Post on 06-Feb-2018
ESTIMASI PARAMETER DISTRIBUSI LOGLOGISTIK PADA DATA TERSENSOR PROGRESSIVE TIPE II DENGAN MENGGUNAKAN
ALGORITMA EM
SKRIPSI
ANNAS RIEZKI ROMADHONI
PROGRAM STUDI S-1 MATEMATIKA
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS AIRLANGGA 2012
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Estimasi Parameter Distribusi Loglogistik pada Data Tersensor Progressive Tipe II dengan Menggunakan Algoritma EM
Romadhoni, Annas Riezki
ii
ESTIMASI PARAMETER DISTRIBUSI LOGLOGISTIK PADA DATA TERSENSOR PROGRESSIVE TIPE II DENGAN
MENGGUNAKAN ALGORITMA EM
SKRIPSI
Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains Bidang Matematika
Pada Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Airlangga
Disetujui Oleh :
Pembimbing I,
Toha Saifudin, S.Si, M.Si NIP. 19750106 199903 1 002
Pembimbing II,
Drs. Eko Tjahjono, M.Si NIP . 19600706 198601 1 001
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Estimasi Parameter Distribusi Loglogistik pada Data Tersensor Progressive Tipe II dengan Menggunakan Algoritma EM
Romadhoni, Annas Riezki
iii
LEMBAR PENGESAHAN NASKAH SKRIPSI
Judul : Estimasi Parameter Distribusi Loglogistik Pada Data Tersensor Progressive Tipe II Dengan Menggunakan Algoritma EM
Penyusun : Annas Riezki Romadhoni NIM : 080810165 Tanggal Ujian : 10 Agustus 2012
Disetujui oleh :
Pembimbing I,
Toha Saifudin, S.Si, M.Si NIP. 19750106 199903 1 002
Pembimbing II,
Drs. Eko Tjahjono, M.Si NIP . 19600706 198601 1 001
Mengetahui : Ketua Program Studi S-1 Matematika
Departemen Matematika Fakultas Sains dan Teknologi
Universitas Airlangga
Dr. Miswanto, M.Si NIP. 19680204 199303 1 002
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Estimasi Parameter Distribusi Loglogistik pada Data Tersensor Progressive Tipe II dengan Menggunakan Algoritma EM
Romadhoni, Annas Riezki
iv
PEDOMAN PENGGUNAAN SKRIPSI
Skripsi ini tidak dipublikasikan, namun tersedia di perpustakaan dalam
lingkungan Universitas Airlangga, diperkenankan untuk dipakai sebagai referensi kepustakaan, tetapi pengutipan harus seizin penyusun dan harus menyebutkan sumbernya sesuai kebiasaan ilmiah. Dokumen skripsi ini merupakan hak milik Universitas Airlangga.
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Estimasi Parameter Distribusi Loglogistik pada Data Tersensor Progressive Tipe II dengan Menggunakan Algoritma EM
Romadhoni, Annas Riezki
v
KATA PENGANTAR
Alhamdulillah, puji syukur senantiasa penulis panjatkan kepada Allah SWT
yang telah melimpahkan rahmat, karunia, dan hidayahnya-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul “Estimasi Parameter Distribusi Loglogistik Pada Data Tersensor Progressive Tipe II Dengan Menggunakan Algoritma EM”. Pada kesempatan yang telah diberikan ini, penulis ingin menyampaikan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada : 1. Kedua orang tua dan adik penulis yang telah memberikan dukungan, kasih
sayang, dan kepercayaan yang begitu besar. 2. Dr. Miswanto, M.Si., selaku Ketua Prodi S-1 Matematika yang telah
memberikan arahan dan bimbingan kepada penulis. 3. Toha Saifudin, S.Si, M.Si dan Drs Eko Tjahjono, M.Si selaku dosen
pembimbing I dan II yang telah memberikan arahan, masukan, perhatian, rasa sabar yang begitu besar dan pengetahuan yang tidak ternilai.
4. Ahmadin, S.Si, M.Si. selaku dosen wali yang telah banyak memberikan nasehat dan saran demi mencapai kesuksesan di dunia dan akhirat.
5. Seluruh dosen Universitas Airlangga, terima kasih untuk segala ilmu yang diberikan.
6. Teman-teman Matematika 2008, kakak-kakak 2007, adik-adik 2009 dan 2010 terima kasih untuk semua bantuan dan rasa kekeluargaan yang telah terjalin selama ini.
7. Rekan-rekan seperjuangan HMI (Himpunan Mahasiswa Islam) yang telah memberikan pembelajaran yang sangat luar biasa. YAKUSA!!!
8. Serta pihak-pihak lain yang tidak dapat disebutkan satu persatu, terima kasih atas segala bantuannya selama ini.
Penulis menyadari skripsi ini masih jauh dari kesempurnaan. Untuk itu penulis mengharapkan kritik dan saran yang bersifat membangun dari pembaca. Semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi semua pembaca.
Surabaya, Agustus 2012
Penyusun
Annas Riezki Romadhoni
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Estimasi Parameter Distribusi Loglogistik pada Data Tersensor Progressive Tipe II dengan Menggunakan Algoritma EM
Romadhoni, Annas Riezki
vi
Annas Riezki Romadhoni, 2012. Estimasi Parameter Distribusi Loglogistik pada Data Tersensor Progressive Tipe II dengan Menggunakan Algoritma EM. Skripsi ini dibawah bimbingan Toha Saifuddin, S.Si, M.Si. dan Drs. Eko Tjahjono, M.Si, Departeman Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Unversitas Airlangga.
ABSTRAK
Distribusi Loglogistik adalah distribusi yang biasa digunakan dalam analisis data tahan hidup karena logaritma natural dari variabel-variabel tahan hidupnya terdistribusi secara logistik. Distribusi Loglogistik mempunyai dua parameter yaitu parameter skala dan parameter bentuk . Penulisan ini bertujuan untuk memperoleh estimator parameter distribusi Loglogistik pada data tersensor progressive tipe II. Metode yang digunakan dalam penulisan ini adalah metode Maximum Likelihood dengan algoritma EM. Algoritma EM terdiri dari dua tahap yaitu tahap E dan M. Pada tahap E dilakukan perhitungan ekspektasi bersyarat dari fungsi ln likelihood dan pada tahap M dilakukan perhitungan untuk memaksimalkan ekspektasi bersyarat dari fungsi ln likelihood hingga mendapatkan nilai yang konvergen. Software yang digunakan untuk mempermudah mendapatkan nilai estimator parameter distribusi Loglogistik adalah Mathematica. Pada kasus logaritma natural dari waktu terurainya Isolator Zat Cair pada voltase 34 KV dengan sampel pengamatan dan kegagalan yang diamati masing-masing sebesar 19 dan 8, sedangkan skema penyensorannya adalah diperoleh nilai estimator parameter untuk sebesar 6,526 dan sebesar 1,108.
Kata Kunci: Distribusi Loglogistik, Data Tersensor Progressive Tipe II, Maximum Likelihood Estimator, Algoritma EM.
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Estimasi Parameter Distribusi Loglogistik pada Data Tersensor Progressive Tipe II dengan Menggunakan Algoritma EM
Romadhoni, Annas Riezki
vii
Annas Riezki Romadhoni, 2012. Estimation of Parameter of The Loglogistic Distribution based on Progressive Type-II Censoring Using The EM Algorithm. This Skripsi is supervised by Toha Saifuddin, S.Si, M.Si. and Drs. Eko Tjahjono, M.Si, Mathematics Department, Faculty of Sains and Technology, Airlangga University
ABSTRACT
The Loglogistic distribution is a commonly used distribution in lifetime
data analysis because natural logarithm of the lifetime variables are logistically distributed. Loglogistic distribution has two parameters, that are the scale parameter and shape parameter . The main objective of this paper is to get parameter estimator of the Loglogistic distribution based on Progressive type-II censoring. The method that used in this paper is Maximum Likelihood method with EM Algorithm. EM algorithm is consist of two steps, that are E-step and M-step. E-step requires the algorithm to calculate conditional expectation of log-likelihood function and M-step calculation to maximize the conditional expectation of log-likelihood function until get a convergen value. Software that used to get the parameter estimator of the Loglogistic distribution easily is Mathematica. On natural logarithm case from the time of disintregation of the isolator fluid at 34 KV voltage with sample observations and observed failure are given respectively by 19 and 8, then the censored scheme is then obtained the estimator value of parameter for is 6,526 and for is 1,108.
Keywords : Loglogistic distribution, Progressive Type II Censored, Maximum Likelihood Estimator, EM Algorithm
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Estimasi Parameter Distribusi Loglogistik pada Data Tersensor Progressive Tipe II dengan Menggunakan Algoritma EM
Romadhoni, Annas Riezki
viii
DAFTAR ISI
Halaman
LEMBAR JUDUL ............................................................................................... i
LEMBAR PERNYATAAN ................................................................................ ii
LEMBAR PENGESAHAN ............................................................................... iii
LEMBAR PEDOMAN PENGGUNAAN SKRIPSI .......................................... iv
KATA PENGANTAR ........................................................................................ v
ABSTRAK ......................................................................................................... vi
ABSTRACT ...................................................................................................... vii
DAFTAR ISI ................................................................................................... viii
DAFTAR GAMBAR ......................................................................................... x
DAFTAR LAMPIRAN ...................................................................................... xi
BAB I PENDAHULUAN ................................................................................... 1
1.1 Latar Belakang Masalah ................................................................. 1
1.2 Rumusan Masalah .......................................................................... 4
1.3 Tujuan ............................................................................................ 4
1.4 Manfaat .......................................................................................... 5
BAB II TINJAUAN PUSTAKA ........................................................................ 6
2.1 Analisis Data Uji Hidup ................................................................. 6
2.2 Distribusi Probabilitas .................................................................... 6
2.3 Distribusi Loglogistik .................................................................... 8
2.4 Distribusi Logistik .......................................................................... 8
2.5 Sampel Lengkap ............................................................................. 9
2.6 Sampel Tersensor Progressive Tipe II ........................................... 9
2.7 Nilai Ekspektasi ........................................................................... 10
2.8 Estimasi ........................................................................................ 11
2.9 Least Squares Estimation ............................................................. 14
2.10 Estimasi Kaplan Meier ................................................................. 15
2.11 Newton-Raphson .......................................................................... 15
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Estimasi Parameter Distribusi Loglogistik pada Data Tersensor Progressive Tipe II dengan Menggunakan Algoritma EM
Romadhoni, Annas Riezki
ix
2.12 MINITAB 14 ................................................................................ 16
2.13 Mathematica ................................................................................. 16
BAB III METODE PENELITIAN.................................................................... 17
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN .......................................................... 21
4.1 Estimasi Parameter Distribusi Loglogistik Pada Data Tersensor
Progressive Tipe II dengan Menggunakan Algoritma EM ................... 21
4.2 Algoritma Program ...................................................................... 47
4.3 Penerapan Pada Data Tersensor Progressive Tipe II ....................... 49
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN ............................................................ 56
5.1 Kesimpulan ..................................................................................... 56
5.2 Saran . .............................................................................................. 58
DAFTAR PUSTAKA ....................................................................................... 59
LAMPIRAN
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Estimasi Parameter Distribusi Loglogistik pada Data Tersensor Progressive Tipe II dengan Menggunakan Algoritma EM
Romadhoni, Annas Riezki
x
DAFTAR GAMBAR
Nomor Judul Halaman
2.1 Skema Penyensoran Progressive Tipe II 9
4.1 Plot data waktu terurainya isolator zat cair pada tegangan 34 KV 50
4.2 Plot data waktu terurainya isolator zat cair pada tegangan 34 KV
tersensor progressive tipe II 51
4.3 Plot data log natural waktu terurainya isolator zat cair pada
Tegangan 34 KV tersensor progressive tipe II 52
4.4 Grafik estimasi fungsi survival 54
4.5 Tabel estimasi fungsi survival 55
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Estimasi Parameter Distribusi Loglogistik pada Data Tersensor Progressive Tipe II dengan Menggunakan Algoritma EM
Romadhoni, Annas Riezki
xi
DAFTAR LAMPIRAN
Nomor Judul
1. Data Sampel Lengkap Waktu Terurainya Isolator Zat Cair Pada
Tegangan 34kV.
2. Data Sampel Tersensor Progressive Tipe II Waktu Terurainya Isolator
Zat Cair Pada Tegangan 34kV.
3. Program Untuk Menentukan Estimasi Parameter Distribusi Loglogistik
Pada Data Tersensor Progressive Tipe II.
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Estimasi Parameter Distribusi Loglogistik pada Data Tersensor Progressive Tipe II dengan Menggunakan Algoritma EM
Romadhoni, Annas Riezki
1
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Masalah
Globalisasi ekonomi merupakan suatu keadaan ekonomi dimana kegiatan
perekonomian bersifat terbuka tanpa adanya batas-batas wilayah antara daerah
yang satu dengan daerah yang lainnya. Hal ini menyebabkan persaingan produk
yang diproduksi oleh setiap perusahaan semakin berat. Salah satu yang menjadi
tolak ukur keberhasilan persaingan ini adalah kualitas suatu produk. Untuk
mengetahui kualitas suatu produk sebelum dipasarkan kepada konsumen, perlu
diadakan suatu penelitian yang berkaitan dengan pengamatan suatu keandalan
atau daya tahan hidup komponen. Hal ini dikarenakan sangat berguna dalam
pengujian tentang bagaimana suatu komponen dapat berfungsi sebagaimana
mestinya dalam waktu yang ditentukan.
Analisa data tahan hidup (survival analysis) adalah suatu metode untuk
menganalisis data yang berhubungan dengan waktu, mulai dari time origin atau
start-point sampai dengan terjadinya suatu kejadian khusus atau end-point
(Collet, 1994). Bentuk pengujian data tahan hidup adalah pengujian waktu tahan
hidup suatu komponen pada saat digunakan hingga mati atau ketika pasien
terjangkit penyakit hingga meninggal. Jika semua benda atau individu diuji
sampai terjadinya kematian atau kegagalan maka disebut sampel lengkap. Metode
tersebut mempunyai keuntungan yaitu semua komponen dapat teramati. Tetapi
metode tersebut juga mempunyai kelemahan diantaranya yaitu waktu yang
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Estimasi Parameter Distribusi Loglogistik pada Data Tersensor Progressive Tipe II dengan Menggunakan Algoritma EM
Romadhoni, Annas Riezki
2
diperlukan untuk melakukan penelitian sangat lama dan biaya yang diperlukan
sangat besar. Hal ini sangat merugikan bagi suatu instansi dalam pengadaan
penelitian. Untuk itu, perlu dilakukan penyensoran data agar lebih efisien dari segi
waktu dan biaya.
Dalam statistika, ada banyak jenis penyensoran yang dapat digunakan untuk
mempercepat suatu penelitian. Pada kesempatan ini penulis menggunakan
penyensoran progressive tipe II yang merupakan pengembangan dari penyensoran
tipe II. Alasan menggunakan jenis penyensoran ini adalah waktu yang dibutuhkan
untuk melakukan penelitian relatif lebih cepat, karena dengan cara mengambil
sebagaian data untuk tidak diamati. Hal ini menyebabkan biaya yang dikeluarkan
relatif sedikit. Menurut Wu (2002), penyensoran progressive tipe II adalah
pengamatan terhadap sampel dengan kegagalan yang diamati dengan syarat
bilangan bulat, sedemikian sehingga pada saat terjadi kegagalan yang
pertama, dari unit yang survive secara acak dikeluarkan dari pengamatan,
sedangkan pada pengamatan kegagalan yang kedua, unit penelitian yang
survive secara acak dikeluarkan lagi. Penelitian ini berhenti pada saat
kegagalan diamati dan ini berarti unit yang
survive semua dikeluarkan.
Untuk menganalisis dan mempresentasikan data uji hidup maka diperlukan
suatu distribusi. Sehingga analisis terhadap data uji hidup dapat dilakukan secara
parametrik. Data yang digunakan dalam penelitian berupa waktu yang bertipe
kontinu, sehingga distribusi probabilitas yang digunakan adalah bertipe kontinu.
Menurut Kus dan Kaya (2006), distribusi Loglogistik adalah distribusi yang biasa
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Estimasi Parameter Distribusi Loglogistik pada Data Tersensor Progressive Tipe II dengan Menggunakan Algoritma EM
Romadhoni, Annas Riezki
3
digunakan dalam analisis data tahan hidup karena logaritma natural dari variabel-
variabel tahan hidupnya terdistribusi secara logistik. Adapun fungsi kepadatan
peluang (fkp) distribusi Loglogistik sebagai berikut:
Berdasarkan uraian di atas, diperlukan suatu metode yang digunakan dalam
penarikan kesimpulan mengenai suatu populasi yang biasa disebut inferensi
statistik. Salah satu metode yang sering digunakan adalah Maximum Likelihood.
Penyelesaian akhir metode ini umumnya membutuhkan iterasi numerik. Salah
satu Algoritma yang dapat dipakai adalah algoritma EM. Algoritma EM adalah
metode optimisasi iteratif untuk estimasi Maksimum Likelihood yang berguna
dalam permasalahan data yang tidak lengkap. Dalam algoritma EM ini terdapat 2
tahap, yaitu tahap Ekspektasi (tahap E) dan tahap Maksimasi (tahap M).
Berdasarkan permasalahan diatas, maka penulis tertarik untuk melakukan
studi jurnal estimasi parameter distribusi Loglogistik pada data tersensor
progressive tipe II dengan menggunakan algoritma EM yang diambil dari jurnal
yang berjudul “Estimation of Parameter of The Loglogistic Distribution Based on
Progressive Censoring Using The EM Algorithm” yang ditulis oleh Kus dan Kaya
(2006). Pada penulisan skripsi ini juga disertakan program untuk mencari estimasi
parameter distribusi Loglogistik menggunakan software Matematica. Selanjutnya
dilakukan penerapan pada data waktu terurainya isolator zat cair pada tegangan 34
KV yang didapatkan dari jurnal yang sama.
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Estimasi Parameter Distribusi Loglogistik pada Data Tersensor Progressive Tipe II dengan Menggunakan Algoritma EM
Romadhoni, Annas Riezki
4
1.2 Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang permasalahan diatas, maka rumusan masalah
yang dibahas adalah:
1. Bagaimana mengestimasi parameter distribusi Loglogistik pada data
tersensor progressive tipe II dengan menggunakan algoritma EM?
2. Bagaimana membuat program pada software Matematica untuk
mengestimasi parameter distribusi Loglogistik pada data tersensor
progressive tipe II dengan menggunakan algoritma EM?
3. Bagaimanakah aplikasi estimasi parameter distribusi Loglogistik pada data
tahan hidup tersensor Progressive Tipe II dengan menggunakan algoritma
EM?
1.3 Tujuan
1. Mengestimasi parameter distribusi Loglogistik pada data tersensor
progressive tipe II dengan menggunakan algoritma EM.
2. Membuat program pada software Mathematica untuk mengestimasi
parameter distribusi Loglogistik pada data tersensor progressive tipe II
dengan menggunakan algoritma EM.
3. Menerapkan hasil yang diperoleh dari estimasi parameter distribusi
Loglogistik pada data tahan hidup tersensor progressive tipe II dengan
menggunakan algoritma EM.
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Estimasi Parameter Distribusi Loglogistik pada Data Tersensor Progressive Tipe II dengan Menggunakan Algoritma EM
Romadhoni, Annas Riezki
5
1.4 Manfaat
1. Menambah wawasan mengenai estimasi parameter dari distribusi
Loglogistik pada data tersensor progressive tipe II menggunakan metode
algoritma EM.
2. Hasil kajian dapat diterapkan pada bidang ilmu kesehatan, industri,
pendidikan dan sebagainya.
3. Informasi yang di dapat dari skripsi ini akan membuka peluang untuk
diadakan penelitian selanjutnya.
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Estimasi Parameter Distribusi Loglogistik pada Data Tersensor Progressive Tipe II dengan Menggunakan Algoritma EM
Romadhoni, Annas Riezki
6
BAB II
TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Analisa Data Tahan Hidup
Menurut Collet (1994), analisa data tahan hidup (survival analysis) adalah
suatu metode untuk menganalisis data yang berhubungan dengan waktu, mulai
dari time origin atau start-point sampai dengan terjadinya suatu kejadian khusus
atau end-point. Di dalam riset medis, time origin sering digunakan sebagai awal
perekrutan suatu individu dalam suatu studi yang bersifat percobaan, sedangkan
end-point merupakan kematian suatu individu atau pasien, sehingga data yang
dihasilkan secara harfiah dinamakan waktu survival.
2.2 Distribusi Probabilitas
2.2.1 Fungsi Kepadatan Probabilitas (FKP)
Menurut Bain dan Engelhardt (1992), fungsi kepadatan probabilitas (fkp)
merupakan nilai peluang dari setiap kejadian .
Terdapat 2 jenis fungsi kepadatan probabilitas yaitu, fungsi kepadatan
probabilitas (fkp) diskrit dan fungsi kepadatan probabilitas (fkp) kontinu.
suatu variabel random dengan distribusi probabilitas disebut fungsi
kepadatan probabilitas (fkp) diskrit apabila :
1)
2)
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Estimasi Parameter Distribusi Loglogistik pada Data Tersensor Progressive Tipe II dengan Menggunakan Algoritma EM
Romadhoni, Annas Riezki
7
Sedangkan disebut fungsi kepadatan probabilitas (fkp) kontinu apabila :
1)
2)
2.2.2 Cumulative Distribution Function (CDF)
Menurut Bain dan Engelhardt (1992), Cumulative Distribution Function
(CDF) dari suatu variabel acak didefinisikan untuk setiap bilangan real
sebagai :
Menurut Walpole dan Myers (1995), terdapat 2 jenis distribusi kumulatif
yaitu:
1. Distribusi kumulatif suatu peubah acak diskrit dengan distribusi
peluang dinyatakan oleh
2. Distribusi kumulatif suatu peubah acak kontinu dengan distribusi
peluang dinyatakan oleh
2.2.3 Fungsi Survival
Menurut Lawless (1982), fungsi survival adalah probabilitas bahwa suatu
individu akan bertahan sampai waktu dengan diasumsikan kontinu,
dirumuskan sebagai berikut :
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Estimasi Parameter Distribusi Loglogistik pada Data Tersensor Progressive Tipe II dengan Menggunakan Algoritma EM
Romadhoni, Annas Riezki
8
2.3 Distribusi LogLogistik
Menurut Kus dan Kaya (2006), distribusi Loglogistik adalah distribusi yang
biasa digunakan dalam analisis data tahan hidup karena logaritma natural dari
variabel-variabel tahan hidupnya berdistribusi Logistik. Adapun fungsi kepadatan
probabilitas (fkp) distribusi Loglogistik dengan parameter skala dan parameter
bentuk sebagai berikut:
2.4 Distribusi Logistik
Menurut Kus dan Kaya (2006), jika mempunyai distribusi logistik dengan
parameter lokasi dan parameter skala , maka fungsi kepadatan probabilitas dan
fungsi distribusi dari diberikan masing-masing yaitu:
dengan
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Estimasi Parameter Distribusi Loglogistik pada Data Tersensor Progressive Tipe II dengan Menggunakan Algoritma EM
Romadhoni, Annas Riezki
9
2.5 Sampel Lengkap
Menurut Lawless (1982), pada sampel lengkap percobaan uji hidup
dilakukan sampai semua individu atau benda mengalami kematian atau kegagalan.
Adapun fungsi likelihood dari adalah :
2.6 Sampel Tersensor Progressive Tipe II
Menurut Wu (2002), penyensoran progressive tipe II adalah pengamatan
terhadap sampel dengan kegagalan yang diamati dengan syarat
bilangan bulat, sedemikian sehingga pada saat terjadi kegagalan yang pertama,
dari unit yang survive secara acak dikeluarkan dari pengamatan, sedangkan pada
pengamatan kegagalan yang kedua, unit penelitian yang survive secara acak
dikeluarkan lagi. Penelitian ini berhenti pada saat kegagalan diamati dan ini
berarti unit yang survive semua dikeluarkan.
Skema penyensoran progressive tipe II adalah ) dengan
dan . Dengan keterangan :
: jumlah sampel pengamatan.
: banyaknya kegagalan yang diamati.
: banyaknya unit sampel yang masih survive yang dipindahkan dari
pengamatan (tidak diamati lagi) pada saat terjadinya kegagalan yang
ke – .
Hal ini dapat digambarkan sebagai berikut :
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Estimasi Parameter Distribusi Loglogistik pada Data Tersensor Progressive Tipe II dengan Menggunakan Algoritma EM
Romadhoni, Annas Riezki
10
…
Pada penyensoran progressive tipe II, secara umum bentuk fungsi likelihood
yang didasarkan pada cara pengamatan terhadap sampel dapat dirumuskan sebagai
berikut:
dengan
dan . Pada skema penyensoran progressive tipe II, terdapat beberapa
keadaan khusus yaitu jika sedemikian sehingga
, maka akan diperoleh teknik penyensoran sampel secara tersensor
tipe II, namun jika skema penyensorannya adalah , maka
diperoleh sampel lengkap.
2.7 Nilai Ekspektasi
Menurut Bain dan Engelhardt (1992), nilai ekspektasi dari peubah acak
kontinu adalah :
n-1- - n-m-1- n-1-
Dipindahkan (tidak diamati)
Dipindahkan (tidak diamati)
Dipindahkan (tidak diamati)
Pengamatan dimulai
Pengamatan berakhir
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Estimasi Parameter Distribusi Loglogistik pada Data Tersensor Progressive Tipe II dengan Menggunakan Algoritma EM
Romadhoni, Annas Riezki
11
Misalkan adalah fungsi acak yang kontinu, maka nilai ekspektasi
untuk adalah :
Menurut Graybill et al. (1963), jika adalah dua peubah acak dan
merupakan fungsi dengan domain dan kodomain bilangan real.
Ekspektasi bersyarat dari dimana yang dinotasikan dengan
adalah sebagai berikut:
1.
bila masing-masing diskrit.
2.
bila masing-masing kontinu.
2.8 Estimasi
Menurut Lawlees (1982), inferensi statistik didefinisikan sebagai metode
untuk menarik kesimpulan mengenai populasi. Penarikan kesimpulan dari
serangkaian observasi pada umumnya dilakukan berdasarkan data sampel dengan
menganggap bahwa karakteristik sampel (statistik sampel) kemungkinan besar
mendekati karakteristik populasi (parameter populasi). Dengan kata lain
parameter populasi yang merupakan konstanta yang tidak diketahui,
umumnya diestimasi dengan menggunakan statistik sampel . Masalah dalam
pengestimasian adalah bahwa fungsi kepadatan probabilitas dari sampel yang
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Estimasi Parameter Distribusi Loglogistik pada Data Tersensor Progressive Tipe II dengan Menggunakan Algoritma EM
Romadhoni, Annas Riezki
12
diobservasi memuat parameter populasi yang tidak diketahui. Nilai sampel yang
diobservasi digunakan sebagai dasar untuk mengestimasi nilai .
Estimator yang diinginkan adalah estimator yang dekat dengan .
Pengestimasian parameter dapat dilakukan secara Klasik maupun Bayes. Dalam
metode Klasik, inferensi didasarkan sepenuhnya pada sampel yang diambil secara
random dari populasi. Sedangkan pada metode Bayes selain informasi sampel
random juga dipergunakan informasi tambahan mengenai nilai parameter yang
tidak diketahui.
2.8.1 Maximum Likelihood Estimator
Menurut Hogg dan Craig (1995), misalkan merupakan peubah
acak yang saling bebas dan berdistribusi identik dengan fungsi kepadatan peluang
, untuk . Fungsi kepadatan peluang bersama antara
adalah
Jika fungsi kepadatan peluang bersama tersebut dinyatakan sebagai fungsi
terhadap maka dinamakan fungsi likelihood yang dinotasikan atau ditulis
sebagai berikut
dengan .
Statistik dinamakan Maximum Likelihood Estimator (MLE)
dari bila statistik memaksimumkan ,
.
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Estimasi Parameter Distribusi Loglogistik pada Data Tersensor Progressive Tipe II dengan Menggunakan Algoritma EM
Romadhoni, Annas Riezki
13
2.8.2 Algoritma EM
Menurut Kus dan Kaya (2006), algoritma EM merupakan metode yang
sangat tepat digunakan dalam menangani masalah mengenai data yang hilang atau
data tersensor. Misalkan adalah vektor acak data lengkap. Pada data lengkap
memuat data yang teramati
yang merupakan suatu vektor yang memuat nilai
waktu hidup saat terjadinya kegagalan dari pengamatan terhadap sampel dengan
kegagalan yang diamati, dan data yang tidak teramati
yang merupakan suatu vektor dengan komponen data yang survive atau dianggap
sebagai data tersensor, dimana adalah vektor dengan
untuk Vektor
merupakan skema penyensoran progressive tipe II. Fungsi log likelihood untuk
data lengkap dinotasikan .
Algoritma EM terdiri dari dua tahap yaitu tahap E (Ekspektasi) dan tahap M
(Maksimasi). Pada tahap Ekspektasi dilakukan perhitungan ekspektasi bersyarat
. Tahap Maksimasi dilakukan untuk mendapatkan
dengan cara memaksimumkan ekspektasi log likelihood yang sudah
dihitung pada tahap E atau memaksimumkan ekspektasi
bersyarat . Parameter berikutnya diperoleh
secara iteratif mengulangi tahap E dan M sampai proses konvergen, dengan
menyatakan suatu iterasi.
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Estimasi Parameter Distribusi Loglogistik pada Data Tersensor Progressive Tipe II dengan Menggunakan Algoritma EM
Romadhoni, Annas Riezki
14
2.9 Least Squares Estimation
Menurut Lawless (1982), estimasi Least Squares digunakan lebih umum
untuk memperoleh estimasi parameter dalam kasus tertentu. Dengan
mempertimbangkan model memuat parameter yang tidak diketahui dapat
berhubungan linier terhadap beberapa transformasi dari fungsi survival. Agar
lebih spesifik, dimisalkan sebagai
adalah telah diketahui dan merupakan bentuk dari himpunan independen
linear dari fungsi dan adalah parameter yang tidak diketahui.
Berdasarkan model dari persamaan (2.11) bentuk dari Least Squares dapat
digunakan untuk mengestimasi . Misalkan adalah waktu
tahan hidup yang teramati pada sampel tersensor. Anggap sebagai estimasi
yang sesuai untuk dan anggap [ ]. Maka dapat
diestimasi dengan cara meminimumkan
dengan syarat . Langkah-langkah ini bersifat sederhana tetapi sering kali
berguna sebagai cara yang mudah untuk memperoleh estimasi . Sebagai contoh,
digunakan sebagai estimasi awal dalam prosedur untuk mendapatkan MLE.
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Estimasi Parameter Distribusi Loglogistik pada Data Tersensor Progressive Tipe II dengan Menggunakan Algoritma EM
Romadhoni, Annas Riezki
15
2.10 Estimasi Kaplan Meier
Menurut Lawless (1982), misalkan terdapat pengamatan pada individu
dan menyatakan waktu kematian yang berbeda dengan .
Akan ada kemungkinan terjadinya lebih dari satu kematian di , dan
menunjukkan banyaknya kematian saat . Selain itu, pada waktu tahan hidup
akan ada waktu yang tersensor untuk individu yang waktu
tahan hidupnya tidak teramati. Estimasi dari didefinisikan sebagai :
menyatakan jumlah individu yang beresiko saat , yaitu jumlah individu yang
hidup dan tidak tersensor sesaat sebelum .
2.11 Newton-Raphson
Menurut Faires dan Burden, misalkan adalah nilai awal yang mendekati
nilai akar dari persamaan dan berada dalam interval yang berisi
semua nilai yang mendekati . Gradien dari garis singgung pada grafik di titik
( ) adalah , sehingga persamaan garis singgungnya adalah
Karena garis ini melewati sumbu ketika nilai dari titik pada garis tersebut nol,
maka nilai yang mendekati berikutnya adalah
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Estimasi Parameter Distribusi Loglogistik pada Data Tersensor Progressive Tipe II dengan Menggunakan Algoritma EM
Romadhoni, Annas Riezki
16
2.12 MINITAB 14
Irawan dan Astuti (2006), menjelaskan bahwa Minitab 14 merupakan salah
satu program aplikasi statistika yang banyak digunakan untuk mempermudah
pengolahan data statistik. Keunggulan Minitab adalah dapat digunakan dalam
pengolahan data statistika untuk tujuan sosial maupun teknik. Minitab juga
memungkinkan sebagai fasilitas dalam analisis time series dan peramalannya.
2.13 Mathematica
Ardana (2003) , menjelaskan bahwa Mathematica merupakan suatu sistem
aljabar komputer (CAS, Computer Algebra System) yang mengintegrasikan
kemampuan komputasi (simbolik, numerik), visualisasi (grafik), bahasa
pemograman, dan pengolahan kata (word processing) ke dalam suatu lingkungan
yang sudah digunakan. Pertama kali diperkenalkan pada tahun 1988, Mathematica
kini tersedia pada lebih dari 20 platform komputer. Mathematica merupakan salah
satu alat pilihan dalam pendidikan, penelitian bisnis, dan sebagainya. Khususnya
untuk melakukan komputasi matematik, baik simbolik maupun numerik,
pengembangan algoritma dan aplikasi, pemodelan dan simulasi, eksplorasi,
analisis, dan visualisasi data.
Sistem Mathematica terdiri dari dua bagian utama, yaitu front end dan
kernel. Front end berupa interface dengan lingkungan kerjanya yang disebut
notebook. User memasukkan perintah – perintah atau melakukan pengolahan kata
(word processing) pada notebook, sedangkan komputasi matematik dilakukan
pada bagian kernel.
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Estimasi Parameter Distribusi Loglogistik pada Data Tersensor Progressive Tipe II dengan Menggunakan Algoritma EM
Romadhoni, Annas Riezki
17
BAB III
METODE PENELITIAN
Metode penelitian yang digunakan dalam penulisan skripsi ini adalah
sebagai berikut :
1. Menentukan estimasi parameter distribusi Loglogistik pada data tersensor
Progressive Tipe II menggunakan metode Algoritma EM dengan langkah-
langkah sebagai berikut :
a. Mengasumsikan sampel waktu daya tahan hidup berasal dari
distribusi Loglogistik.
b. Mentransformasikan distribusi Loglogistik dengan
agar diperoleh distribusi Logistik.
c. Menentukan fkp dari distribusi Logistik.
d. Menentukan fungsi likelihood pada data lengkap dari fkp distribusi
Logistik yaitu :
e. Mengubah fungsi likelihood menjadi bentuk logaritma natural, yaitu
f. Mempartisi ln likelihood data lengkap menjadi data yang teramati dan
data yang tidak teramati.
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Estimasi Parameter Distribusi Loglogistik pada Data Tersensor Progressive Tipe II dengan Menggunakan Algoritma EM
Romadhoni, Annas Riezki
18
g. Menentukan nilai maksimum dari fungsi ln likelihood dengan cara
mendiferensialkan secara parsial terhadap parameter distribusi
Loglogistik yaitu
h. Tahap Ekspektasi
Menghitung ekspekasi bersyarat dari ln likelihood pada fungsi
yaitu fungsi data yang tidak teramati atau tersensor progressive tipe II.
i. Tahap Maksimasi
1) Mendapatkan fungsi ekspektasi bersyarat dari ln-likelihood dengan
cara mensubstitusikan hasil ekspektasi bersyarat dari fungsi ke
ekspektasi awal.
2) Mendapatkan estimator dan dengan cara iterasi menggunakan
metode Newton-Raphson.
j. Mendapatkan estimator distribusi Loglogistik dengan
.
2. Membuat algoritma dan program untuk estimasi parameter dari distribusi
Loglogistik pada data tersensor progressive tipe II dengan langkah-langkah
sebagai berikut:
a. Menginputkan data lengkap sampel tersensor progressive tipe II
dengan struktur yang dinotasikan fungsi , dimana sebagai
inputan data yang teramati.
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Estimasi Parameter Distribusi Loglogistik pada Data Tersensor Progressive Tipe II dengan Menggunakan Algoritma EM
Romadhoni, Annas Riezki
19
b. Menginputkan nilai estimator awal dan untuk
Nilai estimasi awal didapatkan dari Metode Least Squares.
1) Mendapatkan fungsi survival distribusi Logistik dari
persamaan (2.1)
2) Mencari
3) Mendapatkan
4) Menggunakan Jumlah Kuadrat Galat (JKG) sehingga diperoleh
dan
5) Nilai diperoleh dari perhitungan dengan menggunakan
metode Kaplan-Meier.
c. Tahap Ekspektasi
Menghitung ekspektasi dengan menggunakan estimator awal
dan dimana menyatakan iterasi.
d. Tahap Maksimasi
Mencari dan menghitung estimator dan dengan iterasi
Newton-Raphson dari persamaan yang didapatkan dari langkah c.
e. Jika dan maka iterasi
dihentikan dan lanjut ke langkah f, tapi jika nilai tersebut tidak
terpenuhi maka kembali ke langkah c dengan mengganti .
f. Mendapatkan dan sebagai estimator parameter distribusi Logistik.
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Estimasi Parameter Distribusi Loglogistik pada Data Tersensor Progressive Tipe II dengan Menggunakan Algoritma EM
Romadhoni, Annas Riezki
20
g. Mendapatkan .
h. Tampilkan dan sebagai estimator dari parameter distribusi
Loglogistik pada data tersensor progressive tipe II.
3. Penerapan estimasi parameter distribusi Loglogistik pada data dengan
langkah-langkah sebagai berikut :
a. Menguji data ilustrasi yang digunakan berdistribusi Loglogistik.
b. Mengestimasi parameter menggunakan program komputer (dengan
bantuan software Mathematica) berdasarkan algoritma tersebut.
c. Menghitung estimasi fungsi survival.
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Estimasi Parameter Distribusi Loglogistik pada Data Tersensor Progressive Tipe II dengan Menggunakan Algoritma EM
Romadhoni, Annas Riezki
21
BAB IV
HASIL DAN PEMBAHASAN
Dalam bab ini akan diuraikan hasil dan pembahasan estimasi parameter
distribusi Loglogistik pada data tersensor progressive tipe II dengan
menggunakan algoritma EM.
4.1 Estimasi Parameter Distribusi Loglogistik Pada Data Tersensor
Progressive Tipe II Dengan Menggunakan Algoritma EM.
Algoritma EM adalah metode optimisasi iteratif untuk estimasi Maksimum
Likelihood yang berguna dalam permasalahan data yang tidak lengkap. Dalam
algoritma EM ini terdapat 2 tahap, yaitu tahap Ekspektasi (tahap E) dan tahap
Maksimasi (tahap M). Adapun langkah-langkah untuk mendapatkan nilai
estimator adalah sebagai berikut:
4.1.1 Mengasumsikan sampel waktu tahan hidup berasal dari distribusi
Loglogistik
Misalkan adalah waktu tahan hidup dari sampel berukuran
yang identik dan independen dari distribusi Loglogistik dengan parameter dan
, sehingga dapat ditulis sebagai berikut:
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Estimasi Parameter Distribusi Loglogistik pada Data Tersensor Progressive Tipe II dengan Menggunakan Algoritma EM
Romadhoni, Annas Riezki
22
4.1.2 Fkp dari Distribusi Loglogistik
Bentuk fkp dari distribusi Loglogistik adalah:
4.1.3 Transformasi Distribusi Loglogistik
Untuk mempermudah proses estimasi, maka pada langkah ini distribusi
Loglogistik akan ditransformasikan menjadi distribusi Logistik dengan
dan . merupakan Jacobian dari . Berdasarkan
(4.1) maka diperoleh transformasi sebagai berikut:
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Estimasi Parameter Distribusi Loglogistik pada Data Tersensor Progressive Tipe II dengan Menggunakan Algoritma EM
Romadhoni, Annas Riezki
23
maka diperoleh bentuk fkp dari distribusi Logistik yaitu:
4.1.4 Fungsi Likelihood Data Lengkap dari Fkp Distribusi Logistik
Misalkan adalah waktu tahan hidup dari sampel berukuran
yang identik dan independen dari distribusi Loglogistik dengan parameter dan
, maka merupakan log natural dari waktu tahan hidup yang identik
dan independen berdistribusi Logistik dengan parameter dan . Berdasarkan
(2.10) dan fkp distribusi Logistik (4.2) maka fungsi likelihood dari distribusi
Logistik adalah
Dari fungsi likelihood (4.3), maka fungsi ln likelihoodnya adalah sebagai
berikut:
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Estimasi Parameter Distribusi Loglogistik pada Data Tersensor Progressive Tipe II dengan Menggunakan Algoritma EM
Romadhoni, Annas Riezki
24
Pada langkah ini komponen fungsi ln likelihood pada data lengkap
dipartisi menjadi data yang teramati yaitu
dan
tidak teramati yaitu .
Untuk mengestimasi parameter dan dengan Maksimum Likelihood,
maka fungsi ln likelihood didiferensialkan secara parsial terhadap parameter dan
. Hasilnya dapat diuraikan sebagai berikut:
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Estimasi Parameter Distribusi Loglogistik pada Data Tersensor Progressive Tipe II dengan Menggunakan Algoritma EM
Romadhoni, Annas Riezki
25
Langkah berikutnya untuk mendapatkan estimator dan adalah dengan
membuat kedua fungsi diferensial tersebut sama dengan nol. Hasilnya adalah
sebagai berikut:
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Estimasi Parameter Distribusi Loglogistik pada Data Tersensor Progressive Tipe II dengan Menggunakan Algoritma EM
Romadhoni, Annas Riezki
26
4.1.5 Tahap Ekspektasi
Tahap Ekspektasi bertujuan untuk menemukan ekspektasi bersyarat dari
data tidak teramati ( ) dengan syarat data yang diketahui nilainya atau data
teramati ( ) pada persamaan (4.5) dan (4.6). Sebelum mencari ekspektasi
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Estimasi Parameter Distribusi Loglogistik pada Data Tersensor Progressive Tipe II dengan Menggunakan Algoritma EM
Romadhoni, Annas Riezki
27
bersyarat dari persamaan (4.5) dan (4.6), maka terlebih dahulu mencari distribusi
bersyarat dari dengan syarat
diketahui. Distribusi bersyarat
dapat diperoleh dengan cara sebagai berikut:
Untuk mendapatkan ekspektasi bersyarat dari persamaan (4.5) dan (4.6)
maka dapat digunakan distribusi bersyarat dari untuk
diketahui
yang didapatkan dari persamaan (4.7). Langkah-langkah untuk memperoleh
ekspektasi bersyarat sebagai berikut:
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Estimasi Parameter Distribusi Loglogistik pada Data Tersensor Progressive Tipe II dengan Menggunakan Algoritma EM
Romadhoni, Annas Riezki
28
Lemma 4.1
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Estimasi Parameter Distribusi Loglogistik pada Data Tersensor Progressive Tipe II dengan Menggunakan Algoritma EM
Romadhoni, Annas Riezki
29
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Estimasi Parameter Distribusi Loglogistik pada Data Tersensor Progressive Tipe II dengan Menggunakan Algoritma EM
Romadhoni, Annas Riezki
30
(1) Ekspektasi bersyarat yang pertama
Misal:
maka:
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Estimasi Parameter Distribusi Loglogistik pada Data Tersensor Progressive Tipe II dengan Menggunakan Algoritma EM
Romadhoni, Annas Riezki
31
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Estimasi Parameter Distribusi Loglogistik pada Data Tersensor Progressive Tipe II dengan Menggunakan Algoritma EM
Romadhoni, Annas Riezki
32
Berdasarkan lemma 4.1 maka hasilnya sebagai berikut:
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Estimasi Parameter Distribusi Loglogistik pada Data Tersensor Progressive Tipe II dengan Menggunakan Algoritma EM
Romadhoni, Annas Riezki
33
(2) Ekspektasi bersyarat yang kedua
Misal:
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Estimasi Parameter Distribusi Loglogistik pada Data Tersensor Progressive Tipe II dengan Menggunakan Algoritma EM
Romadhoni, Annas Riezki
34
maka
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Estimasi Parameter Distribusi Loglogistik pada Data Tersensor Progressive Tipe II dengan Menggunakan Algoritma EM
Romadhoni, Annas Riezki
35
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Estimasi Parameter Distribusi Loglogistik pada Data Tersensor Progressive Tipe II dengan Menggunakan Algoritma EM
Romadhoni, Annas Riezki
36
Lemma 4.2
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Estimasi Parameter Distribusi Loglogistik pada Data Tersensor Progressive Tipe II dengan Menggunakan Algoritma EM
Romadhoni, Annas Riezki
37
(3) Ekspektasi bersyarat yang ketiga
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Estimasi Parameter Distribusi Loglogistik pada Data Tersensor Progressive Tipe II dengan Menggunakan Algoritma EM
Romadhoni, Annas Riezki
38
Misal:
maka:
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Estimasi Parameter Distribusi Loglogistik pada Data Tersensor Progressive Tipe II dengan Menggunakan Algoritma EM
Romadhoni, Annas Riezki
39
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Estimasi Parameter Distribusi Loglogistik pada Data Tersensor Progressive Tipe II dengan Menggunakan Algoritma EM
Romadhoni, Annas Riezki
40
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Estimasi Parameter Distribusi Loglogistik pada Data Tersensor Progressive Tipe II dengan Menggunakan Algoritma EM
Romadhoni, Annas Riezki
41
Berdasarkan lemma 4.2 maka hasilnya sebagai berikut:
Setelah mendapatkan ekspektasi bersyarat dari data yang tidak teramati
( ) maka langkah selanjutnya yaitu mensubstitusi nilai ekspektasi bersyarat
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Estimasi Parameter Distribusi Loglogistik pada Data Tersensor Progressive Tipe II dengan Menggunakan Algoritma EM
Romadhoni, Annas Riezki
42
yang diperoleh yaitu persamaan (4.8), (4.9), (4.10) ke dalam fungsi ln likelihood
yaitu persamaan (4.5) dan (4.6). Jadi didapatkan persamaan sebagai berikut:
dan
4.1.6 Tahap Maksimasi
Tahap Maksimasi yaitu menghitung nilai estimasi dari parameter dengan
memaksimalkan nilai ekspektasi dari fungsi ln likelihood yang didapatkan pada
tahap ekspektasi. Pada tahap ini akan dilakukan iterasi dengan nilai awal
hingga berulang kali sampai didapatkan nilai parameter yang
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Estimasi Parameter Distribusi Loglogistik pada Data Tersensor Progressive Tipe II dengan Menggunakan Algoritma EM
Romadhoni, Annas Riezki
43
konvergen. Nilai awal didapatkan dari Metode Least Squares. Nilai
diperoleh berdasarkan persamaan berikut:
Sedangkan diperoleh berdasarkan persamaan berikut:
Nilai estimator dan tidak dapat diperoleh secara langsung. Untuk
mempermudah memperoleh nilai estimator dan maka dibuatlah program
dengan bantuan software Mathematica. Setelah mendapatkan nilai estimator dan
selanjutnya diubah menjadi estimator dari distribusi Loglogistik yaitu
dengan .
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Estimasi Parameter Distribusi Loglogistik pada Data Tersensor Progressive Tipe II dengan Menggunakan Algoritma EM
Romadhoni, Annas Riezki
44
4.1.7 Nilai Awal Estimasi
Nilai awal estimasi yang diperlukan untuk mencari nilai estimator dan
diperoleh dari Metode Least Squares. Langkah pertama yang diperlukan adalah
mendapatkan fungsi survival dari distribusi Logistik dari persamaan (2.1).
Setelah mendapatkan fungsi survival maka nilai awal estimasi dapat
diperoleh dengan langkah-langkah sebagai berikut:
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Estimasi Parameter Distribusi Loglogistik pada Data Tersensor Progressive Tipe II dengan Menggunakan Algoritma EM
Romadhoni, Annas Riezki
45
maka
Misal
maka didapatkan persamaan:
Selanjutnya dengan menggunakan Jumlah Kuadrat Galat (JKG) diperoleh:
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Estimasi Parameter Distribusi Loglogistik pada Data Tersensor Progressive Tipe II dengan Menggunakan Algoritma EM
Romadhoni, Annas Riezki
46
Untuk mendapatkan nilai dan pada persamaan dan
diperlukan langkah-langkah sebagai berikut:
Selanjutnya, persamaan (4.18) dikurangi dengan persamaan (4.19) sehingga
diperoleh hasil sebagai berikut:
Berdasarkan model (4.15) jika dicari ekspektasi (rata2) dari kedua ruas maka
diperoleh
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Estimasi Parameter Distribusi Loglogistik pada Data Tersensor Progressive Tipe II dengan Menggunakan Algoritma EM
Romadhoni, Annas Riezki
47
Sehingga didapatkan nilai yaitu
maka:
Nilai estimasi awal yang diperlukan untuk proses iteratif dalam mencari
nilai estimator dan yang dinotasikan dan adalah
Nilai diperoleh dari perhitungan dengan menggunakan metode Kaplan-
Meier.
4.2 Algoritma Program
Untuk memperoleh nilai estimator dari distribusi Loglogistik, maka
digunakan algoritma yang dibuat berdasarkan pembahasan teori-teori yang sudah
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Estimasi Parameter Distribusi Loglogistik pada Data Tersensor Progressive Tipe II dengan Menggunakan Algoritma EM
Romadhoni, Annas Riezki
48
diperoleh sebelumnya. Berikut ini adalah algoritma yang digunakan untuk
membuat program dalam Mathematica :
1. Menginputkan data sebanyak yang dinotasikan dengan dan skema
penyensoran .
2. Menghitung nilai estimator awal distribusi Logistik berdasarkan OLS
menggunakan rumus pada persamaan (4.20) dan (4.21) sehingga diperoleh
dan untuk .
3. Mendefinisikan fungsi dari persamaan (4.11).
4. Mendefinisikan fungsi dari persamaan (4.12).
5. Mendapatkan estimator dengan cara menyelesaikan persamaan
menggunakan Newton-Raphson.
6. Mendapatkan estimator dengan cara menyelesaikan persamaan
menggunakan Newton-Raphson.
7. Jika dan maka iterasi dihentikan
dan lanjut ke langkah 8, tapi jika nilai tersebut tidak terpenuhi maka
kembali ke langkah 5 dengan mengganti .
8. Menampilkan nilai estimator distribusi Logistik yaitu dan .
9. Mengubah nilai estimator distribusi Logistik menjadi distribusi
Loglogistik dengan .
10. Menampilkan nilai estimator distribusi Loglogistik.
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Estimasi Parameter Distribusi Loglogistik pada Data Tersensor Progressive Tipe II dengan Menggunakan Algoritma EM
Romadhoni, Annas Riezki
49
4.3 Penerapan Pada Data Tersensor Progressive Tipe II
Berdasarkan tujuan penyusunan skripsi ini, telah disusun program
menggunakan software Mathematica. Berikut ini akan dibahas mengenai
penerapan program pada data ilustrasi tersensor progressive Tipe II dengan
software Mathematica.
Misalkan berupa waktu yang diperlukan untuk menguraikan isolator zat
cair yang dilakukan pada voltase sebesar 34 KV (Kus dan Kaya, 2006). Data
berasal dari pengamatan yang dilakukan terhadap sampel. Pengamatan
terhadap sampel dimulai dari start point yaitu ketika zat cair dialiri listrik sebesar
34 KV. Sehingga zat cair dapat menghantarkan listrik ke zat lain. Pengamatan
berhenti pada waktu end point yaitu zat cair tidak dapat menghantarkan listrik
lagi. Hal ini disebabkan partikel-partikel yang dapat menghantar listrik pada zat
cair tersebut telah habis (berubah bentuk). Jadi data yang diperolehkan dari hasil
pengamatan berupa ketahanan zat cair dalam menghantarkan listrik ke zat lain.
Karena pada pengamatan semua benda diuji sampai terjadinya kegagalan maka
pengamatan tersebut disebut sampel lengkap. Data selengkapnya dapat dilihat
pada Lampiran 1.
Selanjutnya data tersebut diuji dengan menggunakan Probability Plot of
data pada software Minitab. Hal ini bertujuan untuk mengetahui distribusi dari ke-
19 data tersebut. Hasil dari uji dengan Probability Plot of data yaitu sebagai
berikut
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Estimasi Parameter Distribusi Loglogistik pada Data Tersensor Progressive Tipe II dengan Menggunakan Algoritma EM
Romadhoni, Annas Riezki
50
data
Pe
rce
nt
1000,00100,0010,001,000,100,01
99
95
90
80
70605040
30
20
10
5
1
Loc
>0,250
1,833
Scale 0,8522
N 19
AD 0,275
P-Value
Data Waktu Terurainya Isolator Zat Cair pada Tegangan 34 KVLoglogistic - 95% CI
Gambar 4.1 Plot data waktu terurainya isolator zat cair pada tegangan 34 KV
Berdasarkan Gambar 4.1, dapat diketahui bahwa nilai p-value dari uji
tersebut lebih besar dari 0,250. Oleh karena nilai p-value tersebut lebih besar dari
tingkat signifikansi 0,05 maka dapat disimpulkan bahwa data tersebut
berdistribusi Loglogistik.
Pada data ilustrasi akan diadakan penyensoran data menggunakan sampel
tersensor progressive tipe II dengan skema penyensoran
berdasarkan Kus dan Kaya (2006). Dari skema penyensoran yang telah digunakan
maka dapat dijelaskan bahwa
1. Pada saat terjadi kegagalan yang pertama maka sebanyak
dari unit yang survive secara acak dikeluarkan dari pengamatan, begitu
juga pada saat kegagalan yang kedua dengan .
2. Pada saat terjadi kegagalan yang ketiga maka sebanyak
dari unit yang survive secara acak dikeluarkan dari pengamatan.
Penelitian ini berlangsung hingga terjadinya kegagalan yang terakhir
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Estimasi Parameter Distribusi Loglogistik pada Data Tersensor Progressive Tipe II dengan Menggunakan Algoritma EM
Romadhoni, Annas Riezki
51
yaitu pada kegagalan yang kedelapan maka sebanyak
dari unit yang survive secara acak dikeluarkan dari pengamatan.
Sehingga diperoleh data dari penyensoran sebanyak data. Data
selengkapnya dapat dilihat pada Lampiran 2.
Selanjutnya data tersensor progressive tipe II diuji dengan menggunakan
Probability Plot of data pada software Minitab. Hal ini bertujuan untuk
mengetahui distribusi dari data tersensor progressive tipe II tersebut. Hasil dari uji
dengan Probability Plot of data dengan data yaitu sebagai berikut
Data Tersensor
Pe
rce
nt
1000,00100,0010,001,000,100,01
99
95
90
80
70605040
30
20
10
5
1
Loc
>0,250
0,6698
Scale 0,6969
N 8
AD 0,278
P-Value
Data Waktu Terurainya Isolator Zat Cair pada Tegangan 34 KVLoglogistic - 95% CI
Gambar 4.2 Plot data waktu terurainya isolator zat cair pada tegangan 34 KV tersensor progressive tipe II
Berdasarkan Gambar 4.2, dapat diketahui bahwa nilai p-value dari uji
tersebut lebih besar dari 0,250. Oleh karena nilai p-value tersebut lebih besar dari
tingkat signifikansi 0,05 maka dapat disimpulkan bahwa data tersebut
berdistribusi Loglogistik.
Untuk estimasi, dalam skripsi ini dilakukan transformasi .
Berdasarkan teori Y berdistribusi Logistik, sehingga analisis estimasi dilakukan
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Estimasi Parameter Distribusi Loglogistik pada Data Tersensor Progressive Tipe II dengan Menggunakan Algoritma EM
Romadhoni, Annas Riezki
52
berdasarkan data yang berdistribusi Logistik. Misalkan berupa log natural
waktu yang diperlukan untuk menguraikan isolator zat cair yang dilakukan pada
voltase sebesar 34 KV (Kus dan Kaya, 2006). Data selengkapnya dapat dilihat
pada Lampiran 2. Berikut ini akan diuraikan langkah-langkah untuk penerapan
estimasi parameter distribusi Loglogistik.
Langkah pertama yaitu melakukan pengujian terhadap data tersebut dengan
menggunakan Probability Plot of data pada software Minitab. Hal ini bertujuan
untuk mengetahui distribusi dari data log natural waktu terurainya isolator zat cair
pada tegangan 34 KV, sehingga dapat dilakukan analisa lebih lanjut sesuai dengan
distribusi probabilitasnya dengan mengambil hipotesis sebagai berikut:
H0 : Data log natural waktu terurainya isolator zat cair pada tegangan 34 KV
berdistribusi Logistik.
H1 : Data log natural waktu terurainya isolator zat cair pada tegangan 34 KV
tidak berdistribusi Logistik.
Gambar 4.3 Plot data log natural waktu terurainya isolator zat cair pada tegangan 34 KV tersensor progressive tipe II
data
Pe
rce
nt
5.02.50.0-2.5-5.0
99
95
90
80
70605040
30
20
10
5
1
Loc
>0.250
0.6698
Scale 0.6969
N 8
AD 0.278
P-Value
Data Waktu Terurainya Isolator Zat Cair pada tegangan 34kVLogistic - 95% CI
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Estimasi Parameter Distribusi Loglogistik pada Data Tersensor Progressive Tipe II dengan Menggunakan Algoritma EM
Romadhoni, Annas Riezki
53
Pada Gambar 4.3, dapat diketahui bahwa nilai p-value dari uji tersebut lebih
besar dari 0,250. Oleh karena nilai p-value tersebut lebih besar dari tingkat
signifikansi 0,05 maka keputusannya adalah terima H0 atau dapat disimpulkan
bahwa data log natural waktu terurainya isolator zat cair pada tegangan 34 KV
berdistribusi Logistik.
Langkah selanjutnya mencari estimator distribusi Logistik yaitu dan .
Setelah itu mendapatkan estimator distribusi Loglogistik dengan
. Berdasarkan hasil pada Lampiran 2 diperoleh hasil
estimator parameter distribusi Logistik sebesar dan .
Sedangkan estimator parameter distribusi Loglogistik diperoleh hasil sebesar
dan .
Setelah diperoleh nilai estimator dari disribusi Loglogistik maka salah satu
kegunaan aplikasinya adalah dapat menentukan estimasi dari fungsi survival
distribusi Loglogistik dengan rumus sebagai berikut:
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Estimasi Parameter Distribusi Loglogistik pada Data Tersensor Progressive Tipe II dengan Menggunakan Algoritma EM
Romadhoni, Annas Riezki
54
maka diperoleh estimasi fungsi survival yaitu
Sebagai contoh, misalkan diberikan maka diperoleh estimator dari fungsi
survival sebesar . Angka tersebut menyatakan bahwa probabilitas
mengurainya isolator zat cair yang dilakukan pada voltase sebesar 34 KV lebih
dari 5 satuan waktu adalah sebesar 57,3%. Grafik dan tabel dari estimasi fungsi
survival sebagai berikut
Gambar 4.4 Grafik estimasi fungsi survival
20 40 60 80 100
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Estimasi Parameter Distribusi Loglogistik pada Data Tersensor Progressive Tipe II dengan Menggunakan Algoritma EM
Romadhoni, Annas Riezki
55
No.
1 0,19 0,981
2 0,78 0,913
3 0,96 0,893
4 1,31 0,856
5 2,78 0,720
6 4,85 0,581
7 6,50 0,501
8 7,35 0,467
Gambar 4.5 Tabel estimasi fungsi survival
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Estimasi Parameter Distribusi Loglogistik pada Data Tersensor Progressive Tipe II dengan Menggunakan Algoritma EM
Romadhoni, Annas Riezki
56
BAB V
KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan
Berdasarkan hasil dan pembahasan, maka dapat diambil kesimpulan sebagai
berikut :
1. Estimator parameter distribusi Loglogistik pada data tersensor progressive
tipe II dengan menggunakan algoritma EM dilakukan melalui iterasi
terhadap dua tahap berikut :
a. Tahap Ekspektasi
(1)
(2)
(3)
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Estimasi Parameter Distribusi Loglogistik pada Data Tersensor Progressive Tipe II dengan Menggunakan Algoritma EM
Romadhoni, Annas Riezki
57
b. Tahap Maksimasi yaitu memaksimalkan nilai ekspektasi dari fungsi ln
likelihood yang didapatkan pada tahap ekspektasi. Pada tahap ini akan
dilakukan iterasi Newton-Raphson untuk menyelesaikan persamaan-
persamaan berikut:
dan
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Estimasi Parameter Distribusi Loglogistik pada Data Tersensor Progressive Tipe II dengan Menggunakan Algoritma EM
Romadhoni, Annas Riezki
58
2. Program yang dibuat dalam software Matematica menggunakan metode
Newton-Raphson. Dalam program terdapat tiga kali iterasi Newton-Raphson
untuk mendapatkan nilai estimator.
3. Pada penerapan data log natural waktu terurainya isolator zat cair pada
tegangan 34kV (Kus dan Kaya, 2006) diperoleh hasil estimasi parameter
skala dan parameter bentuk distribusi Loglogistik pada data tersensor
progressive tipe II masing-masing sebesar 6,526 dan 1,108.
5.2 Saran
Pembahasan untuk menentukan estimasi parameter distribusi Loglogistik
pada data tersensor progressive tipe II dengan menggunakan Algoritma EM dapat
dikembangkan lebih lanjut dengan menggunakan jenis distribusi yang lain, seperti
distribusi Weibull, distribusi Pareto dan lain sebagainya.
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Estimasi Parameter Distribusi Loglogistik pada Data Tersensor Progressive Tipe II dengan Menggunakan Algoritma EM
Romadhoni, Annas Riezki
59
DAFTAR PUSTAKA
1. Ardana, K. N. K., 2003, Panduan Penggunaan Mathematica, Edisi Pertama,
Matematika, IPB, Bogor.
2. Bain,L.J. and Engelhardt, M., 1992, Introduction to Probability and Mathematical Statistics, Second Edition, Duxbury Press, Belmont-California.
3. Collet, D., 1994, Modelling Survival Data in Medical Research, First Edition,
Chapmann dan Hall, University of Reading, UK.
4. Faires, J. D., and Burden, R., 2003, Numerical Methods, Third Edition, Thomson Learning Academic Resource Center, USA.
5. Graybill, F. A., Mood, A. M., and Boes, D. C., 1963, Introduction to The
Theory of Statistics, Third Edition, McGraw-Hill, Inc, Japan. 6. Hogg, R. V. and Craig, A. T., 1995, Introduction to Mathematical Statistics,
Fifth Edition, Prentice Hall, Inc, New Jersey.
7. Irawan, N. dan Astuti, S. P., 2006, Mengolah Data Statistik dengan Mudah Menggunakan MINITAB 14, Penerbit Andi, Yogyakarta.
8. Kus, C. and Kaya, M. F., 2006, Estimation of Parameters of The Loglogistic
Distribution Based on Progressive Censoring Using The EM Algorithm, Vol. 35, No. 2, Hacettep Journal of Mathematics and Statistics, P.203-211.
9. Lawless, J.F., 1982, Statistical Models and Methodes for Life Time Data, John
Wiley & Sons, New York. 10. Walpole, R.E. dan Myers, R.H., 1995, Ilmu Peluang dan Statistika untuk
Insinyur dan Ilmuwan, Edisi Keempat, ITB, Bandung.
11. Wu, S. J., 2002, Estimation of The Parameters of The Weibull Distribution With Progressively Cencored Data, Vol. 32, No. 2, Jurnal Japan Statistics, P.155-163.
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Estimasi Parameter Distribusi Loglogistik pada Data Tersensor Progressive Tipe II dengan Menggunakan Algoritma EM
Romadhoni, Annas Riezki
Lampiran 1 : Data Sampel Lengkap Waktu Terurainya Isolator Zat Cair
Pada Tegangan 34 KV
1 0,19 2 0,78 3 0,96 4 1,31 5 2,78 6 3,16 7 4,15 8 4,67 9 4,85 10 6,50 11 7,35 12 8,01 13 8,27 14 12,06 15 31,75 16 32,52 17 33,91 18 36,71 19 72,89
Sumber : Kus, C. and Kaya, M. F., 2006, Estimation of Parameters of The
Loglogistic Distribution Based on Progressive Censoring Using The
EM Algorithm, Vol. 35, No. 2, Hacettep Journal of Mathematics and
Statistics, P.203-211.
Keterangan:
: Waktu terurainya isolator zat cair pada tegangan 34 KV ke - i.
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Estimasi Parameter Distribusi Loglogistik pada Data Tersensor Progressive Tipe II dengan Menggunakan Algoritma EM
Romadhoni, Annas Riezki
Lampiran 2 : Data Sampel Tersensor Progressive Tipe II Waktu Terurainya
Isolator Zat Cair Pada Tegangan 34 KV
j
1 0 0,19 -1,6608
2 0 0,78 -0,2485
3 3 0,96 -0,0409
4 0 1,31 0,2700
5 3 2,78 1,0224
6 0 4,85 1,5789
7 0 6,50 1,8718
8 5 7,35 1,9947
Sumber : Kus, C. and Kaya, M. F., 2006, Estimation of Parameters of The
Loglogistic Distribution Based on Progressive Censoring Using The
EM Algorithm, Vol. 35, No. 2, Hacettep Journal of Mathematics and
Statistics, P.203-211.
Keterangan:
: Waktu terurainya isolator zat cair pada tegangan 34 KV ke-j pada
kegagalan yang diamati dari buah sampel.
: Log natural dari waktu terurainya isolator zat cair pada tegangan 34kV
ke-j pada kegagalan yang diamati dari buah sampel.
: Skema penyensoran atau banyaknya sampel yang dikeluarkan secara
acak dari pengamatan ketika terjadinya kegagalan ke-j
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Estimasi Parameter Distribusi Loglogistik pada Data Tersensor Progressive Tipe II dengan Menggunakan Algoritma EM
Romadhoni, Annas Riezki
Lampiran 3 : Program Untuk Menentukan Estimasi Parameter Distribusi
Loglogistik Pada Data Tersensor Progressive Tipe II
1. Input Data
yi={-1.6608,-0.2485,0.0409,0.2700,1.0224,1.5789,
1.8718,1.9947};
m=Length[yi];n=19;
R={0,0,3,0,3,0,0,5};
a={19,18,17,16,15,14,13,12};
b={1,1,1,1,1,1,1,1}
2. Program Untuk Mendapatkan Nilai Estimator Awal
Sur Table
i 1
m a i b i
a i, m, 1, m N;
y Log1 Sur
SurN;
y Mean y ;
x Mean yi ;
lama m
j 1
m
yi j2
j 1
m
yi j
2
m
j 1
m
yi j Log1 Sur j
Sur j
j 1
m
yi j
j 1
m
Log1 Sur j
Sur j;
lama x y lama;
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Estimasi Parameter Distribusi Loglogistik pada Data Tersensor Progressive Tipe II dengan Menggunakan Algoritma EM
Romadhoni, Annas Riezki
3. Program Untuk Menentukan Estimasi Parameter Distribusi Loglogistik
Pada Data Tersensor Progressive Tipe II
f baru_ :n
2i 1
m yi i baru
lamat
1yi i baru
lamat
i 1
m
R i1
2
lamat
lamat 2yi i
lamat
lamat
lamat
yi i
lamat
g baru_ : n baru n baru
i 1
m
yi i
i 1
m
R i
lamat 1
yi i baru
lamat Log 1
yi i baru
lamatbaru
lamat
yi i
yi i baru
lamat
2
i 1
m
yi i baruyi i baru
baru
1yi i baru
baru
i 1
m
R i 1
yi i baru
lamat
baruyi i baru
1yi i baru
lamat
2
2 yi i 2 baru lamat
1yi i baru
lamat
yi i lamat Log 1
yi i baru
lamat
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Estimasi Parameter Distribusi Loglogistik pada Data Tersensor Progressive Tipe II dengan Menggunakan Algoritma EM
Romadhoni, Annas Riezki
Print "Nilai estimator awal : ", lama, " dan : ", lama ;
Print " " ;
error1 1; p 0; error2 1; q 0; error3 1; k 0; error4 1;
h 0;
While error1 0.00000001&& error2 0.00000001,
lamat lama; lamat lama;
error3 1;
While error3 0.00000001,
baru lamaf lama
f' lama;
error3 Abs baru lama ; k k 1;
Print " iterasi ", k, " ", baru N ;
lama baru; ;
error4 1;
While error4 0.00000001,
baru lamag lama
g' lama;
error4 Abs baru lama ; h h 1;
Print " iterasi ", h, " ", baru N ;
lama baru; ;
error1 Abs baru lamat ; error2 Abs baru lamat ;
p p 1; q q 1;
Print "Nilai pada iterasi ke ", p, " : ",
baru N , " : ", baru N ;
Print " " ;
lamat baru;
lamat baru;
lama baru;
lama baru;
Print " " ;
Print " Nilai Estimator Distribusi Logistik " ;
Print " : ", baru, " dan : ", baru ;
Print " " ;
Print " Nilai Estimator Distribusi Loglogistik " ;
Print " : ",baru
, " dan : ",1
baru;
Print " " ;
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Estimasi Parameter Distribusi Loglogistik pada Data Tersensor Progressive Tipe II dengan Menggunakan Algoritma EM
Romadhoni, Annas Riezki
4. Output
------------------------------------------------
Nilai estimator awal : 2.56095 dan : 1.46915
iterasi 1 2.01683
iterasi 2 2.05299
iterasi 3 2.05313
iterasi 4 2.05313
iterasi 1 1.16095
iterasi 2 1.16442
iterasi 3 1.16442
iterasi 4 1.16442
Nilai pada iterasi ke 1 : 2.05313 : 1.16442
iterasi 5 2.04563
iterasi 6 2.04564
iterasi 7 2.04564
iterasi 5 1.03411
iterasi 6 1.0346
iterasi 7 1.0346
Nilai pada iterasi ke 2 : 2.04564 : 1.0346
iterasi 8 1.88664
iterasi 9 1.89047
iterasi 10 1.89048
iterasi 11 1.89048
iterasi 8 0.958499
iterasi 9 0.958643
iterasi 10 0.958643
Nilai pada iterasi ke 3 : 1.89048 : 0.958643
iterasi 12 1.92774
iterasi 13 1.92796
iterasi 14 1.92796
iterasi 11 0.932406
iterasi 12 0.932418
iterasi 13 0.932418
Nilai pada iterasi ke 4 : 1.92796 : 0.932418
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Estimasi Parameter Distribusi Loglogistik pada Data Tersensor Progressive Tipe II dengan Menggunakan Algoritma EM
Romadhoni, Annas Riezki
iterasi 15 1.86534
iterasi 16 1.86596
iterasi 17 1.86596
iterasi 18 1.86596
iterasi 14 0.913558
iterasi 15 0.913564
iterasi 16 0.913564
Nilai pada iterasi ke 5 : 1.86596 : 0.913564
iterasi 19 1.89632
iterasi 20 1.89647
iterasi 21 1.89647
iterasi 17 0.909784
iterasi 18 0.909784
iterasi 19 0.909784
Nilai pada iterasi ke 6 : 1.89647 : 0.909784
iterasi 22 1.8662
iterasi 23 1.86635
iterasi 24 1.86635
iterasi 20 0.90438
iterasi 21 0.904381
iterasi 22 0.904381
Nilai pada iterasi ke 7 : 1.86635 : 0.904381
iterasi 25 1.8856
iterasi 26 1.88565
iterasi 27 1.88565
iterasi 23 0.904633
iterasi 24 0.904633
Nilai pada iterasi ke 8 : 1.88565 : 0.904633
iterasi 28 1.86955
iterasi 29 1.86959
iterasi 30 1.86959
iterasi 25 0.902688
iterasi 26 0.902688
iterasi 27 0.902688
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Estimasi Parameter Distribusi Loglogistik pada Data Tersensor Progressive Tipe II dengan Menggunakan Algoritma EM
Romadhoni, Annas Riezki
Nilai pada iterasi ke 9 : 1.86959 : 0.902688
iterasi 31 1.88095
iterasi 32 1.88097
iterasi 33 1.88097
iterasi 28 0.90334
iterasi 29 0.90334
Nilai pada iterasi ke 10 : 1.88097 : 0.90334
iterasi 34 1.87206
iterasi 35 1.87208
iterasi 36 1.87208
iterasi 30 0.902473
iterasi 31 0.902473
iterasi 32 0.902473
Nilai pada iterasi ke 11 : 1.87208 : 0.902473
iterasi 37 1.87862
iterasi 38 1.87862
iterasi 39 1.87862
iterasi 33 0.902951
iterasi 34 0.902951
Nilai pada iterasi ke 12 : 1.87862 : 0.902951
iterasi 40 1.87362
iterasi 41 1.87362
iterasi 42 1.87362
iterasi 35 0.90251
iterasi 36 0.90251
Nilai pada iterasi ke 13 : 1.87362 : 0.90251
iterasi 43 1.87735
iterasi 44 1.87735
iterasi 45 1.87735
iterasi 37 0.902804
iterasi 38 0.902804
Nilai pada iterasi ke 14 : 1.87735 : 0.902804
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Estimasi Parameter Distribusi Loglogistik pada Data Tersensor Progressive Tipe II dengan Menggunakan Algoritma EM
Romadhoni, Annas Riezki
iterasi 46 1.87453
iterasi 47 1.87453
iterasi 48 1.87453
iterasi 39 0.902565
iterasi 40 0.902565
Nilai pada iterasi ke 15 : 1.87453 : 0.902565
iterasi 49 1.87665
iterasi 50 1.87665
iterasi 51 1.87665
iterasi 41 0.902736
iterasi 42 0.902736
Nilai pada iterasi ke 16 : 1.87665 : 0.902736
iterasi 52 1.87505
iterasi 53 1.87505
iterasi 54 1.87505
iterasi 43 0.902603
iterasi 44 0.902603
Nilai pada iterasi ke 17 : 1.87505 : 0.902603
iterasi 55 1.87625
iterasi 56 1.87625
iterasi 57 1.87625
iterasi 45 0.902702
iterasi 46 0.902702
Nilai pada iterasi ke 18 : 1.87625 : 0.902702
iterasi 58 1.87534
iterasi 59 1.87534
iterasi 60 1.87534
iterasi 47 0.902626
iterasi 48 0.902626
Nilai pada iterasi ke 19 : 1.87534 : 0.902626
iterasi 61 1.87603
iterasi 62 1.87603
iterasi 63 1.87603
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Estimasi Parameter Distribusi Loglogistik pada Data Tersensor Progressive Tipe II dengan Menggunakan Algoritma EM
Romadhoni, Annas Riezki
iterasi 49 0.902683
iterasi 50 0.902683
Nilai pada iterasi ke 20 : 1.87603 : 0.902683
iterasi 64 1.87551
iterasi 65 1.87551
iterasi 66 1.87551
iterasi 51 0.90264
iterasi 52 0.90264
Nilai pada iterasi ke 21 : 1.87551 : 0.90264
iterasi 67 1.8759
iterasi 68 1.8759
iterasi 69 1.8759
iterasi 53 0.902672
iterasi 54 0.902672
Nilai pada iterasi ke 22 : 1.8759 : 0.902672
iterasi 70 1.87561
iterasi 71 1.87561
iterasi 72 1.87561
iterasi 55 0.902648
iterasi 56 0.902648
Nilai pada iterasi ke 23 : 1.87561 : 0.902648
iterasi 73 1.87583
iterasi 74 1.87583
iterasi 57 0.902666
iterasi 58 0.902666
Nilai pada iterasi ke 24 : 1.87583 : 0.902666
iterasi 75 1.87566
iterasi 76 1.87566
iterasi 59 0.902652
iterasi 60 0.902652
Nilai pada iterasi ke 25 : 1.87566 : 0.902652
iterasi 77 1.87579
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Estimasi Parameter Distribusi Loglogistik pada Data Tersensor Progressive Tipe II dengan Menggunakan Algoritma EM
Romadhoni, Annas Riezki
iterasi 78 1.87579
iterasi 61 0.902663
iterasi 62 0.902663
Nilai pada iterasi ke 26 : 1.87579 : 0.902663
iterasi 79 1.87569
iterasi 80 1.87569
iterasi 63 0.902655
iterasi 64 0.902655
Nilai pada iterasi ke 27 : 1.87569 : 0.902655
iterasi 81 1.87576
iterasi 82 1.87576
iterasi 65 0.902661
iterasi 66 0.902661
Nilai pada iterasi ke 28 : 1.87576 : 0.902661
iterasi 83 1.87571
iterasi 84 1.87571
iterasi 67 0.902656
iterasi 68 0.902656
Nilai pada iterasi ke 29 : 1.87571 : 0.902656
iterasi 85 1.87575
iterasi 86 1.87575
iterasi 69 0.90266
iterasi 70 0.90266
Nilai pada iterasi ke 30 : 1.87575 : 0.90266
iterasi 87 1.87572
iterasi 88 1.87572
iterasi 71 0.902657
iterasi 72 0.902657
Nilai pada iterasi ke 31 : 1.87572 : 0.902657
iterasi 89 1.87574
iterasi 90 1.87574
iterasi 73 0.902659
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Estimasi Parameter Distribusi Loglogistik pada Data Tersensor Progressive Tipe II dengan Menggunakan Algoritma EM
Romadhoni, Annas Riezki
iterasi 74 0.902659
Nilai pada iterasi ke 32 : 1.87574 : 0.902659
iterasi 91 1.87573
iterasi 92 1.87573
iterasi 75 0.902658
iterasi 76 0.902658
Nilai pada iterasi ke 33 : 1.87573 : 0.902658
iterasi 93 1.87574
iterasi 94 1.87574
iterasi 77 0.902659
iterasi 78 0.902659
Nilai pada iterasi ke 34 : 1.87574 : 0.902659
iterasi 95 1.87573
iterasi 96 1.87573
iterasi 79 0.902658
iterasi 80 0.902658
Nilai pada iterasi ke 35 : 1.87573 : 0.902658
iterasi 97 1.87574
iterasi 98 1.87574
iterasi 81 0.902658
iterasi 82 0.902658
Nilai pada iterasi ke 36 : 1.87574 : 0.902658
iterasi 99 1.87573
iterasi 100 1.87573
iterasi 83 0.902658
iterasi 84 0.902658
Nilai pada iterasi ke 37 : 1.87573 : 0.902658
iterasi 101 1.87574
iterasi 102 1.87574
iterasi 85 0.902658
iterasi 86 0.902658
Nilai pada iterasi ke 38 : 1.87574 : 0.902658
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Estimasi Parameter Distribusi Loglogistik pada Data Tersensor Progressive Tipe II dengan Menggunakan Algoritma EM
Romadhoni, Annas Riezki
iterasi 103 1.87573
iterasi 104 1.87573
iterasi 87 0.902658
iterasi 88 0.902658
Nilai pada iterasi ke 39 : 1.87573 : 0.902658
iterasi 105 1.87573
iterasi 106 1.87573
iterasi 89 0.902658
iterasi 90 0.902658
Nilai pada iterasi ke 40 : 1.87573 : 0.902658
iterasi 107 1.87573
iterasi 108 1.87573
iterasi 91 0.902658
iterasi 92 0.902658
Nilai pada iterasi ke 41 : 1.87573 : 0.902658
iterasi 109 1.87573
iterasi 110 1.87573
iterasi 93 0.902658
iterasi 94 0.902658
Nilai pada iterasi ke 42 : 1.87573 : 0.902658
iterasi 111 1.87573
iterasi 112 1.87573
iterasi 95 0.902658
iterasi 96 0.902658
Nilai pada iterasi ke 43 : 1.87573 : 0.902658
iterasi 113 1.87573
iterasi 114 1.87573
iterasi 97 0.902658
iterasi 98 0.902658
Nilai pada iterasi ke 44 : 1.87573 : 0.902658
iterasi 115 1.87573
iterasi 116 1.87573
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Estimasi Parameter Distribusi Loglogistik pada Data Tersensor Progressive Tipe II dengan Menggunakan Algoritma EM
Romadhoni, Annas Riezki
iterasi 99 0.902658
iterasi 100 0.902658
Nilai pada iterasi ke 45 : 1.87573 : 0.902658
iterasi 117 1.87573
iterasi 118 1.87573
iterasi 101 0.902658
iterasi 102 0.902658
Nilai pada iterasi ke 46 : 1.87573 : 0.902658
iterasi 119 1.87573
iterasi 120 1.87573
iterasi 103 0.902658
iterasi 104 0.902658
Nilai pada iterasi ke 47 : 1.87573 : 0.902658
iterasi 121 1.87573
iterasi 122 1.87573
iterasi 105 0.902658
iterasi 106 0.902658
Nilai pada iterasi ke 48 : 1.87573 : 0.902658
iterasi 123 1.87573
iterasi 124 1.87573
iterasi 107 0.902658
iterasi 108 0.902658
Nilai pada iterasi ke 49 : 1.87573 : 0.902658
iterasi 125 1.87573
iterasi 126 1.87573
iterasi 109 0.902658
iterasi 110 0.902658
Nilai pada iterasi ke 50 : 1.87573 : 0.902658
iterasi 127 1.87573
iterasi 128 1.87573
iterasi 111 0.902658
Nilai pada iterasi ke 51 : 1.87573 : 0.902658
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Estimasi Parameter Distribusi Loglogistik pada Data Tersensor Progressive Tipe II dengan Menggunakan Algoritma EM
Romadhoni, Annas Riezki
----------------------------------------
Nilai Estimator Distribusi Logistik
----------------------------------------
Nilai Estimator Distribusi Loglogistik
-----------------------------------------
: 1.87573 dan : 0.902658
: 6.52561 dan : 1.10784
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Estimasi Parameter Distribusi Loglogistik pada Data Tersensor Progressive Tipe II dengan Menggunakan Algoritma EM
Romadhoni, Annas Riezki