KEDUDUKAN GARIS TERHADAP BIDANG

Adaptif

KEDUDUKAN GARIS TERHADAP GARIS

Macam-macam kemungkinan kedudukan Garis terhadap Garis dalam Bidang:1)

h garis g dan garis h berpotongan

g

2)

g

h

garis g dan garis h sejajar

GeometriHal.: 2

Adaptif

3)

g

Dalam bidang terdapat garis g, kemudian terdapat sebuah garis h yang menembus bidang dan garis h tidak memiliki satupun titik persekutuan dengan garis g.

garis g dan garis h bersilangan

GeometriHal.: 3

Adaptif

Aksioma Dua Garis Sejajar

aksioma 4h

Ag

Melalui sebuah titik yang berada di luar garis, hanya dapat dibuat sebuah garis yang sejajar dengan garis itu.

pada gambar di atas, titik A berada di luar garis g. melalui titik A dan garis g dapat dibuat bidang (ingat dalil 2, sebuah bidang ditentukan oleh sebuah titik dan sebuah garis). Selanjutnya melalui titik A dibuat sebuah garis h yang sejajar garis g.

GeometriHal.: 4

Adaptif

Dalil-dalil Dua Garis Sejajar

Dalil 5kgaris k sejajar garis

llgaris l sejajar garis

mm

Maka garis k sejajar garis m

GeometriHal.: 5

Adaptif

Dalil 6h

garis k sejajar garis h

kgaris k memotong garis g

lgaris l sejajar garis h

gjuga memotong garis g

Maka garis-garis k, l, dan g terletak pada sebuah bidang

GeometriHal.: 6

Adaptif

• Dalil 7

kgaris k sejajar garis l

lgaris l menembus bidang maka garis k menembus

bidang

GeometriHal.: 7

Adaptif

Kedudukan Garis terhadap Bidang

1)g

A B

Sebuah garis g dikatakan terletak pada bidang jika garis g dan bidang a sekurang-kurangnya mempunyai dua titik persekutuan

(sesuai aksioma 2, jika sebuah garis dan sebuah bidang mempunyai dua titk persekutuan, maka garis itu seluruhnya terletak pada bidang)

GeometriHal.: 8

Adaptif

2)

h

garis h sejajar bidang α ?

Sebuah garis h dikatakan sejajar dengan bidang , jika garis h dan bidang tidak mempunyai satupun titik persekutuan.

GeometriHal.: 9

Adaptif

3)

k

Garis k menembus/memotong bidang α ??

Sebuah garis k dikatakan memotong atau menembus bidang α, jika garis k dan bidang α hanya mempunyai sebuah titik persekutuan.

GeometriHal.: 10

Adaptif

Contoh Soal:

1. Diketahui kubus ABCD EFGH

g

Rusuk AB sebagai wakil garis g.

» Rusuk-rusuk kubus yang berpotongan dengan garis g adalah.......

(AD, AE, BC,dan BF)

» Rusuk-rusuk kubus yang sejajar dengan garis g adalah.....

(DC, EF,dan HG).

» Rusuk-rusuk kubus yang bersilangan dengan garis g adalah.....

(CG, DH, EH, dan FG).

» Adakah rusuk kubus yang berimpit dengan garis g?

(AB)

A B

CD

E F

GH

GeometriHal.: 11

Adaptif

2. Diketahui kubus

Rusuk-rusuk kubus yang terletak pada bidang U adalah.....(AB, AD, BC, dan CD).

Rusuk-rusuk kubus yang sejajar dengan bidang U adalah.....(EF, EH, FG, dan GH).

Rusuk-rusuk kubus yang memotong atau menembus bidang U adalah.... (EA, FB, GC, dan HD).

A B

CD

E F

GH

U

GeometriHal.: 12

Adaptif

Dalil-dalil tentang Garis Sejajar Bidang

Dalil 8g

h

jika garis g sejajar garis h dan garis h terletak pada bidang , maka garis g sejajar bidang .

GeometriHal.: 13

Adaptif

Dalil 9

g

Jika bidang melalui garis g dan garis g sejajar bidang β, maka garis potong antara bidang dan bidang β akan sejajar terhadap garis g

GeometriHal.: 14

Adaptif

Dalil 10g h

jika garis g sejajar dengan garis h dan garis h sejajar terhadap bidang , maka garis g sejajar terhadap bidang

GeometriHal.: 15

Adaptif

Dalil 11

(,) g

Jika bidang dan bidang β berpotongan dan masing-masing sejajar terhadap garis g, maka garis potong antara bidang dan bidang β akan sejajar garis g.

GeometriHal.: 16

Adaptif

Catatan: dalam dalil 9 dan dalil 11 memerlukan konsep garis potong antara dua buah bidang.

konsep garis potong antara dua bidang akan kita pelajari di pertemuan selanjutnya.

GeometriHal.: 17

Adaptif

Sudut dan bidang pada penggambaran bangun ruang

A. Perpotongan garis dengan bidang Jika ada sebuah garis dan suatu titik ke suatu bidang

sebuah bidang maka akan di peroleh 3 kemungkinan: 1. Garis terletak pada bidang,jika semua titik pada garis terletak pada bidang tersebut. 2. Garis sejajar bidang ,jika antara garis dan bidang tidak mempunyai satupun titik persekutuan. 3. Garis memotong bidang,jika antara garis dengan bidang hanya mempunyai satu titik persekutuan.

B. Jarak titik ke bidang Jarak suatu titik ke satu bidang adalah jarak dari titik tersebut ke proyeksi bidangnya.

GeometriHal.: 18

Adaptif

Sudut dan bidang pada penggambaran bangun ruang

c. Sudut antara garis dan bidang Sudut antara garis dan bidang adalah sudut antara garis tersebut dengan proyeksi garis pada bidangD. Sudut antara dua bidag

Sudut dua bidang yang berpotonganpada garis AB adalah sudut antara dua garis yang terletak pada bidang,masing-masing tegak lurus pada bidang AB dan berpotongan pada satu titik

GeometriHal.: 19

Adaptif

Jarak pada bangun ruang

1. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. Titik P,Q dan R berturut-turut terletak pada pertengahan garis AB,BC dan bidang ADHE,

Hitunglah jarak antara: a. titik P ke titik R b. titik Q ke titik R c. titik H ke gar is AC Jawab : a. Perhatikan bahwa ∆PAR siku-siku di A

AP = ½AB = 4 cm

AR = ½AH =½

=

PR =

=

=

Jadi jarak titik P ke titik R adalah

22 DHAD

• •

•

A

C

B

E

D

F

GH

R

P

QS

•

24882

1 22

22 ARAP

22 )24(4

3448

cm34

GeometriHal.: 20

Adaptif

Distances in Polyhedral

1. Given a cube ABCD.EFGH with edge lengt 8 cm. Points P,Q and R are in the mid points of edges AB,BC and plane ADHE respectively .

Find the distance between: a. Poins P and R b. Poins Q and R c. Point H and line ACAnswer : a. See that ∆PAR has a right angle on A

AP = ½AB = 4 cm

AR = ½AH =½

=

PR =

=

=

So, the distance points P and R is

22 DHAD

• •

•

A

C

B

E

D

F

GH

R

P

QS

•

24882

1 22 22 ARAP 22 )24(4

3448

cm34

GeometriHal.: 21

Adaptif

Sudut antara garis dan bidang

Contoh:Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 10 cm a. Lukis sudut antara garis AG dan bidang ABCD. b. Hitung besar sudutnyaJawab : a.Proyeksi garis AG pada bidang ABCD adalah garis AC Jadi, sudut antara garis AG dan bidang ABCD adalah GAC = b. Perhatikan bahwa CG = 10 cm dan AC= 10

cm karena AC merupakan diagonal sisi kubus. Perhatikan bahwa segitiga GAC adalah siku-siku di C,maka: tan = atau =35,30

A B

CD

G

E F

H

2

22

1

210

10

AC

CG

Jadi besar sudut antara garis AG dan bidang ABCD adalah = 35,30

GeometriHal.: 22

Adaptif

Angle Formed by line and a plane

Example.Given a cube ABCD.EFGH with edge length 10 cm. a. Draw an angle between line AG and plane ABCD. b. Measure the angle size.Answer : a. Proyektion of line AG onto plane ABCD is line AC So, the angle between line AG and plane ABCD is GAC = b. See that CG = 10 cm and AC= 10 cm because AC is the diagonal of cube’s fase. See that GAC has a right agle on C, then tan = atau =35,30

A B

CD

G

E F

H

2

22

1

210

10

AC

CG

Jadi besar sudut antara garis AG dan bidang ABCD adalah = 35,30

GeometriHal.: 23

Adaptif

Sudut antara bidang dan bidang

Contoh: Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk asatuan. Lukis dan hitunglah besar sudut antara bidang BDE dengan

bidang BDGJawab : Perhatikan gambar berikut. Sudut antara bidang BDE dan

bidang BDG adalah .Perhatikanlah ∆EPA siku-siku di A sehingga.

A

PE = 22 AEAP

22

22

1aa

62

1

2

3

2

1 222 aaaa

Karena ∆GCP ∆EAP maka PG =PE = 62

1a

GeometriHal.: 24

Adaptif

Sudut antara bidang dan bidang

Perhatikan ∆EGP. Dari aturan cosinus diperoleh

Cos = PGPE

EGPGPE

..2

222

3

1

362

1.6

2

1.2

1.2

262

16

2

1

2

2

222

a

a

aa

aaa

= 70,530

Jadi, sudut antara bidang BDE dengan bidang BDG adalah = 70,530

GeometriHal.: 25

Adaptif

Angle Formed by to plane

Example: Give a cube ABCD.EFGH with edge length a units. Sketch and calculate the size of angle between plane BDE and

plane BDGAnswer: See the following figure. An angle between plane BDE and plane

BDG is . See ∆EPA has a right angle on A,thus

A

PE = 22 AEAP

22

22

1aa

62

1

2

3

2

1 222 aaaa

Bicause ∆GCP ∆EAP then PG =PE = 62

1a

GeometriHal.: 26

Adaptif

Angle Formed by to plane

See ∆EGP. Frome cosine Rule, resulting

Cos = PGPE

EGPGPE

..2

222

3

1

362

1.6

2

1.2

1.2

262

16

2

1

2

2

222

a

a

aa

aaa

= 70,530

So, the size angle between plane BDE and plane BDG is = 70,530

GeometriHal.: 27

Adaptif

SELAMAT BELAJARTERIMA KASIH

GeometriHal.: 28