CONTOH SOAL

ASUSTSAnalisa Sistem Untuk Teknik Sipil

SOAL 1

Sebuah pabrik memproduksi barang jadi sejumlah x1 dengan harga jual Rp. 10.000,-

Biaya produksi Rp. 3.000,- Pada proses produksi terjadi limbah sebesar 2 x1,

limbah aman yang boleh langsung dibuang kesungai adalah sebesar x2.

UPL (Unit Pengolah Limbah) mempunyai kapasitas maksimum 10 satuan limbah dan efisiensi 80%.

Biaya pengolahan limbah Rp.600,- persatuan limbah.

Pembuangan limbah kesungai mempunyai ambang batas sebesar 4 satuan dan biaya retribusi limbah adalah Rp. 2.000,- persatuan limbah.

Permodelan

PabrikX1 satuan produksi

UPL

2X1 satuan limbah

X2

2X1-X2

0,2(2X1-X2)

Sungai

Permodelan Matematis

Keuntungan: Harga jual – Total Biaya produksi Harga jual Rp. 10000,- Biaya produksi Rp. 3000,- Biaya pengolahan limbah Rp. 600,- Retribusi buangan limbah Rp. 2000,- P = 10 x1–[3 x1 + 0,6 (2 x1– x2) + 2{x2 + 0,2(2x1 – x2)}]= 5x1-x2

Batas kapasitas UPL : 2x1-x2 ≤ 10 Batasan buangan limbah langsung ke sungai :

x2 + 0,2 (2x1-x2) ≤ 4

0,4x1 + 0,8x2 ≤ 4

Batasan limbah yang diolah di UPL tidak negatif : 2x1-x2 ≥ 0

Maka rumusan linier menjadi :

Maksimalkan z = 5x1-x2

Pembatas…… 2x1-x2 ≤ 10

x2+0,2(2x1-x2) ≤ 4

2x1-x2 ≥ 0 x1 ≥ 0

x2 ≥ 0

SOAL

Selesaikan dan cari solusi optimal dari permasalahan memaksimalkan keuntungan dari produksi barang jadi pabrik yang tergantung dari kendala pembuatan Unit Pengolahan Limbah (UPL) menggunakan penggambaran cara grafis.

Maka rumusan linier menjadi :

Maksimalkan z = 5x1-x2

Pembatas……2x1-x2 ≤ 10

x2+0,2(2x1-x2) ≤ 4

2x1-x2 ≥ 0

x1 ≥ 0

x2 ≥ 0

B(2,4)

C (6,2)

DA

105

5

7

X1

X2

Daerah layak

2x1 -

x2 =

10

5x1

- x2

= 2

8

5x1

- x2

= 2

5

2x1 -

x2 =

0

5x1

- x2

= 0

0.4x1 + 0.8x2 = 4

Titik Optimal

Contoh solusi cara grafis

Jawab :Dari persamaan-persamaan kendala dan fungsi tujuan didapat penggambaran grafis sbb.

Setelah menentukan daerah layak dan menarik garis sejajar terhadap garis fungsi tujuan, didapat hasil optimal apabila :

Jumlah produksi barang jadi, x1 = 6 satuan

Jumlah limbah tanpa diolah, x2 = 2 satuan

Nilai maksiamal z = Rp. 28 juta

Sehingga limbah pabrik yang harus dibuang adalah sbb : Limbah pabrik yang terjadi = 2 x 6 satuan = 12 satuan Limbah pabrik yang diolah = 12 -2 = 10 satuan,

setelah diolah tinggal 0,8 x 10 = 2 satuan Limbah pabrik yang dibuang ke sungai seluruhnya =

2+2 = 4 satuan

SOAL 2

Sebuah perusahaan memproduksi panel kaca jadi untuk digunakan sebagai daun jendela dan pintu.Perusahaan ini memiliki 3 buah pabrik, yaitu pabrik 1 yang membuat bingkai alumunium, pabrik 2 yang membuat bingkai kayu, dan pabrik 3 yang digunakan untuk memproduksi kaca dan merakit produk keseluruhan. Saat ini perusahaan mendapat pesanan berupa dua macam produk baru, yaitu pintu kaca setinggi 2 m dengan bingkai alumunium (produk 1), dan jendela berukuran 1 m x 1.5 m dengan bingkai kayu (produk 2). Data kapasitas dan keuntungan per unit seperti pada tabel di bawah. Berapa banyaknya masing-masing produk harus dibuat sehingga diperoleh keuntungan yang terbaik ?

Selesaikan dengan cara simpleks.

5030

41218

022

103

Produk 2Produk 1

Kapasitas yang dapat digunakan

Kapasitas yang digunakan per unit ukuran produksi

Keuntungan per unit

Pabrik 1Pabrik 2Pabrik 3

JAWAB :

Rumusan program linier :

Masksimumkan z = 3x1 + 5x2

Pembatas x1 ≤4

2x2

≤12

3x1+ 2x2 ≤18

x1,x2

≥0

3x1 + 2x

2

2x2

x1

Daerah layak

Titik D sebagai titik optimum

x2

x1z = 3x1 + 5x2

E D

C

BA

10

108642

2

4

6

8 Titik optimum ( x1 = 2 , x2 = 6)

Latihan Soal:

Dengan metoda grafis dan Simplex, selesaikan persoalan berikut:

Maksimumkan: z = 5 x1 + 2 x2

Kendala: x1 - x2 1

2 x1 + x2 9

- 3 x1 + 2 x2 3

x1, x2 ≥ 0

Dengan metoda grafis dan Simplex, selesaikan persoalan berikut:

Maksimumkan: z = 3 x1 + x2

Kendala: x1 – 2 x2 10

2 x1 + x2 24

x1 – x2 5

Dengan metoda M besar, selesaikan persoalan berikut:

Maksimumkan: z = 5 x1 + 2 x2

Kendala: x1 – 2 x2 ≤ 1

2 x1 + x2 ≤ 9

- 3 x1 + 2 x2 = 3

Sebuah perusahaan elektronik memproduksi tape recorder dan amplifier yang prosesnya dilakukan di dua unit yaitu pengetesan dan perakitan. Setiap tape recorder memerlukan 2 jam perakitan dan 2 jam pengetesan; sedangkan setiap amplifier memerlukan 4 jam perakitan dan 3 jam pengetesan. Waktu yang tersedia di unit pengetesan adalah 48 jam/minggu; dan di unit perakitan adalah 72 jam/minggu. Keuntungan tiap tape recorder adalah Rp. 25000,- dan tiap amplifier adalah Rp. 50000,-. Bagaimana formulasi persoalan diatas agar dapat ditentukan strategi produksi terbaik yang memberikan keuntungan maksimum.

10

10 20 30 40 50 60

20

30

40

Z=25x1+50x22x1+4x2≤722x1+3x2≤48

MAKSIMUM

Sebuah perusahaan elektronik memproduksi tape recorder dan amplifier yang prosesnya dilakukan di dua unit yaitu pengetesan dan perakitan. Setiap tape recorder memerlukan 2 jam perakitan dan 2 jam pengetesan; sedangkan setiap amplifier memerlukan 4 jam perakitan dan 3 jam pengetesan. Waktu yang tersedia di unit pengetesan adalah 48 jam/minggu; dan di unit perakitan adalah 72 jam/minggu. Jumlah produksi kedua barang tidak boleh lebih dari 20 perminggu. Keuntungan tiap tape recorder adalah Rp. 25000,- dan tiap amplifier adalah Rp. 50000,-. Bagaimana formulasi persoalan diatas agar dapat ditentukan strategi produksi terbaik yang memberikan keuntungan maksimum.

Sebuah perusahaan elektronik memproduksi tape recorder dan amplifier yang prosesnya dilakukan di dua unit yaitu pengetesan dan perakitan. Setiap tape recorder memerlukan 2 jam perakitan dan 2 jam pengetesan; sedangkan setiap amplifier memerlukan 4 jam perakitan dan 3 jam pengetesan. Waktu yang tersedia di unit pengetesan adalah 48 jam/minggu; dan di unit perakitan adalah 72 jam/minggu. Selisih jumlah produksi tape recorder dan amplifier tidak boleh lebih dari 20 perminggu. Keuntungan tiap tape recorder adalah Rp. 25000,- dan tiap amplifier adalah Rp. 50000,-. Bagaimana formulasi persoalan diatas agar dapat ditentukan strategi produksi terbaik yang memberikan keuntungan maksimum.

Max z = 5x1 + 2x2

Kendala : x1-2x2 ≤ 1

2x1+x2 ≤ 9

-3x1+2x2 ≤ 3

x1, x2 ≥ 0

Basic

z x1 x2 S1 S2 S3 Solusi

Rasio

Pengali

Z 1 -5 -2 0 0 0 0 - -(-5)/1 =+5

S1 0 1 -2 1 0 0 1 1 +1/1 =+1

S2 0 2 1 0 1 0 9 9/2 -(2)/1 =-2

S3 0 -3 2 0 0 1 3 - -(-3)/1 =+3

Basic

z x1 x2 S1 S2 S3 Solusi

Rasio

Pengali

Z 1 0 -12 5 0 0 5 - -(-12)/5 = +12/5

X1 0 1 -2 1 0 0 1 - -(-2)/5 =+2/5

S2 0 0 5 -2 1 0 7 7/5 +1/5 =+1/5

S3 0 0 -4 3 0 1 6 - -(-4/5) =+4/5

Basic

z x1 x2 S1 S2 S3 Solusi

Rasio

Pengali

Z 1 0 0 1/5 12/5 0 109/5

X1 0 1 0 1/5 2/5 0 19/5

X2 0 0 1 -2/5 1/5 0 7/5

S3 0 0 0 7/5 4/5 1 58/5

Kendala x1-2x2 ≤ 1 x1-2x2+S1 = 12x1+x2 ≤ 9 2x1+x2+S2 = 9

-3x1+2x2 ≤ 3 -3x1+2x2+S3 = 3Max z = 5x1 + 2x2 z = 5x1+2x2+0S1+0S2+0S3 z-5x1-2x2-0S1-0S2-0S3=0

\ Karena elemen pada baris z sudah bernilai positif, maka iterasi

dapat dihentikan. Sehingga besarnya :

z = 109/5

x1= 19/5 Cek z = 5x1 + 2x2

x2 = 7/5 109/5 = 95/5 + 14/5

S3 = 58/5 …..OK…..

Note untuk persoalan maksimasi :

- Langkah Awal Persoalan Maksimasi adalah memilih kolom pada baris

z yang memiliki angka paling negatif (paling kecil)

- Nilai rasio yang bernilai negatif atau tak hingga tidak perlu ditulis

- Pilih baris yang memiliki nilai rasio terkecil

- Lakukan iterasi hingga seluruh angka pada baris z bernilai positif

1-1

1,5

-1 2 4,5

5

92x1+x2 ≤

9

x1-x2 ≤ 1

-3x1+2x2 ≤ 3

z

z

A (3,33 ; 2,33) Titik Optimum

B (2,14 ; 4,71)

z = 5x1 + 2x2 = (5x3,33) + (2x2,33) = 21,33

Basic

z x1 x2 S1 S2 S3 Solusi

Rasio

Pengali

Z 1 -5 -2 0 0 0 0 - -(-5)/1 =+5

S1 0 1 -1 1 0 0 1 1 +1/1 =+1

S2 0 2 1 0 1 0 9 9/2 -(2)/1 =-2

S3 0 -3 2 0 0 1 3 - -(-3)/1 =+3

Basic

z x1 x2 S1 S2 S3 Solusi

Rasio

Pengali

Z 1 0 -7 5 0 0 5 - -(-7)/3 = +7/3

X1 0 1 -1 1 0 0 1 - -(-1)/3 =+1/3

S2 0 0 3 -2 1 0 7 7/3 +1/3 =+1/3

S3 0 0 -1 3 0 1 6 - -(-1/3) =+1/3

Basic

z x1 x2 S1 S2 S3 Solusi

Rasio

Pengali

Z 1 0 0 1/3 7/3 0 64/3

X1 0 1 0 1/3 1/3 0 10/3

X2 0 0 1 -2/3 1/3 0 7/3

S3 0 0 0 7/3 1/3 1 25/3

Kendala x1-x2 ≤ 1 x1-x2+S1 = 12x1+x2 ≤ 9 2x1+x2+S2 = 9

-3x1+2x2 ≤ 3 -3x1+2x2+S3 = 3Max z = 5x1 + 2x2 z = 5x1+2x2+0S1+0S2+0S3 z-5x1-2x2-0S1-0S2-0S3=0

\ Karena elemen pada baris z sudah bernilai positif, maka iterasi

dapat dihentikan. Sehingga besarnya :

z = 64/3

x1= 10/3 Cek z = 5x1 + 2x2

x2 = 7/3 64/3 = 50/3 + 14/3

S3 = 25/3 …..OK…..

Note untuk persoalan maksimasi :

- Langkah Awal Persoalan Maksimasi adalah memilih kolom pada baris

z yang memiliki angka paling negatif (paling kecil)

- Nilai rasio yang bernilai negatif atau tak hingga tidak perlu ditulis

- Pilih baris yang memiliki nilai rasio terkecil

- Lakukan iterasi hingga seluruh angka pada baris z bernilai positif