Post on 18-Jan-2021
Barisan dan
Deret
Purnami E. Soewardi
Direktorat Pembinaan Tendik Dikdasmen
Ditjen GTK
Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan
Definisi Barisan
Suatu barisan (dalam himpunan
bilangan real ) adalah suatu
fungsi yang memetakan setiap
elemen dari N (himpunan bilangan
asli) ke suatu bilangan real tertentu
(unik/tunggal) di
Bilangan-bilangan real
yang merupakan hasil
pemetaan dari N tersebut
dinamakan elemen dari
barisan
Elemen barisan biasanya
dilambangkan dengan xn ,
atau an, atau zn dan barisan
dilambangkan dengan X,
atau (xn), atau (xn : nN)
Contoh Barisan
...,,,, bbbbB dengan b
Barisan ini dinamakan barisan konstan b
Misal :
Barisan konstan 1 : ...,1,1,1,1
Barisan konstan 0 : ...,0,0,0,0
Contoh Barisan
NnnX :2: ...,8,6,4,2:X
Barisan ini dinamakan barisan aritmatika
Contoh Barisan
NmY
n:
2
1:1
...,81,
41,
21,
11:Y
Barisan ini dinamakan barisan geometri
Contoh Barisan
Ns
sZ :
1:
2
...,
4
1,
3
1,
2
1,
1
1:
4322Z
Contoh Barisan
Barisan Fibonacci NnfF n :: , dengan :
1:1 f , 1:2 f , Nnnfff nnn ,2: 11
...,55,34,21,13,5,3,2,1,1:F
Contoh Barisan
Latihan
Misalkan barisan nx didefinisikan oleh rumus-
rumus berikut. Tulislah 5 (lima) elemen
pertama dari barisan-barisan berikut ini:
a. nnx 11:
b.
nx
n
n1
:
c. 1
1:
nnxn
d. 2
1:
2
nxn
Latihan
bahwa elemen-elemen pertama barisan
tersebut merupakan peta dari elemen N yang
diurutkan dari elemen pertama. Tulislah rumus
elemen ke-n dari barisan-barisan tersebut!
a. 5, 7, 9, 11, ...
b. ...,16
1,
8
1,
4
1,
2
1
c. ...,5
4,
4
3,
3
2,
2
1
d. 1, 4, 9, 16, ...
Latihan
Tulislah lima elemen pertama barisan-
barisan yang didefinisikan secara induktif
berikut!
a. 13:;1: 11 nn xxx
b.
nnn
yyyy
2
2
1:;2: 11
c. nn
nnn
zz
zzzzz
1
1221 :;2:;1:
1221 :;5:;3: nnn sssss
Definisi
Misalkan nxX dan nyY adalah dua
buah barisan bilangan real. Penjumlahan dua
barisan didefinisikan sebagai :
NnyxYX nn ::
Contoh
Misal diberikan barisan bilangan real X dan Y:
...,8,6,4,2:X
...,
4
1,
3
1,
2
1,
1
1:Y
...,
12,...,
3
16,
2
14,
1
12:
nnYX
Definisi
Misalkan nxX dan nyY adalah dua
buah barisan bilangan real. Pengurangan dua
barisan didefinisikan sebagai :
NnyxYX nn ::
Contoh
Misal diberikan barisan bilangan real X dan Y:
...,8,6,4,2:X
...,
4
1,
3
1,
2
1,
1
1:Y
...,
12,...,
3
16,
2
14,
1
12:
nnYX
...,
12,...,
3
17,
2
7,
1
1:
2
n
nYX
Definisi
Misalkan nxX dan nyY adalah dua
buah barisan bilangan real. Perkalian dua
barisan didefinisikan sebagai :
NnyxYX nn :.:.
Contoh
Misal diberikan barisan bilangan real X dan Y:
...,8,6,4,2:X
...,
4
1,
3
1,
2
1,
1
1:Y
...,
1.2,...,
3
1.6,
2
1.4,
1
1.2:.
nnYX
...,2,...,2,2,2:. YX
Definisi
Misalkan nxX dan nyY adalah dua
buah barisan bilangan real. Perkalian barisan
dengan suatu konstan a didefinisikan
sebagai :
cNncxcX n ;::
Contoh
Misal diberikan barisan bilangan real X dan Y:
...,8,6,4,2:X
...,2.3,...,6.3,4.3,2.3:3 nX
...,6,...,18,12,6:3 nX
Definisi
Misalkan nxX dan nyY adalah dua
buah barisan bilangan real, dengan
Nnyn 0 . Pembagian dua buah barisan
didefinisikan sebagai :
Nn
yx
YX
n
n ::
Contoh
Misal diberikan barisan bilangan real X dan Y:
...,8,6,4,2:X dan
...,
4
1,
3
1,
2
1,
1
1:Y
...,
2,...,
6,
4,
2:
131
21
11
n
n
Y
X
...,2,...,18,8,2: 2nY
X
Definisi
Misalkan nxX adalah suatu barisan
bilangan real. Jika a adalah limit barisan X
untuk n , maka dikatakan X konvergen ke
a. Barisan yang mempunyai limit dinamakan
barisan yang konvergen. Barisan X konvergen
ke a dinotasikan oleh:
aXn
lim atau axnn
lim atau axn
Sifat
Suatu barisan bilangan real paling
banyak mempunyai satu limit
Definisi
Barisan aritmatika adalah barisan bilangan
yang suku selanjutnya diperoleh dengan
menambahkan suatu bilangan tetap.
Bentuk umum barisan aritmatika adalah:
bnababaa 1,,2,,
Contoh
1. 10, 15, 20, 25, 30, 35
Barisan aritmatika dengan suku pertama
a = 10 dan beda b = 5.
2. 0,1 , 0,5 , 0,9 , 1,3 , 1,7
Barisan aritmatika dengan suku pertama
a = 0,1 dan beda 4,0b .
Rumus suku ke-n barisan
aritmatika
bnaUn 1
dengan:
nU = suku ke-n
a = suku pertama
b = beda
n = indeks suku
Suku Tengah Barisan
Aritmatika
Jika jumlah suku dari suatu barisan aritmatika adalah ganjil, maka nilai
suku tengah dapat ditentukan dengan menggunakan rumus berikut:
nt UaU 2
1
dengan:
nU = suku ke-n
tU = suku tengah
a = suku pertama
n = indeks suku
Deret Aritmatika
Deret aritmatika adalah penjumlahan suku-
suku pada barisan aritmatika.
Contoh:
1. 252015105
2. 4
6
4
5
4
4
4
3
2
1
Jumlah n Suku Pertama
Jumlah n suku pertama dari sebuah deret hitung adalah
jumlah nilai suku-sukunya dari suku pertama sampai
dengan suku ke-n. Jumlah n suku pertama biasa
dilambangkan dengan nS , yaitu:
bnan
Sn 122
nn Uan
S 2
Pengertian Barisan
Geometri
Barisan geometri atau dinamakan juga barisan ukur adalah
barisan bilangan yang mempunyai aturan sebagai berikut, yaitu
perbandingan antara dua suku yang berurutan adalah sama.
Perbandingan ini dinamakan dengan rasio (dilambangkan dengan
r), dan ditulis dalam lambang matematika sebagai:
1
n
n
u
ur
Contoh
1. 2, 6, 18, 54, 162, 486
Barisan geometri dengan suku pertama a = 1U = 2 dan rasio
32
6
1
2
1
U
U
U
Ur
n
n .
2. 1, 2
1,
4
1,
8
1,
16
1,
32
1
Barisan geometri dengan suku pertama a = 1 dan beda r = 2
1.
Suku ke-n dari Barisan
Geometri
Rumus suku ke-n ( nU ) adalah sebagai berikut:
1 nn arU
dengan:
nU = suku ke-n
a = suku pertama
r = rasio
n = indeks suku
Contoh
Perhatikan barisan ukur berikut ini: 2, 4, 8, 16, 32, 64, … .
Nilai suku ke-9 dan suku ke-13 dari barisan tersebut adalah:
9U = 2 x 192
= 102 = 1024.
13U = 2 x 1132
= 122 = 4096.
Suku Tengah Barisan
Geometri
Jika jumlah suku dari suatu barisan geometri adalah ganjil, maka nilai suku
tengah dapat ditentukan dengan menggunakan rumus berikut:
nt UaU
dengan:
nU = suku ke-n
tU = suku tengah
a = suku pertama
n = indeks suku
Contoh
1. 2, 8, 32, …, 8192.
Nilai suku tengahnya adalah:
1281638481922 nt UaU .
2. -256, 128, -64, …, -1.
Nilai suku tengahnya adalah:
162561256 nt UaU .
Jumlah n Suku Pertama
Jumlah n suku pertama biasa dilambangkan dengan nS :
r
raS
n
n
1
1 , jika 1r dan
1
1
r
raS
n
n , jika 1r
dengan:
nS = jumlah n suku pertama
a = suku pertama
r = rasio
n = indeks suku
Contoh
Perhatikan deret ukur : 2+4+8+16+32+64+… . Jumlah 11 suku pertama
adalah:
.4096
1
20482
12
12211
11
S
2. Perhatikan deret ukur : 1+2
1+
4
1+
8
1+
16
1+
32
1+… . Jumlah 8 suku
pertama adalah:
1,9921880,5
0,996094
5,0
0,003906-11
2
11
2
111
8
8
S .
Bentuk Umum Deret
Geometri Tak Hingga
a+ar + 2ar + 3ar + 4ar +…+ nar +…
Deret Geometri Tak
Hingga
Jika n menuju bilangan cukup besar (dikatakan n membesar menuju tak
hingga), maka:
Untuk 1r :
1
1limlim
r
raS
n
nn
n akan menuju jumlah yang besarnya tak hingga.
Deret ini dinamakan deret divergen.
Untuk 11 r :
r
a
r
raSS
n
nn
nn
11
1limlim karena jika n ,maka 0nr .
Deret ini dinamakan deret konvergen.
Contoh
Tentukan jumlah dari deret geometri tak hingga berikut ini:
1. 16+4+1+4
1+
16
1+ …
4
1
16
4
1
2 U
Ur , sehingga
3
64
3
416
4
11
16
1
r
aSn .
2. 16
1 +
36
1
216
1 +…
6
1
1
6
1
1
2
U
Ur , sehingga
7
6
6
11
1
1
r
aSn .