KONSEP DASAR FUNGSI

DEFINISI FUNGSI

A. Relasi

Relasi adalah hubungan antara anggota himpunan asal (domain)dengan anggota himpunan kawan (kodomain)

Contoh :

Relasi antara negara dan ibu kota.

Relasi bilangan yang lebih besar dari.

Relasi kuadrat suatu bilangan, dsb

DEFINISI FUNGSI

Relasi dapat dinyatakan dengan 3 cara, yaitu : l. Diagram panah2. Himpunan pasangan berurutan3. Diagram Cartesius

Contoh :Via: aku senang permen dan coklatAndre: aku senang coklat dan es krimIta: aku suka es krim

Diagram panah

Himpunan pasangan berurutan

{ (Via,permen) , (Via,coklat) , (Andre,coklat) , (Andre,es krim) , (Ita,eskrim)}

Diagram Cartesius

DEFINISI FUNGSI

• A function is a relation in which each element of the domain is paired with exactly oneelement of the range. Another way of saying it is that there is one and only one output(y) with each input (x).

• Sebuah fungsi f adalah suatu korespondensi yang menggabungkan tiap obyek x dalamsuatu himpunan, yang disebut daerah asal (domain) dengan sebuah nilai tunggal f(x) darisuatu himpunan kedua. Himpunan nilai yang diperoleh secara demikian disebut daerahhasil (range) fungsi.

Syarat fungsi:

1. Ada himpunan asal (domain)

2. Ada himpunan kawan (kodomain)

3. Ada himpunan daerah hasil (range)

4. Semua anggota daerah asal (domain) habis dipetakan

5. Tidak ada anggota himpunan asal yang memiliki 2 bayangan atau lebih

Fungsi

Bukan fungsi, sebab ada elemen A yang

mempunyai 2 kawan.

Bukan fungsi, sebab ada elemen A yang

tidak mempunyai kawan.

A B

Function Notation

OutputInput

Name of Function

y = f x( )Untuk memberi nama fungsi, biasanyadigunakan sebuah huruf tunggal, sepertif.

Maka f(x) yang dibaca “f dari x” atau “f pada x” menunjukkan nilai yang diberikan oleh f terhadap x, atau aturanyang harus dipenuhi oleh xContoh : Jika f(x) = x2 + 2x+1, maka :

f(0) =f(1) = f(a) =f(a+b) =

Contoh:

• Untuk f(x) = x2 – 2x, cari dan sederhanakan:a) f (4)

b) f (4 + h)

c) f (4 + h) – f(4)

• Untuk f(x) = 3x2 – 3, cari dan sederhanakan:a) f (-1)

b) f (x + 2)

c) f (1/x)

GRAFIK FUNGSI

• Jika daerah asal dan daerah hasil sebuah fungsi merupakan bilangan real, kita dapat mebayangkan fungsi itu dengan menggambarkan grafiknya pada suatu bidang koordinat, dan grafik fungsi f adalah grafik dari persamaan y = f(x).

Contoh :

• Sketsakan grafik dari fungsi f(x) = x2 – 2 ?

• Latihan

DAERAH DEFINISI DAN DAERAH NILAI

• Aturan korespondensi bersama dengan daerah asal, menentukan daerah hasil.

• Jika untuk sebuah fungsi daerah asal tidak disebutkan, maka dianggap bahwa daerah asalnya adalah himpunan bilangan real yang terbesar sehingga aturan fungsi ada maknanya. Hal ini disebut dengan daerah asal alami (natural domain).

• Misal fungsi f : A → B, himpunan A disebut daerah definisi (domain) dari f ditulis A= Df, sedangkan himpunan B disebut Codomain dari f. Rf = {y | y=f(x), xA} adalah suatu himpunan bagian dari B ( Rf B) dan disebutdaerah nilai (range) dari f.

Contoh:

Tentukan daerah asal dari

Jawab:

Penyebut ≠ 0

3x – 12 ≠ 0

3x ≠ 12

X ≠ 4

Jadi domainnya adalah

x∈ = (−~, 4) ∪ (4, ~)

Contoh

Tentukan domainnya:

a. b.

2

1)(

+=

xxf

1)(

2 −=

x

xxf

a. Suatu jumlahan memiliki arti apabila masing-masing sukunya terdefinsikan. Sehingga:

)3dan5:atau2dan5:

)3atau2(dan5:

0)6(dan05:

ada)6ln(danada5

1:

ada)6ln(5

1:

2

2

2

−−−=

−−=

−−+=

−−+

=

−−++

=

xxxxxx

xxxx

xxxx

xxx

x

xxx

xD f

RR

R

R

R

R

= ),3()2,5()5,( −−−−

. )6ln(5

1)( 2 −−+

+= xx

xxf Tentukan daerah asal dari

Jawab :

Fungsi Riil (Real)

Fungsi

F.PangkatF. Polinom

F. Linier

F. Kuadrat

F. Kubik

F. Bikuadrat

Fungsi rasionalFungsi

irrasional

Fungsi non-aljabar

(transenden)

Fungsi aljabar

F. Eksponensial

F. Logaritmik

F. Trigonometrik

F. Hiperbolik

• Fungsi Kuadrat : fungsi polinom yang pangkattertinggi dari variabelnya adalah pangkat dua, sering juga disebut fungsi berderajat dua.

y = a0 + a1x + a2x2 a2 ≠ 0

• Fungsi berderajat n : fungsi yang pangkat tertinggidari variabelnya adalah pangkat n (n = bilangannyata).

y = a0 + a1x + a2x2 + …+ an-1xn-1 + anxn

an ≠ 0

• Fungsi Pangkat : fungsi yang veriabel bebasnya berpangkat sebuah bilangan nyata bukan nol.

y = xn n = bilangan nyata bukan nol.

• Fungsi eksponensial : fungsi yang variabel bebasnya merupakan pangkat dari suatu konstanta bukan nol.

y = nx n > 0

• Fungsi logaritmik : fungsi balik (inverse) dari fungsieksponensial, variabel bebasnya merupakanbilangan logaritmik.

y = nlog x

• Fungsi trigonometrik dan fungsi hiperbolik : fungsiyang variabel bebasnya merupakan bilangan-bilangan goneometrik.

persamaan trigonometrik y = sin x

persamaan hiperbolik y = arc cos x

• Berdasarkan letak ruas variabel-variabelnya : fungsi eksplisit dan implisit

0 Kubik

0 Kuadrat

0 Linear

0 Umum

Implisit Eksplisit Fungsi

3

3

2

210

3

3

2

210

2

210

2

210

1010

=−++++++=

=−++++=

=−++=

==

yxaxaxaaxaxaxaay

yxaxaaxaxaay

yxaa x aay

f(x,y) f(x) y

x

y

x

y

Linear

y = a0 + a1x

a0

Kemiringan = a1

(a) (b)

0 0

Kuadratik

y = a0 + a1x + a2x2

a0

(Kasus a2 < 0)

x

y

x

y

(c) (d)

0 0

Kubik

y = a0 + a1x + a2x2 + a3x

3

a0

Bujur sangkar hiperbolik

y = a / x

(a > 0)

x

y

x

y

(e) (f)

0 0

Eksponen

y = bx

(b > 1)

Logaritma

y = logb x

Menggambar Grafik Fungsi dalam Koordinat Cartesian• Secara umum cara yang digunakan untuk menggambarkan sebuah

grafik fungsi dalam koordinat Cartesian adalah sbb :

• Berdasarkan interval yang diberikan, tentukan titik-titik yang dilalui fungsi ybs dalam sebuah table sbb :

• Gambarkan koordinat masing-masing titik dalam table pada bidang Cartesian

• Hubungkan dengan busur masing-masing titik (koordinat) pada (b)

X ….. …. …. …. ….

Y ….. ….. ….. ….. …..

• Grafik yang mengandung harga mutlak.

Definisi harga mutlak :

-a, jika a< 0

|a| =

a, jika a 0

BENTUK DASAR FUNGSIFungsi dalam bentuk parameter

Fungsi dalam koordinat polar

Fungsi dalam bentuk parameter

• Kurva dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi y = f (x) (eksplisit) dan juga f(x, y) = 0

• Misalkan x = f (t) dan y = g(t) dua buah fungsi kontinyu pada interval I = [a,b]. Pasangan (x, y) = (f (t), g (t)) disebut persamaan parameter kurva dibidang dengan parameter t.

Contoh 1:

• x = t2 + 2t dan y = t − 3 dengan interval t adalah −2 ≤ t ≤ 3. Tentukan persamaan tersebut dengan persamaan dalam bentuk x dan y ?

Jawab :

y = t − 3 ⇐⇒ t = y + 3,

x = t2 + 2t

x = (y + 3)2 + 2(y + 3)

x = y2 + 8y + 15 −5 ≤ y ≤ 0

Contoh 2:

Tentukan persamaan berikut : - x = 2t

- y = t3t4 2 −

Jawab

x = 2t → t =21 x

y = t3t4 2 −

y = )x(3)x(4212

21 −

y = xx232 − → Parabola

Contoh 3:Tentukan persamaan berikut :

- x = 2

2

1

)1(

t

ta

+

− ; a dan b konstanta positif

- y = 21

2

t

bt

+

Jawab :

x = 2

2

1

)1(

t

ta

+

− →

xa

xat

+

−=2

y = 21

2

t

bt

+ →

22

222

)1(

4

t

tby

+= →

xa

xat

+

−=2

→ 2

22

)1)((

)(4

xaxaxa

xaby

+−++

−=

2

22

))((

)(4

xaxa

xaxaxa

xaby

+−

++ ++

−= →

22

22

))((

)(4

xaaxa

xaby

++

−=

2

2

22

)(

4)(

)(4

xa

axa

xaby

++

−= →

)(

4

)(42

22

xa

a

xaby

+

−= →

2

22

4

))((4

a

xaxaby

+−=

2

22 ))((

a

xaxaby

+−= →

2

2222 )(

a

xaby

−= → 222222 xbabya −=

222222 abxbya =+ → 222222 abyaxb =+ → 122

22

22

22

=+ab

ya

ab

xb ➔ 1

2

2

2

2

=+b

y

a

x → Elips

Contoh 4:

Selesaikanlah persamaan lingkaran berikut : - x= 3 sin t - y= 3 cos t - 2t0

Jawab :

)tcos9tsin9(yx 2222 +=+ )tcost(sin9 22 +=

9yx 22 =+ → Lingkaran dgn pusat (0,0) dan Jari-jari = 3

Fungsi-fungsi dalam persamaan parameter

• Lingkaran pusat O jari-jari = a : x = a cos , y = a sin ; 0 2. Apabilaparameter dieliminir terdapat persamaan lingkaran : x2 + y2 = a2.

• Elips pusat O, sumbu panjang 2a dan sumbu pendek 2b : x = a cos , y = b sin ; 0 2; parameter. Dengan meng eliminir di peroleh persamaan elips :

12

2

2

2

=+b

y

a

x

• Sikloida adalah suatu kurva yang dibentuk oleh sebuah titik P padabagian terluar dari sebuah roda ketika roda tersebut berputar(melakukan gerak translasi dan rotasi dalam waktu yang bersamaan)di sepanjang garis lurus tanpa tergelincir

Fungsi dalam koordinat polar

• Titik P dengan koordinat polar (r, ) berarti berada diposisi:

- derajat dari sumbu-x (sb. polar)

( diukur berlawanan arah jarum-jam)

- berjarak sejauh r dari titik asal kutub O.

Perhatian:

jika r < 0, maka P berada di posisi yang

berlawanan arah.

• r: koordinat radial

• : koordinat sudut

Hubungan Koordinat Polar dan Koordinat Cartesius

Contoh:

Bila a konstanta positif, ubahlah r = a√2 cos ½ 𝜃 ke bentuk koordinat kartesian.

Jawab:

• r2 = x2 + y2

• Ingat rumus trigonometri : cos 2 = 2 cos2 - 1 = cos2 = ½(1 + cos 2)

• Jadi, cos2 ½ = ½(1 + cos )

• Maka r = a√2 cos ½ 𝜃 → r2 = 2a2 cos2 ½

• x2 + y2 = 2a2 ½ (1 + cos ) = a2 (1 + cos ) = a2 (1 + 𝑥

𝑥2+𝑦2)

• x2 + y2 - a2 = 𝑎2𝑥

𝑥2+𝑦2

• (x2 + y2 - a2)2 = 𝑎4𝑥2

𝑥2+𝑦2atau (𝑥2 + 𝑦2) (x2 + y2 - a2)2 = 𝑎4𝑥2

• x6 + y6 + 3x4 y2 + 3x2y4 - 4a2x2 y2 - 2a2x4 - 2a2y4 + a4y4 = 0

Persamaan Kurva dalam Koordinat Polar

Contoh :

r = a(1 + cos ) ; a > 0

Contoh :

r2 = 2a2cos 2) ; a ≥ 0

Soal :

1. Untuk f(x) = x2 + 4x + 4, cari dan sederhanakan:

a. f (2x + 4)

b. f (x2 - 2)

2. Carilah domain dan range dari fungsi 𝑦 =6𝑥

2𝑥−10

3. Tentukan fungsi 𝑥 =1

𝑡+1dan 𝑦 =

𝑡

𝑡+1dalam bentuk persamaan x dan y

4. Nyatakan koordinat kutub titik A (8, 30o) ke dalam koordinat cartesius

5. Nyatakan koordinat cartesius berikut ke dalam koordinat polar

a. Titik A (3, 3 3)

b. Titik B (- 3, 1)