INTEGER PROGRAMMING - · PDF filedengan membeli beberapa mesin baru-mesin pencetak dan mesin...

33
1 INTEGER PROGRAMMING Rudi Susanto, M.Si

Transcript of INTEGER PROGRAMMING - · PDF filedengan membeli beberapa mesin baru-mesin pencetak dan mesin...

Page 1: INTEGER PROGRAMMING -   · PDF filedengan membeli beberapa mesin baru-mesin pencetak dan mesin bubut. Pemilik mengestimasikan bahwa tiap mesin pencetak akan menaikkan

1

INTEGER PROGRAMMING

Rudi Susanto, M.Si

Page 2: INTEGER PROGRAMMING -   · PDF filedengan membeli beberapa mesin baru-mesin pencetak dan mesin bubut. Pemilik mengestimasikan bahwa tiap mesin pencetak akan menaikkan

2

Pendahuluan

• Pemecahan dgn Linier Programing menghasilkan nilaivariabel yg biasanya berupa pecahan, padahalbanyak masalah memerlukan hasil yg bulat.

• Misal lokasi fasilitas, Pilihan Investasi, Production planning dll.

• Misal hasil optimal X1 = 6,67, X2 = 15,73. Kalaudibulatkan dgn 7 dan 16 apakah tidak melanggarkendala/ sumberdaya yg ada?

• Maka diperlukan hasil optimalnya angka utuh(integer), dan kendala tetap diikuti.

Page 3: INTEGER PROGRAMMING -   · PDF filedengan membeli beberapa mesin baru-mesin pencetak dan mesin bubut. Pemilik mengestimasikan bahwa tiap mesin pencetak akan menaikkan

Integer Programming

• Definisi :

–Suatu model matematis dari Integer Programming adalah Program linier dengan penambahan batasan bahwabeberapa atau semua variabel harusbernilai integer.

.

Page 4: INTEGER PROGRAMMING -   · PDF filedengan membeli beberapa mesin baru-mesin pencetak dan mesin bubut. Pemilik mengestimasikan bahwa tiap mesin pencetak akan menaikkan

Kapan Model Integer Diperlukan ?

• Produk atau bahan baku tidak dapat dibagi.

• Batasan Logikal : \if A then B"; \A or B"

• Biaya tetap.

• Merupakan bentuk kombinasi (sequencing, allocation)

• Dalam keputusan membeli, investasi, sewaatau lainnya.

Page 5: INTEGER PROGRAMMING -   · PDF filedengan membeli beberapa mesin baru-mesin pencetak dan mesin bubut. Pemilik mengestimasikan bahwa tiap mesin pencetak akan menaikkan

Tipe Dari Integer Programming

1. Pure IP - Semua variable adalahintegers.

2. Mixed IP - Beberapa variable adalahintegers.

3. 0-1 IP – Semua variable harus samadengan 0 atau 1.

Page 6: INTEGER PROGRAMMING -   · PDF filedengan membeli beberapa mesin baru-mesin pencetak dan mesin bubut. Pemilik mengestimasikan bahwa tiap mesin pencetak akan menaikkan

LP optimal Vs IP optimal

– IP optimal tidak lebih baik dari pada LP optimal, kenapa ?

IP OptimalLP Optimal

1

5

3

2

4

0 1 2 3

Page 7: INTEGER PROGRAMMING -   · PDF filedengan membeli beberapa mesin baru-mesin pencetak dan mesin bubut. Pemilik mengestimasikan bahwa tiap mesin pencetak akan menaikkan

Penyelesaian Integer Programming

• Branch and Bound – Cara yang effektif untuk mendapatkan solusi

integer.

– Tahap demi tahap dengan menggambarkancabang pada solusi yang akan didapatkan nilaiintegernya.

• Grafik,

• Komputer

Page 8: INTEGER PROGRAMMING -   · PDF filedengan membeli beberapa mesin baru-mesin pencetak dan mesin bubut. Pemilik mengestimasikan bahwa tiap mesin pencetak akan menaikkan

Contoh Tipe Integer Programming

Max z = 3x1 + 2x2

st

2x1 + x2 <= 4 (1)

x1 + 3x2 <= 5 (2)

x1, x2 >= 0 & Integer (3)

Page 9: INTEGER PROGRAMMING -   · PDF filedengan membeli beberapa mesin baru-mesin pencetak dan mesin bubut. Pemilik mengestimasikan bahwa tiap mesin pencetak akan menaikkan

Solusi Grafis

Pure IP : ditambah batasan X1, X2 integer

Mixed IP : ditambah batasan X1 atau X2 integer

0-1 IP : ditambah batasan X1, X2 = 0 atau 1

X1

X2

Page 10: INTEGER PROGRAMMING -   · PDF filedengan membeli beberapa mesin baru-mesin pencetak dan mesin bubut. Pemilik mengestimasikan bahwa tiap mesin pencetak akan menaikkan

Solusi Grafis

Pure IP– Penambahan batasan x1, x2 integer

– Daerah feasible (0,0), (0,1), (1,0), (1,1), (2,0)

Mixed IP– Penambahan batasan x2 integer

– Daerah feasible x2 = 0 and x1 <= 2;

x2 = 1 and x1 <= 3/2

0-1 IP– Penambahan batasan x1, x2 = 0 atau 1

– Daerah feasible (0,0), (0,1), (1,0), (1,1)

Page 11: INTEGER PROGRAMMING -   · PDF filedengan membeli beberapa mesin baru-mesin pencetak dan mesin bubut. Pemilik mengestimasikan bahwa tiap mesin pencetak akan menaikkan

Cara Menyelesaikan Permasalahan Integer Programming

• Max z = 4x1 + 5x2

• s.t. 2x1 + x2 ≤ 5 (1)

2x1 + 3x2 ≤ 5 (2)

x1 ≥ 0 (3)

x2 ≥ 0 (4)

x1 dan x2 = integer

Page 12: INTEGER PROGRAMMING -   · PDF filedengan membeli beberapa mesin baru-mesin pencetak dan mesin bubut. Pemilik mengestimasikan bahwa tiap mesin pencetak akan menaikkan

Cara Menyelesaikan Permasalahan Integer Programming

X1

X2

Page 13: INTEGER PROGRAMMING -   · PDF filedengan membeli beberapa mesin baru-mesin pencetak dan mesin bubut. Pemilik mengestimasikan bahwa tiap mesin pencetak akan menaikkan

Cara Menyelesaikan Permasalahan Integer Programming

Nilai optimal dari LP adalah (2.5,0) dengan z =10

– Dibulatkan keatas : (3,0) menjadi infeasible.

– Dibulatkan kebawah : (2,0) nilai z =8.

Apakah nilai tersebut optimal untuk IP?

Bila dibutuhkan nilai x1 and x2 adalah integer.

– Daerah feasibel menjadi: (0,0), (0,1), (1,0),(1,1), (2,0)

– Nilai optimal IP adalah (1,1) dengan z =9.

Page 14: INTEGER PROGRAMMING -   · PDF filedengan membeli beberapa mesin baru-mesin pencetak dan mesin bubut. Pemilik mengestimasikan bahwa tiap mesin pencetak akan menaikkan

14

Contoh 1: Formulasi masalah sbb:

• Fungsi tujuan: Maksimum Z = 2X1 + 5X2

• Kendala-kendala:

(1) 3X1 + 6X2 < 16

(2) X1, X2 > 0

Kalau diselesaikan dgn metoda grafik sbb:

Page 15: INTEGER PROGRAMMING -   · PDF filedengan membeli beberapa mesin baru-mesin pencetak dan mesin bubut. Pemilik mengestimasikan bahwa tiap mesin pencetak akan menaikkan

15

• X2

• B (0, 2,67) Z = 13,33

• A(5,33, 0) Z = 10,67

• X1

Page 16: INTEGER PROGRAMMING -   · PDF filedengan membeli beberapa mesin baru-mesin pencetak dan mesin bubut. Pemilik mengestimasikan bahwa tiap mesin pencetak akan menaikkan

16

• Dgn LP di titik B, memiliki nilai variabelpecahan (noninteger)

• Untuk membuat integer harus ditambahkendala X2 = 2

• Jangan dijadikan 3 sebab akan melanggarkendala

• X1 juga harus integer, diberi kendala X1 = 1

• Hasil integer-nya sbb:

Hasil optimal:

Page 17: INTEGER PROGRAMMING -   · PDF filedengan membeli beberapa mesin baru-mesin pencetak dan mesin bubut. Pemilik mengestimasikan bahwa tiap mesin pencetak akan menaikkan

17

Grafik untuk integer programming

• X2

• B (0, 2,67) Z = 13,33

• 2 C

• A(5,33, 0)

• 0 1 X1

Page 18: INTEGER PROGRAMMING -   · PDF filedengan membeli beberapa mesin baru-mesin pencetak dan mesin bubut. Pemilik mengestimasikan bahwa tiap mesin pencetak akan menaikkan

18

Hasil optimal integer programming:

• Untuk membuat nilai X2 integer, maka harus dijadikan 2, kalau 3 melanggar kendala

• X1 juga dapat menjadi 1, lihat gambar!

• Maka hasil optimal di titik C:

X1 = 1, X2 = 2, Z = 12

Page 19: INTEGER PROGRAMMING -   · PDF filedengan membeli beberapa mesin baru-mesin pencetak dan mesin bubut. Pemilik mengestimasikan bahwa tiap mesin pencetak akan menaikkan

19

Latihan Soal!

• F Tujuan: Maks. Z = 7X1 + 6X2

• Kendala-kendala:

(1) 2X1 + 3X2 < 12

(2) 6X1 + 5X2 < 30

(3) X1, X2 > 0

Page 20: INTEGER PROGRAMMING -   · PDF filedengan membeli beberapa mesin baru-mesin pencetak dan mesin bubut. Pemilik mengestimasikan bahwa tiap mesin pencetak akan menaikkan

20

Grafik:

X2 6

4

(3,75, 0,5) Z = 35,25

(5, 0) Z = 35

6

X1

Page 21: INTEGER PROGRAMMING -   · PDF filedengan membeli beberapa mesin baru-mesin pencetak dan mesin bubut. Pemilik mengestimasikan bahwa tiap mesin pencetak akan menaikkan

21

Alternatif titik:

X1 X2 Z

0 4 24

1 3 25

2 2 26

3 2 33

4 1 34

5 0 35

Optimal

Page 22: INTEGER PROGRAMMING -   · PDF filedengan membeli beberapa mesin baru-mesin pencetak dan mesin bubut. Pemilik mengestimasikan bahwa tiap mesin pencetak akan menaikkan

Latihan

Max z = 5 x1 + 4 x2

• St x1 + x2 <= 5

10 x1 + 6 x2 <= 45

x1, x2 >= 0

x1, x2 adalah integer

Page 23: INTEGER PROGRAMMING -   · PDF filedengan membeli beberapa mesin baru-mesin pencetak dan mesin bubut. Pemilik mengestimasikan bahwa tiap mesin pencetak akan menaikkan

Solusi

Page 24: INTEGER PROGRAMMING -   · PDF filedengan membeli beberapa mesin baru-mesin pencetak dan mesin bubut. Pemilik mengestimasikan bahwa tiap mesin pencetak akan menaikkan

Contoh Model Total Integer

• Pemilik Toko Jual Beli mesin merencanakan untuk mengadakan perluasandengan membeli beberapa mesin baru-mesin pencetak dan mesin bubut. Pemilik mengestimasikan bahwa tiap mesin pencetak akan menaikkankeuntungan sebesar $100 per hari dan tiap mesin bubut akan menaikkankeuntungan sebesar $150 per hari. Banyaknya mesin yang dapat dibelidibatasi dengan biaya mesin dan tersedianya ruang dalam toko. Harga belimesin dan luas tempat sbb :

Mesin Luas Tempat (ft2) Harga Beli ($)

PencetakBubut

1530

8.0004.000

Page 25: INTEGER PROGRAMMING -   · PDF filedengan membeli beberapa mesin baru-mesin pencetak dan mesin bubut. Pemilik mengestimasikan bahwa tiap mesin pencetak akan menaikkan

Contoh Model Total Integer

• Anggaran pembelian mesin sebesar $40.000 sedangkan tempatyang tersedia seluas 200 feet persegi. Pemilik ingin mengetahuibeberapa banyak tiap jenis mesin dapat dibeli untukmemaksimalkan kenaikan keuntungan per hari.

• Maksimalkan Z = 100 x1 + 150 x2

Batasan8.000 x1 + 4.000 x2 ≤ 40.00015 x1 + 30 x2 ≤ 200 ft2

x1 , x2 ≥ 0di manax1 = jumlah mesin pencetakx2 = jumlah mesin bubut

Page 26: INTEGER PROGRAMMING -   · PDF filedengan membeli beberapa mesin baru-mesin pencetak dan mesin bubut. Pemilik mengestimasikan bahwa tiap mesin pencetak akan menaikkan
Page 27: INTEGER PROGRAMMING -   · PDF filedengan membeli beberapa mesin baru-mesin pencetak dan mesin bubut. Pemilik mengestimasikan bahwa tiap mesin pencetak akan menaikkan

Contoh Model Integer 0-1

• Suatu dewan kota harus memutuskan fasilitas rekreasi yang perlu didirikandi kota tersebut. Empat fasilitas rekreasi yang telah diusulkan-sebuahkolam renang, sebuah lapangan tenis, sebuah lapangan atletik, dansebuah gelanggang olahraga. Dewan berkeinginan mendirikan fasilitas-fasilitas yang dapat memaksimalkan penggunaan harian yang diharapkanoleh penduduk setempat dengan biaya dan lahan yang terbatas. Penggunaan harian sbb:

Fasilitas RekreasiPenggunaan yang

Diharapkan (orang/hari)Biaya ($)

Lahan yang Diperlukan(acre)

Kolam renang 300 35.000 4

Lapangan tenis 90 10.000 2

Lapangan atletik 400 25.000 7

Gelanggang olah raga 150 90.000 3

Page 28: INTEGER PROGRAMMING -   · PDF filedengan membeli beberapa mesin baru-mesin pencetak dan mesin bubut. Pemilik mengestimasikan bahwa tiap mesin pencetak akan menaikkan

Contoh Model Integer 0-1

• Kota menyediakan anggaran sebesar $120.000 dan lahan seluas 12 acre. Karena lahan untukkolam renang dan lapangan tenis berada di daerah yang sama maka hanya akan didirikansatu dari dua fasilitas rekreasi ini.

Page 29: INTEGER PROGRAMMING -   · PDF filedengan membeli beberapa mesin baru-mesin pencetak dan mesin bubut. Pemilik mengestimasikan bahwa tiap mesin pencetak akan menaikkan

Formulasi matematiknya?

Page 30: INTEGER PROGRAMMING -   · PDF filedengan membeli beberapa mesin baru-mesin pencetak dan mesin bubut. Pemilik mengestimasikan bahwa tiap mesin pencetak akan menaikkan
Page 31: INTEGER PROGRAMMING -   · PDF filedengan membeli beberapa mesin baru-mesin pencetak dan mesin bubut. Pemilik mengestimasikan bahwa tiap mesin pencetak akan menaikkan

Contoh Model Integer Campuran

• Seorang pengusaha memiliki kelebihan uang $250.000 danakandi investasikan pada 3 alternatif, yaitu : kondominium, tanah, danobligasi. Dia ingin menginvestasikan uangnyadengan tujuanpengembalian terbesar diperoleh pada akhirtahun.Data jenis investasi:

Page 32: INTEGER PROGRAMMING -   · PDF filedengan membeli beberapa mesin baru-mesin pencetak dan mesin bubut. Pemilik mengestimasikan bahwa tiap mesin pencetak akan menaikkan

Formulasi matematiknya?

Page 33: INTEGER PROGRAMMING -   · PDF filedengan membeli beberapa mesin baru-mesin pencetak dan mesin bubut. Pemilik mengestimasikan bahwa tiap mesin pencetak akan menaikkan

Terima Kasih