Barisan, Deret, Notasi Sigma dan Induksi Matematika

Oleh :Imam Toifur, S.Si.

Barisan, Deret, Notasi Sigma dan Induksi

MatematikaA. Barisan dan Deret Aritmetika

B. Barisan dan Deret Geometri C. Notasi Sigma

D. Induksi Matematika

B. Barisan dan Deret Geometri

1. Barisan Geometri

2. Sisipan

3. Suku Tengah

4. Deret Geometri

5. Deret Geometri Tak Hingga

4. Deret Geometri (DG)Jika U1,U2,U3,…,Un merupakan suatu barisan geometri, maka U1+U2+U3 +…+ Un disebut deret geometri dan dinotasikan dengan Sn.

S1 = U1 = a

S2 = U1 + U2 = a + ar

S3 = U1 + U2 + U3 = a + ar + ar2

Sn = a + ar + ar2 + … + arn-1

Rumus Deret Geometri ( r < 1 )

Sn = a + ar + ar2 + … + arn-2 + arn-1 (dikalikan r)

rSn = ar + ar2 + ar3 + … + arn-1 + arn

Sn – rSn = a – arn

(1 – r)Sn = a(1 – rn)

, untuk r < 1Sn =

a(1 – rn)

1 – r

Rumus Deret Geometri ( r > 1 )

rSn = ar + ar2 + ar3 + … + arn-1 + arn

Sn = a + ar + ar2 + … + arn-2 + arn-1

rSn – Sn = arn – a

(r – 1)Sn = a(rn – 1)

, untuk r > 1Sn =

a(rn – 1)

r – 1

Pada deret geometri juga berlaku

Un = Sn – Sn - 1

Contoh soal 1

Tentukan jumlah 6 suku pertama deret geometri berikut!

16 + 4 + 1 + …

PenyelesaianDG : 16 + 4 + 1 + …

a = 16, r = 4/16 = ¼

Sn = a(1 – rn) 1 – r

S6 = 16(1 – (¼)6) = 16 – 1/256 1 – ¼ ¾

= 64 – 1/64 = 13653 64

Contoh soal 2

Tiga suku pertama deret geometri jumlahnya 26 dan hasil kalinya adalah 216. Tentukan deret tersebut!

PenyelesaianDG : U1 + U2 + U3 = 26

a + ar + ar2 = 26 ……(1)a.ar.ar2 = 216(ar)3 = 216ar = 6 a = 6/r ……(2)

Substitusi (2) ke (1), diperoleh6/r + 6 + 6r = 26 (dikalikan r)6 + 6r + 6r2 = 26r6r2 – 20r + 6 = 0

lanjutan

6r2 – 20r + 6 = 0

3r2 – 10r + 3 = 0

(3r – 1)(r – 3) = 0

r = 1/3 atau r = 3

(i) untuk r = 1/3 a = 18, diperoleh deret

18 + 6 + 2

(ii) untuk r = 3 a = 2, diperoleh deret

2 + 6 + 18

Latihan soal

1. Diketahui deret geometri dengan U3=18 dan U6=486. Tentukan nilai S5!

2. Dalam sebuah persegi yang panjang sisinya 10 cm dibuat persegi lain yang keempat titik sudutnya terletak di tengah masing-masing sisi persegi begitu seterusnya sampai 6 kali. Hitunglah jumlah luas seluruh persegi yang terbentuk!

3. Tiga bilangan membentuk deret aritmetika. Jika suku tengahnya dikurangi 5, maka terbentuk deret geometri yang jumlahnya 70. Tentukan suku pertama deret tersebut!

Kunci jawaban

1. r = 3, a = 2 dan S5 = 242

2. a = 100, r = ½, S6 = 1575/8

3. a = 10 atau a = 40

SelesaiTerima kasih

• Sebuah bola dijatuhkan dari pagar setinggi 5 m ke tanah. Bola itu memantul setinggi ¾ dari tinggi sebelumnya, begitu seterusnya. Berapa panjang lintasan bola sampai berhenti?

5. Deret Geometri Tak Hingga

Bentuk umum : a + ar + ar2 + …

Jenis DGTH :

1) DGTH konvergen

untuk |r| < 1, r ≠ 0

2) DGTH divergen

untuk |r| > 1

Sn =a(1 – rn)

1 – r

5. Deret Geometri Tak Hingga (DGTH)

Sn =a(rn – 1)

r – 1

Jika banyaknya suku mendekati tak hingga, maka penyelesainnya dengan teorme limit.

• lim Sn = lim a(1 – rn) = a lim (1 – rn)

n→∞ n→∞ 1 – r 1 – r n→∞

untuk |r| < 1, r ≠ 0

2) lim Sn = lim a(rn – 1n) = a lim (rn – 1)

n→∞ n→∞ r – 1 r – 1 n→∞

untuk |r| > 1, tidak dapat ditentukan nilainya.

S∞ = a

1 – r

1) Suku ke-n deret geometri tak hingga = 4-n. Tentukan jumlah deret geometri tak hingga tersebut!

2) Dalam segitiga sama sisi yang panjang sisinya 6 cm dibuat segitiga sama sisi lain yang titik sudutnya terletak di tengah masing-masing sisi segitiga tersebut begitu seterusnya. Hitung luas seluruh luas segitiga yang terbentuk!

Contoh soal

1) Un = 4-n

a = U1 = 4-1 = ¼

U2 = 4-2 = 1/16

r = U2/U1 = ¼

S∞= a = ¼ = 1/31 – r 1 – ¼

Penyelesaian

2) L Δ1 = ½.62.sin 60o = 18.½√3 = 9√3 cm2

L Δ2 = ¼.9√3

r = ¼.9√3 = ¼

9√3

S∞ = a = 9√3 = 9√3 =

12√3

1 – r 1 – ¼ ¾

1) Rasio deret geometri tak hingga adalah 7log (4x – 1). Tentukan batas nilai x agar deret ini konvergen!

2) Jumlah deret geometri tak hingga adalah 50. Perbandingan jumlah suku-suku bernomor ganjil dan jumlah suku-suku bernomor genap adalah 5 : 4. Tentukan deret tersebut!

Latihan Soal

3) Sebuah bola dijatuhkan dari pagar setinggi 5 m ke tanah. Bola itu memantul setinggi ¾ dari tinggi sebelumnya, begitu seterusnya. Berapa panjang lintasan bola sampai berhenti?

1) 2/7 < x < 2, x ≠ ½

2) a = 10, r = 4/5

10 + 8 + 32/5 + 128/25 + ...

3) Panjang lintasan = 35 m

Kunci Jawaban

Selesai