Post on 30-Jan-2018
INTERPOLASI
Tujuan
Interpolasi berguna untuk memperkirakan nilai-nilai
tengah antara titik data yang sudah ditentukan dan tepat.
Interpolasi mempunyai orde atau derajat.
Macam Interpolasi
Interpolasi Linear
Interpolasi Kuadratik
Interpolasi Kubik
Interpolasi Polinomial
Interpolasi Beda Terbagi Newton
Interpolasi Lagrange
Interpolasi Kubik Spline
Interpolasi
Proses Interpolasi dari dua sampai
lima titik data
Perbedaan Interpolasi dan
Ekstrapolasi
Interpolasi Linear
0
01
0102 xx
xx
xfxfxfxf
Diketahui: Dua titik(x1, y1), (x2, y2)
Ditanya: Garis yang melewati 2 titik tersebut
Contoh: f(x) = ln x
x0 = 1 dan x1 = 6:
f2(2) = 0.3583519
x0 = 1 dan x1 = 4
f2(2) = 0.4620981
ln 2 = 0.6931472
Semakin kecil intervalnya semakin baik hasil interpolasi!
Merupakan bentuk paling sederhana dari interpolasi, yang
menghubungkan 2 titik data dengan garis lurus
f1(x) menyatakan bahwa ini adalah polinomial orde pertama.
)()()(
)()(
)()()()(
0
0
0101
0
01
0
01
xxxx
xfxfxfxf
xx
xfxf
xx
xfxf
Persamaan
interpolasi linear
Kemiringan garis
merupakan
pendekatan terhadap
turunan pertama
Interpolasi Linear
Interpolasi Linear
Interpolasi Linier
Derajat/orde 1 memerlukan 2 titik
x f(x)
1 4,5
2 7.6
3 9.8
4 11.2
Berapa f(x = 1,325) = ?
Memerlukan 2 titik awal :
x = 1
x = 2
Interpolasi Kuadratis
02
01
01
12
12
201
01100
xx
xx
xfxf
xx
xfxf
bxx
xfxfbxfb
1020102 xxxxbxxbbxf
Diketahui: Tiga titik(x1, y1), (x2, y2), (x3,y3)
Ditanya: kuadratis f2(x) = a0 + a1x + a2x2 yang melewati ke-3 titik diatas
Contoh: f(x) = ln x
Titik data: (1, 0), (4, 1.386294), (6, 1.791759)
b0 = 0
b1 = (1.386294 – 0)/(4 – 1) = 0.4620981
b2 = [(1.791759 – 1.386294)/(6-4) – 0.4620981]/(6-1)
= -0.0518731
f2(2) = 0.5658444
ln 2 = 0.6931472
Interpolasi Kuadratik
Derajat/orde 2 memerlukan 3 titik
x = 1 f(x = 1) = . . . .
x = 2 f(x = 2) = . . . .
x = 3 f(x = 3) = . . . . f (x = 1,325) = ?
Interpolasi Kuadratis
Interpolasi Polinomial
Diketahui: n titik data (x1, y1), (x2, y2), … (xn, yn)
Ditanya :a0, a1, …, an sehingga
Dua titik data : Garis
Tiga titik data : Kuadratik
Empat titik data :Polinomial tingkat-3
…
n titik data :Polinomial tingkat-n
nn xaxaxaaxf 2
210
022
1
02222212
01122111
ayaxaxax
ayaxaxax
ayaxaxax
nnnnnn
nn
nn
...
...
...
Adakah cara yang lebih baik untuk menyelesaikan persamaan diatas?
Interpolasi Kubik
Derajat/orde 3 memerlukan 4 titik
Interpolasi derajat/orde ke-n
memerlukan n+1 titik
Semakin tinggi orde yang digunakan untuk interpolasi
hasilnya akan semakin baik (teliti).
Interpolasi Polinomial
TEKNIK INTERPOLASI
Interpolasi Linier
Cara:
menghubungkan 2 titik dengan sebuah garis lurus
Pendekatan formulasi interpolasi linier sama dengan
persamaan garis lurus.
0
01
0101 xx
xx
xfxfxfxf
Interpolasi Linier
Prosentase kesalahan pola interpolasi linier :
ganl_perhitunHarga_hasi
narnyaHarga_sebeganl_perhitunHarga_hasiε t
Interpolasi Linier (Contoh 1)
Diketahui suatu nilai tabel distribusi ‘Student t’ sebagai
berikut :
t5% = 2,015
t2,5% = 2,571
Berapa t4% = ?
Interpolasi Linier (Contoh 1)
Penyelesaian
x0 = 5 f(x0) = 2,015
x1 = 2,5 f(x1) = 2,571
x = 4 f(x) = ?
Dilakukan pendekatan dengan orde 1 :
0
01
0101 xx
xx
xfxfxfxf
237,22374,2
5455,2
015,2571,2015,2
Interpolasi Linier (Contoh 2)
Diketahui:
log 3 = 0,4771213
log 5 = 0,698700
Harga sebenarnya:
log (4,5) = 0,6532125 (kalkulator).
Harga yang dihitung dengan interpolasi:
log (4,5) = 0,6435078
%51,1%1006435078,0
6532125,06435078,0
t
Contoh :
Jarak yang dibutuhkan sebuah kendaraan untuk berhenti
adalah fungsi kecepatan. Data percobaan berikut ini
menunjukkan hubungan antara kecepatan dan jarak
yang dibutuhkan untuk menghentikan kendaraan.
Perkirakan jarak henti yang dibutuhkan bagi sebuah
kendaraan yang melaju dengan kecepatan 45 mil/jam.
Contoh :
maka untuk mencari nilai x=45 maka,
Example
The upward velocity of a rocket is given as a function of time
in Table. Find the velocity at t=16 seconds using linear
splines.
t v(t)
s m/s
0 0
10 227.04
15 362.78
20 517.35
22.5 602.97
30 901.67
Table : Velocity as a
function of time
Figure : Velocity vs. time data
for the rocket example
Interpolasi Linier
Pendekatan interpolasi dengan derajat 1, pada
kenyataannya sama dengan mendekati suatu harga
tertentu melalui garis lurus.
Untuk memperbaiki kondisi tersebut dilakukan sebuah
interpolasi dengan membuat garis yang menghubungkan
titik yaitu melalui orde 2, orde 3, orde 4, dst, yang sering
juga disebut interpolasi kuadratik, kubik, dan yang
berikutnya disebut dengan polinomial.
Interpolasi Kuadrat
F(x) = ax2 + bx + c
Interpolasi Kuadrat
Titik-titik data (x1,y1) (x2,y2) (x3,y3)
Hitung a, b dan c dari sistem persamaan tersebut
dengan Metode Eliminasi Gauss
Interpolasi Kuadrat (Versi lain)
))((
))((
))((
))((
))((
))((
2313
213
3212
31
2
3121
32
1xxxx
xxxxy
xxxx
xxxxy
xxxx
xxxxyy
Untuk memperoleh titik baru Q (x,y)
Interpolasi Kuadratik
Interpolasi orde 2 sering disebut sebagai interpolasi
kuadratik, memerlukan 3 titik data.
Bentuk polinomial orde ini adalah :
f2(x) = a0 + a1x + a2x2
dengan mengambil:
a0 = b0 – b1x0 + b2x0x1
a1 = b1 – b2x0 + b2x1
a2 = b2
Interpolasi Kuadratik
Sehingga
f2(x) = b0 + b1(x-x0) + b2(x-x0)(x-x1)
dengan
Pendekatan dengan
kelengkungan
Pendekatan dengan
garis linier
012
02
01
01
12
12
2
01
01
011
00
,,
,
xxxfxx
xx
xfxf
xx
xfxf
b
xxfxx
xfxfb
xfb
Interpolasi Kubik
f3(x) = b0 + b1(x-x0) + b2(x-x0)(x-x1) + b3(x-x0)(x-x1)(x-x2)
dengan:
0123
03
0121233
012
02
01
01
12
12
02
01122
01
01
011
00
,,,],,[],,[
,,],[],[
,
xxxxfxx
xxxfxxxfb
xxxfxx
xx
xfxf
xx
xfxf
xx
xxfxxfb
xxfxx
xfxfb
xfb
Interpolasi Beda Terbagi Newton
Secara umum:
f1(x) = b0 + b1(x-x0)
f2(x) = b0 + b1(x-x0) + b2(x-x0)(x-x1)
f3(x) = b0 + b1(x-x0)
+ b2(x-x0)(x-x1)
+b3(x-x0)(x-x1)(x-x2)
…
fn(x) = b0 + b1(x-x0)
+ b2(x-x0)(x-x1)
+b3(x-x0)(x-x1)(x-x2)
+ …
+bn(x-x1)(x-x2)…(x-xn-1)
Interpolasi Beda Terbagi Newton
Dengan:
b0 = f(x0)
b1 = f[x1, x0]
b2 = f[x2, x1, x0]
…
bn = f[xn, xn-1, xn-2, . . . ., x0]
Interpolasi Beda Terbagi Newton
(Contoh 3)
Hitung nilai tabel distribusi ‘Student t’
pada derajat bebas dengan = 4%, jika diketahui:
t10% = 1,476 t2,5% = 2,571
t5% = 2,015 t1% = 3,365
dengan interpolasi Newton orde 2 (a) dan orde 3 (b)!
Interpolasi Beda Terbagi Newton
(Contoh 3a)
Interpolasi Newton Orde 2: butuh 3 titik
x0 = 5 f(x0) = 2,015
x1 = 2,5 f(x1) = 2,571
x2 = 1 f(x2) = 3,365
b0 = f(x0) = 2,015
02
01
01
12
12
2xx
xx
xfxf
xx
xfxf
b
222,055,2
015,2571,2
01
011
xx
xfxfb
077,051
55,2
015,2571,2
5,21
571,2365,3
Interpolasi Beda Terbagi Newton
(Contoh 3a)
f2(x) = b0 + b1(x-x0) + b2(x-x0)(x-x1)
= 2,015 + (-0,222) (4-5) + 0,077 (4-5)(4-2,5)
= 2,121
Interpolasi Beda Terbagi Newton
(Contoh 3b)
Interpolasi Newton Orde 3: butuh 4 titik
x0 = 5 f(x0) = 2,015
x1 = 2,5 f(x1) = 2,571
x2 = 1 f(x2) = 3,365
x3 = 10 f(x3) = 1,476
Interpolasi Beda Terbagi Newton
(Contoh 3b)
b0 = f(x0) = 2,015
b1 = -0,222 f[x1,x0]
b2 = 0,077 f[x2,x1,x0]
007,0
5
077,0043,0
510
077,05,210
5,21
571,2365,3
110
365,3476,1
3
b
Interpolasi Beda Terbagi Newton
(Contoh 3b)
f3(x) = b0 + b1(x-x0) + b2(x-x0)(x-x1) + b3(x-x0)(x-x1)(x-x2)
= 2,015 + (-0,222)(4-5) + 0,077 (4-5)(4-2,5) +
(-0,007)(4-5)(4-2,5)(4-1)
= 2,015 + 0,222 + 0,1155 + 0,0315
= 2,153
Contoh Interpolasi Polynomial Newton
2103102102010 xxxxxxbxxxxbxxxxbxxbbxfn
182.065
791759.1609438.1,203.0
46
386294.1791759.1,462.0
14
0386294.1, 231201
xxfxxfxxf
020045
203018200520
16
46202030123012 .
..,,.
..,,
xxxfxxxf
Diketahui: (1, 0), (4, 1.386294), (6, 1.791759), (5, 1.609438)
Ditanya: Perkirakan x = 2 dengan interpolasi Newton orde ke-3
f3(2) = 0.629
008015
)0520(02000123 .
..,,,
xxxxf
Divided Differences (Beda Terbagi)
0
1102110
02
1021210
01
0110
],...,,[],...,,[],...,,[
............
DDorder Second],[],[
],,[
DDorder first ][][
],[
DDorder zeroth )(][
xx
xxxfxxxfxxxf
xx
xxfxxfxxxf
xx
xfxfxxf
xfxf
k
kkk
kk
Tabel Beda Terbagi
x F[ ] F[ , ] F[ , , ] F[ , , ,]
x0 F[x0] F[x0,x1] F[x0,x1,x2] F[x0,x1,x2,x3]
x1 F[x1] F[x1,x2] F[x1,x2,x3]
x2 F[x2] F[x2,x3]
x3 F[x3]
n
i
i
j
jin xxxxxFxf0
1
0
10 ],...,,[)(
Tabel Beda Terbagi
f(xi)
0 -5
1 -3
-1 -15
ix x F[ ] F[ , ] F[ , , ]
0 -5 2 -4
1 -3 6
-1 -15
Tabel Beda Terbagi
0 -5
1 -3
-1 -15
iyixx F[ ] F[ , ] F[ , , ]
0 -5 2 -4
1 -3 6
-1 -15
Dua kolom pertama adalah kolom data titik
Kolom ketiga adalah beda orde pertama
Kolom berikutnya adalah beda orde kedua, dst.
Tabel Beda Terbagi
0 -5
1 -3
-1 -15
iyixx F[ ] F[ , ] F[ , , ]
0 -5 2 -4
1 -3 6
-1 -15
201
)5(3
01
0110
][][],[
xx
xfxfxxf
Tabel Beda Terbagi
0 -5
1 -3
-1 -15
iyixx F[ ] F[ , ] F[ , , ]
0 -5 2 -4
1 -3 6
-1 -15
611
)3(15
12
1221
][][],[
xx
xfxfxxf
Tabel Beda Terbagi
0 -5
1 -3
-1 -15
iyixx F[ ] F[ , ] F[ , , ]
0 -5 2 -4
1 -3 6
-1 -15
4)0(1
)2(6
02
1021210
],[],[],,[
xx
xxfxxfxxxf
Tabel Beda Terbagi
0 -5
1 -3
-1 -15
iyixx F[ ] F[ , ] F[ , , ]
0 -5 2 -4
1 -3 6
-1 -15
)1)(0(4)0(25)(2 xxxxf
f2(x)= F[x0]+F[x0,x1] (x-x0)+F[x0,x1,x2] (x-x0)(x-x1)
Bandingkan!
x y
1 0
2 3
3 8
x y
2 3
1 0
3 8
Apa yang dapat disimpulkan?
1
)2)(1(1)1(30)(
2
2
x
xxxxP
x Y
1 0 3 1
2 3 5
3 8
x Y
2 3 3 1
1 0 4
3 8
1
)1)(2(1)2(33)(
2
2
x
xxxxP
],,[],,[],,[ 012021210 xxxfxxxfxxxf
Urutan titik tidak akan mempengaruhi hasil beda terbagi
Bandingkan!
TERIMA KASIH