Post on 29-Dec-2015
1 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i
VVG
VVF
:
:
HASIL KALI TRANSFORMASI
Definisi: Andaikan F dan G dua transformasi, dengan
Maka produk atau komposisi dari F dan G yang ditulis sebagai G o F didefinisikan sebagai
(G o F)(P) = G [F(P)], VP .
Teorema 5.1: Jika F : VV dan G : VV masing-masing suatu transformasi,
maka hasilkali H= G o F : VV adalah juga suatu transformasi.
Bukti :
i. Harus dibuktikan bahwa H= G o F : VV ada.
1) Jelas adalah seluruh bidang V
2) Jelas adalah seluruh bidang V
Jadi ada sehingga H = G o F : VV ada.
ii. Harus dibuktikan dua hal yaitu: 1) H surjektif, 2) H injektif.
1) Misal H(y) = (G o F)(y) = x
Akan dibuktikan H(y) = x surjektif.
Ambil sebarang x V.
Karena G suatu transformasi maka G surjektif artinya
x V z V G(z) = x.
Karena F suatu transformasi maka F surjektif artinya
pada z V y V z = F(y).
Jadi ada y V (G o F)(y) = H(y) = x.
Jadi H surjektif.
2) Ambil x, y dengan x y H(x) H(y)
Andaikan H(x) = H(y) maka (G o F)(x) = (G o F)(y)
Karena G injektif maka F(x) = F(y).
Karena F injektif maka x = y.
Ini suatu kontradiksi.
Jadi pengandaian salah, sehingga haruslah x y.
Jadi H injektif.
Berdasarkan i dan ii maka H= G o F : VV adalah suatu transformasi.
Catatan:
2 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i
Hasil kali J = F o G : VV adalah juga suatu transformasi.
Bukti :
i. Harus dibuktikan bahwa J = F o G : VV ada.
1) Jelas adalah seluruh bidang V
2) Jelas adalah seluruh bidang V
Jadi ada sehingga J = F o G : VV ada.
ii. Harus dibuktikan dua hal yaitu: 1). J surjektif, 2). J injektif.
1) Misal J(y) = (F o G)(y) = x.
Akan dibuktikan J(y) = x surjektif.
Ambil sebarang x V.
Karena F suatu transformasi maka F surjektif artinya
x V z V F(z) = x.
Karena G suatu transformasi maka G surjektif artinya
pada z V y V z = G(y).
Jadi ada y V (F o G)(y) = J(y) = x.
Jadi J surjektif.
2) Ambil x, y dengan x y J(x) J(y).
Andaikan J(x) = J(y) maka (F o G)(x) = (F o G)(y)
Karena F injektif maka G(x) = G(y).
Karena G injektif maka x = y.
Ini suatu kontradiksi dengan x y.
Jadi pengandaian salah, sehingga haruslah x y.
Jadi J injektif.
Berdasarkan i dan ii maka J = F o G : VV adalah suatu transformasi.
Contoh:
Andaikan g sebuah garis dan T sebuah transformasi T : VV yang didefinisikan sebagai berikut.
1. Jika X g maka T(X) = X.
2. Jika X g maka T(X) adalah titik tengah ruas garis dari X ke g yang tegak lurus.
a. Buktikan T suatu transformasi.
1) Adb T surjektif
Kasus 1: Untuk X g
X = T(X) g
Gambar 1
3 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i
Menurut definisi maka X’= X karena T(X) = X’ = X.
Jadi X’ V X V T(X) = X’ = X.
Kasus 2 : Untuk X g
Ambil sebarang titik X’ V.
Menurut teorema dasar geometri Euclides: ada satu garis yang tegak lurus pada garis tertentu melalui
titik di luar garis tersebut.
Dengan demikian, dapat dibuat sebuah segmen garis yang tegak lurus g melalui X’. Namai .
Menurut postulat geometri Euclides: sebuah segmen dapat diperpanjang sehingga sama dengan
segmen tertentu.
Jadi dapat dibuat perpanjangan segmen sepanjang segmen tersebut sehingga diperoleh titik X
dengan = .
Karena = dan V bidang euclides maka ada X tunggal dengan X’ Dengan X’ adalah
titik tengah dan X’ adalah satu-satunya titik tengah .
Ini berarti X adalah prapeta dari X’.
Jadi X’ V X V T(X) = X’.
Jadi T surjektif.
2) Adb T injektif
Ambil sembarang titik X, Y dengan X
X Y
jelas ruas garis ortogonal X ke g ruas garis ortogonal Y ke g
Ditunjukkan X Y
Andaikan .
Maka T(X) adalah titik tengah ruas garis ortogonal Y ke g dan X ke g.
T(Y) adalah titik tengah ruas garis ortogonal X ke g dan Y ke g.
Ruas garis ortogonal X ke g berpotongan ruas garis ortogonal Y ke g.
Jadi X = Y
X
X
’
g
Gambar 2
4 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i
Kontradiksi dengan X Y.
Haruslah X Y .
Jadi T adalah injektif.
Dari 1) dan 2) didapat T adalah transformasi.
a. Apakah T suatu isometri?
Penyelidikan:
Ambil sebarang titik .
Kasus 1: dan dengan
Jelas T(P) = P’ = P Q = Q’ = T(Q).
Jadi P’Q’ = PQ.
Kasus 2: dan .
Jelas T(P) = P’ = P.
Jelas T(Q) = Q’ dengan Q’ adalah titik tengah ruas garis ortogonal dari Q ke Q’.
Jadi PQ P’Q’= PQ’.
PR! Kasus 3 : dan , dengan Q tidak segaris
Kasus 4 : dan . dengan
Berdasarkan kasus 1 dan kasus 2, diperoleh bahwa T bukan isometri.
b. Ambil transformasi kedua misalnya sebagai berikut: Ambil sebuah garis h g dan Mh adalah
refleksi pada garis h. Jadi hasilkali Mh[T(X)] = Y juga suatu transformasi sehingga Y = (Mh o
T)(X).
Apakah hasilkali ini isometri?
h
P=T(P) Q=T(Q) g
Gambar 3
Q
g
Q’=T(Q
)
P=T(P)
Gambar 4
X
X’=T(X) Y
X
X’=T(X)
5 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i
Adb. (Mh o T)(X) = (T o Mh)(X)
Bukti:
Dari gambar 5, ambil garis g misalkan sebagai sumbu X suatu koordinat ortogonal dan garis h sebagai
sumbu Y. Titik potong h dan g sebagai titik asal.
Misalkan X = (x,y) maka T(X) = (x, 2
1 y) dan Mh[T(X)] = (-x,
2
1 y).
Jadi (Mh o T)(X) = Mh[T(X)] = (-x, 2
1 y).
Jelas (T o Mh) (X) = T[Mh(X)].
Sehingga apabila X = (x,y) maka Mh(X) = (-x, y) dan T[Mh(X)] = (-x, 2
1 y).
Jadi (T o Mh)(X) = T[Mh(X)] = (-x, 2
1 y).
Karena Mh[T(X)] = T[Mh(X)] maka (Mh o T)(X) = (T o Mh)(X) yang berlaku untuk setiap XV.
Jadi (Mh o T)(X) = (T o Mh)(X).
Jadi hasilkali ini isometri.
Bukti:
Ambil garis g dan garis h yang tidak tegak lurus pada g.
Mh(X) =(-x,y) X(x,y) y
x sb. X
O
sb. Y
X’=T(X) Y
Gambar 6
TETAPI SIFAT KOMUTATIF TIDAK SELALU BERLAKU
6 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i
Jelas bahwa Mh[T(X)] T[Mh(X)].
Jadi (Mh o T)(X) (T o Mh)(X).
Berdasarkan hal di atas dapat dikatakan bahwa apabila S dan T transformasi maka S o T T o S.
Buktikan bahwa pada gambar 7, Mh[T(X)] T[Mh(X)].
Bukti:
Dari gambar 7, ambillah garis g sebagai sumbu X suatu sistem koordinat ortogonal dan garis h
sebagai grafik persamaan y = x . Titik potong h dan g kita ambil sebagai titik asal O.
Misalkan X = (x,y) maka T(x) = (x, 2
1 y) dan Mh[T(x)] = (
2
1 y, x).
Jadi (Mh o T)(X) = Mh[T(x)] = (2
1 y, x).
Jelas (T o Mh) (X) = T[Mh(X)].
Apabila X = (x,y) maka Mh(X) = (y, x) dan T[Mh(X)] = (y,2
1 x).
Oleh karena Mh[T(X)] T[Mh(X)] maka (Mh o T)(X) (T o Mh)(X) yang berlaku untuk setiap XV.
T[Mh(X)]
Mh(X) Mh[T(X)]
>
>
h
Gambar 7
g
X
X’=T(X)
X(x,y)
x
y
O
sb.
Y
Mh(X) Mh[T(X)]
>
>
y=x
Gambar 8
sb. X
X’=T(X)
T[Mh(X)]
7 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i
Jadi Mh[T(X)] T[Mh(X)].
Hasil kali transformasi tidak hanya terbatas oleh dua transformasi. Andaikan T1, T2, T3 adalah
transformasi. Untuk menyelesaikan masalah tersebut kita dapat menyusun terlebih dahulu hasil kali T1 o T2
kemudian kalikan dengan T3. Hasilkali transformasinya dapat kita sebagai T3(T2T1).
Jadi andaikan P’ = T1(P), P” = T(P’), P”’ = T3(P”), maka
[T3(T2T1)](P) = T3[T2T1(P)]
= T3[T2{T1(P)}]
= T3[T2(P’)]
= T3(P’’)
= P’’’
Selain cara di atas kita juga dapat mengalikan sebagai berikut:
[(T3T2 )T1](P) = (T3T2 ) [T1(P)]
= (T3T2)(P’)
= T3 [T2(P)]
= T3(P’’)
= P”’
Jadi hasilkali transformasi bersifat asosiatif. Kita dapat mengatakan bahwa
T3(T2T1) = (T3T2)T1 = T3T2T1.
PEMBAHASAN SOAL
BAB V HASILKALI TRANSFORMASI
1). Diketahui : garis-garis g dan h dan titik-titik P,Q dan K.
Lukislah :
a). A = Mg[Mh(P)]
b). B = Mh[Mg(P)]
c). C = Mh[Mh(P)]
d). D = Mg[Mh(K)]
e). R sehingga Mh[Mg(R)] = Q
f). Apakah Mg Mh = MhMg?
Penyelesaian:
a)
Q
P
A = Mg[Mh(P)]
8 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i
g
g
g
Q
P
h
K = D= Mg[Mh(K)]
Mh(Q)
Q = Mh[Mg(R)]
b)
c)
d)
e)
B = Mh[Mg(P)]
P
Mg(P)
h
P = Mh[Mh(P)]
Mh(P)
h
g
P
h
g
R
9 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i
f) Tidak, sebab terlihat pada nomor (a) dan (b), diperoleh Mg[Mh(P)] Mh[Mg(P)]. Selain itu, sifat
komutatif tidak berlaku secara umum pada hasilkali transformasi. Pembuktian dapat dilihat di
materi.
2). Diketahui : T dan S isometri
Selidiki :
a). TS sebuah isometri
b). TS = ST
c). Jika g sebuah garis maka g’ = (TS)(g) juga sebuah garis.
d). Jika g // h dan g’ = (TS)(g), h’ = (TS)(h) maka g’ // h’
Penyelesaian :
a). T dan S adalah isometri-isometri sehingga T dan S adalah suatu transformasi
Berdasarkan teorema “Jika F : V V dan G : V V masing-masing suatu transformasi, maka
hasil kali H = G F : V V adalah juga suatu transformasi”, maka TS juga transformasi.
Adb. TS isometri.
Ambil sebarang titik A, BV.
Jelas S(A) = A’, S(B) = B’.
Karena S isometri maka AB = A’B’.
Jelas T(A’) = A”, T(B’) = B”.
Karena T suatu isometri maka A’B’ = A”B”.
Diperoleh AB = A’B’ = A”B”.
Jelas TS(A) = T[S(A)] = T(A’) = A” dan
TS(B) = T[S(B)] = T(B’) = B”.
Karena AB = A”B” maka TS sebuah isometri.
Jadi TS adalah suatu isometri.
b). Adb TS = ST
Didefinisikan T(P) = P’ dan T(Q) = Q’.
Misalkan |PQ| = |P’Q’| |PQ| = |T(P) S(Q)|.
TS(P) = P’ dan ST(P) = P’.
Karena TS(P) = ST(P) = P’ maka TS = ST = 1.
Jadi TS = ST.
10 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i
c). Apabila g sebuah garis maka g’ = TS(g) juga sebuah garis.
Telah diketahui bahwa TS sebuah isometri.
Berdasarkan teorema “sebuah isometri memetakan garis menjadi garis”.
Maka g’ = TS(g) adalah sebuah garis.
Jadi pernyataan “jika g sebuah garis maka g’ = TS(g) juga sebuah garis” benar.
d). Apabila g // h dan g’ = TS(g), h’ = TS(h) maka g’// h’.
Karena TS sebuah isometri, berdasarkan teorema “sebuah isometri mengawetkan kesejajaran dua
garis” sehingga diperoleh g’// h’ dengan g’ = TS(g), h’ = TS(h), g // h .
Jadi pernyataan “Apabila g // h dan g’ = TS(g), h’ = TS(h) maka g’// h’” benar.
3). Diketahui : garis-garis g dan h, A g, B h, C h
Lukislah :
a). Mg[Mh(ABC)]
b). Mh[Mg(ABC)]
c). K sehingga Mg[Mh(K)] = K
d). R sehingga Mh[Mg(R)] = D
Penyelesaian:
a).
Mh(A) = A’
Mh(B) = B (karena B h )
Mh(C) = C’
Mg(A’) = A”
Mg(B’) = B”
Mg(C’) = C”
g
h
A
C B
A’
C’
C”
A”
B”
11 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i
Jadi, Mg[Mh(ABC)] = A”B”C”.
b).
Mg(A) = A’ = A (karena A g )
Mg(B) = B’
Mg(C) = C’
Mh(A’) = A”
Mh(B’) = B”
Mh(C’) = C”
Jadi, Mh[Mg(ABC)] = A”B”C”.
c). Akan dilukis K sehingga Mg[Mh(K)] = K.
Mg[Mh(K)] = K (MgMh)(K) = K.
Hasil kali persamaan (MgMh)(K) = K hanya akan terjadi pada titik potong antara garis g dan garis
h. Oleh karena itu K adalah titik potong garis g dan garis h.
d). Akan dilukiskan titik R sehingga Mh[Mg(R)] = D.
Karena D h maka D’ = Mh(D) = D.
Diperoleh Mg(R) = D.
Jadi, R adalah prapeta D oleh Mg
g
h
K
g
h
A = A’
C B
A”
C”
C’
B”
B’
g
h
R
D
12 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i
4). Diketahui : garis-garis g, h, k dengan g // k
Lukislah :
a). g’ = Mh[Mg(g)]
b). g’ = Mg[Mh(g)]
c). k’ = Mg[Mh(k)]
Penyelesaian:
a) g’= Mh[Mg(g)]
Ambil dua titik sebarang anggota garis g, misal titik P dan Q serta namai titik perpotongan garis g
dan h di R . Setelah mendapatkan pencerminan P di P’, R di R dan Q di Q’, hubungkan titik P’, R,
dan Q’ menjadi suatu garis yaitu garis g’.
b) g’= Mg[Mh(g)]
Ambil dua titik sebarang anggota garis g, misal titik P dan Q.
g’
Q
R
Q’
P
P’ h g
k
g
’ Q’’
P’’
Q
R
Q’
P
P’ h g
k
13 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i
c) k’= Mg[Mh(k)]
Ambil dua titik sebarang anggota garis g, misal titik A dan B. namai titik perpotongan garis h dan k
di C.
5). Diketahui : dua garis g dan h yang berpotongan
Lukislah :
a). k sehingga Mg[Mh(k)] = g
b). m sehingga Mh[Mg(m)] = g
c). n sehingga Mh[Mg(n)] membagi sama besar sudut lancip antara g dan h
Penyelesaian:
a) k sehingga Mg[Mh(k)] = g
Mg[Mh(k)] berarti k dicerminkan terlebih dulu terhadap garis h kemudian hasilnya dicerminkan
terhadap garis g. Karena hasil pencerminan terhadap garis g adalah g maka (Mh(k)) = g.
k’
A’’
B’’
B’
A’
B
C
A
h g
k
g
h
k
14 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i
b) m sehingga Mh[Mg(m)] = g
Mh[Mg(m)] berarti m dicerminkan terhadap garis g terlebih dulu kemudian hasilnya dicerminkan
terhadap garis h.
Misalkan Mg(m) = i.
Karena hasil pencerminan terhadap garis h adalah g berarti Mh[Mg(m)] = Mh(i) = g.
Karena hasil pencerminan Mg(m) = i maka g merupakan sumbu antara i dan m.
c) n sehingga Mh[Mg(n)] membagi sama besar sudut lancip antara g dan h.
Misalkan Mh[Mg(n)] = l sehingga l membagi sama besar sudut lancip antara g dan h, serta Mg(n) = k.
Karena hasil pencerminan terhadap garis h adalah l berarti Mh[Mg(n)] = Mh(k) = l.
Karena hasil pencerminan Mg(n) =k maka g merupakan sumbu antara k dan m.
6). Diketahui : padanan S dan T sebagai berikut
Daerah asal S adalah g, S(X) adalah titik tengah AX
Daerah asal T adalah daerah di luar lingkaran l dan T(X) = lBX
m i
g
h
n
k
h
g
l
15 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i
Ditanyakan :
a). TS(P)
b). Daerah asal dan daerah nilai TS
c). R sehingga (TS)(R) = Q dengan Q l
d). Apakah ST ada? Jika ya, tentukan daerah asal dan daerah nilainya
Penyelesaian:
a). Ambil P g sehingga S(P) pertengahan AP .
TS(P) = T[S(P)].
TS(P) perpotongan lingkaran l dengan BS(P) .
b). Karena TS(X) = T[S(X)] berarti daerah asal T adalah S, sementara daerah asal S adalah g. Jadi,
daerah asal TS di g.
Daerah nilai S adalah S(X) yaitu pertengahan AX . Daerah nilai T(X) adalah lBX , dan untuk
TS(X) maka ll BS(X)
Jadi, daerah nilai TS adalah pada lingkaran l.
c). R sehingga (TS)(R) = Q dengan Q l
d). Ambil sebarang titik P
Maka T(P) di l karena daerah hasil T di l.
S[T(P)] tidak ada karena T(P) ,l sementara daerah asal S di g.
Jadi, ST tidak ada.
B
TS(P)
A
P g
S(P)
l
B Q
A
R g
S(R)
l
16 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i
7). Diketahui : garis g adalah sumbu X sebuah sumbu ortogonal dan xyyxh , .
Ditanyakan :
a). Persamaan garis Mh[Mg(g)]
b). P” = Mh[Mg(P)] dengan P = (0,3)
c). Q” = Mg[Mh(Q)] dengan Q = (3,-1)
d). R” = Mg[Mh(R)] dengan R = (x, y)
e). Besarnya ROR” apabila O titik asal
Penyelesaian:
a). Mh[Mg(g)] = Mh(g)
= Mh Rxx ,0,
Ingat! misalkan diketahui titik A (a, b), maka penerminan A terhadap garis y = x adalah A’ (b, a).
Jadi Mh[Mg(g)] = Rxx ,,0 .
Jadi, diperoleh Mh[Mg(g)] adalah sumbu-Y sebuah sistem sumbu ortogonal.
Jadi persamaan garis Mh[Mg(g)] adalah x = 0.
b). Akan ditentukan P” = Mh[Mg(P)] dengan P = (0,3)
Mh[Mg(P)] = Mh[Mg(0,3)]
= Mh[(0,-3)]
= (-3,0)
Jadi P” = (-3,0).
c). Akan ditentukan Q” = Mg[Mh(Q)] dengan Q = (3,-1)
Mh(Q) = Mh(3,-1)
= (-1,3)
Diperoleh Q” = Mg[Mh(Q)]
= Mg(-1,3)
= (-1,-3)
Jadi Q” = (-1,-3).
d). Akan ditentukan R” = Mg[Mh(R)] dengan R = (x, y)
R” = Mg[Mh(R)]
= Mg[Mh(x, y)]
= Mg(y, x)
= (y,-x)
Jadi R” = (y,-x).
e). m(ROR”) = ...?
Cara 1
O(0,0)
R(x,y)
α)
R”(y,-x)
17 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i
Misalkan m(ROR”) = α
270 αatau90 α
0 αcos
0 αcos2
αcos222
αcos2
αcosOR"OR2OR"ORRR"
22
2222222222
2222222222
222
yx
yxxyyxxxyyyxyx
xyyxxyyxxyyx
Jadi, m(ROR”) = 90
Cara 2
Menentukan besar ROR” dengan O adalah titik asal R(x, y) dan R’’(y, -x).
R dicerminkan dulu terhadap garis g = sumbu X, dilanjutkan dicerminkan terhadap garis h.
Persamaan garis yang melalui O dan R adalah
xx
yy
x
x
y
y
R
R
RR
0
0
0
0
Persamaan garis yang melalui O dan R’’ adalah
xx
yy
x
x
y
y
R
R
RR ''
''
'''' 0
0
0
0
Karena xyR '' dan yxR '' maka diperoleh ''OROR .
Jadi ROR” = 90.
8). Diketahui : dua garis g dan h yang berbeda berpotongan di P
Buktikan : Mg[Mh(A)] = P jika dan hanya jika A = P
Bukti :
Garis g dan h berpotongan di titik P, maka P g dan P h
Diketahui Mg[Mh(A)] = P ..........(i)
Akan dibuktikan jika Mg[Mh(A)] = P maka A = P
Karena P ,g menurut definisi pencerminan,
Mg(P) = P ..........(ii)
Dari (i) dan (ii) diperoleh
Mg[Mh(A)] = P = Mg(P)Mh(A) = P ..........(iii)
Karena P ,h menurut definisi pencerminan,
Mh(P) = P ..........(iv)
18 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i
Dari (iii) dan (iv) diperoleh
Mh(A) = P = Mh(P)A = P
Jadi, jika Mg[Mh(A)] = P maka A = P (terbukti)
Diketahui A = P
Akan dibuktikan jika A = P maka Mg[Mh(A)] = P
Karena A = P dan P ,h menurut definisi pencerminan,
Mh(A) = Mh(P) = P
Karena P ,g menurut definisi pencerminan,
Mg(P) = P = Mg[Mh(A)] sehingga Mg[Mh(A)] = P
Jadi, jika A = P maka Mg[Mh(A)] = P (terbukti)
Dari dan diperoleh :
Jika dua garis g dan h yang berbeda berpotongan di P, maka
Mg[Mh(A)] = P jika dan hanya jika A = P (terbukti).
9). Diketahui : andaikan g sumbu X dan h = xyyx ,
S adalah padanan yang didefinisikan sebagai berikut :
Jika P g maka S(P) = P, jika P g maka S(P) adalah titik tengah ruas garis tegak lurus dari P pada g
Ditanyakan :
a). Buktikan S suatu transformasi!
b). Jika P = (x,y) sebuah titik sembarang, tentukan koordinat-koordinat titik S[Mg(P)]!
c). Selidiki apakah S Mg = Mg S?
d). Selidiki apakah S Mh = Mh S?
Penyelesaian:
a). Akan dibuktikan S suatu transformasi.
S : V V
Akan dibuktikan S bijektif.
(i). Akan dibuktikan S surjektif.
(1). Untuk P g .
Ambil sebarang PV.
Jelas prapeta P = P sebab S(P) = P.
(2). Untuk P g .
Oleh karena V bidang euclide maka terdapat dengan tunggal P. dengan P PT dimana
T g dan PT g.
19 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i
Sehingga PX = XT.
Karena PX = XT maka X merupakan titik tengah PT .
Jadi, X adalah titik tengah ruas garis tegak lurus dari P pada g atau X = S(P), karena X =
S(P) maka P prapeta dari X.
Dari (1) dan (2) diperoleh S surjektif.
(ii). Akan dibuktikan S injektif.
Ambil sebarang P, QV dengan P Q.
(1). Untuk P, Q g .
Jelas S(P) = P dan S(Q) = Q.
Karena P Q maka S(P) S(Q).
(2). Untuk P g dan Q g .
Jelas S(P) = P dan S(Q) = X, dimana X titik tengah ruas garis tegak lurus dari Q pada g,
maka X g .
Karena P g dan X g maka P X atau S(P) S(Q).
(3). Untuk P, Q g .
Jelas S(P) = Y, dimana Y titik tengah ruas garis tegak lurus dari P pada g dan S(Q) = X
titik tengah ruas garis tegak lurus dari Q pada g.
Andaikan S(P) = S(Q) atau Y = X.
Karena Y titik tengah ruas garis tegak lurus dari P pada g, misalkan ruas garis tersebut
dinamakan PT dimana T g .
Maka Y PT dan PY = YT
Karena X = Y maka X PT dan PX = XT ..........(*)
Karena S(Q) = X maka X titik tengah ruas garis tegak lurus dari Q pada g, maka X UQ
dan QX = XU ..........(**)
Dari (*) dan (**) diperoleh PT dan UQ berimpit.
Karena T g dan U g maka T = U dan P = Q, hal ini kontradiksi dengan P Q.
b). Diketahui P = (x, y).
(i). Untuk P g .
Mg(P) = P maka S[Mg(P)] = P.
(ii). Untuk P g .
Mg(P) = (x,-y).
S[Mg(P)] = )2
1,( yx .
c). Akan diselidiki apakah S Mg = Mg S.
20 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i
Ambil sebarang P = (x, y).
(i). Untuk P g .
[S(P)]M(P)][M S P (P)M [S(P)]M maka PS(P)
P S(P) (P)][M S maka P (P)Mgg
gg
gg
(ii). Untuk P g .
[S(P)]M(P)][M S
)2
1,(M [S(P)]M maka )
2
1,(S(P)
)2
1,( S(P) (P)][M S maka ),( (P)M
gg
gg
gg
yxyx
yxyx
Berdasarkan (i) dan (ii) diperoleh [S(P)]M(P)][M S gg atau S Mg = Mg S.
d). Akan diselidiki apakah S Mh = Mh S.
Ambil sebarang P = (x, y).
(i). Untuk P g .
(P)][M S[S(P)]M
),0( [S(P)]M maka )0,(S(P)
)2
1,0( (P)][M S maka ),0( (P)M
hh
h
hh
xx
xx
(ii). Untuk P g .
(P)][M S[S(P)]M
),2
1( [S(P)]M maka )
2
1,(S(P)
)2
1,( (P)][M S maka ),( (P)M
hh
h
hh
xyyx
xyxy
Berdasarkan (i) dan (ii) diperoleh (P)][M S[S(P)]M hh atau S Mh Mh S.
10). Diketahui : g = 0, yyx dan h = xyyx ,
S transfomasi (yang didefinisikan seperti nomor 9)
A = (2,-8) dan P = (x, y)
Tentukan koordinat-koordinat titik-titik berikut :
a). Mh Mg S(A) d). Mh S Mg(P)
b). Mg S Mh(A) e). S2 Mh(P)
c). S Mh S(A) f). S M2
g(P)
Penyelesaian:
a). A = (2, -8)
A’ = S(A)
21 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i
Sesuai definisi S (jika P g maka S(P) adalah titik tengah ruas garis tegak lurus dari P pada g)
maka A’ adalah titik tengah garis yang melalui A dan g.
A’ = )4,2()2
)8(0,
2
22(
.
Jadi, S(A) = (2,-4).
A” = MgS(A) = Mg(2,-4)
Sesuai definisi pencerminan, maka garis g adalah garis sumbu titik (2, -4) dan A”. Misal:
A” = (a, b), maka:
4,2)22
,2
1()0,2()2
4,
2
2()0,2(
ba
baba
Jadi, A” = MgS(A) = Mg(2,4) = (4,2)
Selanjutnya A” (4,2) dicerminkan terhadap garis h = xyyx , diperoleh A’” (2,4).
Jadi koordinat titik Mh Mg S(A) adalah A’” (2,4).
b). Diketahui A(2,-8) dicerminkan terhadap garis h = xyyx , .
diperoleh A’ (-8,2)
Selanjutnya A’ ditransformasikan terhadap S. Karena A’ g , maka hasil transformasinya
merupakan titik tengah garis yang melalui A’ dan g.
Titik potong garis yang melalui A’ dan g adalah P(-8,0).
Diperoleh titik A’(-8,2) dan P(-8,0).
Jelas x1 = -8 dan y1 = 2, x2 = -8 dan y2 = 0 sehingga jarak antara A’ dan P adalah
Diperoleh = y = 2.
Jadi hasil transformasi A’ terhadap S adalah A” (x, y) = A” (-8, .2) = A” (-8,1).
Kemudian A” (-8,1) dicerminkan terhadap garis g = 0, yyx diperoleh A’” (-8,-1).
Jadi koordinat titik Mg S Mh(A) adalah A’” (-8,-1).
c). Diketahui A(2,-8) ditransformasikan terhadap S. Karena A g , maka hasil transformasinya
merupakan titik tengah garis yang melalui A dan g.
22 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i
Titik potong garis yang melalui A dan g adalah P(2,0).
Diperoleh titik A(2,-8) dan P(2,0).
Jelas x1 = 2 dan y1 = -8, x2 = 2 dan y2 = 0 sehingga jarak antara A dan P adalah
Diperoleh = y = 8.
Jadi hasil transformasi A terhadap S adalah A’ (x, y) = A’ (2, .8) = A’ (2,4).
Selanjutnya A’(2,4) dicerminkan terhadap garis h = xyyx , diperoleh A”(4,2).
Kemudian A”(4,2) ditransformasikan terhadap S. Karena A” g , maka hasil transformasinya
merupakan titik tengah garis yang melalui A” dan g.
Titik potong garis yang melalui A” dan g adalah P(4,0).
Diperoleh titik A”(4,2) dan P(4,0).
Jelas x1 = 4 dan y1 = 2, x2 = 4 dan y2 = 0 sehingga jarak antara A” dan P adalah
Diperoleh = y = 2.
Jadi hasil transformasi A” terhadap S adalah A”’ (x, y) = A’” (4, .2) = A’” (4,1).
Jadi koordinat titik S Mh S(A) adalah A’” (4,1).
d). Diketahui titik P (x, y).
Titik P (x, y) dicerminkan terhadap garis g = 0, yyx diperoleh P’ (x, -y).
Selanjutnya P’(x, -y) ditransformasikan terhadap S.
(i) Untuk P’ g .
Diperoleh P’’(x, -y) = P’(x, -y).
Kemudian P’’(x, -y) dicerminkan terhadap garis h = xyyx , diperoleh P”’(-y, x).
Jadi koordinat titik Mh S Mg(P) adalah P”’(- y, x).
23 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i
(ii) Untuk P’ g ,.
Jelas hasil transformasinya merupakan titik tengah garis yang melalui P’ dan g.
Titik potong garis yang melalui P’ dan g adalah Q (x, 0).
Diperoleh titik P’(x, -y) dan Q (x, 0).
Jelas x1 = x dan y1 = -y, x2 = x dan y2 = 0 sehingga jarak antara P’ dan Q adalah
Diperoleh = y.
Jadi hasil transformasi P’ terhadap S adalah P” (x, y).
Kemudian P”(x, y) dicerminkan terhadap garis h = xyyx , diperoleh P”’( y, x).
Jadi koordinat titik Mh S Mg(P) adalah P”’( y, x).
e). Diketahui P(x, y).
Titik P(x, y) dicerminkan terhadap garis h = xyyx , diperoleh P’(y, x).
Selanjutnya P’(y, x) ditransformasikan terhadap S. Jelas hasil transformasinya merupakan titik
tengah garis yang melalui P’ dan g.
Titik potong garis yang melalui P’ dan g adalah Q (y, 0).
Diperoleh titik P’(y, x) dan Q (y, 0).
Jelas x1 = y dan y1 = x, x2 = y dan y2 = 0 sehingga jarak antara P’ dan Q adalah
Diperoleh = x.
Jadi hasil transformasi P’ terhadap S adalah P” (y, x).
Kemudian P” (y, x) ditransformasikan terhadap S. Jelas hasil transformasinya merupakan titik
tengah garis yang melalui P” dan g.
Titik potong garis yang melalui P” dan g adalah Q (y, 0).
24 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i
Diperoleh titik P” (y, x) dan Q (y, 0).
Jelas x1 = y dan y1 = x, x2 = y dan y2 = 0 sehingga jarak antara P’ dan Q adalah
Diperoleh .
Jadi hasil transformasi P” terhadap S adalah P”’ (y, x).
Jadi koordinat titik S2 Mh(P) adalah P”’ (y, x).
f). Diketahui titik P(x, y).
Titik P(x, y) dicerminkan terhadap garis g = 0, yyx diperoleh P’(x, -y).
Selanjutnya P’(x, -y) dicerminkan terhadap garis g = 0, yyx diperoleh P’’(x, y).
Kemudian P’’(x, y) ditransformasikan terhadap S.
(i) Untuk P’’ g .
Diperoleh P’’’(x, y) = P’’(x, y).
Jadi koordinat titik S M2
g(P) adalah P’’’(x, y).
(ii) Untuk P’’ g ,.
Jelas hasil transformasinya merupakan titik tengah garis yang melalui P’’ dan g.
Titik potong garis yang melalui P’’ dan g adalah Q (x, 0).
Diperoleh titik P’’(x, y) dan Q (x, 0).
Jelas x1 = x dan y1 = y, x2 = x dan y2 = 0 sehingga jarak antara P’ dan Q adalah
Diperoleh = y.
Jadi hasil transformasi P’’ terhadap S adalah P”’ (x, y).
25 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i
Jadi koordinat titik S M2
g(P)adalah P”’ (x, y).
11). Diketahui : andaikan g dan h dua garis yang tegak lurus
A, B, C adalah tiga buah titik, sehingga Mg(A) = B dan Mh(A) = C
Ditanyakan : tentukan titik-titik
a). M3
g(A) c). MhMgMhMhMg(A)
b). MhMgMh(A) d). M2
gM3
h(A)
Penyelesaian:
Misalkan seperti gambar berikut:
a). M3
g(A) = (MgMgMg)(A) c). MhMgMhMhMg(A)
= (MgMg)[Mg(A)] = (MhMgM2
h)[Mg(A)]
= (MgMg)(B) = (MhMgM2
h)(B)
= Mg[Mg(A)] = (MhMg)[M2h(B)]
= Mg(A) = (MhMg)(B)
= B = Mh[Mg(B)]
= Mh(A)
= C
b). (MhMgMh)(A)= (MhMg)[Mh(A)] d). M2
gM3
h(A) = (M2
gMh)[M2
h (A)]
= (MhMg)(C) = (M2
gMh)(A)
= Mh[Mg(C)] = M2
g[Mh(A)]
= Mh(D) = M2
g(C)
= B = C
12). Diketahui : dua garis, g // h, titik-titik P dan Q, P g dan P h
Ditanyakan :
a). Lukislah P” = MgMh(P) dan Q” = MgMh(Q)!
b). Berbentuk apakah segiempat PP”QQ”?
c). Buktikan pendapat anda!
Penyelesaian:
a).
B(x,y) A(-x,y)
C(-x,-y) D(x,-y)
g
h
g h
Q
Q’ = Mh(Q) MgMh(Q) = Q”
26 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i
b). Segiempat PP”Q”Q berbentuk jajargenjang
c). g // h, P” = MgMh(P), dan Q” = MgMh(Q)
Jadi, Q"P" = MgMh( PQ )
Karena pencerminan suatu isometri, maka Q"P" // PQ dan Q"P" = PQ , dengan demikian
segiempat PP”Q”Q suatu jajargenjang (berdasarkan teorema “segiempat yang memiliki sepasang
sisi yang sejajar dan sama panjang adalah jajargenjang”).
13). Diketahui : g = ,3, yyx h = ,1, yyx dan k sebuah garis yang melalui A = (1,4) dan B = (-
1,-2)
Tentukanlah :
a). Persamaan k’ = MgMh(k)
b). Luas segiempat AA”BB” apabila A” = MgMh(A) dan B” = MgMh(B)
c). Koordinat P” = MgMh(P), P” = MgMh(P) apabila P = (x, y)
d). Nilai dalam persamaan garis α, yyxh apabila ,2, xyxg A = (5,1), dan A” =
MhMg(A) = (-3,1)
Penyelesaian:
a). k’ = MgMh(k)
Karena A(1,4) k dan B(-1,-2) k , sehingga A”=MgMh(A) k dan B”=MgMh(B) k .
Diperoleh A” = MgMh(A) = Mg[Mh(1,4)] = Mg (1,-6) = (1,12), dan
B” = MgMh(B) = Mg[Mh(-1,-2)] = Mg (-1,0) = (-1,6).
Misal A” = ),( 11 yx dan B” = ),( 22 yx sehingga x1 = 1 dan y1 = 12, x2 = -1 dan y2 = 6
Persamaan garis k’:
11
1
126
12
12
1
12
1
xy
xx
xx
yy
yy
27 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i
93
3312
)1(312
2
1
6
12
xy
xy
xy
xy
Jadi, persamaan garis 93:' xyk
b). Dari gambar dapat dilihat bahwa AA”B”B membentuk bangun jajargenjang dengan alas(a) = 2 dan
tinggi(t) = 8.
Diperoleh luas jajargenjang = a x t = 2 x 8 = 16
Jadi, luas AA”B”B = 16 satuan luas.
c). Diketahui titik P ),( yx .
Pencerminan titik P terhadap garis h = ,1, yyx Mh(P) = P’ )','( yx
Karena garis h = ,1, yyx merupakan sumbu PP’, sehingga -1 merupakan titik tengah dari y
dan y’:
2'2'12
'
yyyy
yy dan xx '
Jadi, koordinat titik P’(x, -y – 2).
Pencerminan titik P’ terhadap garis g = ,3, yyx Mg[Mh(P)] = P” )","( yx
A”(1,12)
A(1,4)
B(-1,-2)
B”(-1,6)
4
6
12
1
-2
-1
28 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i
Karena garis g = ,3, yyx merupakan sumbu P’P”, sehingga 3 merupakan titik tengah dari y’
dan y”:
8")2(6"'6"6"'32
"'
yyyyyyyy
yy
Dan xxx '"
Jadi, koordinat titik P”(x, y + 8).
d). α, yyxh , ,2, xyxg A = (5,1), dan A” = MhMg(A) = (-3,1), berapa ?
Pencerminan titik A terhadap garis 2, xyxg : Mg(A) = A’ )','( yx
Karena garis 2, xyxg merupakan sumbu AA’ (dari definisi pencerminan), sehingga x = 2
merupakan titik tengah 5 dan x’ sedangkan y’ = 1 (tetap).
1'4'522
'5
xx
x
Jadi, A’ = Mg(5,1) = (-1,1)
Pencerminan titik A’ terhadap garis α, yyxh : A” = Mh(A’) = Mh(-1,1) = (-3,1)
Karena garis α, yyxh merupakan sumbu A’A” (dari definisi pencerminan), sehingga x =
merupakan titik tengah -1 dan -3 sedangkan y” = y = 1.
2αα2
)3(1
Jadi, 2α .
Jadi, persamaan garis 2, yyxh
14). Diketahui : dua garis, g h, Q ,hg dan sebuah titik P ,g dan P h
Ditanyakan :
a). Lukislah A = MgMh(P)
b). Selidiki apakah Q titik tengah ?AP
c). Lukislah B = MhMg(P)
Penyelesaian:
a). A = MgMh(P)
A Mh(P)=P’
P
Q
g
h R
S
29 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i
b). Misalkan Mh(P) = P’
Maka PP' memotong h di titik R dan AP' memotong g di titik S.
Karena P’ adalah pencerminan dari P maka PR = RP’ dan PP' h.
Karena A adalah pencerminan dari P’ maka P’S = SA dan AP' g.
Karena PP' h dan g h maka PP'// g sehingga RP’ = QS.
Karena AP' g dan g h maka AP' // h sehingga P’S = RQ.
Perhatikan PRQ dan QSA
PR = RP’ dan RP’ = QS maka PR = QS
m(PRQ) = m(QSA) = 90
RQ = P’S dan P’S = SA maka RQ = SA
Jadi berlaku aturan S Sd S.
Berdasarkan sistem aksioma kekongruenan maka PRQ QSA.
Akibatnya PQ = QA.
Karena PQ = QA dan PQ PA dan QA PA maka Q tengah-tengah PA .
Jadi, titik Q pada pertengahan PA .
c). B = MhMg(P)
15). Diketahui : h adalah sumbu-X dan g sumbu-Y sebuah sistem sumbu ortogonal
A = (4,-3) dan P = (x,y)
Tentukanlah :
a). Koordinat-koordinat MhMg(A) dan MgMh(A)
b). Koordinat-koordinat MhMg(P)
c). Apakah MhMg dan MgMh?
Penyelesaian:
P Mg(P)
B g
h
30 | H a s i l k a l i T r a n s f o r m a s i
a). MhMg(A) = Mh[Mg(A)]
= Mh[Mg(4,-3)]
= Mh(-4,-3)
= (-4,3)
MgMh(A) = Mg[Mh(A)]
= Mg[Mh(4,-3)]
= Mg(4,3)
= (-4,3)
b). MhMg(P) = Mh[Mg(x, y)]
= Mh(-x, y)
= (-x,-y)
c). MgMh(P) = Mg[Mh(x, y)]
= Mg(x,-y)
= (-x, -y)
Ternyata MhMg(P) = (-x,-y) = MgMh(P).
Jadi, MhMg(P) = MgMh(P).