INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

PROGRAM STUDI FISIKA Jl. Ganesha No. 10 Bandung, 40132 Telp. (022) 2500834, 2534127, Fax. (022) 2506452

Homepage : http://www.fi.itb.ac.id E-mail : fisika@fi.itb.ac.id

Quiz 2 FI- 3101 Gelombang Hari/Tgl: Jumat, 19 Oktober 2018 Waktu : 10.00-11.00 (60 menit)

Petunjuk: 1. Quiz ini tutup buku. Boleh memakai calculator. 2. Tuliskan jawaban Anda di lembar jawab yang disediakan. Hati-hati dengan satuan.

1. Sebuah gelombang di tali diberikan oleh:

𝜓(𝑥, 𝑡) = 1(𝑐𝑚) cos( 𝜋[1000𝑡 + 𝑥]) dengan x dalam meter dan t dalam detik.

Hitunglah a. panjang gelombang, frekuensi sudut dan laju propagasi. (bobot: 9) b. besar kecepatan getaran maximum dan besar percepatan getaran maximum. (bobot: 6) c. Jika rapat massa tali 0,1 gr /m berapakah tegangan tali? (bobot: 5) d. Berapa impedansinya? (bobot: 10) e. rata-rata arus energinya? (bobot: 10)

JAWAB:

a. 𝜆 =2𝜋

𝑘=

2𝜋

𝜋= 2 𝑚 𝜔 = 1000𝜋

𝑟𝑎𝑑

𝑠 𝑣 =

𝜔

𝑘=

1000𝜋

𝜋= 1000 𝑚/𝑠

b. kecepatan getar

𝑢 =𝜕𝜓

𝜕𝑡= −𝐴𝜔 sin(𝜔𝑡 + 𝑘𝑥)

A: amplitudo, maka besar kecepatan getar |𝑢max | = 𝐴𝜔 = 0,01 ∗ 1000𝜋 = 10𝜋 𝑚/𝑠 Percepatan getar

𝑎 =𝜕𝑢

𝜕𝑡= −𝐴𝜔2 cos(𝜔𝑡 + 𝑘𝑥)

Besar percepatan max |𝑎𝑚𝑎𝑥| = (0,01)10002𝜋2 = 104𝜋2 𝑚/𝑠2

c. Tegangan tali

rapat massa linear tali 𝜇 = 0,1𝑔𝑟

𝑚= 10−4𝑘𝑔/𝑚

𝑇 = 𝑣2𝜇 = 10002 ∗ 10−4 = 100𝑁 d. Impedansi

𝑍 = 𝑇

𝜕𝜓𝜕𝑥𝜕𝜓𝜕𝑡

=𝑇𝑘

𝜔=𝑇

𝑣=

𝑇

√𝑇𝜇

= √𝑇𝜇 = √100 ∗ 10−4 = 0,1𝑘𝑔

𝑠

e. Rata-rata arus energinya

Arus energi 𝑃 = 𝑍 (𝜕𝜓

𝜕𝑡)2= 𝑍𝜔2𝐴2 sin2(𝜔𝑡 + 𝑘𝑥)

Nilai rata-ratanya : < 𝑃 > = 𝑍𝜔2𝐴2 < sin2(𝜔𝑡 + 𝑘𝑥) > =1

2𝑍𝜔2𝐴2 =

1

2(0,1)(1000𝜋)2(10−2)2 = 5𝜋2watt

SOLUSI

Atau:

< 𝑃 > =1

2𝑍 𝜔2𝐴2 =

1

2√𝑇𝜇𝜔2𝐴2 =

1

2𝜇𝜔2𝐴2𝑣 =

1

2(10−4)(1000𝜋)2(10−2)21000 = 5𝜋2 𝑤𝑎𝑡𝑡

2. Tali di soal 1, disambung ke tali kedua, dengan rapat massa 0,2 gr/m.

a. Buktikan dalam kasus dua tali disambung bahwa bahwa bilangan gelombang di tali k akan memenuhi :

𝑘1

𝑘2= √𝜇1

√𝜇2

dengan 𝜇: rapat massa linear. (bobot: 10) b. Pakailah hasil (a) tsb untuk menghitung koefisien refleksi dan transmisi dari tali soal no 1 ke

tali kedua ini? (bobot: 10) c. Berapakah reflektansi dan transmitansinya? (bobot: 10)

JAWAB:

a. 𝜔 = 𝑘𝑣 → 𝑘 =𝜔

𝑣 sedangkan cepat rambat 𝑣 = √

𝑇

𝜇 sehingga 𝑘 = 𝜔√

𝜇

𝑇 untuk tali yang disambung, maka

dimanapun juga tegangannya akan sama demikian juga frekuensinya, sehingga untuk dua tali yang disambung

𝑘1𝑘2=√𝜇1

√𝜇2

b. Koefisien refleksi diberikan oleh:

𝑟12 =𝑘1 − 𝑘2𝑘1 + 𝑘2

=√𝜇1 − √𝜇2

√𝜇1 + √𝜇2

Dengan 𝜇1 = 0,1 𝑔𝑟/𝑚 dan 𝜇2 = 0,2 𝑔𝑟/𝑚, maka:

𝑟12=√0,1 − √0,2

√0,1 + √0,2=1 − √2

1 + √2= −0,1715

Koefisien transmisi dapat dihitung dari

𝑡12 =2𝑘1

𝑘1 + 𝑘2

Atau 1 + 𝑟12 = 𝑡12 → 1 − 0,1715 = 𝑡12 → 𝑡12 = 0,8285

c. Reflektansi dan transmitansi

𝑅 = 𝑟122 = 0,17152 = 0,0294

Sedangkan 𝑅 + 𝑇 = 1 sehingga 𝑇 = 1 − 0,0294 = 0,9706

3. Rangkaian unit pulsa dengan tinggi =1, dan lebar 2𝑎 serta perioda antar pulsa 𝑇 dinyatakan oleh fungsi periodik berikut ini:

𝑓(𝑡) =

{

0, −

𝑇

2≤ 𝑡 ≤ −𝑎

1, −𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑎

0, 𝑎 ≤ 𝑡 ≤𝑇

2

Sifat periodiknya 𝑓(𝑡 + 𝑇) = 𝑓(𝑡). Turunkanlah deret Fourier sinus-cosinus untuk fungsi periodik ini.

a. Gambarkan sketsa f(t) tsb untuk beberapa pulsa (bobot: 5) b. Turunkan koefisien deret Fouriernya (bobot: 20) c. Tuliskan 3 suku tak nol yang pertama dari deret tsb. (bobot: 5)

JAWAB: a. Sketsa f(t)

b. Deret Fourier sinus cosinus untuk periode T diberikan oleh:

𝑓(𝑡) =1

2𝑎0 +∑𝑎𝑛

∞

𝑛=1

cos(𝑛𝜔𝑡) +∑𝑏𝑛

∞

𝑛=1

sin(𝑛𝜔𝑡)

dengan : 𝜔 =2𝜋

𝑇, dan koefisien

𝑎𝑛 =2

𝑇∫ 𝑓(𝑡) cos(𝑛𝜔𝑡) 𝑑𝑡

𝑇/2

−𝑇/2

𝑏𝑛 =2

𝐿∫ 𝑓(𝑥) sin(𝑛𝜔𝑡) 𝑑𝑡

𝑇/2

−𝑇/2

Dari ungkapan f(t) soal tampak bahwa f(t) adalah fungsi genap sebab f(-t)=f(t), maka deret Fourier yang akan muncul adalah deret cosinus sebab cosinus adalah fungsi genap. Jadi

𝑏𝑛 = 0 Sedangkan

𝑎𝑛 =2

𝑇∫ 𝑓(𝑡) cos(𝑛𝜔𝑡) 𝑑𝑡

𝑇/2

−𝑇/2

𝑎𝑛 =2

𝑇[ ∫ cos(𝑛𝜔𝑡) 𝑑𝑡

𝑎/2

−𝑎/2

] =2

𝑛𝑇𝜔{sin (

𝑛𝜔𝑎

2) − sin (−

𝑛𝜔𝑎

2)} =

4

𝑛𝑇𝜔{sin (

𝑛𝜔𝑎

2)}

𝑎𝑛 =2

𝑛𝜋{sin (

𝑛𝜋𝑎

𝑇)}

Khusus 𝑎0

𝑎0 =2

𝑇∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡

𝑇/2

−𝑇/2

=2

𝑇∫ 𝑑𝑡

𝑎/2

−𝑎/2

=2𝑎

𝑇

Beberapa keofisien suku awal:

1

2𝑎0 =

𝑎

𝑇

𝑎1 =2

𝜋sin (

𝜋𝑎

𝑇)

𝑎2 =2

2𝜋sin (

2𝜋𝑎

𝑇)

Sehingga deretnya menjadi:

𝑓(𝑡) =𝑎

𝑇+2

𝜋(sin (

𝜋𝑎

𝑇) cos (

2𝜋𝑡

𝑇) +

1

2sin (2

𝜋𝑎

𝑇) cos (

4𝜋𝑡

𝑇) +⋯)

&&&&&&&OCT2018&&&&&&&&&