1

INTEGER PROGRAMMING

Rudi Susanto, M.Si

2

Pendahuluan

• Pemecahan dgn Linier Programing menghasilkan nilaivariabel yg biasanya berupa pecahan, padahalbanyak masalah memerlukan hasil yg bulat.

• Misal lokasi fasilitas, Pilihan Investasi, Production planning dll.

• Misal hasil optimal X1 = 6,67, X2 = 15,73. Kalaudibulatkan dgn 7 dan 16 apakah tidak melanggarkendala/ sumberdaya yg ada?

• Maka diperlukan hasil optimalnya angka utuh(integer), dan kendala tetap diikuti.

Integer Programming

• Definisi :

–Suatu model matematis dari Integer Programming adalah Program linier dengan penambahan batasan bahwabeberapa atau semua variabel harusbernilai integer.

.

Kapan Model Integer Diperlukan ?

• Produk atau bahan baku tidak dapat dibagi.

• Batasan Logikal : \if A then B"; \A or B"

• Biaya tetap.

• Merupakan bentuk kombinasi (sequencing, allocation)

• Dalam keputusan membeli, investasi, sewaatau lainnya.

Tipe Dari Integer Programming

1. Pure IP - Semua variable adalahintegers.

2. Mixed IP - Beberapa variable adalahintegers.

3. 0-1 IP – Semua variable harus samadengan 0 atau 1.

LP optimal Vs IP optimal

– IP optimal tidak lebih baik dari pada LP optimal, kenapa ?

IP OptimalLP Optimal

1

5

3

2

4

0 1 2 3

Penyelesaian Integer Programming

• Branch and Bound – Cara yang effektif untuk mendapatkan solusi

integer.

– Tahap demi tahap dengan menggambarkancabang pada solusi yang akan didapatkan nilaiintegernya.

• Grafik,

• Komputer

Contoh Tipe Integer Programming

Max z = 3x1 + 2x2

st

2x1 + x2 <= 4 (1)

x1 + 3x2 <= 5 (2)

x1, x2 >= 0 & Integer (3)

Solusi Grafis

Pure IP : ditambah batasan X1, X2 integer

Mixed IP : ditambah batasan X1 atau X2 integer

0-1 IP : ditambah batasan X1, X2 = 0 atau 1

X1

X2

Solusi Grafis

Pure IP– Penambahan batasan x1, x2 integer

– Daerah feasible (0,0), (0,1), (1,0), (1,1), (2,0)

Mixed IP– Penambahan batasan x2 integer

– Daerah feasible x2 = 0 and x1 <= 2;

x2 = 1 and x1 <= 3/2

0-1 IP– Penambahan batasan x1, x2 = 0 atau 1

– Daerah feasible (0,0), (0,1), (1,0), (1,1)

Cara Menyelesaikan Permasalahan Integer Programming

• Max z = 4x1 + 5x2

• s.t. 2x1 + x2 ≤ 5 (1)

2x1 + 3x2 ≤ 5 (2)

x1 ≥ 0 (3)

x2 ≥ 0 (4)

x1 dan x2 = integer

Cara Menyelesaikan Permasalahan Integer Programming

X1

X2

Cara Menyelesaikan Permasalahan Integer Programming

Nilai optimal dari LP adalah (2.5,0) dengan z =10

– Dibulatkan keatas : (3,0) menjadi infeasible.

– Dibulatkan kebawah : (2,0) nilai z =8.

Apakah nilai tersebut optimal untuk IP?

Bila dibutuhkan nilai x1 and x2 adalah integer.

– Daerah feasibel menjadi: (0,0), (0,1), (1,0),(1,1), (2,0)

– Nilai optimal IP adalah (1,1) dengan z =9.

14

Contoh 1: Formulasi masalah sbb:

• Fungsi tujuan: Maksimum Z = 2X1 + 5X2

• Kendala-kendala:

(1) 3X1 + 6X2 < 16

(2) X1, X2 > 0

Kalau diselesaikan dgn metoda grafik sbb:

15

• X2

• B (0, 2,67) Z = 13,33

• A(5,33, 0) Z = 10,67

• X1

16

• Dgn LP di titik B, memiliki nilai variabelpecahan (noninteger)

• Untuk membuat integer harus ditambahkendala X2 = 2

• Jangan dijadikan 3 sebab akan melanggarkendala

• X1 juga harus integer, diberi kendala X1 = 1

• Hasil integer-nya sbb:

Hasil optimal:

17

Grafik untuk integer programming

• X2

• B (0, 2,67) Z = 13,33

•

• 2 C

• A(5,33, 0)

• 0 1 X1

18

Hasil optimal integer programming:

• Untuk membuat nilai X2 integer, maka harus dijadikan 2, kalau 3 melanggar kendala

• X1 juga dapat menjadi 1, lihat gambar!

• Maka hasil optimal di titik C:

X1 = 1, X2 = 2, Z = 12

19

Latihan Soal!

• F Tujuan: Maks. Z = 7X1 + 6X2

• Kendala-kendala:

(1) 2X1 + 3X2 < 12

(2) 6X1 + 5X2 < 30

(3) X1, X2 > 0

20

Grafik:

X2 6

4

(3,75, 0,5) Z = 35,25

(5, 0) Z = 35

6

X1

21

Alternatif titik:

X1 X2 Z

0 4 24

1 3 25

2 2 26

3 2 33

4 1 34

5 0 35

Optimal

Latihan

Max z = 5 x1 + 4 x2

• St x1 + x2 <= 5

10 x1 + 6 x2 <= 45

x1, x2 >= 0

x1, x2 adalah integer

Solusi

Contoh Model Total Integer

• Pemilik Toko Jual Beli mesin merencanakan untuk mengadakan perluasandengan membeli beberapa mesin baru-mesin pencetak dan mesin bubut. Pemilik mengestimasikan bahwa tiap mesin pencetak akan menaikkankeuntungan sebesar $100 per hari dan tiap mesin bubut akan menaikkankeuntungan sebesar $150 per hari. Banyaknya mesin yang dapat dibelidibatasi dengan biaya mesin dan tersedianya ruang dalam toko. Harga belimesin dan luas tempat sbb :

Mesin Luas Tempat (ft2) Harga Beli ($)

PencetakBubut

1530

8.0004.000

Contoh Model Total Integer

• Anggaran pembelian mesin sebesar $40.000 sedangkan tempatyang tersedia seluas 200 feet persegi. Pemilik ingin mengetahuibeberapa banyak tiap jenis mesin dapat dibeli untukmemaksimalkan kenaikan keuntungan per hari.

• Maksimalkan Z = 100 x1 + 150 x2

Batasan8.000 x1 + 4.000 x2 ≤ 40.00015 x1 + 30 x2 ≤ 200 ft2

x1 , x2 ≥ 0di manax1 = jumlah mesin pencetakx2 = jumlah mesin bubut

Contoh Model Integer 0-1

• Suatu dewan kota harus memutuskan fasilitas rekreasi yang perlu didirikandi kota tersebut. Empat fasilitas rekreasi yang telah diusulkan-sebuahkolam renang, sebuah lapangan tenis, sebuah lapangan atletik, dansebuah gelanggang olahraga. Dewan berkeinginan mendirikan fasilitas-fasilitas yang dapat memaksimalkan penggunaan harian yang diharapkanoleh penduduk setempat dengan biaya dan lahan yang terbatas. Penggunaan harian sbb:

Fasilitas RekreasiPenggunaan yang

Diharapkan (orang/hari)Biaya ($)

Lahan yang Diperlukan(acre)

Kolam renang 300 35.000 4

Lapangan tenis 90 10.000 2

Lapangan atletik 400 25.000 7

Gelanggang olah raga 150 90.000 3

Contoh Model Integer 0-1

• Kota menyediakan anggaran sebesar $120.000 dan lahan seluas 12 acre. Karena lahan untukkolam renang dan lapangan tenis berada di daerah yang sama maka hanya akan didirikansatu dari dua fasilitas rekreasi ini.

Formulasi matematiknya?

Contoh Model Integer Campuran

• Seorang pengusaha memiliki kelebihan uang $250.000 danakandi investasikan pada 3 alternatif, yaitu : kondominium, tanah, danobligasi. Dia ingin menginvestasikan uangnyadengan tujuanpengembalian terbesar diperoleh pada akhirtahun.Data jenis investasi:

Formulasi matematiknya?

Terima Kasih