singgung, diperlihatkan pada gambar adalah
y − (−6) = (−2)(x − 3)
atau y = −2x
Dari Contoh 1, kita mengatahui bahwa turunan f(x) di a adalah f’(a) = 2a − 8.
Karena itu kemiringan garis singgung di (3, 6) adalah fʼ(3) = 2(3) − 8 = −2
Monday, July 1, 2013
3. Derivatif dari fungsi
Bagian sebelum dibahas derivatif suatu fungsi f pada suatu titik tetap a dengan
Apabila dipandang a berubah-ubah. Jika a denganti dengan sebuah variabel x, diperoleh
Monday, July 1, 2013
Jika f(x) = x3 − x, carilah rumus untuk fʼ(x)
Contoh 3
Penyelesaian
Monday, July 1, 2013
Contoh 4
Jika f(x) = x1/2, carilah derivatif dari f dan nyatakan domain dari fʻ.
Diperoleh fʼ(x) ada jika x > 0, sehingga domain fʼ adalah (0, ∞), yang lebih kecil dari domain f yaitu [0, ∞).
Penyelesaian
Monday, July 1, 2013
B. Rumus-rumus Derivatif
Monday, July 1, 2013
1. Derivatif Fungsi Konstanta
Diambil fungsi konstanta f(x) = c,
Grafiknya berupa garis mendatar y = c, yang kemiringannya 0.
Monday, July 1, 2013
Bila dibuktikan dengan defenisi turunan
Sehingga Turunan Fungsi Konstanta dengan notasi Leibniz
ddx(c) = 0
Monday, July 1, 2013
2. Turunan Fungsi Pangkat
Jika f(x) = xn, dengan n bilangan bulat positif, maka derivatif dari f(x) adalah
Monday, July 1, 2013
Jika diambil n = 1, maka f(x) = x berupa garis y = x, yang memiliki kemiringan 1.
Sehinggaddx(x) = 1
Monday, July 1, 2013
Hal yang sama juga terjadi untuk n = 2 dan n = 3. Diperoleh
ddx(x2 ) = 2x d
dx(x3) = 3x2
Sehingga secara umum jika n bilangan bulat positif, maka
ddx(xn ) = nxn−1
Monday, July 1, 2013
Contoh 5
a) Jika f(x) = x6, maka fʼ(x) = 6x5
b) Jika y = x1000, maka yʼ = 1000x999
c) Jika y = t4, maka dy/dt = 4t3
d) d/dt (r3) = 3r2
e) Du(um) = mum-1
Berikut diberikan soal dan penyelesaian, dengan berbagai notasi
Monday, July 1, 2013
3. Derivatif Perkalian Konstanta
Jika c konstanta dan f fungsi yang dapat didiferensialkan, maka
ddx[cf (x)] = c d
dxf (x)
Turunan konstanta kali fungsi adalah konstanta kali turunan fungsi tersebut.
Monday, July 1, 2013
Bukti:
Misalkan g(x) = c·f(x), maka
Monday, July 1, 2013
Contoh 6
Carilah derivatif dari: a) 3x4 dan b) −x
Pembahasan
a) ddx(3x4 ) = 3 d
dx(x4 ) = 3(4x3) =12x3
b) ddx(-x) = d
dx[(-1)(x) = (-1) d
dx(x) = -1(1) = -1
Monday, July 1, 2013
4. Derivatif dari Aturan Jumlah
Derivatif dari jumlah fungsi adalah jumlah dari turunan fungsi
Jika f dan g keduanya dapat didiferensialkan maka
ddx
f(x)+ g(x)[ ]= ddxf(x)+ d
dxg(x)
Monday, July 1, 2013
Bukti
Misalkan F(x) = f(x) + g(x). Maka
Monday, July 1, 2013
Lanjutan aturan jumlah
Aturan jumlah dapat diperluas ke sembarang banyaknya fungsi. Misal, dengan menggunakan teorema ini dua kali, diperoleh:
Untuk hubungan f - g sebagai f + (-1)g dan dengan aturan jumlah diperoleh
ddx
f(x) - g(x)[ ]= ddxf(x) - d
dxg(x)
Monday, July 1, 2013
Contoh 7
Carilah turunan dari x8 + 12x5 − 4x4 + 10x3 − 6x + 5
Penyelesaian
Monday, July 1, 2013
5. Derivatif Hasil Kali
Jika f dan g keduanya dapat didiferensialkan, maka
Monday, July 1, 2013
Bukti
Misalkan F(x) = f(x)·g(x), maka
Monday, July 1, 2013
Contoh 8
Carilah Fʼ(x) jika F(x) = (6x3)(7x4)
Pembahasan:
Monday, July 1, 2013
6. Derivatif Hasil bagi
Jika f dan g keduanya dapat didiferensialkan, maka
Monday, July 1, 2013
Bukti
Misalkan F(x) = f(x)·g(x), maka
Dengan menambahkan f(x)·g(x) − f(x)·g(x) pada pembilang maka diperoleh
Monday, July 1, 2013
Monday, July 1, 2013
Contoh 9
Diberikan y = x2 + x − 2x3 + 6
.
Pembahasan:
Carilah yʼ
Monday, July 1, 2013
Derivatif Pangkat Umum
Jika n bilangan bulat positif, maka
ddx(xn ) = nxn−1
Jika n sembarang bilangan real, maka
ddx(x−n ) = −nx−n−1
Monday, July 1, 2013
Contoh 10
Monday, July 1, 2013
Contoh 11
Monday, July 1, 2013
C. Aplikasi Derivatif
Monday, July 1, 2013
Aplikasi dalam Fisika
Posisi partikel diberikan oleh persamaan s = f(t) = t3 − 6t2 + 9t, dengan t diukur dalam detik dan s dalam meter.
a) Carilah kecepatan pada waktu tb) Berapa kecepatan setelah 9 detik?c) Kapan partikel berhenti?
Monday, July 1, 2013
Bahasan:
a) Fungsi kecepatan adalah turunan dari fungsi posisi
s = f (t) = t 3 − 6t 2 + 9t → v(t) = dsdt
= 3t 2 −12t + 9
b) Kecepatan setelah 4 detik, bermakna pada saat t = 4.
v(2) = dsdt t=4
= 3(4)2 −1(4) + 9 = 9 m / s
c) Partikel berhenti bilamana v(t) = 0, yaitu
3t 2 −12t + 9 = 3(t 2 − 4t + 3) = 3(t −1)(t − 3) = 0
Diperoleh t = 1 atau t = 3. Jadi partikel berhenti setelah 1 detik dan setelah 3 detik
Monday, July 1, 2013
Maslah Pengoptimalan
Monday, July 1, 2013