Dasar Sistem Pengaturan - 04 1

TE141345 Dasar Sistem Pengaturan

Model Matematik

Ir. Jos Pramudijanto, M.Eng.Jurusan Teknik Elektro FTI ITS

Telp. 5947302 Fax.5931237Email: pramudijanto@gmail.com

Dasar Sistem Pengaturan - 04 2

Objektif:Penyajian Model MatematikModel Sistem MekanikModel Sistem ElektrikModel Sistem Mekatronika

(Elektromekanik)

Dasar Sistem Pengaturan - 04 3

Model Matematik Sistem Fisik

Model matematik adalah deskripsi matematik dari sistem yang dinyatakan dalam bentuk hubungan matematik dari Input dan Output sistem.

Dasar Sistem Pengaturan - 04 4

Penyajian Model Matematik• Dalam bentuk Persamaan Matematik

Pers.Differensial, untuk sistem kontinyu Pers.Beda, untuk sistem diskrit

• Dalam bentuk Fungsi Alih (Transfer Function) TF dalam fungsi s, untuk sistem kontinyu TF dalam fungsi z, untuk sistem diskrit

• Dalam bentuk Persamaan State State kontinyu State diskrit

• Dalam bentuk Polinomial Polinomial dalam s, untuk sistem kontinyu Polinomial dalam q, untuk sistem diskrit

• Dalam bentuk Diagram Diagram Blok Signal Flow Graph

Dasar Sistem Pengaturan - 04 5

Hubungan Penyelesaian Model Matematik

Persamaan Deferensialx(t)

Penyelesaianx(t)

Persamaan AljabarOperator s

Penyelesaian AljabarX(s)perhitungan aljabar

trans

form

asi l

apla

ce

inve

rs tr

ansf

orm

asi l

apla

ce

penyelesaian langsung(analitik)

Dasar Sistem Pengaturan - 04 6

Model Matematik dalam bentuk PDHubungan Input-Output sistem dapat dituliskan sebagai:

f( , ) = weighting function

Atau dalam bentuk PD dapat pula ditulis sebagai berikut (*):

xcdtdxc

dtxdc

dtxdcyd

dtdyd

dtydd

dtydd m

m

mm

m

mn

n

nn

n

n 011

1

1011

1

1 ...... ++++=++++ −

−

−−

−

−

f( , )x(t) y(t)

∫ −•=t

dtxtfty0

)()()( ττ

)()()( txtfty •=

Dasar Sistem Pengaturan - 04 7

Model Matematik dalam bentuk TFTransfer Function: hubungan Input-Output sistem yang berasal dari TLbentuk PD dengan asumsi semua kondisi awal=0.

TL dari persamaan di atas (*) dengan semua kondisi awal=0, menjadi:

Transfer Function:

[ ] [ ] )(...)(... 011

1011

1 sXcscscscsYdsdsdsd mm

mm

nn

nn ++++=++++ −

−−

−

011

1

011

1

......

)()()(

dsdsdsdcscscsc

sXsYsG n

nn

n

mm

mm

++++++++

== −−

−−

Dasar Sistem Pengaturan - 04 8

Model Matematik Sistem Mekanik

Pada sistem mekanik untuk mencari persamaan dinamik sistem banyak menggunakan Hukum Newton.

Gerakan Translasi: ΣF = m a

Gerakan Rotasi: Στ = J α

di mana :F = gaya yang bekerja pada massa mm = massa bendaa = percepatan bendaτ = torsi yang bekerja pada bendaJ = momen inersia bendaα = percepatan sudut

Dasar Sistem Pengaturan - 04 9

Sistem Mekanik – MassaTranslasi: Rotasi:

Persamaan dinamik:

f(t) = m a(t) τ(t) = J α(t)

m

x, v, a

f(t) J

τ(t)

θ, ω, α

dttdvmtf )()( =

2

2 )()(dt

txdmtf =

dttdJt )()( ωτ =

2

2 )()(dt

tdJt θτ =

Dasar Sistem Pengaturan - 04 10

Sistem Mekanik – Pegas

Translasi: Rotasi:

Persamaan dinamik:

xf

k

τθ

k

)()( tkxtf = ))( tkt (= θτ

Dasar Sistem Pengaturan - 04 11

Sistem Mekanik- RodagigiRodagigi n1 diputar oleh torsi Τ1, menghasilkan torsi Τ2 pada rodagigi n2:

di mana:r = jari-jari rodaω = kecepatan sudut rodaα = percepatan sudut rodaΤ = torsi n = jumlah gigi

Dasar Sistem Pengaturan - 04 12

Sistem Mekanik – PengungkitSuatu gaya F1 diberikan pada batang yang mempunyai panjang l, akan diteruskan oleh batang m sebesar F2 :

Persamaan dinamik:

12 FmlF =

F1

F2

x1

x2l m

)()( 12 txlmtx =

)()( 12 tvlmtv =

)()( 12 talmta =

Dasar Sistem Pengaturan - 04 13

Sistem Mekanik- Daspot/DamperTranslasi: Rotasi:

Persamaan dinamik:

B

f

fluida/gas

fx,y

τθ

B

dttdxBtf )()( =

dttdBt )()( θτ =

dttdyBtf )()( =

Dasar Sistem Pengaturan - 04

Translasi pada Accelerometer

( ) ••

•••••

•••••

==++

=++

+=

−

XUYksbs

xymky

mby

ybkyyxm

''2

LaplaceBentuk

IINewton Hukum

14

Dasar Sistem Pengaturan - 04 15

Sistem Suspensi Kendaraan

Dasar Sistem Pengaturan - 04 16

Model Sistem Suspensi

Dasar Sistem Pengaturan - 04 17

Contoh: Sistem MekanikSistem mekanik seperti gambar berikut:

di mana:f(t) = gaya yang bekerja pada massa mK = konstanta pegasB = konstanta daspot (peredam viscos)y(t) = simpangan pegas

• Carilah model dinamik sistem mekanik tersebut dengan y(t) sebagai output dan f(t) sebagai input.

• Carilah transfer function sistem mekanik tersebut dengan y(t) sebagai output dan f(t) sebagai input.

m

f(t)

y(t)B

K

Dasar Sistem Pengaturan - 04 18

Model Matematik Sistem Elektrik

Pada sistem elektrik untuk mencari persamaan dinamik sistem banyak menggunakan Hukum-hukum pada rangkaian listrik.

persamaan tegangan Kirchoff, dan arus Mesh

0; == ∑∑∑i

ioutin VII

Dasar Sistem Pengaturan - 04 19

)()( tRitv RR = ∫= dttiC

tv CC )(1)(

RiR

vR

CiC

vC

L

vL

iL

)()( sRIsV RR = )(1)( sICs

sV CC =

dttdiLtv L

L)()( =

)()( sLsIsV LL =

Komponen Pasif: R-L-CResistor: Kapasitor: Induktor:

Model Dinamik

TL:

Dasar Sistem Pengaturan - 04 20

Contoh: Sistem Elektrik R-L-C

vi vo

R

C

L

Suatu Filter yang terdiri dari komponen RLC. Tegangan input vi(t) dan tegangan output vo(t).

• Carilah model dinamik sistem elektrik tersebut • Carilah transfer function sistem elektrik tersebut

Dasar Sistem Pengaturan - 04 21

)()( 11

22 tv

nntv =

)()( 11

22 sV

nnsV =

n1n2

i1 i2

v1 v2

Komponen Pasif: Transformator Ideal

Model Dinamik

Transformasi Laplace

Dasar Sistem Pengaturan - 04 22

Transformator tidak ideal

• Ada pengaruh induktansi gandeng (M)

• Titik menandakan awal lilitan• v1 = tegangan input• v2 = tegangan output• i1 = arus kumparan primer • i2 = arus kumparan sekunder • n1 = jumlah lilitan kumparan 1• n2 = jumlah lilitan kumparan 2

M

n1n2

i1 i2

v1 v2

Dasar Sistem Pengaturan - 04 23

0)()()( 2111 =−−

dttdiM

dttdiLtv

Trafo tidak ideal (sisi primer)

• Persamaan Dinamik

• Transformasi Laplace

i1

v1

dtdiM 2

1Lv1L

)()(1)(

0)()()(

1112

2111

ssILsVMs

sI

sMsIssILsV

−=

=−−

Dasar Sistem Pengaturan - 04 24

Trafo tidak ideal (sisi sekunder)

• Persamaan Dinamik

• Transformasi Laplace

)()()(0)()()(

1222

1222

sMsIssILsVsMsIssILsV

−−==++

0)()()( 1222 =++

dttdiM

dttdiLtv

i2

v2

dtdiM 1

2Lv2L

Dasar Sistem Pengaturan - 04 25

Contoh: Sistem Elektrik - Trafo

Rangkaian input transformator (trafo) dihubungkan seri oleh kapasitor C, dan rangkaian output diberi beban R1dan R2 secara seri-paralel.

• Carilah transfer function sistem elektrik tersebutM

n1 n2

i1 i2

v1 v2C

R2

R1

Dasar Sistem Pengaturan - 04 26

Komponen Aktif: Operational Amplifier

Sifat–sifat Operasional Amplifier:1. Gain sangat besar K= 105 sampai dengan 106

kali.2. Mempunyai dua masukan yaitu masukan positif

(v1) dan masukan negatif (v2).3. Mempunyai impedansi masukan yang sangat

besar sehingga arus input pada masukan positif atau masukan negatif kecil sekali ≈ 0

4. Mempunyai keluaran vo = K (v1 – v2)

Dasar Sistem Pengaturan - 04 27

Non Inverting Amplifier

Dasar Sistem Pengaturan - 04 28

Inverting Amplifier

Dasar Sistem Pengaturan - 04 29

Pendekatan Impedansi (Inverting Amplifier)

Dasar Sistem Pengaturan - 04 30

Tabel Variasi Impedansi 1

Dasar Sistem Pengaturan - 04 31

Tabel Variasi Impedansi 2

Dasar Sistem Pengaturan - 04 32

Contoh: Operational AmplifierRangkaian Operational Amplifier dikonfigurasi dengan rangkaian pasif R-C untuk menjadi filter

• Carilah transfer function rangkaian Operational Amplifier tersebut.

Dasar Sistem Pengaturan - 04 33

Model Sistem Mekatronik

Untuk mencari persamaan dinamik sistem berikut, digunakan persamaan-persamaan sistem elektrik pada motor dan selenoid (plunger).

motor DC, AC, selenoid

Dasar Sistem Pengaturan - 04 34

Motor DC penguat medan tetap

Dasar Sistem Pengaturan - 04 35

Rangkaian Kumparan Jangkar Motor DC

Dasar Sistem Pengaturan - 04 36

Torsi pada Motor DC (1)

Dasar Sistem Pengaturan - 04 37

Torsi pada Motor DC (2)

Dasar Sistem Pengaturan - 04 38

Tegangan GGL Motor DC

Dasar Sistem Pengaturan - 04 39

Blok Diagram Motor DC

Gambar yang pertama Ω(s) output dan gambar kedua θ(s) output.

KTM

1-----------Js + B

Ia(s) Ω(s)Ea(s) +

-

Kg

1-----------Las + Ra

T(s)

Eggl

KTM

1-----------Js2 + Bs

Ia(s) θ(s)Ea(s) +

-

s

1-----------Las + Ra

T(s)

Eggl

KgΩ(s)

atau

Dasar Sistem Pengaturan - 04 40

Penyederhanaan Blok Diagram Motor DC

Ea(s) input dan Ω(s) output:

Ea(s) input dan θ(s) output:

Dasar Sistem Pengaturan - 04 41

Motor AC-ServoMotor AC-Servo pada prinsipnya dapat berupa sebuah motor induksi dengan 2-kutub/dua-fasa

Fasa ref.

ec

Fasa kontrol (a)

Jτ θ

bec(t)

Dasar Sistem Pengaturan - 04 42

Arsitektur Motor AC-Servo

Salah satu dari kumparan medan sebagai lilitan referensi (fase reference) dan kumparan medan yang lainnya sebagai lilitan kontrol (fase control) dengan tegangan AC yang berbeda 90°listrik terhadap tegangan referensi.Hal ini didasarkan bahwa torsi yang dihasilkan pada poros, paling efisien jika sumbu-sumbu kumparan fasa saling tegak lurus dan tegangan kedua fasa tersebut mempunyai beda fasa 90°.

Dasar Sistem Pengaturan - 04 43

Persamaan Torsi Motor AC-servoTorsi τ yang dibangkitkan merupakan fungsi dari kecepatan sudut poros motor dan tegangan kontrol EC , adalah:

di mana: Kn dan KC konstanta positif.

Kesetimbangan torsi untuk motor servo dua-fasa adalah:

di mana:J = momen inersia motor dan beban pada poros motorb = koefisien gesekan viskos motor dan beban poros motor

Gabungan kedua persamaan di atas diperoleh:

ccn EKK +−=•

.

θτ

•••+= θθτ bJ

.

( ) ccn EKKbJ.

=++•••θθ

Dasar Sistem Pengaturan - 04 44

Fungsi Alih Motor AC-servo

Tegangan kontrol EC adalah input dan perpindahan poros motor adalah output, maka fungsi alih (transfer-function) sistem ini diberikan:

di mana :Km = KC /( b + Kn) = konstanta penguatan motorTm = J /( b + Kn) = konstanta waktu motor

)1()()(

2 +=

++=

sTsK

)s K ( b JsK

sEs

m

m

n

c

c

θ

Dasar Sistem Pengaturan - 04 45

Diagram Kotak Motor AC-servoFungsi alih didasarkan pada anggapan bahwa motor servo linier. Namun dalam praktek, motor servo tidak benar-benar linier. Karena kurva torsi-kecepatan tidak benar-benar sejajar dan berjarak sama, maka harga Kn tidak konstan. Sehingga harga Km dan Tm juga tidak konstan, harga-harga tersebut berubah terhadap tegangan kontrol.Diagram blok dari motor Servo dua-fasa di atas sebagai berikut :

Km------------s(Tms +1)

θ(s)Ec(s)

Dasar Sistem Pengaturan - 04 46

Model Matematik Selenoid (Plungger)Suatu kumparan yang dililitkan pada media isolator yang mempunyai inti besi yang bebas bergerak. Tegangan vp(t) sebagai input dan x(t) sebagai output. Kp= konstanta plungger ip = arus yang mengalir pada plungger.

)()()()(

)( tiKtxdantiRdt

tdiLtv pppp

ppp =+=

x (t)

Plunger

Lp; Rp

vp (t)

Dasar Sistem Pengaturan - 04 47

Contoh: Sistem ElektromekanikConsider the temperature control system shown in figure. It is assume that the heat q pumped into the chamber is proportional to the valve opening x and the temperatur y inside the chamber related to q by the differential equation dy/dt = -cy + kcq. Compute transfer function of each blok.

qkcydtdy

c+−=