BAB 1 Barisan Dan Deret

Kunci Penyelesaian Matematika SMA Jilid 3B - Sukino Bab 1 |

A. Evaluasi Pengertian atau Ingatan1. a. 12 nU n

31211.21 U51412.22 U71613.23 U91814.24 U1111015.25 U

b. 3nUn

1131 U

8232 U

27333 U

64434 U

125535 U

c. 12 nUn

11211.2 21 U

71812.2 22 U

1711813.2 23 U

3113214.2 24 U

4915015.2 25 U

d. nnUn 2

01121 U

31222 U

81323 U

151424 U

241525 U

e. nnU 2

22 11 U

42 22 U

82 33 U

162 44 U

322 55 U

f.11

nn

U n

020

1111

1

U

31

1212

2

U

21

42

1313

3

U

053

1414

4

U

32

64

1515

5

U

g. 1 nnUn

22.11111 U 63.21222 U 124.31333 U 205.41444 U 306.51555 U

h. 52 nU n

751.21 U952.22 U1153.23 U1354.24 U1555.25 U

i. 31

nn

U n

41

3111

1

U

101

3221

2

U

181

3331

3

U

281

3441

4

U

401

3551

5

U

j.1

2

nn

U n

21

1112

1

U

34

1222

2

U

BAB 1BARISAN & DERET

Latihan Kompetensi Siswa 1


49

1332

3

U

516

1442

4

U

625

1552

5

U

k.n

Un

11

01111

11 U

21

212

21

12

U

32

313

31

13

U

43

414

41

14

U

54

515

51

15

U

l.

nUn 4

1sin

221

41

sin.1.41

sin1

U

121

sin.2.41

sin2

U

221

43

sin.3.41

sin3

U

0sin.4.41

sin4

U

221

45

sin.5.41

sin5

U

m.n

nUn

2

31

2112

11

U

31

2422

22

U

311

329

32

33

U

29

418

4216

42

44

U

527

5225

52

11

U

n.

nU

n

n

1

1

11 1

1

U

21

21 2

2

U

31

31 3

3

U

41

41 4

4

U

51

51 5

5

U

o. 12341

nnUn

11

1.11

11.231.41

1

U

151

3.51

12.232.41

2

U

451

5.91

13.233.41

3

U

911

7.131

14.234.41

4

U

1531

9.171

15.235.41

5

U

2. a. .....,3,2,1Tiga suku berikutnya : 6,5,4

nUn b. .....,7,5,3

Tiga suku berikutnya : 13,11,9,.....13,11,9,7,5,3

2 2 2 21,2,31 mbU

Pendekataan nnnmb m 2

!12

!1

bUUn 1Pendekatan 232 n12 n

c. .....,0,4,8 Tiga suku berikutnya : 12,8,4

,.....12,8,4,0,4,81 Ub 4 4 4

sama di tingkat 1


1,4,81 mbU


!14

!1

bUU n 1Pendekatan 484 n124 n

d. .....,9,12,15Tiga suku berikutnya : 0,3,6

,.....0,3,6,9,12,151 Ub 3 3 3

sama di tingkat 11,3,151 mbU


!13

!1

bUU n 1Pendekatan 3153 n

183 ne. .....,9,4,1

Tiga suku berikutnya : 36,25,16

nU.....,,36,25,9,4,12222222 ,.....,6,5,4,3,2,1 n

Maka, 2nUn f. .....,4,2,1

Tiga suku berikutnya : 16,11,7Awal : ,...16,11,7,4,2,1Tingkat 1 : 1 2 3 4Tingkat 2 : 1 1 1

Pendekataan 1 22

21

!21

nn

Langkah 1 :Awal : 7421

1082

21

21

29

21

Tingkat 1 : 21 2

1 21

Pendekataan 2 nn21

!112

1

Langkah 2 :Hasil Operasi 1 : 10 2

121

111121 2

321

Pendekatan 13 0 0 0(stop)

nU Pendekatan 1 + Pendekatan 2 +Pendekatan 3

121

21 2 nn

1121 nn

g. .....,27,8,1Tiga suku berikutnya : 216,125,64

nU,.....,216,125,64,27,8,13333333 ,.....,6,5,4,3,2,1 n

Maka, 3nU n h. .....,8,4,2

Tiga suku berikutnya : 64,32,16Awal : 16,8,4,2Tingkat 1 : 2 2 2

1,2 mr

Pendekataan 1 nn

mn

r 22 !1! Awal : 16842

1111

16842

(stop)1Pendekatan.1nU

nn 22.1 i. .....,1,2,4

Tiga suku berikutnya : 81

41

21 ,,

Awal : 81

41

21 ,,,1,2,4

Tingkat 1 : 21 2

1 21

1,21 mr

Pendekataan 1 nnmn

r 21

21 !1!

Awal : 21124

8888161

81

41

21


n213.2

nn 33 22.2j. .....,2,2,1

Tiga suku berikutnya : 24,2,22Awal : 24,4,22,2,2,1

Tingkat 1 : 2 2 2

1,2 mr

Hasil Operasi 1 :

Hasil Operasi 2 :

Pendekatan n2 :

Pendekatan n2 :Pendekatan 1 221 n :

Pendekatan 2 n21 :


Pendekataan 1 2!1! 222nn

mn n

r

Awal : 22221

22

22

22

22

42222

1Pendekatan.22nU

1

122

12

21

22.22

nn

121

21

2 22 nn

k. .....,64,27,8Tiga suku berikutnya : 343,216,125

nU,.....,216,125,64,27,8333333 ,.....,6,5,4,3,2 n

Jadi, 31nU n

3. a. ,.....2,2,2,2

nnU 12 b. ,.....2,2,2,2

112 nnU

c. ,.....27,9,3,1 ,.....271,91,31,1,1

Bilangan kiri : ,.....1,1,1,1

1,11 11

112 1,...,1 n

Bilangan kanan : ,.....27,9,3,11210 3,.....,3,3,3 n

kananBilangankiriBilangan nU

11 31 nn

13 n

d. ,.....,,,1 81

41

21

Awal : 81

41

21 ,,,1

Tingkat 1 : 21 2

1 21

1,21 mr

Pendekataan 1 nnmn

r 21

21 !1!

Awal : 81

41

211

2222

161

81

41

21


n212

nn 11 2.12.2.1

e. ,.....,1,2,4 21

Awal : ,.....,1,2,4 21

21 2

1 21

1,21 mr

Pendekataan 1 nnmn

r 21

21 !1!

Awal : 21124

8888161

81

41

21


n 2.2 3

n 32f. ,.....,,,1 4

131

21

,.....,,, 41

31

21

11

Pembilangan dari setiap bilangan padabarisan itu adalah 1, berarti 1Pembilang UPenyebut dari setiap bilangan padabarisan itu adalah ,.....,4,3,2,1

nU Penyebut

Jadi,nU

UU n

1

Penyebut

Pembilang

g. ,.....,,, 1671

851

431

211

1Pembilang UPenyebut merupakan perkalian antarabilangan kiri dan bilangan kanan.Bilangan kiri : 12,.....,7,5,3,1 nBilangan kanan : n2,.....,16,8,4,2

nnU 212Penyebut

Jadi, nn nUU

U212

1

Penyebut

Pembilang

h. ,.....,,, 161

81

41

21

1Pembilang UnU 2Penyebut

nnn U

UU 2

21

Penyebut

Pembilang

i. ,.....,,, 1251

641

271

81

1Pembilang U

3Penyebut 1nU

3

3Penyebut

Pembilang 11

1

nnU

UUn

Pendekatan n2 :

Pendekatan n21 :

Pendekatan n21 :


j. ,.....4,3,2, 21

21

21

21

Bilangan di luar akar : ,.....,,, 21

21

21

21

21

akarluardiBilangan U

Bilangan di dalam akar : ,.....4,3,2,1

nU akardalamdiBilangan

akarluardiBilangannUakardalamdiBilangan

n21

4. a. ,.....7,5,3 64

Bilangan di luar atas tanda akar :,.....8,6,4,2

2 2 2 nnU n 2222

Bilangan di dalam tanda akar :,.....9,7,5,3

2 2 2 12232 nnU n

nn nU 2 12

b. ,.....63,23,32

atau ,.....63,23,23

Bilangan kiri : ,.....3,3,3,3

3kiri UBilangan kanan : 10,6,2,2

4 4 4 424kanan nU

64 nkanankiri UUU n

643 n

n463 c. ,.....69,47,25

Bilangan kiri : ,.....11,9,7,5Bilangan di dalam akar :

,.....11,9,7,52 2 2

252akardalamkanan nU32 n

32kiri nUBilangan di dalam akar :

,.....8,6,4,22 2 2

222akardalamkanan nUn2

kanankiri UUUn

nn 232

5. a. banUn akan ditunjukkan : aUU nn 1

banbnaUU nn 11

banbaan a

b. Jika 1 nn arU

akan ditunjukkan :rU

U

n

n 11

1

2

1

111

n

n

n

n

n

n

arar

arar

UU

1212 rr nn

rr

11

B. Evaluasi Pemahaman dan PenguasaanMateri.

1. a. 13 nUn

211.31 U512.32 U813.33 U1114.34 U1415.35 U

Jadi, lima suku pertamanya adalah14,11,8,5,2

b. 194nU maka ?n19413 n

11943 n1953 n

653

195 n

Jadi, 194 adalah suku ke–65

2. a. 12 2 nUn

111.2 21 U

712.2 22 U

1713.2 23 U

3114.2 24 U

4915.2 25 U


Jadi, lima suku pertamanya adalah :49,31,17,7,1

b. 199nU19912 2 n

11992 2 n2002 2 n

22002 n

1002 n10100 n

Jadi, 199 adalah suku ke–10

3. a. 13 nU n

01131 U

71232 U

261333 U

631434 U

1241535 U

Jadi, lima suku pertamanya adalah :124,63,26,7,0

b. 727.1nU

727.113 n1727.13 n

728.13 n3 728.1n12n

Jadi, 727.1 adalah suku ke–12

4. a. .....,26,17,10,5,2Awal : ,.....26,17,10,5,2

3 5 7 9Tingkat 2 : 2 2 2

Pendekatan 1 22

!22

nn

Langkah 1Awal : 171052

1111

16941

Pendekatan 2 12Pendekatan1Pendekatan nU

12 n

b. ,.....28,24,22,2

,.....28,24,22,21 Bilangan kiri : ,.....8,4,2,1

2 2 2Pendekatan 1 : n

n

22 !1 Bilangan kiri awal : 8421

21

21

21

21

16842

(stop)1Pendekatan.2

1kiri U

nn 2.22. 121

12 n

Bilangan kanan : ,.....2,2,2

2kanan UJadi, kanankiri UUU n

2.2 1 n

c. .....,19,13,9,7Awal : 19,13,9,7

2 4 6Tingkat 2 : 2 2

Pendekatan 1 22

!22 nn


3456

16941

Tingkat 1 : 1 1 1

Pendekatan 2 nn 1

!11

Langkah 2Hasil Operasi 1 : 3456

77774321

0 0 0Pendekatan 3 7

nU Pendekatan 1 + Pendekatan 2 +Pendekatan 3

72 nnd. ,.....2,2,2,2

422 2222

,.....2,2,2,2422 2222

n

nU 22

Tingkat 1 :

Hasil Operasi 1 :

Pendekatan 1 2n :

Pendekatan 1 :

Tingkat 1 :

Pendekatan 1 2n :

Hasil Operasi 1 :

Pendekatan 1 n2 :


e. ,.....53,53,53 Bilangan kiri : ,.....3,3,3

3kiri U

Bilangan kanan : ,.....5,5,5

51kanannU

kanankiri UUU n

513 n

f. ,.....34

1,

231

,12

1

1Pembilang UBilangan Penyebut :

34,23,12

nnU 1Penyebut

nnUU

U n

11

Penyebut

Pembilang

5. 1,1 nnX

1,1

1

1

nX

X

n

n

a.n 1 2 3 4 5

nX 121

31

41

51

11 X

1

1

2

22 111

1X

XX

XX

21

111

2

2

3

33 111

1X

XX

XX

31

1 2321

21

21

3

3

4

44 111

1X

XX

XX

41

1 3431

31

31

4

4

5

55 111

1X

XX

XX

51

1 4541

41

41

b. Pola :n

Xn

1

101,

91,

81,

71,

61

109876 XXXXX

81

101

810 XX

401

802

80108

6. 2&1,1 nnnF

3,12 nFF nn

a. Ditanya ?&? 3020 FFn

nF nnF n

nF1 1 11 89 21 10.9462 1 12 144 22 17.7113 2 13 233 23 28.6574 3 14 377 24 46.3685 5 15 610 25 75.0256 8 16 987 26 121.3937 13 17 1.597 27 196.4188 21 18 2.584 28 317.8119 34 19 4.181 29 514.229

10 55 20 6.765 30 832.040Jadi, 040.832&765.6 3020 FF

b. akan ditunjukkan : 101100102101100 2 FFFFF

Bukti :101100101100102101100 FFFFFFF

101100 22 FF 1011002 FF

7. a. ,.....2,1,4,2 21

21 U42 U

122

232

3 U

2

142

144

U

212

25

221 nn

nUUU

1,2 nnU 2,4 n

3,2

21 nUU nn


b. ,.....121,9,2,111 U22 U

223 2139 U

221 UU

224 9211121 U

232 UU Maka,

1,1 nnU 2,2 n

3,212 nUU nn

c. ,.....0,9,9,6,331 U62 U

3.393 U 12336 UU

3.394 U 23369 UU

0.305 U 34399 UU

Maka,1,3 n

nU 2,6 n 3,3 21 nUU nn

d. ,.....36,6,18,221 U182 U

3663 U

21182 UU

108364 U

32618 UU

0.305 U 34399 UU

Maka,1,2 n

nU 2,18 n

3,12 nUU nn

8. a. 11 U1,.1 nUnU nn

11.1.112 1122 UUU 21.2.213 2133 UUU 62.3.314 3144 UUU 246.4.415 4155 UUU 12024.5.516 5166 UUU

Enam suku pertamannya adalah :120,24,6,2,1,1

b. 1,1 nnU 2,2 n

3,2

1

nUU

n

n

11 U22 U

212

1

2

23

133

UU

UUU

122

2

3

24

144

UU

UUU

21

3

4

25

155

UU

UUU

21

121

4

5

26

166

UU

UU

U

Jadi, enam suku pertamanya adalah :

21

21 ,,1,2,2,1

c. 1,0 nnU

2,2 1 nnU

01 U1222 0

2112 UUU

2222 13

213 UUU

4222 24

314 UUU16222 4

5415 UUU

536.65222 166

516 UUUJadi, enam suku pertamanya adalah :

536.65,16,4,2,1,0

C. Evaluasi Kemampuan Analisis1. a. ,.....56,35,20,10,4,1

111 U 21.22.12114 U


32121110

31.32.23.1 U 32121120

4321

41.42.33.24.1 U 32121135

543214321

51.53.43.34.25.1 U ...2312.1 nnnU n

1.13.2 nnn b. ,.....127,70,35,15,5

10 20 35 5710 15 22

5 72

Barisan tingkat 4

Pendekatan 112!4

2 44 nn

Awal : 7035155

3

1464

1133

411259

364

427

34

121

12105 12

175 12245

1270 12

70

Pendekatan 2 221270

1235

!2nn

Hasil Operasi 1 :3

1464

113341

1259

22223

644

2734

121

Pendekatan 3 222

12354

121 nnU n

c. ,.....184.5,216,9,83

133 3.2

23

83

202 3.239 3333 3.23.2216

46 3.2184.5

?nUBarisan pangkat bilangan pertama :

,.....6,3,0,33 3 3

Pendekatan 1 n3Awal : 6303

6666

12963

Pendekatan 2 663 nUn

Barisan pangkat bilangan kedua :,.....4,3,2,1

nUn

Maka formula ke– nnn 3.2 63 d. ,.....3712.259.1,3296.1,3,3 3

4

31 U

39

12334

2 U

333.23912 21211

332 12 33.23296.1 44

3 U

33.23712.259.1 964 U

Barisan menjadi :

,.....33,2,33.2,33.2,3 964412

Barisan pangkat dari 2 mulai suku ke–2,.....8,6,4,2 2212 nnUn

Barisan pangkat dari 3 mulai suku ke–2,.....9,4,1

5 5Pendekatan 1 15 nAwal : 14941

6666

2015105

115615 nnUn

jadi

1,3 nnU

2,33.2 11522 nnn

Pendakatan 1 12

4n :Hasil Operasi 1 :

Pendakatan 2 21235 n :

Pendakatan 1 n3 :

n5


2.

52

5151n

nn

nU

52

51....5.1.

51.51.

51....5.1.

51.5.1.

25

2502525

223225

124125

025025

2502525

223225

124125

025025

CC

CC

CC

CC

525.25.2

...525..2

25

252525

232325

3325125

CC

CC

52

555

...5552

25

122525

112325

325125

rCC

CC

52

55

...552

25

122525

112325

325125

CC

CC

2525232532512524 ...21 CCCC

3. a. ,.....2,2,0,2 21

21 Barisan bilangan tersebut merupakanperkalian dari dua buah barisan bilangan

,.....21,2,20,2 21

21 Barisan sebelah kiri :

,.....1,,0, 21

21

21 2

1 21

21

21

21

kiri nU

121 n

Barisan sebelah kanan :

,.....2,2,2,2

2kanan UJadi, kanankiri UUU n

2121

n

b. ,.....3,1,3, 21

21

21

Suku ganjil : ,.....,1, 23

21

21 2

1

nUn 21

Suku genap : ,.....3,3,3 21

21

21

Maka 321

nU

Jadi,

,.....7,5,3,1,321 n

nU

,.....8,6,4,2,321 n

c. ,......3,2,3,2,1 32

32

331 3 33

11,1 nUn

2,2 nUn

Untuk suku ganjil merupakan perkalian

antara 331

dengan suku sebelumnya.

Untuk suku genap merupkan perkalianantara 3 dengan suku sebelumnya

Jadi,1,1 n2,2 n

nU

,.....7,5,3,331

1 nU n

,.....8,6,4,3 1 nU n

d. ,.....0,2,1,2,0 21

21

221 2 22

1 221

Jadi,1,0 n

,.....8,5,2,221

1 nUn

,.....9,6,3,2 1 nU n

,.....10,7,4,221

1 nUn

4.0;,1 nn

nmA . 0&0;1,1 nmmA ,1,,1 nmAmA

0&0 nm

nU


Ditanya : ?3,2A 0;1101,0 mA 1,110,1 AA

11,0 A 11,1,111,1 AAA

0,1,0 AA 11,0 A

1,120,2 AA 0&0;11,1 nmA

11,2,121,2 AAA 0,2,1 AA

11,1 A 12,2,122,2 AAA

1,2,1 AA 11,1 A

13,2,123,2 AAA 2,2,1 AA

11,1 AJadi, 13,2 A

5.

1;2

nA

na

221

11

n

aAan

n

Jika, 2A , tuliskan 4 suku pertamanya

122

21 Aa

11

12122 2

121

aA

aaA

aa

23

2121

12

121

22

13133 2

121

aA

aaA

aa

1217

617.

212

23

21

23

1217

334

21217

21

21

aA

aa

408577

204577

21

1724

1212

21

Jadi, empat suku pertamanya adalah :

408577

1217

23 ,,,1

A. Evaluasi Pengertian atau Ingatan1. D. 2

Jumlah n suku pertama 1 nn ff

dengan nnfn 2

nU Jumlah n suku pertama –

Jumlah 1n suku pertama

211 nnnn ffff

212 nnn fff

11012021010 2210U

210210 2 864981110100

25614490

2. E. zx 21

zyx ,, membentuk deret aritmetika makaxy akan sama dengan yz

yzxy xzyy zxy 2

zxy 21

3. E. 25Barisan ,.....395,430,465,500Suku negatif, berarti 0nUDari barisan diketahui :

500a35500465 b

bnaUn 1 351500 n

3535500 nn35535

0nU035535 n

53535 n

35535

n



3510

15n

Ambil bilangan bulat terkecil yang lebih

besar dari351015 yaitu 16

Maka suku negatif pertama adalah :163553516 U

5650535 25

4. D.

21nn

Barisan bilangan bulat positif :,.....6,5,4,3,2,1

Barisan dari jumlah bilangan bulat positif :,.....4321,321,21,1

,.....10,6,3,1Merupakan barisan tingkat 2Awal : ,.....15,10,6,3,1Tingkat 1 : 2 3 4 5Tingkat 2: 1 1 1

Pendekatan 1 22

21

!21

nn

Awal : 10631

2182

23

21

29

21

21 2

1 21

Pendekatan 2 nn21

21

21

21

Hasil Operasi 1 : 21 23

21

000021 2

321

(stop)Maka nU Pendekatan 1 + Pendekatan 2

nn21

21 2

121

nn

21

nn

Jadi, jumlah n bilangan bulat positif

pertama adalah

21nn

5. E. nn21

21 2

Sama seperti pada no. 4Jumlah n bilangan bulat posistif pertama

2

1

nn

222 nn

nn21

21 2

6. C. 22Deret aritmetika :

000.246U 000.245 ba

000.1810U

000.64000.189

bba

4000.6

b

500.1b000.245 ba

000.24500.15 a000.24500.7 a

500.7000.24 a500.31a

bnaUn 1 500.11500.31 n

n500.1000.33 Jika, 0nU maka ?n

0nU0500.1000.33 n

000.33500.1 n

500.1000.33

n

22n

7. D. 10Jika 23,5 nUa dan 1038 UUDitanya : ?n

1038 UU 1027 baba

105 b

25

10b

bnaU n 1 nn 32215

23nU2323 n

3232 n

Pendekatan 1 221 n :

Hasil Operasi 1 :

Pendekatan 2 221 n :


202 n 102

20n

8. B. 16Tiga bilangan membentuk barisanaritmetika, misalkan bilangan tersebut

zyx ,,Diketahui : 36 zyx dan

536.1.. zyxDitanya : Bilangan terbesar ?Karena zyx ,, membentuk barisanaritmetika, maka :

yzxy 02 zyx …..(i)

36 zyx …..(ii)Eliminasi (i) & (ii)

02 zyx

363

36yyyx

336

y

12yMasukkan 12y ke persamaan (ii)

36 zyx3612 zx4zx

xz 24 …..(iii)536.1.. zyx …..(iv)

Masukkan 12y & persamaan (iii) ke (iv)

536.124.12. xx 12824 xx

0128242 xx0128242 xx

0816 xx16x 8x

xz 24 xz 241624 824

8 16Barisan aritmetikanya adalah :

8,12,16 atau 16,12,8Jadi, bilanagan terbesarnya adalah 16

9. E. 32,25,18Tiga bilangan membentuk barisan aritmetikatersebut cba ,,maka bcab

02 cba …..(i)

Diketahui : 75 cba …..(ii)Eliminasi (i) dan (ii)

02 cba

75375

bcba

375b

25bMasukkan 25b ke (i)

02 cba 0252 ca

50caac 50 …..(iii)

Diketahui :70022 ac

70050 22 aa masukkanPersamaan (iii)

700100500.2 22 aaa800.1100 a

18aMasukkan 18a ke persamaan (iii)

ac 501850 c

32cJadi, barisan tiga bilangan tersebut adalah

32,25,18

10. B. 124,8,3 aa membentuk barisan aritmetika

Diketahui : ?a aaa 8438

aaa 8438aa 428842 aa

12a12a

11. B. 150Sudut–sudut segilima membentuk deretaritmetika, misalkan 54321 ,,,, XXXXX

dengan 661 X (sudut terkecil)

Ditanya : sudut terbesar ?5 XJumlah sudut pada bangun segilima adalah

450Sudut–sudutnya adalah

54321 ,,,, XXXXX


atau ,266,66,66 bb bb 466,366

Jumlah seluruhnya bb 26666,66

bb 466366 b10330

adalah 540 54010330 b 21010 b

21bMaka sudut terbesar bX 4665

21.466 8466

150

12. B. 25Barisan aritmetika ,.....80,84 2

1

842180,84 ba

213

213184 nUn

nUn 213

2187

Jadi, 0nU maka ?n0nU

0213

2187 n

2187

213 n

25n

13. C. n3Barisan aritmetika

93 U675 UU

Ditanya : ?nU93 U

92 ba 1842 ba365 7 UU

3664 baba

186

36102bba

3b

92 ba93.2 a

69 a3a bnaU n 1 313 nU n

nU n 3

36. C. 36Diketahui :

721197531 UUUUUUDitanya : ?1161 UUU

721197531 UUUUUU bababaa 642

72108 baba72306 ba

7256 ba125 ba …..(i) babaaUUU 1051161

ba 153 ba 53 n [masukkan (i)]

12.336

15. C. 39Banyak bilangan asli antara 100 dan 300Yang habis dibagi ?5Barisan bilangannya adalah

295,.....,115,110,105Merupakan barisan aritmetika dengan

105a dan 110b 51105 nUn

n5100 Jika, 295nU maka ?n

295nU2955100 n

1955 n39n


1. a. ,.....9,13,17 417131713 b

b. ,.....14,11,83811 b


c. ,.....4,7,103107 b

d. ,.....37,44,5175144 b

e. ,.....3,3,3 21

41

41

341

3 b

f. ,.....2,3,5 21

21

1521

3521

3 b

g. ,.....12,5,2 72525 b

h. ,.....7,2,3 532 b

i. ,.....54,4,6,24,16,24 b

j. ,.....231,221,21,1

2121 b

k. ,.....23625

,3,23

1

231

3b

23

1233

2362

23163

2

23322

2. a. 11,2,1 nba bnU n 11 2111111 U

212.101 b. 14,2,3 nba

bnaU n 1 3111314 U

423.133 c. 17,5,2 nba

bnaU n 1 5117217 U

785.162

d. 8,3,3 nba bnaUn 1 31838 U 18373

e. 22,31

,7 nba

bnaUn 1

31

122722 U

1431

217

f. 50,1,100 nba bnaUn 1

115010050 U 51149100

g. 31,21

,10 nba

bnaUn 1

21

1311031 U

521

3010

h. 101,5,0,0 nba bnaU n 1 5,011010101 U 505,0100

3. a. ,.....9,13,17 4,17 ba

bnaUn 1 41121712 U

274417 b. ,.....14,11,8

3,8 ba bnaUn 1 3121812 U

41c. ,.....4,7,10

3,10 ba bnaUn 1 31211021 U

50


d. ,.....3,1,5 4,5 ba

bnaU n 1 4120520 U

71e. ,.....37,44,51

7,51 ba bnaU n 1 71175117 U

61f. ,.....12,3,5 2

1

21

8, ba

bnaU n 1

21

8199599 U

8335828

4. a. 2110 U dan 115 U2110U 219 ba

105114

bba

2b219 ba212.9 a

1821a3a

Jadi, 3a dan 2bb. 178 U dan 133 U

178U 177 ba

305

132bba

6b177 ba

1767 a4217a

25aJadi, 25a dan 6b

c. 124 U dan 2812 U 124U 12ba

168

2811bba

2b

123 ba 1223 a

612 a6a

Jadi, 6a dan 2b

5. Barisan aritmetika : ,.....23,13,12 nnn

Ditanya ?nKarena merupakan barisan aritmetika, maka

2312 UUUU 13231213 nnnn

33631233 nnnn32n1n

Jadi, 1n

6. jadi suku pertama dari barisan aritmetikayaitu : baaba ,,Diketahui : 21 baaba

213 a7a

Diketahui : 197222 baaba

19722 22222 babaababa19723 22 ba19727.3 22 b1972147 2 b502 2 b252 b

5bJika 5b maka barisannya

12,7,2 (menaik)Jika 5b maka barisannya

2,7,12 (menurun)Hasil kali ketiga suku pertama tersebut

1681272

7. Diketahui barisan aritmetika dengan30,50,2 712 UUna

Ditanya : ?b30712 UU

30611 baba305 b

530

b

6b

1115U

133U

2812U


Jadi, 6b

8. a. Bilangan antara 000.1 dan 600.1 yanghabis dibagi 3 antara lain

599.1,.....,008.1,005.1,002.1Merupakan barisan aritmetika dengan

3,002.1 ba bnaU n 1

Jika, 599.1nU maka

31002.1599.1 n 59713 n

1991n200n

Banyak bilangan bulat positif antara000.1 dan 600.1 yang habis dibagi 3

sebanyak 200 buahb. Bilangan antara 0 dan 150 yang habis

dibagi 3 tetapi tidak habis di bagi 5 ,adalah bilangan kelipatan 3 yang bukankelipatan 15Bilangan keliptan 3 : 147.....,,9,6,3

bnU n 11 11 313147 1 n

1473 1 n491 n

Bilangan keliptan 15 : 135,.....,30,15 bnaUn 122 15115135 2 n

13515 2 n92 n

Banyak bilangan antara 0 dan 150 yanghabis dibagi 3 tetapi tidak habis di bagi5 adalah

21 nn 40949 buah

9. a. 55,.....,15,10,5 bnaU n 1 51555 n

n55511n

Banyak suku 11b. 26,.....,2,1,4

bnaUn 1 31426 nn3726

333 n11n

Banyak suku 11c. 36,.....,18,15,12

bnaU n 1 311236 nn3936

273 n9n

Banyak suku 9d. xaxaxa 38,.....,2,2

bnaUn 1 xaxanxaxa 221238 xnxaxa 41238

xxnxaxa 44238 xaxxaxn 38424

xxn 444

xxn

444

11nBanyak suku 11

10. tiga suku pertama barisan aritmetikabaaba ,,

Dengan jumlah tiga suku pertama 6 6 baaba

63 a2a

Jumlah kubik tiga suku pertama 197 197333 baaba

197222 333 bb 33223 22.32.32 bbb 1972.32.32 3223 bbb

19768868 22 bb1972412 2 b17312 2 b

121732 b

12173b

Maka tiga suku pertamanyabaaba ,, adalah

121732,2,

121732


13. Untuk setiap barisan aritmetikaa. akan ditunjukkan

nmnmn UUU 2

Bukti bmnaUU mnmn 1 bmna 1

bbna 222 bbna 2

bna 12

nU2b. akan ditunjukkan

brqpaUUU rqp 33 Bukti

rqp UUU

brabqabpa 111 bbbbbb raqapa

brqpa bbb 33 brqpa 33

c. akan ditunjukkan

nnn UUU 23 2Bukti

bnabnaUU nn 1133 bnbabnba 3

bnba 242 bnba 22

bna 122

nU 22

12. na suku ke-n dari barisan aritmetikaDiketahui :

09321 aaa dan

15543 aaaDitanya : ?54321 aaaaa

09321 aaa 092 babaa

0933 ba933 ba

93 ba3ba …..(i)

15543 aaa 15432 bababa

1593 ba 1533 ba

53 ba …..(ii)

Eliminasi (i) ke (ii)3ba

22

53bba

1b3ba31a2a

54321 aaaaa babababaa 432

ba 105 1.102.5 201010

13. ,,, cba merupakan suku-suku barisanaritmetika , maka

bcab cab 2

2cab

22

2222

2ccaacba

222

2

424ccacaa

22

45

42

45 caca

22 52541 caca

14. Panjang sisi sebuah trapezium membentukbarisan aritmetika.

Diketahui : ,cm10,cm3

1841

2 aL

cm3

16t

2

41 taaL

2

33

184 316

11

baa


3

18432

616

1 ba

3

184310.238 b

8184

320 b

23320 b33 b1b

101 a1111012 baa

121.210213 baa131.310314 baa

Keliling 1312110 cm46

15. a. 702010 UU 70199 baba

7010 b7b

b. 1715 UU 1614 baba

18 b

81b

C. Evaluasi Kemampuan Analisis1. Tiga suku pertama barisan aritmetika

adalahcba1

,1

,1

a. akan dibuktikan

cbba

ca

Bukti

2312 UUUU

bcab1111

bacb

abbc

bacb

ac

cbba

ca

b. akan ditunjukkan

caacb

2

Bukti

2312 UUUU

bcab1111

cabb1111

acac

b2

accab 2

caacb

2

2. Jika, cba ,, merupakan tiga suku pertamaderet aritmetikaberarti 2312 UUUU

bcab cab 2

2cab

a. akan dibuktikan bahwaabcabc1,1,1

merupakan barisan aritmetika, berartiakan dibuktikan bahwa barisan tersebut

memenuhi2

cab

2312 UUUU

caabbcca1111

abcbc

abcab

bcab cabb cab 2

2cab

b. akan dibuktikan barisan ,, accb ba juga merupakan barisan aritmetika

2312 UUUU acbacbac

cbba cabb cab 2


2

ca

b

2ca

b

3. Jika, cba ,, barisan aritmetika akan

dibuktikan acbca 22 4BuktiJika cba ,, barisan aritmetika maka

abbc

kuadratkan24

2222 accab

cab

acaccab 424 222 accaacb 244 222

224 caacb

4. a. 02 bca

Jikacba1

,1

,1

adalah barisan aritmetika

Akan dibuktikan : 22 2ln2lnln cacacbaca

Bukti

Jikacba1

,1

,1

barisan aritmetika maka

bacca

bca2211

caac

b

2

bcacacbaca 2ln2lnln

ca

accaca

22ln

ca

accaca

4ln

2

acacca 42ln 22

acca 2ln 22

22 2ln caca

Terbukti

A. Evaluasi Pengertian atau Ingatan1. E. 68

Suku tengah2

1 nt

UUU

6821315

2. D. 24Panjang sisi segitiga siku-siku membentukbarisan aritmetika.Sisi miring 40

Sisi siku-siku terpendek 244053

3. B. cm32Panjang sisi-sisi segitiga siku-sikumembentuk barisan aritmetika, yaitumisalkan kkk 5,4,3Jika sisi siku-siku terpendek cm24

Sisi siku-siku yang lain cm322434

kk

4. B. cm20Panjang sisi-sisi segitiga siku-sikumembentuk barisan aritmetika, yaitumisalkan kkk 5,4,3 .Sisi siku-siku terpanjang cm16

Sisi miring cm20cm1645

kk

5. E. 6082 bxx punya akar 1x dan 2x

Dengan 21 xx dan 01 x dan 02 xJika 121 3,, xxx membentuk barisanaritmetikaDitanya : ?b

121 3,, xxx membentuk barisan aritmetika,maka

2112 3 xxxx

12 42 xx

12 2xx …..(i)

Persamaan kuadrat 082 bxx8. 21 xx

82 11 xx (masukkan persamaan (i))

82 21 x

421 x

21 xMasukkan 21 x ke persamaan (i)

12 2xx 2.22 x

42 x



Jika, bxx 21

b426b

6b

6. D. 4Bilangan antara 12 dan 18 disisipkan xbilangan sehingga terbentuk barisanaritmetika dengan beda y denganjumlah 60Ditanya : ?yx

11218

11

x

yk

bb

16

x

y …..(i)

Barisannya : 18,12,.....,212,12,12 xyyy

Jumlah barisan 60 601812...1212 xyy

60.

21

121812

y

xxx

60

16

.2

11230

xxx

x

6031230 xx306015 x

2x

126

16

xy

236

422 yx

7. D. 0pUqU qp ,

qU p qbpa 1

pqbqppbqa

111

pqbqp

qppq

b

pqpq

1 qbpa 1 qpa 11

qpa 11 qpa

Masukkan 1 qpa dan 1b ke bqpaUp qp 1

111 qPqp 011 qpqp

8. A. 5 atau 20Akar persamaan kuadrat

0102 kxkx adalah dan log,log,log membentuk barisan

aritmetikaDitanya : ?k

Karena log,log,log membentuk barisan aritmetika, maka

loglogloglog

loglog

2

222

0322

0322

052 …..(i)

Persamaan kuadarat 0102 kxkx10 k

k masukkan ke persamaan (i)

0510 2 kk05100202 kkk0100252 kk

0520 kk20k 5k

9. D. 216Panjang sisi-sisi suatu segitiga siku-siku

membentuk barisan aritmetika, misalkan sisi-sisinya kkk 5,4,3

Diketahui : keliling 72Ditanya : luas = ?

Keliling 7272543 kkk7212 k6k

Maka panjang sisi siku-sikunya adalah18633 k dan 24644 k

Luas 2162

2418

pU q


10. D. 36Panjang sisi-sisi segitiga siku-sikumembentuk barisan aritmetika, misalkan

kkk 5,4,3Diketahui : Luas 2cm54Ditanya : keliling = ?

Luas 54

5424.3

kk

546 2 k96 2 k92 k

39 kPanjang sisi-sisinya

cm93.33 kcm123.44 kcm153.55 k

Keliling cm3615129

11. D. 0,0 baPersamaan kuadrat 02 baxxmemiliki akar-akar 1x dan 2xjika 2211 ,, xxxx merupakan barisanaritmetika, maka 212121 xxxxxx

21 xx 021 xx …..(i)

Karena 1x dan 2x adalah akar persamaan

kuadrat maka axx 21 …..(ii)Eliminasi (i) dan (ii)

021 xx

a

axx00

21

0aKarena persamaan kuadrat punya 2 akaryang berlainan (dilihat dari 021 xxmaka 21 xx ), jadi

0D042 acb0.1.42 ba0402 b04 b0b maka 0b

Sehingga, 0a dan 0b

12. D. 400.14Tiga bilangan baaba ,, membentukbarisan aritmetika 75 baaba

753 a25a

70022 baba 70022 2222 babababa

7004 ab700.25.4 b700100 b7b

72525.725. baaba32.25.18

400.14

13. C. 226Kelompok bilangan genap positif : ,....20,18,16,14,12,10,8,6,4,2

Kelompok 1 dengan 1 anggota,…..,Kelompok 4 dengan 4 anggotaSuku-suku awal kelompok

14,8,4,2 membentuk barisan2 4 6 tingkat 2

2 2

Pendekatan 1 22

!22

nn

Awal : 14842

110116941

1 1 1

Pendekataan 2 nn

1

!11

Hasil Operasi 1 : 2101

22224321

Pendekatan 3 2Suku awal kelompok ke-n= Pendekatan 1 + Pendekatan 2 +

Pendekatan 322 nn

Suku awal kelompok ke-15212215152

Suku akhir kelompok ke-15b142122.14212

24028212

Pendekatan 1 2n :

Hasil Operasi 1 :

Pendekatan 1 2n :


Suku tengah kelompok ke-15

2240212

2262

452

14. C. 723,14,8 42 nUUU

Ditanya : ?n

224224

nUUUU n

2823

2814

n

215

26

n

2153

n

1523 n52 n7n

15. B. 2024321 UUU dan 102

13 UUDitanya : ?4 U

24321 UUU 242 babaa

2433 ba 243 ba

8baab 8 …..(i)

10213 UU

102 2 aba 1082 2 aaa

0216 aa 023 aa

3a atau 2a

ab 8628

Tidak mungkin, karena barisan adalahbilangan positif

baU 34 6.32

20182

B. Evaluasi pemahaman dan PenguasaanMateri.

1. a. sisipkan tujuh bilangan antara 13 dan 15

41

82

171315

'

b

'56 baU

41

.513

41

1445

13

'78 baU

41

.713

43

1447

13

b. sisipkan sembilan bilangan antara–15 dan –5

11010

19155'

b

15a9753 UUUU

babababa 8642 ba 204

1.20154 402060

2. ,.....14,11,8,5Diantara dua bilangan disisipkan 7 bilangan

83

1758'

b

'1100100 baU

83995

8337

829740

3. 23,5 nUa1038 UU

Ditanya :a. ?n

1038 UU 1027 baba

105 b2b

23nU 231 bna


23215 n 1812 n

91n10n

b. ?tU

2nUa

Ut

142

235

4. Barisan aritmetika ,.....19,15,11,7disisipkan dua suku

34

12711'

b

Beda yang baru34

'1920 baU

34197

397

37612

'2930 baU

34297

3137

311612

5. Empat bilangan babaaba 2,,, membentuk barisan aritmetika 322 babaaba

3224 ba 3222 ba

162 baab 216 …..(i)

2762 2222 babaaba

222 216216 aaaaa

2762162 2 aa

222 16163 aaa

276323 2 a

27610241929 2 aa0276153632020 2 aa

20:063160126032020

2

2

aaaa

079 aa

9a atau 7a ,

ambil 7aPersamaan (i) : ab 216

7.216b2b

5271 baU72 aU

93 baU1124 baU

1151173142 UUUU21618

6. 2,2,6 2 kUb22 U

2ba26 a8a

1'

kbb

236

126

'910 baU 102.98

'2425 baU 402.248

7. Lima bilangan membentuk barisanaritmetika yaitu :

babaababa 2,,,,2 Jumlah lima bilangan 75 7522 babaababa

755 a15a

Bilangan terkecil Bilangan terbesar 161 16122 baba

1614 22 ba 161415 22 b

1614225 2 b644 2 b

162 b16b

4Ditanya : ?22 22 baba

2222 4.2154.21522 baba22 723

48049529


8. Persamaan suku banyak0283912 23 xxx

akar-akarnya membentuk barisan aritmetika,misalkan akar-akarnya ,,Persamaan 0283912 23 xxx

28,39,12,1 dcba

ab

1123

123 4

ad ..

12823

2844 23 64284 2

4362

92

39 Akar-akarnya adalah 34,4,34 yaitu :

7,4,1Beda 314

9. Diantara bilangan 1 dan 31 disisipkan msuku sehingga membentuk barisanaritmetika, berarti 1a

1131'

mb

130'

m

b

30'' bmb'30' bmb …..(i)

95

1

7 mU

U

95

'2'6

bmaba

95

'2'161 1

bmb

b

95

'2'301'61

bb

b

95

'331'61

bb

'3315'619 bb

'15155'549 bb 146'69 b

69146

'b

Persamaan (i) '30' bmb

''30

bb

m

130

1'

30

69146

b

1146

6930

14694.1

146146070.2

10. Jika zyx xzy log15,log,log,1 membentuk barisan aritmetika, tentukanhubungan ?,, zyx

231 2UUU

xy yz log2log1 1log2log xy yz …..(i)

yzx zxy log2log15log Masukkan persamaan (i) maka

1log22log15log xzx yxy

2log4log15log xzx yxy

zxx xyy log152log4log

zyxx xyyy log15logloglog 24

zxxy xy log15log 4

2

zyx xy log15log 23

1523 loglog zyx xy

zyx xyy log15loglog 23

Hubungan : zx xy log152log3

C. Evaluasi kemampuan Analisis1. cba ,, merupakan barisan aritmetika

a. akan dibuktikan bahwa bacacbcba 222 ,,

Juga merupakan barisan aritmetikaBukti :Jika cba ,, barisan aritmetika

Maka bca 2 atau bca 2

…..(i)

Akan ditunjukkan acbbaccba 222 2


Bukti : baccba 22

2222 bcaccaba 2222 accabcba

accabca 22

acbbacca .222

abcbacb 222 2 abcabcb 224 3

23 .2.24 bbb 2.2 bca cab 22

b. akan dibuktikan

baaccb 1,1,1

Jadi, akan dibuktikan

cabacb

211

Bukti

22

11

caca ac

4

24

2

11

caca ac

22

2

1

2

1

21

21

caacca

caacca

22

2

22

2

caacca

ccacaa

2222

22222

caccacacaa

caca

224222

22222

accacaccaa

cacaa

222222

2222

cacacaca

cacaa

2222

222222

cacacaca

cacaa

222

2222

cacaca

cacaa

222

2222

ca

2

Terbukti

2. jika 222 ,, cba adalah barisan aritmetikaa. akan dibuktikan

baaccb 1,1,1

juga barisan

aritmetikaBuktikanJika 222 ,, cba adalah barisan aritmetika,

maka 222 2bca atau2

222 ca

b

atau2

22 cab

akan dibuktikan :cabacb

211

bacb

11

22

2222

11

caca ac

222122

21

2

1

2

1

caacca

2222 22

2

22

2

caacca

2222

22

2222

2222

caacca

ccaa

222222

22

224222

22222

cacaccacaa

caca

cacacaca

caca

222

22222

22

22

cacaca

caca

222

22222

22

22

ca

2

b. akan dibuktikan

bac

acb

cba

,, adalah barisan

aritmetika berarti akan ditunjukkan

acb

bac

cba

2

bac

cba

bacb

cbcbaa


bccababccbaba

2

22

bcacabcbabca

ca

2

22

22

bcaccaab

cabb

2.2

212

212

21

2

accabcab

cabb2

222

21

21

cacacab

cabb

21

212

ca

bcabca

cabb

22

21

21

3. Diketahui :

282118 zyx

4

314

976

34

914

67

,,

,,

yzxzxy

zyzxyx

Akan dibuktkan

zxx xzy log27

231,log3,log723,3

Merupakan barisan aritmetikaAkan ditunjukkan

xx yz log

723

2log33

xzx zzz log3log3log33

xx yy log3log343

14943

xx yy log1

3log343

43

149

xx yy log4log7

18

xylog7

46

xylog

723

2

Akan dibuktikan

xzx zxy log33log27231log

723

zx xy log27231log

723

149

914

34 log

27231log

723 xzxz

xx zz log.27231log1.

723

914149

34

xx zz log19681

.27231

log2869

xx zz log196693

log2869

xz log

196693483

xzlog196176.1

xx zz log32log6

4. 32log,12log,2log xx barisanaritmetikaDitanya : nilai ?x

12log232log2log xx

212log322log xx

212322 xx

12.2262.22

xxx

052.422

xx

01252 xx

52 x atau 12 x

5log2xtidak mungkin

Jadi, nilai x yang mungkin adalah 5log2

5. Diketahui : 222 ,, baaccb barisan aritmetika

akan ditunjukkan :

baaccb 1

,1

,1

juga barisan aritmetika

Bukti :Jika, 222 ,, baaccb barisanaritmetikamaka 222 2 acbacb

22 22 acbacbbacb

222 ;22 accaacbacbca

2222 cacabacb

2

2

ca

bacb

Jika,baaccb

1,1,1barisan aritmetika

Akan dibuktikanacbacb

211

bacb

cbbabacb

11 ; (masukkan (i))


cacacaca

ca

2

2

2

caca

22

ac

2

A. Evaluasi Pengertian atau Ingatan1. B. 47

nnSn 134 2

///

21

nnn SSU

8.21

138 n

178 n178.88 U

471764

2. C. 4nnSn 62 2

64/ nSn

4// nSb

3. E. bnnS 1

21

bnanS 1221

bnanS 122

nSbna 212

bnnSa 122

2

12 bna n

S

bnnSa 1

21

4. B. 115

116115

2...64212...531

n

n

116115

Penyebut

Pembilang n

n

SS

116

11522

121

2

2

n

nn

n

116115

222

n

n

nn 221152.116 nn 230230232

2302 n115n

5. D. 40019,13 107 UU

Ditanya : ?20 S137U 136 ba

63

199bba

2b136 ba132.6 a

1213a1a

bnanSn 122

21201.22

2020 S

40038210

6. C. 29.....,7,5,3,1

225nSDitanya : ?n

bnaUn 1 211 n

221 n12 n

225nS

2252

nUan

225122

nn

22522

nn

2252 n225n

15n


1910U


115.2 nU115.215 U

29130

7. D. ann log121

?.....log...logloglog 32 naaaaDeret tersebut merupakan deret aritmetikadengan aa log

aab loglog 2

aaa loglog

2

nn aU log

nn UanS 2

naan loglog2

naan .log2

1log2

nan ann log12

ann log121

8. C. 860.4 buah

12080 UanU n 1001.2080

nn Uan

S 2

18.20801002

1818 S

4401009 860.4

9. C. 661.66Bilangan bulat antara 250 dan 1000yang habis di bagi 7 :

994,.....,266,259,252994,7,25 nUba

bnaU n 1 71252994 n

25299417 n 74217 n 1061 n

107n

9942522

107107 S

246.12

107

661.66623107

10. C. 768 Bilangan asli antara 1–100 yang habis

dibagi 496,.....,12,8,4

96,4,4 nUba bnaUn 1 41496 n

964 n24n

9642

2424 S

200.1 Bilangan asli antara 1–100 yang habis

dibagi 4 dan 6 :96,.....,36,24,12

96,12,12 nUba bnaU n 1 1211296 n

9612 n8n

961228

8 S

432108.4 Jumlah bilangan asli antara 1–100 yang

habis dibagi 4 tetapi tidak habisdibagi 6

768432200.1

11. C. 12180,2,4 nSba

Ditanya : ?n

bnanSn 122

214.22

180 nn

2282

180 nn

622

180 nn

nn 3180 2


018032 nn 01215 nn

15n atau 12n

Tidak mungkin

12. C. 122

knn

k

Deret aritmetika

.....321 n

nn

nn

n

nna 1

nn

nnb 12

nn

nn 112

bkakS k 122

nk

nnk 1112

2

nk

nnk 112

2

1122

knn

k

1222

knn

k

122

knn

k

13. A. nnSn 92 46 nUn

1041.61 Ua

12 UUb 41.642.6

61016

1/

kb

b

236

126

/22

bnanSn

2.110.22

nn

22202

nn

1822

nn

nnSn 92

14. C. 84Baruisan aritmetika awal .....,33,18,3disisipkan 4 bilangan

4,15318,3 kba

1/

kbb

35

1514

15

3.173.227

7 S

8418627

15. B. 35230,11 2035 SU

Ditanya : ?10 S 113U 112 ba …..(i)

23012022

2023020 baS

23019210 ba23192 ba ….(ii)

Eliminasi (1) ke (ii)11ba 2 242 ba

4515

23192bba

3b112 ba113.2 a

611a17a

3.11017.22

1010 S

3527345

16. C. 10020151296 UUUU

2014118(5 babababa20384 ba

201922 ba10192 ba (i)

23192 ba 1


baS 12022

2020

ba 19210 10.10 (masukkan (i))

100

17. C. 920 nnnSn 45 2

Ditanya : ?2 nU

1222 nnn SSU

1241252425 22 nnnn

1241445820 22 nnnn

4852020820 22 nnnnn920 n

18. B. 31337 S

13317227

ba

1336227

ba

13337 ba193 ba .....(i)1206 S

12016226 ba

120523 ba4052 ba …..(ii)

Eliminasi (i) ke (ii)193 ba 2 3862 ba

24052

bba

193 ba 1923 a

619 a25a

baU 1112 21125

32225

19. B. 2 174 S

1714224

ba

17322 ba1764 ba …..(i)

588 S

5818228

ba

58724 ba58288 ba …..(ii)

Eliminasi (i) ke (ii)1764 ba 14 2388456 ba

64321748424

aba

3264a

2a

20. D. yxn 41

xUU 21

xbaa xba 2 …..(i)

yUU nn 1

ybnabna 21 ybna 322 …..(ii)

Dari persamaan (i) ke (ii) bnabayx 3222

bna 1324 bna 224 bna 122

bnanSn 122

(masukkan (iii))

yxn

21

.2

yxn

4

21. D. 280108,4 5 Ua

nn UanS 2

55 25 UaS

cm208108425

22. E. nol

nS adalah jumlah n suku pertama suatuderet aritmetika

4052 ba 1

58288 ba 3


nnnn SSSS 113 33

nnnnnn SSSSSS 11223 22 nnnnnn SSSSSS 11223 2

123 2 nnn UUU

1223 nnnn UUUU 1223 nnnn UUUU

0 bb

23. C. 122 nba

nn SS 2

nnnn SSSS 112 _ nnnn SSSS 112

12 nn UU bnabna 1112 nbabna 1 bnna 12 bna 122

24. C. 275Diketahui :

21,4,25 5 UbUt

Ditanya : ?nS 215 U

214 ba214.4 a2116 a5a

2

nt

UaU

tn UUa 2aUU tn 2525.2

45550 bnaU n 1 41545 n

54514 n

4401n

101n11n

4552

1111 S

275502

11

25. D. 150Barisan bilangan positif genap

n2.....,,8,6,4,2306,2,2 nSba

Ditanya : ?5 nn SS306nS

306212.22

nn

306222

nn

03062 nn 01718 nn

18n atau 17n

Tidak mungkin517175 SSSS nn

1217 SS

21122.22

1221172.2

217

26212

362

17

15056306


1. a. 10...642 U224,2 ba

21102.22

1010 S

110225 b. 20...048 U

484,8 ba

4120822

2020 S

600761610 c. 11...20 Uxx

xba ,0

xS 1110.22

1111

xx 55102

11


d. 15...91215 U31512,15 ba

311515.22

1515 S

9042302

15

e. 1621 ...131418 U

21

21821

15,18 ba

25

11618.22

1616S

122

75368

f. 2132

21

31 ... U

21

32

,31

ba

61

634

61

11231

.2221

21S

61

12131

.2221

310

32

221

424.2

21

g. 6...21

11

211

U

211

1,21

1

ba

21121

2122

2122

1621

1.2

26

6S

21

151021

23

21

2583

2121524

h. 10...31

121

311

U

31

121

,31

1ba

312231

31233

31233

11031

1.2

210

10S

312

392731

25

312

392745

312

29235

312345115

2. a. 32 xxf1fa

131.2 12 ffb

31.222.2 21

2150122

5050 S

400.29625 b. xxf 318

1fa 151.318

12 ffb 1.3182.318

31512

315015.22

5050 S

925.211725 c. 34 ttf

1fa 731.4

12 ffb 431.432.4


41507.22

5050 S

250.521025 d. 123 ttf

1fa 911.23 12 ffb 6912.23

61509.22

5050 S

800.731225

3. a. 56,5 18 UaDitanya : b dan ?18 S

1818 218 UaS

5495659 5618 U5617 ba56175 b3b

b. 5,33,5,0 12 UaDitanya : b dan ?12 S

5,3312 U5,3311 ba5,3315,0 b

3311 b3b

1212 212 UaS

2045,335,06 c. 30,2,16 nba

Ditanya : 30U dan ?30 SbaU 2930 22916

425816

42162

3030 S

3902615

d. 164,31,10 nn SUaDitanya : b dan ?n

nn Uan

S 2

31102

164 n

412

164n

841

2164

n

318 8 Un317 ba31710 b217 b3b

e. 570,6,4 nSbaDitanya : ?n

570122

bnan

Sn

57061422

nn

5706682

nn

5701462

nn

057073 2 nn

aacbb

n2

42

2,1

3.2

5703.477 2

6889.67

3.2

5703.477 2

6837

6889.67

6837

1

n atau

6837

2

n

156

76

Tidak mungkinMaka 15n


4. 200,2 105 UUaDitanya : 20U dan ?20 S

200105 UU 20094 baba 2009242 bb

0200368184 2 bbb01962636 2 bb0981318 2 bb

049182 bb

2b atau1849

b

Tidak mungkin, karena barisan adalahbilangan positif

2020 220

UaS

42040210

5. a. 313

32

3 ...

313,

3332,

3 nUba

313nU

3

131 bna

3

133

13

n

313

3 n

13n

nn UanS 2

3

193

1332

13

b. eeee21531 ...

eU

eeeb

ea n

21,213,1

eUn

21

e

bna 211

ee

ne

21211

een

e2112

en

e222

eeeSn

1212112

11

6. a. Bilangan bulat positif antara 200–600yang habis dibagi 4

596,.....,208,204596,4,204 nUba

596nU 5961 bna 59641204 n

5964200 n

994

396n

600.395962042

99nS

b. Bilangan bulat positif yang habis dibagi3 antara 1.000–1.600

599.1,.....,008.1,005.1,002.1599.1,3,002.1 nUba

599.1nU 599.11 bna 599.131002.1 n

599.19993 n6003 n200n

599.1002.12

200nS

100.260601.2100 c. Bilangan bulat positif antara 200–600

600 yang habis dibagi 4 :596,.....,208,204

Pada jawaban 6. a. didapat 600.39nSBilangan bulat positi antara 200–600yang habis dibagi 4 dan 3 :

588,.....,228,216,204588,12,204 nUba

588nU 588121204 n

58819212 n

3312

396 n


068.135882042

33nS

Jumlah bilangan positif antara 200–600yang habis dibagi 4 tetapi tidak habisdibagi 3 adalah :

532.26068.13000.39 d. Bilangan positif antara 1.000 dan 1.600

yang habis dibagi 3 dan 2596.1,.....,014.1,008.1,002.1

596.1,6,002.1 nUba 596.1nU

596.161002.1 n596.19966 n

6006 n100n

596.1002.12

100nS

900.129598.250 Bilangan positif antara 1.000–1.600 yanghabis dibagi 2, 3, dan 4 adalah bilangankelipatan 12 :

596.1,.....,020.1,008.1596.1,12,008.1 mUba

596.1nU 596.1121008.1 n

596.199612 n

5012600

n

596.1008.12

50nS

100.65604.225 Jumlah bilangan positif antara 1.000–1.600 yang habis dibagi 4 adalah :

100.65900.129 800.64

7. a. akan ditunjukkanbSSS nnn 12 2

Bukti :

nnn SSS 12 2

nnnn SSSS 112

nnnn SSSS 112

12 nn UU bnabna 1112

nbbn 1nbbnb

b

b. bnSS nn2

2 2 Bukti :

nn SS 22

bnanbnan 122

21222

2

bnnanbnnan 12122

bnbnbnbn 2222bnbn2

c. akan ditunjukkan nnn SSS 23 3

Bukti : nn SS 23

bnanbnan 12

2122

22

bnn

anbnnan2

11223

bnn

nanan2

11223

bnn

nan2

1123

bnn

an2

133

bnan 132

23

bnan

1322

3

nS3

8. nmnUmU mn ,,Ditanya : ?mnS

mUn mbna 1

nmbmn

nbma111

nmbmn

mnnmb

nmnm

11

1

b

mbna 1 mna 11

mna 11 nma

nUm


bmnamn

S mn 122

11122

mnmnmn

1122

mnmnmn

12

mnmn

9. Diketahui : 2

2

mn

SS

m

n

Akan dibuktikan1212

mn

UU

m

n

Bukti :

2

2

mn

SS

m

n

2

2

2

2

12

12

mn

bma

bnam

n

bmamnbnanm 12

212

222

bmanmnbnammn 122

122

nbmnambnma 1212 nbmnbnambnmbma 22

nbmbnama 22 bnmanm 22

bnm

nma22

bnm

nma

2

ba21 …..(i)

bma

bnaUU

m

n

11

bmb

bnb

1

1

2121

(masukkan (i))

2121

m

n

1212

212

212

mn

m

n

10. Diketahui : ab 2

Akan dibuktikan : 2

2

mn

SS

m

n

bma

bnaSS

m

n

m

n

1212

2

2

amam

anan212212

aamam

aanan222222

2

2

2

2

22

mn

aman

11. Diketahui : ,00.800.8.RpSn

,000.250.Rpa ,000.20.Rpb

bnan

Sn 122

000.201000.25022

000.800.8 nn

000.20000.20000.5002

000.800.8 nn

2000.10000.240000.800.8 nn 0000.800.8000.240000.10 2 nn0880242 nn

02044 nn

44n atau 20n

Tidak mungkinJadi, hutang akan lunas dalam 20 bulan

12. Penurunan kuat arus%,.....19%,22%,25

%3%25%22%,25 baPengukuran kelima

%34%2545 baU

10012

10025

%1310013

Besar penurunan kuat arus padapengukuran kelima

mA8,12496010013

Jadi, beasr kuar arus pada pengukurankelima mA2,8358,124960

13. Tarif km1 pertama ,000.6Rp

Tarif km berikutnya km,500.2 Rp

Tarif km15 Tarif km1 pertama +Tarif km berikutnya 14

14500.2,000.6 RpRp ,000.35,000.6 RpRp

,000.41Rp


14. Diketahui : 20n15a

51520 bDitanya : ?20 S

512015.22

2020 S

250.1953010 bangku

15. Selama delapan tahun, populasi jenistumbuhan bertambah dari 75.230 menjadi125.280Penambahan selama 8 tahun 8S

050.50230.75280.125 050.508 S

050.50180.228 b

050.507.4 b050.5028 b

5,787.128050.50 b

Jadi, rata–rata pertumbuhan populasiadalah 1.788 pohon pertahunnya.

C. Evaluasi Kemampuan Analisis1. Terdapat dua jumlah deret nS1 dan nS2

Jika15783

2

1

nn

SS

n

n

Tentukan ?2

1 n

n

UU

Jika 1n

151.781.3

2

1

aa

21

2211

2

1

2

1 aa

aa

212 aa atau 21 21 aa …..(i)

Jika 2n 152.7

82.3

222

111

baabaa

2914

22

22

11

baba

Masukkan 212 aa …..(i)

2914

22

22

11

baba

2914

2 22

11

baba

2212 21429 baba

2212 14282929 baba

122 2914 bba …..(i) Jika 3n

153.7

83.322

22222

11111

babaababaa

3617

3333

22

11

baba

3617

3333

22

11

baba

2211 1736 baba

2211 17173636 baba

2212 17173618 baba

122 3617 bba …..(iii)Masukkan (iii) ke (ii)

1212 29143617 bbbb

12 73 bb

12 37

bb ….(iv) atau

21 73 bb …..(v)

Masukkan (iv) ke (ii)

122 2914 bba

112 293714 bba

11 31129

398 bb

12 311ba atau 21 11

3 ab …..(vi)

Masukkan (v) ke (ii)122 2914 bba

273

2914 22 bba

22 711

78714 bb

22 711ba atau 2

117

2 ab …..(viii)

22

11

2

1

11

bnabna

UU

n

n

; masukkan (i),

(vi) dan (vii)


211

72

2113

221

11

anaana

22

22111

117

2

113

21

2

nana

11422

1611

nn

1414226611

nn

nn

14856

2. Diketahui : dua deret aritmetika, denganjumlah deret masing–masing nS1 dan nS2

dengan27417

2

1

nn

SS

n

n

Ditanya : ?2

1 n

n

UU

Jika 1n

271.411.7

2

1

aa

318

2

1 aa

21 318 aa atau 12 8

31aa …..(i)

Jika 2n

272.412.7

22

22

11

baba

3515

22

22

11

baba

Jadi,73

22

22

11

baba

Menurut 2211 2327 baba

2211 36714 baba

1221 73614 bbaa

1222 73631814 bbaa

122 73631

112 bba

122 733174 bba

7421793 12

2 bba

7493217 21

2

bba

.....(ii)

Jika 3n

273.413.7

3333

22

11

baba

39

2233

22

11

baba

2211 22223939 baba

1221 39222239 bbaa

1222 392222318

.39 bbaa

122 392231

682312 bba

122 392231470

bba

470682209.1 21

2

bba

…..(iii)

Masukkan (iii) ke (ii)

7493217

470682209.1 2121 bbbb

2121 710.43990.101468.50466.89 bbbb

21 758.6524.12 bb

21 262.6379.3 bb atau 12 379.3

262.6 bb …..(iv)


212 7493

74217 bba

11 379.3262.6

7493

74217 bb

1379.374366.582243.733 b

1046.250609.315.1 b …..(v)


212 7493

74217 bba

27493

2262.6379.3

.74

217bb

2262.674366.582243.733 b

2388.463609.315.1 b …..(vi)


22

11

2

1

21

bnabna

UU

n

n

2609.315.1

388.4632

2609.315.1

046.250231

8

11

anaana

388.4631609.315.1

046.2501512.339

nn

221.852388.463466.89046.250

nn

3.nn aaaaaa

13221

1...11

nn

nn

aaaa

aaaa

aaaa

1

1

32

32

21

21 ...

baaaaaa nn

13221 ...

baa n

1

nn

n

aaaa

1

1

4. Diketahui : kUUU 221 ,....., adalah deretaritmetika yang bukan nol

22

24

23

22

21 ... kUUUUU

22

2112 kUU

kk

Bukti bkUU k 1212

1212

kUUb k …..(i)

22

212

24

23

22

21 ... kk UUUUUU

...432121 UUUUUU kkkk UUUU 212212

...1111 bUUbUU bkUbkU 1222 11

bkUbkU 1222 11 ...522 11 bbUbbU

bbkU 342 1

bkU

bUbUb

342

...522

1

11

bkU

bUbUb

342

...522

1

11

bkbb

UUUb

34...5

2...22 111

34...512 1 kbkUbDeret aritmetika dengan

34,4,1 kUba k

Substitusi persamaan (i)

3412

212 1

12 kk

bkUk

UU k

24

22

12 121 kkbkU

kUU k

12.212 121

kkbkUk

UU k

bkUkk

UU k 122..12 121

bkUUkk

UU k 12.12 1121

kk UUUUkk

212112

22

2112 kUU

kk

5. Diketahui : n ,....., 21 barisan aritmetika

dengan beda bakan dibuktikan ...secsecsecsec 3221

b

nnn sin

tantansecsec 111

Bukti : ...secsecsecsec 3221 nn secsec 1

b11 sec.sec ...2secsec 11 bb

bnbn 1sec2sec 11

21 cos

1.cos

1

A. Evaluasi Pengertian atau Ingatan1. E. nn

nU 3.2 12

Yang merupakan barisan geometri adalahnn

nU 3.2 1 karena bentuk tersebut bisadiubah ke bentuk

1 nn arU sebagai berikut :



nnnU 3.2 1

n

n

n

n

32

22.32

31

.2.22

11

32

.34

32

.32

.2

nn

2. D. Aritmetika dengan pembanding blog2,.....log,log,log 2

222

ba

baa adalah barisan ?

abaUUb loglog 22

12

aba logloglog 222 blog2

ba

baUUb loglog 2

22

23

ba

bba log1.log 22

ba

bba log1loglog 222

122 log1log bb

blog2Karena beda antara dua suku selalu tetapmaka barisan tersebut adalah barisanaritmetika dengan beda blog2

3. E. aritmetika dengan bedabalog

,....log,log,log 2

32

ba

baa

adalah barisan ?

abaUU loglog

2

12

aba logloglog 2 ba loglog

balog

ba

baUU

2

2

3

23 loglog

ba

aa

ba 22

log.log

aa

ba

ba 22

logloglog

balog

Karena selisih dua suku yang berurutanselalu tetap, maka barisan tersebut adalah

barisan aritmetika dengan bedabalog

4. E. 2 ,.....7,1,2 aaa adalah barisanGeometriDitanya : rasio ?r

2

3

2

1

UU

UU

r

17

21

aa

aa

2172 aaa121427 22 aaaaa

11425 aa153 a

5a

21

1

2

aa

UU

r

236

2515

Jadi, rasio 2

5. C. 18Barisan 54,,,,6 zyx adalah barisangeometri

Ditanya : ?yxz

61 aU542 U

45 arU

4654 r94 r

4 24 39 r

333 21

42

3.62 arUx

183622

3 arUy

3183633

4 arUz

Jadi, 1818

318.36 yxz


6. D.2716

Diketahui : xrqpl ,,,, adalah geometri

43

: qp dan31

q

Ditanya : ?x

43

43

pq

qp

jadi34

pq

r

235 rUU

22

34

.31

34

.

qx

2716

9.316

7. A. 2Diketahui : zyx ,, barisan geometri

Ditanya : ?log1

log1

yy zx

Jika zyx ,, barisan geometri, maka

yz

xy atau xzy 2

2log xzy …..(i)

yy zx log1

log1

yyyy

zx

xz

loglogloglog

yyyy

xzzx loglogloglog

1

yyzx xzyy logloglog.log

yzxyzx xyyzyy log.log.loglog.log.log

yxzyx xyzyy log.log.log.log.log

yzyx yyyy log.loglog.log

1.log1.log zx yy

zx yy loglog

2log xzy (dari persamaan (i))

8. D. 6Diketahui : 42

733

2 ,, aUaUaU k

Ditanya : ?k

56

2

7 rarar

UU

3

42

2

7

aa

UU

3425 ar455 ar

51

45ar 9ar

213 rUU

2912 aa618121812 aaaa

Maka 6k

9. B. 405Diketahui : 935.10,3 8 UrDitanya : ?5 U

78 arU

348 .rarU

358 .rUU

338

5 3935.10

UU

U

40527935.10

10. C. 4Diketahui : 52

824

1 ,, aUaUaU x

Dintanya : ?x7

18 .rUU 7452 .raa

564524

527 aa

aa

r

756

ar r8ar

48412 .. aaaUU

Maka 4x

rUU 12 9

13 .aUa

9

3

1 aaU

931

aU12

1aU


11. B. 212 pt

nt adalah suku ke- n dari deret geometri

Ditanya : ?. 533 pp tt untuk 3p

Jika nt adalah suku ke-n dari deret

geometri maka 1 nn art

15313533.

pp

pp arartt4342 ppra pra 42

2.22 pra 22 par

212 pt

12. B. 486Diketahui : 54,162,13 3 UUn t

Ditanya : ?11 USuku tengah 162tU dengan

21nt 7

2113

Maka 1627 U

54162

3

7 UU

54162

2

6

arar

34 r41

3r8

311 .rUU

4863.543.54 28

41

13. A. 3 28 mm

Deret geometri 25

3 ,0 mUmma Ditanya : ?21 U

45 arU

432 .rmm

31

2

3

24

mm

mmr

35

312 mm

354 mr

4135

mr 125

mr

2021 arU

12100

31

125

31

.20

mmmm 325

31

325

31

. mmm32

324

326 mm

3 288 32

mmm

14. C. 1Persamaan kuadrat 02 2 qxxpunya akar 1x dan 2x

2121

,2,1 , xxxx adalah barisan geometri

Ditanya : ?qJika persamaan kuadrat 02 2 qxxpunya akar 1x dan 2x maka

ac

xx 21.

2. 21

qxx …..(i)

ab

xx 21

21

21 xx …..(ii)

Dari barisan geometri 2121

,2,1 ,xxxx maka

2122 2

1. xxxx

212 2

1xx …..(iii)

Masukkan persamaan (iii) ke (ii)

21

21 xx

0212

121

1 xx

20120

12

1

21

1212

1

xxxx

011 11 xx11 x …..(iv)

Masukkan 11 x ke (ii)

21

21 xx

211 2 x

121

2 x

21

2 x


Masukkan 11 x dan21

2 x ke (i)

2. 21

qxx

221

.1q

Maka 1q

15. B. 22

3

qpq

Barisan geometri ,31 pUU qUU 42

Ditanya : ?4 UpUU 31

para 2 …..(i)

qUU 42

qarar 3

qarar 2 (masukkan (i))qpr .

pqr

pUU 31

para 2

pra 21

ppqa

2

1

ppq

a

2

2

1

pp

qpa

2

22

22

3

qppa

34 arU

3

3

22

33

22

3

.pq

qpp

pq

qpp

22

3

qpq

16. E. ppDiketahui : deret geometri

pUUp

UU 1, 82

6

4

Ditanya : ?1 U

prpararp

UU 2

5

3

6

4

21pr …..(i)

pUU 1

82

17. parar182 pra142 ppa

4

12

ppa

32 pa 21

23

.pppa

pp

17. B. 2Diketahui : Barisan geometri 22 n

nUDitanya : ?r

21

2

1 22

n

n

n

n

UU

r

12

2

3

2

2.22

22

n

n

n

n

2221 1

1

18. B. 10Diketahui : tiga bilangan arar

a ,, adalahbarisan geometri jumlahnya 13 dan hasilkalinya 27.Ditanya : ?31 UU

13321 UUU

13 arara

…..(i)

27.. 321 UUU

27.. arara

273 a33 3a

3a


Masukkan 3a ke persamaan (i)

13 arara

13333

rr

1033

rr

101

3

r

r

3101

rr

3311r

ratau

31

31

rr

maka31

r atau 3r

untuk 3a dan31

r maka

bilangannya : 1,3,9,, arara

untuk 3a dan 3r maka

bilangannya : 9,3,1,, arara

Bilangan 1 + Bilangan 3 9119 10

19. E. 243243,244 4361 UUUU

Ditanya : ?r24461 UU

2445 ara …..(i)24343 UU

243. 32 arar24352 ra243.5 aar

aar 2435 …..(ii)

Masukkan persamaan (ii) ke persamaan (i)2445 ara

244243

a

a

2442432

a

a

aa 2442432 02432442 aa

243a atau 1a

untuk 243a masukkan ke (i)2445 ara244243243 5 r1243 5 r15 r

5

55

31

31

2431

r

31

r

untuk 1a masukkan ke (i)2445 ara2441 5 r2435 r

55 3r3r

20. D.xyx

Diketahui : yUxU 111 ,Ditanya : ?6 U

10111 .rUU

10.rxy 101

10

xyr

xyr

5

56

101

xyxUrU

21

105

xyx

yxx

xyx


1. a. ,.....9,3,1

313 r

b. ,.....18,6,2

326 r

c. ,.....3,6,12

121

126 r


d. ,.....23,6,2

32

3226

r

e. ,.....18,6,2

326

r

f. ,.....,,1,10 1001

101

101

r

g. ,.....1,1,1,1

111

r

h. ,.....1,, 31

91

339

1391

9131

r

i. ,.....1,1,2 21

41

4923

4121

21

r

32

1812

9243

2. a. 12 nnU

122 0111 U

222 1122 U

422 3133 U

822 3144 U

1622 4155 U

Lima suku pertama 16,8,4,2,1

b. 135 nnU

0111 3535 U

51.5 112

2 3535 U 1535

2133 3535 U

4595

3144 3535 U

135275

4155 3535 U

40581.5 Lima suku pertama

405,135,45,15,5

c.1

31

6

n

nU

631

631

6011

1

U

231

631

6112

2

U

32

31

631

6213

3

U

92

31

631

6314

4

U

272

31

631

6415

5

U

Lima suku pertama 272

92

32 ,,,2,6

3. a. ,.....9,3,1

313,1 ra

111 33.1 nnnn arU

13 nnU

b. ,.....,, 121

61

31

21

63,

31

3161

ra

11

21

31

nn

n arU

16 nnU

c. ,.....12,6,3

236,3 ra

11 23 nnn arU

16 nnU

d. ,.....18,6,2

326,2 ra

11 32 nnn arU

16 nnU


e. ,.....1,3,6

21

63

,6 ra

11

21

6

nn

n arU

1122.3

n n 12.2.3nn 211 2.32.3

nnU 22.3

f. ,.....1,3,9

31

93

,9 ra

11

31

9

nn

n arU

112 33

n n 12 3.3nn 312 33

nnU 33

4. Ditanya : r dan ?5 Ua. 48,6 4 Ua

484 U483 ar486 3 r83 r

283 rJadi, 2r dan 965 U

b. 200,50 3 Ua2003 U

2002 ar20050 2 r44 r

2rJadi, 2r dan

8005 Uc. 10,20 2 Ua

102 U10ar1020 r

2010

r

21

r

Jadi,21

r dan45

5 U

5. a. 536.1.....,,24,12,6

536.1,26

12,6 nUra

1 nn arU

12.6536.1 n

2566536.1

2 1 n

2562 1 n

81 22 n

81n9n

Banyak suku adalah 9b. 768.....,24,12,6,3

768,236,3 nUra

1 nn arU

123768 n

2562 1 n

81 22 n

81n9n

Banyak suku adalah 9c. 748.8

1361

121

41 ,.....,,,

748.81

,31

124

,41

41

121

nUra

1 nn arU

1

31

41

748.81

n

748.84

31

1

n

187.21

31 1

n

7

1

31

31

n

71

31

31

n

71n8n

Banyak suku adalah 8

45 arU

42.69616.6

Untuk 2r4

5 arU

8002.50 4 Untuk 2r

45 arU

800250 4

45 arU

4

2120

45

61.20


d. 250.31.....,,50,10,2

250.31,52

10,2 nUra

1 nn arU

15.2250.31 n

625.155 1 n

61 55 n

61n7n

Banyak suku adalah 7

6. bababa 14,6,2 merupakan barisangeometri dengan 0aa. Ditanya : b dalam ?a

Jika bababa 14,6,2 barisangeometri, maka

bababa 1426 2

2222 142281236 bababababa abaaba 16281236 22

baabaa 16281236 aabb 36281612

ab 84

48 ab

ab 2Jadi, ab 2

b. Ditanya : ?r

1

2

UUr

baba

26

; masukkan ab 2

aaaa

2226

248

aa

Jadi, rasio 2

7. Diketahui : cba ,, barisan geometriAkan dibuktikan : cba log,log,logMerupakan barisan aritmetika, berarti akanditunjukkan bahwa cab logloglog2

Bukti :Karena cba ,, barisan geometri, maka

acb 2 atau 21

acb …..(i)

21

log2log2 acb ; masukkan (i)

aclog21

.2

aclog.1aclog

ca loglog Karena telah dibuktikan bahwa

cab logloglog2 makacba log,log,log adalah barisan aritmetika

8. Diketahui : 2sin,cos,cossin adalah barisan

geometri dengan 0cos akan ditunjukkan :

02cos2cos2 2 Bukt :Jika 2sin,cos,cossin barisangeometri, maka

2sin.cossincos2 cos.sin2.cos.sincos.cos

2sin21

21

sin2

1cossin 22

1cos21 2

21

cos2 .....(i)

21

cos2

42

21

cos

221

241

221

cos …..(ii)

2cos2cos2 2

2221

.221

.2 ; masukkan (i)

dan (ii)211 022

Terbukti


9. Diketahui : Bilangan cba ,, adalah barisan bilangan

aritmetikamaka bca 2

02 bca …..(i) Bilangan 2,, cba adalah barisan

geometrimaka 22 cab …..(ii)

12 cba …..(iii)Ditanya : ? cbaEliminasi (i) ke (iii)

02 bca

123

12bbca

4bMasukkan 4b ke (i)

02 bca 042 ca

8caca 8 ….(iv)

Masukkan persamaan (iv) dan 4b ke (ii) 22 cab

2842 ccccc 216816 2

062 cc 06 cc

0c atau 6c

Tidak mungkinMasukkan 6c ke (iv)

ca 868a

2aJadi, 6,4,2 cba

48642 cba

10. Diketahui : Bilangan cba ,, adalah barisan

aritmetikamaka cab 2

02 ca …..(i) Bilangan 2,2, cba adalah barisan

goemetri

maka 22 2 cab …..(ii) ac 42 maka

24 ac …..(iii)

Masukkan (iii) ke (i)02ca

024 baa225 ba …..(iv)

Masukkan (iii) ke (ii)

22 2 cab

2242 2 aab

22 42 ab

22 22 ab ab 22 22 ba …..(v)

Eliminasi (iv) dan (v)225 ba 1 225 ba

6

424aba

Masukkan 6a ke (v)262 a26.2 b

14bMaka beda 12 UU

ab8614

11. cba ,, barisan aritmetikaMaka cab 2

02 bca …..(i)Diketahui : 5 cba …..(ii)Eliminasi (i) dan (ii)

02 bca

513

51bbca

17b , maka beda 17Masukkan 17b ke persamaan (i)

02 bca017.2 ca

ca 34 …..(iii)Diketahui : cba ,9, barisan geometri,

Maka acb 29

cc 4917 2

22 348 cc 064342 cc

0232 cc32c atau 2c

Untuk 32c , maka51 cba513217 a2a

22 ba 2

; substitusi nilai bdan (iii)


Untuk 2c , maka51 cba51217 a32a

Barisan aritmetikanya adalah 32,17,2atau 2,17,32jadi, suku pertamanya 2 atau 32

12. a. Barisan aritmetika ,.....,, 321 aaa

621 ,, aaa membentuk barisan geometri,

Maka 6122 aaa

baaba 5112

1 baabbaa 1

21

21

21 52

052 12

1 babba03 1

2 bab 03 1 abb

0b atau 03 1 ab

13ab …..(i)

Diketahui : 42621 aaa 425111 babaa

4263 1 ba 421363 1 aa

42183 11 aa4221 1 a21 a

Maka (i) 13ab 2.3b

6bJadi, beda barisan adalah 6

b. baS 11022

10110

2906.92.25

13. a. Barisan geometri ,.....,, 321 UUU24461 UU

2445 ara …..(i)243. 43 UU

243. 32 arar24352 ra243. 5 ar

aar

2435 …..(ii)

Substitusi (ii) ke (i)2445 ara

244243 a

a

aa 2442432 02432442 aa

01243 aa243a atau 1a

Untuk 1a , maka2445 ara244.11 5 r2435 r

55 3r Untuk 243a , maka

2445 ara24243243 5 r1243 5 r

55

31

2431 r

31

r

Jadi, rasio adalah 3 atau31

b. untuk 3,1 ra maka

7293.1 667 arU

Untuk31

,243 ra

66

7 31243

arU

31

729243

Jadi, suku ketujuh adalah 729 atau31

14. ,....., 3,21 UUU barisan aritmetika

rqp UUU ,, membentuk barisan aritmetika

Maka rpq UUU .2

brabpabqa 111 2

222 112 bqabqa

22 1111 brpabpabra

bqaqb 2112 brpprb 11111

apraq 1112

bqbrp 2111


aprq 1112

bqrp 2111

b

prqqrpa .

1112111 2

…..(i)

Karena rqp UUU ,, barisan geometri,

maka rasio bpa

bqaU

U

p

q

11

bpb

bqb

prqqrp

prqqrp

1.

1.

1112111

1112111

2

2

111211121111

111211121111

2

2

prqprqpqrp

prqprqqqrp

b

b

prqpqqrppr

prqqqqrppr

21121

211212

2

prqpprpqqqrppr

prqpqrqqqqrppr

222

22222

22

pqqp

prpqrqq

222

2

pqqp

rqprqq

222

qppq

rqpqqpqp

rqpq

qprq

Jadi, terbukti rasioqprq

15. Barisan geometriarUaU x

x 11

brUbU yy 1

1

crUcU zz 1

1

ba

UU

y

x

ba

rUrU

y

x

11

11

bar yx 11

yx

bar

1

…..(i)

ca

UU

z

x

ca

rUrU

z

x

11

11

ca

r zx

yx

ca

r

1

…..(ii)

cb

UU

z

y

cb

rUrU

z

y

11

11

cb

r zy

zy

cb

r

1

…..(iii)

(i) = (ii)zxyx

ca

ba

11

zxyx

zxyx

ca

zxyxba

11

yxzx

ca

ba

xyyxzzzx caba

xz

xy

yx

zx

bc

aa

xzxyyxzx bca xyxzzy cba …..(iv)

(ii) = (iii)zyzx

cb

ca

11

zxzy

cb

ac

xzzxyzzy cbca

yz

xzzxzy

ccb

a

xyzxzy cba …..(v)(iv) = (v)

xyzxxzxy cbbc

xzxz

bb

1

12xzb

1xzb1xzb


Masukkan ke (iv)xyxzzy cba .

xyzy ca .1xyzy ca …..(vi)

cyxbxzazy logloglog yxxzzy cba logloglog ; (vi)

1log1loglog xyxy cc

xyxy coc log1logxyxy cc loglog

0Terbukti

C. Evaluasi Kemampuan Analisis1. cba ,, adalah barisan geometri,

Maka acb 2 …..(i)Akan dibuktikan :

ba

abcabcbaba

22

Bukti :

abbbcacaba

abcabcbaba

2

222

; (i)

cbab

cbaa

ba

Terbukti

2. cba ,, adalah barisan geometri,

Maka acb 2 …..(i)Akan dibuktikan :

cbbba 1,

21,1

barisan aritmetika,

berarti akan dibuktikan

bcbba 21211

Bukti : cbba

bacbcbba

11

bcbacabcba

2

2

bcbbabcba

22

2; (i)

bcbabcba

222

cbabcba

22

bb 21

21

Terbukti

Karena

bcbba 21

211

maka

cbbba 1,

21,1

adalah barisan aritmetika

3. ba ,...,..., adalah barisan geometri

Jika suku tengah nn

nn

t babaU

11

Maka nilai n yang memenuhi ?Suku tengah barisan geometri

nt UUU 1 ; bUaU n ,1

abbaba

nn

nn

11

abbaba

nn

nn

211

abbabna

babannn

nnnn

22

22

112121

112222 2 nnnn baba abbaba nnnn 222

112222 2 nnnn baba111212 2 nnnn baabba

12122222 nnnn abbaba012221222 nnnn abbbaa0.... 12121212 nnnn babbabaa

01212 abbbaa nn

01212 babbaa nn

01212 baba nn

Maka :baba 0 atau

12121212 0 nnnn babaJadi, nilai n yang memenuhi adalahsemua nilai 0n yang positif

4. 02 22222 cbxcabxbaadalah persamaan kuadrat dengan cba ,,dan Rxakan ditunjukkan bahwa cba ,, adalahbarisan geometri dengan x sebagai rasionyauntuk mencari nilai x yang memenuhi


persamaan kuadrat, perhatikan bahwa untuknilai x tunggal maka

0D maka

042 22222 cbbacab 2222222 4844 bacabcbba

0444 22422 cbbca0448 4222 bcacab02 2224 cacabb

022 acbacbMaka 02 acb

acb 2

Karena acb 2 maka cba ,, adalah barisangeometrisekarang tentukan rasio,sebelumnya diketahui bahwa penyelesaianpersamaan adalah

222

2ba

Dcabx

222

02ba

cab

; karena x tunggal

caa

cabacacab

2

ab

Karenaab

adalah rasio dari suku kedua

terhadap suku pertama sedangkanabx ,

maka x merupakan rasio barisan geometritersebut.

A. Evaluasi Pengertian atau Ingatan1. E.

33.2 nnS

333.2 11S jadi 3a

1533.2 22 S

122 SSU 12315

233 SSU

1533.2 3 361551

Jadi, 36,12,3 321 UUU

Kesimpulan

2312 UUUU dan

2

3

1

2

UU

UU

Maka deret tersebut bukan merupakan deretaritmetika maupun geometri.

2. B.nnSn 22

111.2 211 SU11 U

122 SSU 122.2 2

516 Maka 52 U

233 SSU

22.233.2 22 9615

Karena 44312 UUUUMaka deret tersebut merupakan deretaritmetika dengan beda 4

3. A.Deret geometrir rasioa suku pertamaU suku ke-n

11

rraS

n

n

1

raarn

1.1

rararn

1.

rarU

4. E.Deret ...2log2log2log 1263 Apakah deret geometri ?

2

3

1

2

UU

UU

2log2log

2log2log

6

12

3

6

6log.2log3log.2log 21226 6log3log 126


?

?

?

?


2.6log1

2.3log1

63

2log11

2log11

63

Ternyata2

3

1

2

UU

UU

, maka deret tersebut

bukan deret geometriapakah deret aritmetika :

2312 UUUU

2log2log2log2log 61236

6log

1

12log

1

3log

1

6log

12222

6log.12log

12log.6log

3log.6log

6log3log22

22

22

22

3log2log3log2log

log2

3log3log2log

log2

2222126

22263

3log13log2

log2

3log3log1

log2

2221

2221

3log13log2

1

3log3log1

12222

Maka deret bukan aritmetikaJadi, deret bukan deret aritmetika maupungeometri

5. D.Deret geometri

1173 S

1172 arara …..(i) 1171 2 rra …..(ii)

313

654 UUU

313543 ararar

3

1323 ararar ; masukkan (i)

313

117.3 r

1173

133 r

351133 r

33

31

271

r

Maka31

r substitusi ke (ii)

1171 2 rra

11731

31

12

a

1179

139

a

1179

13. a

139117

a

81a4

5 arU

18181

31

.814

6. A.Deret geometri dengan 33 1 n

nS

1

12

1

2

SSS

UUr

33

333311

1112

39

39327

36

624

7. C.Deret geometri

2020 23 arU …..(i)

8065 UU

8054 arar80.. 3222 rarrar ; masukkan (i)

0802020 32 rr08023 rr

022 2 rrrMaka 02r

2rPersamaan (i) 202 ar

202 2 a20a

?

?

?

?

?

?

?


115

5

rra

S

12

125 5

55

3335

8. E.Deret geometri

34

2 U …..(i),2716

4 U

27163

4 arU

2716

. 2 rar

2716

. 22 rU ; masukkan (i)

2716

.34 2 r

942 r

32

r

Untuk arUr 232

32

.34

a

2a

Untuk arUr 232

32

34

a

2a

Untuk32

,2 ra

rra

S

11 5

5

31

24332

32

532 12

112

81422

243211

6

Untuk32

,2 ra

3

2

532

5 112

S

81110

243275

56

Jadi, 5S adalah81

422atau

81110

9. D.Deret geometri dengan rasio 2

1

23

1

13

n

nn

nn

nn

UUU

SSSS

11

1213

n

nn

ararar

n

nn

ararar 12

rr

arrrar

n

n

22

6222

10. D.Deret geometri dengan suku positif

81

3 U …..(i)

27 U

26 ar2. 42 rar2. 4

3 rU

281 4 r

164 r44 2r

Maka 42rAmbil r positif

12

127321

7

S

32

1271128

321

Jadi,32

1277 S


11. C.Jumlah penduduk kota A mengikuti deretgeometri

45 U .....(i)

25,131 UU …..(ii)Persamaan (i)

45 U

44 ar

ar 44

ar 22 …..(iii)

Persamaan (ii)25,131 UU

25,12 ara

25,12

. a

aa ; (iii)

25,12. aa

025,12 aa

05,05,2 aa

5,2a atau 5,0a

Tidak mungkin21

21

a

2

21

a

41

a

Substitusi41

a ke (i)

45 U

44 ar

4.41 4 r

44 r2r3

4 arU

248

241 3

Jadi, banyak penduduk kota A padatahun keempat sebesar 2 juta orang

12. D.124.3 1 n

nS

Periksa bentuk ?nU

nnn SSU 1 124.3124.3 111 nn

12 4.34.3 nn

144.3 1 n

3.4.3 1 n

21 4.4.9 n

14.144 n

Maka 14.144 nnU

Banyak nU adalah bentuk barisangeometri dengan rasio 4

13. D.Peningkatan hasil produksi pertahun

%10 hasil produksi pertahun meningkat%10%100

1,1%10 Jadi, hasil produksi tahun berikutnyasebesar 1,1 kali lebih besar dari tahunsebelumnya. Sehingga hasil produksi tahunke tahun merupakan suatu deret geometridengan rasio 1,1rDiketahui : 641.145 UDitanya ?3 U

45 arU

225 .rarU

235 .rUU

23 1,1641.14 U

000.1221,1641.14

3 U

Jadi, hasil produksi awal tahun ketigasebesar 000.12 unit

14. B.Seutas tali dipotong menjadi 6 bagianmengikuti barisan geometri

96,3 61 UU5

6 arU 5.396 r

325 r5 32r2r


116

6

rra

S

189

163.3

12123 6

Jadi, panjang tali semula cm189

15. A.Deret geometri

680.3271 U dan

0; mm

r

dengan , adalah

akar persamaan 0124232 mxmx

23 mab

Maka 23 m 23m …..(i)

124 m …..(ii)Diketahui :

m

m …..(iii) 23mm ; masukkan (i)mm 32

m22 …..(iv)Masukkan (iii) dan (iv) ke (ii)

124 m 12422 mmm

012422 2 mmm062 mm

023 mmMaka 3m atau 2m

Tidak memenuhikarena 0m

(iv) m2283.2

Jadi, 8

83

83

rm

r

116

6

rra

S

1

1

83

683

283.52680.327

144.262415.261

58

283.52680.327

545

58

104

40

16. D.Tabungan awal = uang yang ditabungkan

pada 1 januari 2000= 2.000.000

Besar tabungan akhir tahun pertamaTabungan awal + bunga

000.000.2%20000.000.2 000.000.2.2,1

,000.400.2Jumlah tabungan Budi pada tahun ke-nmengikuti deret geometri dengan

000.400.21 U dan 2,1rBudi menabung sebanyak 10 kali, berartidari tahun 2000–2009Total tabungan Budi pada akhir

102009 S

1

1101

10

rrUS

12,1

12,1000.400.2 10

12,12,0000.400.2 10

12,1000.000.12 10 Jadi, pada tahun 2010 tabungan Budisebesar 12,1000.000.12 10 Rp

17. D.Jumlah penduduk kota A dari tahun1980 – 1990 adalah tetap

.,.......................,......,......... BA1990198219811980

Persentase pertumbuhan pendudukmengikuti pada deret aritmetikaSuku tengah adalah suku ke

19852

19901980

Jadi, 1990,19801985 UUU

ABMaka banyak penduduk tahun 1985

sebesar AB


18. E.Pertumbuhan penduduk mengikuti aturanderet geometri

24 96 ?1984 1985 1986…………1991

1n 3n 119841991 n6n

213 rUU 5

6 arU 22496 r 768224 5

42 r2r

Pertumbuhan penduduk tahun 1991sebesar 786 orang

19. C.Penjualan suatu barang meningkat %2perminggu, berarti penjualan mingguberikutnya akan menjadi

02,1%2%100 kali banyakPenjualan minggu sebelumnya

5001 UJika 000.10nS maka ?n

000.10nS

410102,1102,1500

n

410102,102,0

500 n

4,0102,1 n

4,102,1 n

4,1log02,1log n

4,1log02,1log n

02,1log4,1logn

1001021014

loglog

100log102log10log14log

2102log114log

20. C.Deret geometri

544 U …..(i)

374.48 U

374.4. 44 rU

374.4.54 4 r814 r

44 3r3r3

4 arU

2754

3.54 3 aa

2a

115

5

rra

S

242

13132 5

Jadi, jumlah 5 suku pertama adalah 242


21 U

41.

41 3

14 rUU

41.2 3 r

813 r

33

21

r

21r

rrUS

11 6

16

64114

112

21

621

64252

64634

16153

64603

22. A.Bakteri membelah diri menjadi dua setelahsatu detik 2 r

10251 U bakteri

?320 nU n

32011 nrU

320.10 1 nr


321 nr51 2nr

651 nnJadi, bakteri akan menjadi 320 setelah6 detik

23. C.Populasi hewan A berkurang menjadisetengahnya setiap 10 tahun,

Jadi rasio21r

?1 U2 juta 1 juta

1960 1970………….1990 20001n

1

101960000.2

n

5nMaka juta15 U

juta141 rU

juta121 4

1

U

16juta11 Ujuta161 U

Jadi, pada tahun 1960 populasi hewan Asebesar 16 juta

24. D.Deret geometri

21 U

1133

11

335

110

1510

r

rUrrU

SS

1331 510 rr 13311 555 rrr

3315 r325 r

55 2rMaka 2r

642.2 5516 rUU

Jadi, suku keenam adalah 64


2r 33

1133

5

5

rraS

3312

12 5

a

333

132 a

3a32

43 ararUU

32 rra

32 223 12843

Jadi, 1243 UU

B. Evaluasi Pemahaman dan penguasaanMateri.

1. a. 10,.....9,3,1 n

313

,1 ra

910 arU

561.63.1 9

841.913131 10

10

S

Jadi, 561.610 U dan 841.910 Sb. 8,.....32,64,128 n

21

12864

,128 ra

7

8 21

.128

U

1128128

2

1

821

8 11128

S

2561

13

256256255

.3

256

853

255

Jadi, 110 U dan 8510 S


c. 7,.....32,16,8 n

28

16,8 ra

5122.8 67 U

12128 7

7

S

016.1127.8 Jadi, 5127 U dan 016.17 S

d. 9,.....45,15,5 n

35

15,5 ra

805.323.5 89 U

13135 9

9

S

205.49682.1925

Jadi, 805.329 U dan 205.4910 Se. 6,.....,, 8

141

21 n

21

,21

2141

ra

641

21

.21 5

6 U

21

6

21

21

6 11

S

6463

641

1

Jadi,641

6 U dan6463

6 S

f. 100,.....1,1,1,1 n

11

1,1

ra

111 99100 U

11

111 100

100

S

01121

Jadi, 1100 U dan 0100 S

g. 10,.....,, 278

94

32 n

32

23

94

,32

3294

ra

9

10 32

32

U

049.59024.1

32

10

10

32

1032

32

10 11

S

049.59050.116

049.59024.1

12

Jadi,049.59

024.110 U dan

049.59050.116

10 S

h. 5,.....,, 509

103

21 n

53

106

,21

21

103

ra

3

4 53

21

U

25027

12527

.21

5

3

4

53

21

4 11

S

625544

.165

62581

116

5

12534

Jadi,25027

4 U dan12534

4 S

i. 12,.....2,2,1 n

2,1 ra

11

12 21U

2322.2 215

12

12112

12

S

12631212

.12

63

Jadi, 23212 U dan 126312 S


j. 6,.....7,72,14 n

221

1427

,14

ra

5

6 221

4

U

247

3224

14

21

2114

21

6

21

6

S

2121

.2121

114

2121

21

891

21

81

2

21

14

9121.

891

2121

228

91

Jadi, 247

6 U dan 22891

6 S

2. a. 1262.....22 2 n

222

,22

ra

126nS

126

12122

n

6312 n

642 n

622 n

6nJadi, 6n

b. 3633.....333 32 n

333,3

2

ra

363nS

36313133

n

372613 n

2433 n

533 n

5nJadi, 5n

3. .....931

313

,1 ra

11

rra

Sn

n

1321

13131

bn

Jadi, 1321

nnS

39nS

391321

n

7813 n

793 n

79log3log n

79log3log n

3log79log

n

935,3nJadi, nilai n terkecil sehingga 39nSadalah 4n

4. Deret geometri2,1 ra

11

rraS

n

n

12

12121

nn

710nS71012 n

1102 7 n

110log2log 7 n

110log2log 7 n

2log

110log 7 n

25,23301,07 n

25,23nMaka n terkecil adalah 24


5. a. 202 1,1.....1,11,11 201,1,1,1,1 nUra

1 nn arU

120 1,111,1 n

120 1,11,1 n

201n21n

11,111,11 21

21

S

002,644002,610 b. 202 05,1.....05,105,11

21,05,1,1 nra

105,1

105,11 21

21

S

719,35786,105,01

c. 2021 05,1.....05,105,11

21,05,1,1 1 nra

1

211

21 05,1105,111

S

462,13359,0105,005,1

d. 1021 1,1.....1,11,11 11,1,1,1 1 nra

1

111

11 1,111,111

S

145,7649,01,01,1

6. Deret geometri9,0,1 ra

nn

nS 9,01109,019,011

510nSKarena nilai suku pertama lebih besar daripada 510 (ingat 1a ) maka tidk ada nbulat positif yang memenuhi sehingga

510nS . Karena tidak ada n yangmemenuhi, maka n terkecil pun tidak adayang memenuhinya.

7. antaraac

dancd

disisipkan m bilangan

sehingga terjadi deret geometri.

kcdU

acU n ,,1 banyak sisipan m

1

1

k n

UU

r

12

2

1 mm

dccd

cd

12

11

.2

mm

cd

cd

Maka rasio dari deret geometri tersebut

adalah1

2

m

cd

8. Diantara 1 dan 100 disisipkan k bilangansehingga terbentuk deret geometri

100,11 nUU

1

1100kr

12

101001 kk

Berarti, sekarang terbentuk deret geometri

dengan 11 U dan 12

10 kr dari bilangan1–100 terdapat 2k suku

1

12

2

rra

Sk

k

110

110

110

1101

12

12

12

12

21

k

kk

k

kk

110

110

10

1101

2

11

12

111 21

1

2

k

k

k

kk

110110.10

10110

12

12

12

12 2

1

2

k

k

k

k

110110.100

12

12

k

k

Maka110

110.1001

2

12

2

k

k

kS

Jika 000.12 kS maka ?k

310110

110.1001

2

12

k

k

11010110.10 12

12 32 kk


332 1010.10110.10 12

12

kk

11010.1010.10 323 12

12

kk

99910.900 12

k

900999

10 12

k

11,110 12

k

11,1log10log 12

k

11,1log10log.1

2

k

0453,01

2

k 210453,0 k

0453,00453,02

k

13,43kMaka nilai–nilai k yang memenuhi

000.12 kS adalah 44k

9. antara212 dan 80 disisipkan 4 bilangan ,

sehingga terbentuk deret geometri

4,25 ka

232280 514

21

r

Banyak suku 2k624

116

6

rraS

2

31512126

25

Jadi, jumlah deretnya adalah2

315

10. Deret geometri n suku4421 araUU …..(i)

41 ra

ra

14

…..(ii)

1081 nn UU

10812 nn arar 1082 arar n ; masukkan (i)

1084.2 nr272 nr …..(iii)

Diketahui :121nS maka

12111

rra n

1211

1. 22

rrra n

; masukkan (ii)

dan (iii)

1211

127 21

4

rrr

111211274 2 rrr1211214108 22 rr

11713 2 r92 r092 r

3r atau 3r

Untuk 3rr

a

1

4

131

4

Untuk 3r 314

a

22

4

Jadi , 1a dan 3r atau2a dan 3r

11. Investasi dengan bunga mejemuk investasipertahun ,00.100Rp dengan bungamajemuk %10Investai setelah 5 tahun karena bungamajemuk, maka total investasi setelah5 tahun mengikuti aturan deret geometridengan

000.110000.1001,11 U1,1r

1

151

5

rrU

S

11,1

11,1000.110 5

,561.671RpJadi, total uang setelah 5 tahun

,561.671Rp

12. Total pinjaman uang selama n tahundengan bungan majemuk %8 pertahunmengikuti deret geometri dengan

08,1%8%100 r


000.160.2000.000.208,11 UTotal pinjaman selama 10 tahun

108,1

108,1000.160.2 10

10 S

1589,1,000.000.27 Rp93,974.290.31Rp

13. Uang ,000.200Rp dibungakan selama14 tahun pertama dan 6 bulan berikutnyadengan bunga majemuk %5 pertahun.Besar uang yang dibungakan selama 14tahun pertama mengikuti deret geometridengan

05,1%5%100 r ,000.210000.20005,11 RpU

Besar uang pada akhir tahun ke-14 1313

1 05,1000.210. rU32,986.395Rp

Bunga majemuk untuk 6 bulan berikutnya

sebesar 004166,012%5 perbulan

Besar uang setelah 14 tahun 6 bulan 6004166,01 besar uang akhir tahun

ke-14 ,32.986.395004167,1 6 Rp ,67,989.405Rp

Jadi, setelah 14 tahun 6 bulan, uang sebesar,000.200Rp yang dibungakan akan

menjadi ,67,989.405Rp dengan bungamajemuk %5 pertahun

14. Deret geometriAkan dibuktikan

12 n

n

n rSS

Bukti :

11

11

2

2

rrarra

n

nn

n

SS

1

11112

n

nn

n

n

rrr

rr

1 nrTerbukti

15. a. 2521

41

21 .....1

26,21

nr

rra

Sn

11

26

26

21

2621

21

121

11

25

21

2

b. 203.....2793 Merupakan deret geometri dengan

20,339,3 nra

13

133 20

20 S

134

3 0

Maka jumlah deret tersebut adalah

134

3 0

c. 2561

161

41 .....1

5,41

nr

41

541

5 111

S

256257

.54

2561

154

640257

C. Evaluasi Kemampuan Analisis1. nUUU ,.....,, 21 adalah deret geometri

dengan 1rnUUUS .....21

nUUUT 1.....11

21

Akan dibuktikan : nUUTS .1

Bukti :

n

n

n UUUUU

UUS

1

21

1

.....

n

n

nn UUU

UUU

UUU

11

2

1

1 .....


11

1

21

11

1 1......

..

1UarU

rUarU

rUU nn

n

131

1...

111UararU nn

n

1

2211

1.....

111UararU nn

n

121

1.....

111UUUU nnn

nUUU1

.....11

21

T

TUUS

n

1

atau nUUTS

1

Terbukti

2. Jika 321 ,, SSS merupakan jumlah n suku,

n2 suku, dan n3 suku pertama dari deretgeometria. akan dibuktikan

212231 SSSSS Bukti :

,11

,11

221

nn r

ra

Srr

aS

11

33

nr

ra

S

231 SSS

1

11

11

123 nnn r

ra

rr

ar

ra

nnn rrr

r

a 232

2

11

11

12

2

2

nnn rrrr

a

nrrra n 22

22

.11

22

11

nn rrr

a

2

2

1

nn rr

ra

2

2 111

nn rr

ra

2

2 111

nn rr

ra

2

2 11

11

nn r

rar

ra

212 SS

TerbuktiJadi, 212231 SSSSS

b. akan dibuktikan : 32122

21 SSSSS

Bukti :22

21 SS

2

22

11

11

nn rr

ar

ra

22 1

21

1nn r

ra

rr

a

1

1.1

12 2nn r

ra

rr

a

2

2 21

nn rrr

a

11

12 2

2nn rr

ra

222

21

nn rrr

a

11

2 232

nnn rrr

ra

12

21 23

222

nnn

nn

rrr

rrr

a

22224

424

1 23

23242

nnnn

nnnn

rrrr

rrrr

ra

221

222

nnn rrr

ra

211

322

nnn rrr

ra

2111

32

nnn rrr

ra

ra

11

11

132 nnn rr

ra

rr

a

1

1

11

1 3

2

n

nn

r

r

ra

rr

a

11

111

1 3

2

n

n

n

rr

a

rr

a

rr

a

321 SSS TerbuktiJadi, 321

22

21 SSSSS


3. barisan geometri dari bilangan real dengan304321 UUUU …..(i)

34024

23

22

21 UUUU

3031

2111 rUrUrUU

301231 rrrU

340231

221

21

21 rUrUrUU

3401 64221 rrrU

3401.

1

900 246

223

rr

rrr

1900 246 rrr 223 1340 rrr

1900 246 rrr

223223 112340 rrrrrr

1900 246 rrr

1222340 22334546 rrrrrrrrr

1900 246 rrr

123432340 23456 rrrrrr

0560680120360.1120680560 23456 rrrrrr

0141733431714 23456 rrrrrr

0141828181421

2 234

rrrrrr

maka 02 r atau 021 r

2r21r

A. Evaluasi Pengertian atau Ingatan1. C.

.....133 Merupakan deret geometri tak hinggakonvergen dengan

33,3 ra

raS

1

333

33

31

3

6

3393333.

339

3323

Maka 3321

1 S

2. E.

Deret tak hingga .....221122

adalah deret geometri tak hingga konvergen

dengan22

,2 ra

ra

S

1

222

22

21

2

24

2242222

.22

4

224222

Maka 224S

3. D.Deret tak hingga

.....81

41

21 2log

12log

12log

1

adalah deret tak hingga konvergen dengan

10log122log

1

221

a

101102 110log 12

Maka101a

1

2

UUr

10log1

10log2

21

41

2

2

2log1

2log1

2

2

1

2

10log

10log

1010

22

12

22

101

10010

Maka101r

raS

1

91

1 109

101

101

101



Jadi,91

S

4. D.

Nilai ?25log ....2log2log2log 32

Perhatikan pangkatBentuk pangkatnya merupakan deretgeometri tak hingga konvergen

2loga dan 2log2log2log2

r

raS

1pangkat

2log10log2log

2log12log

5log2log

log2log

210

2log5

Maka ....2log2log2log 32

25

2log22log 55

525 425 22log 25

Jadi ....2log2log2log 32

25

22log4log

510log.22log.2

5log10log2 ; diketahui : 699,05log

301,02699,012 602,0

5. C.Deret geometri dengan 6S dan

2genap S

6S

61

ra

ra 16 …..(i)

2genap S

21

rar

; subtitusi (i)

2116

rr

26 r

31r

Masukkan ke persamaan (i) nilai r ra 16

31

16

432.6

Maka, suku pertama adalah 4

6. E.

.....41

213 a

a merupakan deret dimana suku kedua danseterusnya maerupakan deret geometri tak

hingga konvergen dengan21

1 U dan

21

2141

r

Makar

Ua

1

3 1

4131

321

21

4 a4loglog 22 ab

22log 22 2 b

.....logloglog 32 bbb aaa

adalah deret geometri tak hingga konvergendengan

bU alog1 2log22log 24

1.21

2log.21 2

21

dan1

2

UU

r

21

2212

loglog

bb

a

a

21

21

41

Makar

US

1

1

31

1 2321

21

21


Jadi,31

S

7. D......5log5log5log 32 p

p adalah deret geometri tak hinggakonvergen dengan

5loga dan 5log5log5log2

r

Makar

ap

1

5log10log5log

log15log

2log5log

log5log

510

Maka 5log2p

Nilai 522 5log2

p

Jadi, 52 p

8. C.Deret tak hingga konvergen

214

12593

2532

51

31 ..... xxxx

21S dengan xa

31 dan

xx

r31

251

21

1

ra x

53

;21

1 53

31

xx

| r ||

21

1 53

31

x

x

xx

531

21

31

xx303

21

31

21

103

31

xx

21

301 x

230x

15xJadi, nilai x yang memenuhi 15

9. C.Deret geometri tak hingga .....log32log3232 2 xxxxxkonvergen dengan suku-suku negatifuntuk mendapatkan suku negatif terdapatdua kemungkinan :1. 0a dan 0r2. 0a dan 0rSyarat deret konvergen adalah | r ||Deret di atas memiliki

32 xa dan xr log kemungkinan 1 : 0a dan 0r

a. syarat 0a032 x

23x ….. 1

b. syarat 0rkarena deret konvergen maka nilai rdibatasisyarat konvergen| r ||

11 r ; karena 0r maka01 r

0log1 x1loglog10log 1 x

1101

x

11,0 x ….. 2Syarat numerus : 0x ….. 3

Dari 1 , 2 , dan 3 maka daerahirisannya himpunan kosong

kemungkinan 2 : 0a dan 0ra. syarat 0a

032 x32 x

23x ….. 1

b. syarat 0r1log0 x

10loglog1log x101 x ….. 2

c. syarat numerus : 0x ….. 3Daerah irisan 1 , 2 , dan 3 adalah


23

1 x

10. D.Deret tak hingga

.....5432 52

43

52

53

52

Perhatkan bahwa deret tersebut merupakanpenjumlahan dari dua deret geometri takhinga Deret suku ganjil

.....52

52

52

53

Adalah deret geometri tak hinggakonvergen dengan

52

a dan 252

52

513

r

251

52

ganjil 1S

25

252452

Deret suku genap

.....53

53

53

642

Adalah deret geometri tak hinggakonvergen dengan

253a dan 2

53

53

51

2

4 r

raS

1genap

2524253

51

53

2

2

1

81

243

Sehingga genapganjil SSS

961240

81

125

2413

Jadi, jumlah deret tersebut adalah2413

11. E.

Diketahui :x

xSlog1

34

xx

ra

log13

1 4

Berarti xa 3

xr log11 4xr log4

Syarat konvergen deret adalah1r

11 r ; xr log41log1 4 x

4loglog4log 4414 x44 1 x

441 x

Maka batas-bats nilai x sehingga derettersebut konvergen adalah

441 x

12. C.

Segitiga 21TOT adalah segitiga siku-siku

sama dengan 211 TTOT

Diketahui : aTT 21 maka

aOTTT 221 dan2

112

21 TTOTOT

222 aaa 45321 TTT

Jadi, ∆ 321 TTT adalah segitiga siku-sikusama kaki dengan

13132 21

OTTTTT

221

a


Lihat ∆ 543 TTT adalah segitiga sama kaki

dengan siku-siku di 3T

22443 21 OTTTTT

a21

Deret .....433221 TTTTTT

.....212

21 aaa

Merupakan deret geometri dengan

aU 1 dan 22122

1

a

ar

Jadi total panjang garis tersebut

rU

1

1

222

21 21

aa

222

222

aa

13. B.Bola jatuh

Bola jatuh dari ketingian m10 dan

memamtul kembali dengan43r

Lintasan boa sampai berhenti= Bola jatuh pertama + Pantulan pertama +

Jatuh kedua + Pantulan kedua +…..

= Bola jatuh pertama + 2 {pantula pertama+ Pantulan kedua + Pantulan ketiga+…..}

414

30

43

43

2101

10.210

7030.210 meter( karena lintasan Pantulan pertama

= Jatuh kedua.Lintasan Pantulan kedua = Jatuh ketiga )

dan seterusnya

41. A. Persegi 1 memiliki sisi a

21 aaaL

Persegi 2 memiliki sisi22

21

21

aa

221 a

2212

21

2 aaL

2

21 a

Persegi 3 memiliki sisi22

241

241

aa

a21

aaL21

21

3

2

41

a

Deret luas persegi adalah

...41

21... 222

321 aaaLLL

adalah deret geometri tak hingga dengan

21 aU dan

21

2

221

aa

r

rUS

11

Luas

2

21

2

21

aa

15. A.

210 x

Deret tak hingga dari.....cossincossinsin 2 xxxxx

adalah deret konvergen dengan

xx

xxrxU cos

sincossin

,sin1

rU

S

11

xx

xx

cos1sin

cos1sin


16. E.

20 x

Deret tak hingga dari.....sincossincoscos 2 xxxxx

adalah deret konvergen dengan

xx

xxrxU sin

cossincos

,cos1

rU

S

11

xx

sin1cos

17. D.Deret tak hingga dari

xxxx 0.....,sincossinMerupakan deret geometri tak hinggakonvergen dengan

xa sin dan xx

xxr cos

sinsincos

xx

raS

cos1sin

1

18. D.

20 x

.....sincossincossin 533 xxxxxadalah deret konvergen dengan Suku-suku ganjil

.....sinsinsin 53 xxx

xx

xx

S 22ganjil cossin

sin1sin

Suku-suku genap.....coscoscos 53 xxx

xx

xx

S 22genap sincos

cos1cos

genapganjil SSS

xx

xx

22 sincos

cossin

xxxx

22

33

cossincossin

19. C.Deret tak hingga

.....30tan30tan30tan1 642

.....271

91

31

1

Adalah deret goemetri tak hinggakonvergen dengan

1a dan31

131

r

ra

S

1

431

11

34

31

20. D.Deret geometri tak hingga konvergendengan 5,1 SaUsyarat deret tersebut konvergen adalahjika | r ||

raS

1

55

15 ar

ra

….. 1

| r ||11 r ; masukkan 1

15

51 a

555 a100 a

Maka nilai a berada di 100 a

21. A.Deret tak hingga konvergen

aaaa 4.....1 211

araU

1,1

4S

ar

U4

11

aa

a

41 1

aa

aa

41

aaa

41

2

142 aaaaaa 44 22

043 3 aa 043 aa

Maka 0a atau34

a

Tidak memenuhi


Jadi,34

a

22. B. 0,; xRxxxxf

Jika didapat deret geometri dengan

21

23

;1 //1 xxffU

23

1.23

21

21

43

;1 ////2

xxffU

43

1.23

21

21

2343

1

2 UU

r

rU

S

11

31 2

123

21

23

Jadi, jumlah deret tersebut adalah 3

23. DBola pingpong jatuh dan memantulmengikuti pola atursan deret geometri

dengan43r

Lintasan pantulan ketiga= Lintasan jatuh pertama 3r

6427.2

432

3

3227

Maka panjang lintasan dri pantulan ketigasampai berhenti = lintasan pantulan ke-3 +lintasan jatuh ke-4 + lintasan pantulan ke-4+ lintasan jatuh ke-5 +…..

2 { lintasan pantulan ke-3 + lintasanpantulan ke-4 +…..}

413227

43

3227

21

2

75,64

2714

3227

2 meter

24. C.

Ternyata R adalah diagonal bidang untukpersegi 1Jika sisi pesegi 11 a , maka diagonal

bidang 21aDiameter lingkaran 1 = diagonal bidang

22 1aR

22

222

21 RRRa

Keliling pesegi 241 11 rRaK Diagonal persegi 2 sisi pesegi 1

2RMisal sisi pesegi 22 aKarena diagonal bidang persegi 2= sisi persegi 1

222 Ra Ra 2

Keliling persegi RaK 442 22 Jadi, deret keliling persegi

.....21 KK

.....424 RRadalah deret geometri dengan

241 RU dan 221

244 R

Rr

rUS

11

Keliling

2224

2124

21

RR

2228

R

Jadi, KelilingS adalah2228

R

25. E.Deret geometri tak hingga

32

.....loglogloglog 7252322 xxxx

Deret tersebut konvergen dengan

Lingkaran 1 jari-jari R


xU log21 dan x

xx

r 222

32

logloglog

rU

S

11

xx22

2

log1log

32

xx log3log12 222 02log3log2 222 xx

01log22log 22 xx2log2 x atau 1log2 2 x

222 2loglog x21

log2 x

22x 21

2loglog 22 x

41

x 21

2x

2xSyarat konvergen adalah | r ||

Jika41x maka

xr 22log

2222 2log41log

222log2log 2222

14

Maka41x tidak memenuhi

Jika 21

22 x makaxr 22log

21

21

21

2log.2log2log 2222

141

21

21

Maka 2x memenuhiJadi, nilai x yang memenuhi adalah

2x


1. a. .....92

31

21

32

96,

21

3192

1 rU

Karena | r || maka deret konvergen

rU

S

11

23

1 3121

32

21

b. .....12 21

21

,21 rU


rUS

11

421

2

21

21

c. .....421

212,11 rU

Karena | r || maka deret tidak konvergend. .....2793

339,31 rU

Karena | r || maka deret tidak konvergene. .....111

11

1,11

rU

Karena | r || maka deret tidak konvergenf. .....1111

111,11 rU

Karena | r || maka deret tidak konvergeng. .....009,009,09,0

1,0101

9,009,0

,9,01

rU


1,019,0

1,019,0

S

818,01,19,0

h. .....1 21

21

22

21

1,1 2

1

1

rU


222

22

11

1

S

2222.

222


2221

4222

i. .....32 41

41

41

41

,41

1 rU


rUS

11

31

1 4341

41

41

j. .....278

94

23

278

32

94,

23

23

94

1 rU


rUS

11

273523

278

23

1

7081

3527

23

k. .....33

133

313

3

1313.

133

a

3321

1333

313

333

1

2

UUr

3333.

3313

933223

331

632


ra

S

1

333

21

31

21 33

3133

23

Jadi,23

S

l. xxffff 21.....;321

.....3212

211

21

21

,21

1 rU


11 2

121

21

21

S

Jadi, 1S

2. a. .....1 648

63 xx

8

3

18

3 xxr

Agar deret tersebut konvergen,maka 1r

18

13

x

88 3 x 333 22 x

22 xJadi, batas nilai x agar deret konvergenadalah 22 x

b. .....8192 64 xxx

Agar deret konvergen, maka 1r

9

2

29

4

xx

rx

1r 9

2x<1

09

;19

022

xx

90 2 x092 x

033 xx

33 xMaka nilai x yang memenuhi agar deretmenjadi konvergen ada diinterval

33 x


3. Deret geometri

52r dan 15S

raS

1

521

15

a

52115a

2157

15

Jadi, suku pertama adalah 21

4. Deret geometri

31a dan

32S

raS

1

r

132 3

1

23

311 r

211 r

21

211 r

Jadi, rasio21

5. Deret geometri.....1 25

151 adalah deret konvergen

Dengan51

,1 ra

nn

nS51

145

111

5151

Jadi000.11

nS maka tidak ada nilai n

positif terkecil yang memenuhi, karena

1000.11

1 aS

6. a. rasio 2xrAgar deret konvergen maka

1r

12 x

121 x31 x

Batas-batas nilai x yang memenuhi adalah31 x

b. rasio 2log xrAgar deret konvergen maka

1r

12log x

12log1 x 10log2log10log 1 x

10log2log101log x

102101 x

121021 x ….. 1

Syarat numerus :202 xx ….. 2

Irisan daerah 1 dan 2 adalah

121021 x

Jadi, batas-batas nilai x yang memenuhi

adalah 121021

x

c. rasio 1log3 xAgar deret konvergen maka

1r

11log3 x

11log1 3 x

3log1log31log 333 x

3131 x

434 x ….. 1

Syarat numerus :101 xx ….. 2

Irisan daerah 1 dan 2 adalah

434

x

Jadi, batas-batas nilai x yang memenuhi

adalah 434

x


7. Deret geometri

,51

nnU maka51

51

11 U

51

1 U

251

51

22 U

251

2 U

1

2

UUr

51

255

51

251

51 r

rUS

11

41

1 5451

51

51

41 S

8.

gambar di samping merupakan gambarsegitiga siku-siku ABC dengan sisi a

60sin21 2aLABC

321

.21 2a

341 2a

Sisi segitiga aCBA21///

60sin21

21 2

///

aL

CBA

321

.41 2a

3161 2a

Sisi segitiga aCBA41//////

60sin41

21 2

//////

aL CBA

321

.321 2a

3641 2a

.....///////// CBACBAABC LLL

.....3161

341 22 aa

Adalah deret geometri dengan

341 2

1 aU

33

241

2161

aa

r

41

164

rUS

11

Luas

331

13 2

41

241

aa

Jadi, jumlah luas segitiga seluruhnya adalah

331 2a satuan luas

9.

a. sisi-sisi cmaABCDEF keliling cm6aABCDEF sisi-sisi ////// FEDCBA misalkan 2amaka berlaku aturan kosinuslihat ∆ //BBA adalah segitiga sama kakidengan

30,120,30 // BBA

aBBaABaBA21,

21, //

2//

/sinsin

///

BBA

BBA

segienam beraturan


30sin120sin212 aa

21

21

21

2

3aa

aa 321

2

Keliling 2////// 6 aFEDCBA

a321

.6

a33Deret keliling seluruhnya :

.....336 aa adalah deret geometri

dengan aU 61 dan 321

633 a

ar

316

21Keliling

aS

32126

232

aa

3232.

3212

a

1

3212 a 3212 a

Jadi, jumlah semua keliling

3212 a

b. lihat gambar setiap61

bagian dari

segienam tersebut adalah segitiga samasisi ( karena sudutnya sama besar yaitu

60 )Luas segienam 6 segitiga sama sisi

341.6 2S

323 2S

Luas 323 2aABCDEF

Luas 323 2

2////// aFEDCBA

3321

23 2

a

3.3.41.

23 2a

389 2a

Deret luas seluruhnya :

.....3893

23 22 aa

Adalah deret geometri dengan

323 2

1 aU dan43

33

223

289

aa

r

rUS

11

Luas

361

3 2

43

223

aa

Jumlah semua segienam 22 cm36a

10. Deret tak hingga 1.....111 32 xxx

1xa1xr

1S

1

111

x

x

11x

x

xx 112 x

21x ..... 1

Syarat konvergen adalah1r11 r111 x20 x ….. 2

Daerah irisan210 x

Jadi, batasan nilai x adalah210 x

11. Diketahui :1.....1 2 xxxm

1.....1 2 yyynAkan dibuktikan

1.....1 3322

nmmnyxyxxy

Buktim adalah deret konvergen karena

1x dengan xra ,1


mx

xm

11

11

….. 1

n adalah deret konvergen karena

1y dengan yra ,1

ny

yn 11

11

….. 2

Deret tak hingga.....1 3322 yxyxxy

Adalah deret konvergen karena 1x dan

1y maka 1xy dengan

xyra ,1Maka jumlah deret

xyra

11

1

yxxyyx

2111

; masukkan

1 dan 2

yxyxxyyx

111

11111

xyyxyx

mnn

nmm

nm111111 .

1

11

111

nmmn

mnnm

Terbukti

C. Evaluasi Kemampuan Analisis

1. a. .....12

2233212

1

1a

636

3212

r

ra

S

1

6

3666

36

1

1

1

366

366.

366

6

263636

3666

2627

3666

229

229.

229

3662

73

62393469212542

73

313611212542

Jadi,

73313611212542

S

b. .....216725

8223

2212

1

adalah deret geometri tak hingga dengan

1a dan2212 r

22.

2212

422

raS

1

4

2244

22

11

1

2222.

224

2222

224

Jadi, 222 S

2. Jika .....1 32 aaa rrrA.....1 32 bbb rrrB

Akan dibuktikanba

BB

AA

r11

11

Bukti :A adalah deret geometri tak hingga dengan

arrU ,11

rU

A

1

1

Ar

rA a

a

11

11

Ar a 1

1

AA

r a 1

a

AA

r1

1


B adalah deret geometri tak hingga dengan6

1 ,1 rrU

Br

rB b

b

111

1

Br a 11

BBr b 1

b

BBr

1

1

Terbukti bahwaba

BB

AA

r11

11

3. Diketahui : .....1 21 p

p rrS

.....1 22 pp

p rrSAkan dibuktikan

2121 2 pppp SSSS Bukti :

pp rS

11

1 atau1

11

p

p

Sr

pp rS

11

2 atau2

11

p

p

Sr

pr

11

Maka

pppp rrSS

11

11

21

21

11 .2

11111

pp SSpp

pp

rrr

21122

21

ppSS

SSpp

Terbukti

4. 34412lim 2 XXXax

34412lim 22 xxxx

344144lim 22 xxxxx

d e f p q rkarena pd maka

pq

de

a22

424

424

22.2

8

Maka 2a

Deret : .....sinlogsinlog1 2 aa

20 menjadi

.....sinlogsinlog1 222 Adalah deret konvergen jika

1sinlog2 r

1sinlog1 2

2sin21 ; karena nilai

1sin1

1sin21

Untuk nilai 1sin21 dan untuk

20 maka nilai yang memenuhi

adalah26

5. jika2

0

12sec.....2secsec nS 2secsec


A. Evaluasi Pengertian atau Ingatan1. C.

30.....12963

10

1

3k

k

110

11

13k

k

11

2

33k

k

2. A.

2111

53

32 .....1

2111

53

32

21 .....

Pembilang : 11,.....,3,2,1Adalah barisan aritmetika 11, niUi

Penyebut : 21,.....,3,2,1 adalah barisanaritmetika dengan 2b

12 bU i , makaNotasi sigma deret tersebut

11

1 121i

i

3. C.

212

23

12

3

25353ii

ii

10

1

57i

i

4. B.

121

12

21

2

61565kk

kk

20

1

15k

k

20

1

20

1

15k k

k

20

2120.20

.2

030.120050.1

5. A.

83

88

3

8 4828

42

aa aa

aa

11

0 410

a aa

atau

111

10 41101

a aa

12

1 511

a aa

6. A.

3215

1

23232323n

n

54 2323

2913511 49

7. D.

2

1

6

1

26

3

22 444n nn

nnn

6

1

24n

n

3646

13764

8. A.

211

.....5.4.3

14.3.2

13.2.1

1

nnn

n

i iii1 211

9. B.

23

1 kki

i

yx

2

1

3

1 kk

ii yx

21

3

1

yyxi

i

3

121

iixyy

32121 xxxyy

10. A.

30

541 25

i

a

25430

45441

i

a

26

1

25i

ia ..... 1



26

1

26

1

26

1

33i i

ii

i aa

25326 532578


1. a.

250

1

25012501k

b.

10

1

552

11010

k

k

c.

7

1

282

177

k

k

d.

5

1

23 225

2155

k

k

e.

100

1

100

1

100

1

3232a aa

aa

1003

2101100

.2

800.9300100.10

f.

100

1

100

1

22 121i i

iii

100

1

100

1

100

1

2 12i i i

ii

100

2101100

26

201101100

350.328

g.

4

0

21 2222k

k

43 22 168421

11

h.

3

03210 10

110

1101

101

101

aa

001,0001,01,01 111,1

i.

4

1 161

81

41

21

21

kk

161248

1615

2. a.

n

k nk

12lim

n

k

kn 1

2

1lim

2

1.

1lim 2

nnn

21

21

lim

n

n

b.

n

i ni

13lim

n

i

in 1

23

1lim

6

121.

1lim 3

nnnn

3

23

632

limn

nnn

31

62

c.

n

a nna

1

21lim

ann

n

a

11

2lim

1

2

112lim

nnn

nn

2

132lim

nn

nn2

26lim

326

d.

n

k nnk

1

2 221lim

n

k

n

a

knn 1

2

1

21

2lim

6

12122lim

nnnn

nn

6

1212lim

nnn

nPangkat n pembilang lebih besar daripangkat n penyebut maka nilailimitnya .

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n


3. a.

5

1

21 121k

k k

212211 12.2111.21

214213 14.2113.21

215 15.21

b.

5

2

2

322

k k

34.22

33.22

32.22 42

35.225

c. 15141312115

1

1

xxxxxxk

k

d.

5

2

2

322

k k

11.2.1

1.2.1 11.2110.2 x

ax

13.21

12.21 13.2312.22 xx

13.2

1 14.24

x

e.

4

1

12

122

i i

11.22

11.22 1211

14.2

213.2

2 1413

f.

7

32 1

1

i

i

i

55

144

133

12

5

2

4

2

3

77

166

12

7

2

6

g.

4

0

2

221

i

ii

ix

22.2

121.2

120.2

1 2.221.210.20 xxx

24.2

123.2

1 4.243.23

xx

f. 1312113

1

1

31

21

111

xxxxkk

k

4. a.

41

141 33

k

S

41

1

41

1

33k k

k

341242.413

706.2123583.2

b.

50

150 32

i

iS

50

1

50

1

32ii

i

50.3251.503

400.2150550.2

c.

8

1

18 2

k

kS

4312

121 7

d.

8

18 2

i

iS

25412122 7

5. a.

8

0

210....5432k

k

b.

9

0

22322 110.....321k

k

c. 201

41

31

21 ....1

19

0

2

11

.1k

k

kd. 39

171

51

31 ....1

0

2

121.1

k

k

k

6. a.

n

in

n

ii

1

134

23 1

....2

b.

n

in i1

21

31

21 1

....1 222

c.

n

in

i

n

n

1

1

2

181

41

21

21

....1


d.

n

i

in in1

2121 .11....941

7. a.

3

4

3

4 32

313n

k

n

k kk

kk

b.

3

423

1n

k k

c.

3

4

3

43

2

3

13

21

21n

k

n

kk

k

k

k

d.

3

4

213 31n

k

k k

3

4

22 31n

k

k k

8. a.

5

1

4

1

23ii

ia

b.

11

1

4

1

12ii

ia

c.

1

1

4

1

12ii

ia

d.

1

1

4

1

131

iiia

9. a.004.2003.2

004.2.....

32004.2

21004.2

004.2003.21

.....32

121

1400.2

003.2

1 11004.2

i ii

003.2

1 111004.2

i ii

1003.211004.2

003.2004.2003.2

004.2

b.

2360

1

2 sin212cos;sin

2cos21

21360

1

360

1

360

1

2cos21

21

1800.21

360.21

02cos89189

1

..... 1

12cos90

02cos17991179

91

..... 1

12cos180

Karena periode Total 3600

10102 00.2

Fungsi 2cos

Nilai

360

1

2cos

saling meniadakan

10.110

1110

1110

1002.2003.2004.2

110

1110

1..... 2003002.2

1101

2004

004.2

004.2 1101

nn

004.2

1

1

004.2 1101

1101

1101

nn

nn

004.2

1

004.2

1 1101

111

1101

nn

nn

004.2

1 1101

1101

21

nnn

11

1101

101

n

n

n

n

n

n 101101

10101

110

1110

1

nn

1101

10110

nn

n

1101

110 n

n


Maka deretnya menjadi :

004.2

1

121

n

21004.2004.2

21

C. Evaluasi Kemampuan Analisis

1. a.

n

k

kk1

2 126

n

k

n

k

n

k

kk1 11

2 126

nnnnnn

21.2

61216

12121 nnnn 12132 2 nnnn

232 nn

b.

n

i ii1 21.

11

n

i ii1 21

11

21

111

n 21

21

n

222222

nn

nn

c.

n

k kk12 14159

1

n

k kk1 43131

n

k kk1 431

131

31

431

131

.....701

71

71

41

31

nn

431

41

31

n 434443

31

nn

4344343

31

nn

nn

d.

n

i iiii

ii1 11.

11

n

i

n

i

iiii

ii

11

11

1

nn 1.....

2312

1111 nn

2. a. 1444

1.....13.91

9.51

5.11

nn

n

i ii1 14341

n

i ii1 141

341

41

141

341

.....91

51

51

11

41

nn

14114

41

1411

41

nn

n

14

nn

b. .....12276252231

n

i

iii1

1212

n

i

ii1

1

1.....1201 nn

nn 0

c.10....321

1.....

3211

211

11

281

211

151

101

61

311

551

451

361

10

1

10

12 12

11

i ii iii

10

1 1112

i ii

111

101.....

31

21

21

112

1120

11112

d.24315

8114

2713

912

311

5

1 31

.i

ii


243216.1

81325

2782

919

34

243216.1975738513324

243766.3

3. a.

10

1 2cos

k

k

5cos.....23coscos

2cos

1010101010 1

b.

20

1 3tan

k

k

3033

3.....03

3143.14

c.

n

r

r

k

k1 1

n

r

n

r

rrrr

1

2

1 21

21

n

r

n

r

rr1 1

2

21

21

6121

21 nnnnn

112

31

141

nnn

42

311

41 nnn

42121 nnn

d.

n

k

k

1

12 2....221

.....221211 2

12 2.....221 n

.....121212 321

12 n

nn 2.....222 321

nn nn

12212122

4. a.

2222

11.....

41

131

121

1n

2

2

2

111

kkn

kn

22

11k

kkn

k

,

31313

,2

121222

.....

51515

,4

141422

22

11.

11111

nnn

nnn

.....5.7.5

4.6.

43.5

.3

2.4.

21.3

2222

22

11.

12.

nnn

nnn

222

1.

211

.22

nn

nn

221

nn

b. 1......2312.1 nnnn

2161

nnn

Untuk n genap 1......2312.1 nnnn .....2312.1 nnn

1.2.13.2 nnn 2.1121..1 nnnn

122

.11.122

..... nnnn

122

.....12.12 nnnn

24

.2

.....124

6322

2 2 nnn

nn

nnn

241262

.2

.....2

2 2 nn

nnnn

21

21.....12622

2.....212

nn

nn


21.12

12

2 2

nn

n

A. Evaluasi Pemahaman dan PenguasaaanMateri.

1. a. 3

12122.....642 2222 nnnn

Misal : 3

121221

2

nnniPn

in

Langkah pertama

1

1

21 3

11.2111.22

i

iP

3

3.2.222: 2

1

1

2 i

iPRK

3

11.2111.2

Jadi, 3

11.2111.22

1

1

21

i

iP

jadi, terbukti benar Langkah kedua

Anggap kP benar, yaitu

k

ik

kkkiP

1

2

3121.2

2

Akan dibuktikan 1kP benar

1

1 1

2221 1222

k

i

k

ik kiiP

22123

1212 kkkkk

3

66123212 2

kkkkk

3

66212 2

kkkk

3

67212 2

kkk

3

32212

kkk

3

112212 kkk

Jadi, 1kP terbukti benarKesimpulan :

3

12122

1

2

nnniP

n

in

(Terbukti)

b. 3

121212.....531 2222

nnn

n

Misal :

n

in

nnniP

1

2

31212

12

Langkah pertama

1

1

21 3

11.211.2112i

iP

1

1

22

3311

112:i

iPRK

3

21.211.21

Jadi,

1

1

21 3

11.211.2112i

iP

Langkah keduaAnggap kP benar, yaitu

k

ik

kkkiP

1

2

311

12

Akan dibuktikan 1kP benar

1

1

21 12

k

ik iP

k

i

ki1

22 11212

3

1233

1212 2

kkkk

3

123121212

kkkkk

3

36212 2

kkk

3

13212

kkk

3

1121121

kkk

Jadi, 1kP terbukti benarKesimpulan :

n

in

nnniP1

2

3121212

(Terbukti)c. 1212.....531 223333 nnn

misal

n

in nniP

1

223 1212

Langkah pertama

1

1

331 11.212

i

iP



1

1

331 11.212:

i

iPPRK

113 11.21 2

Jadi, 1P bernilai benar Langkah kedua

Anggap

k

ik kkiP

1

223 1212

Bernilai benarAkan dibuktikan

k

ik kkiP

1

223 112112

1

1

31 12

k

ik iP

k

i

ki1

33 11212

322 12212 kkk

322 1212 kkk 12.34.382 2324 kkkkk

161182 234 kkkk 12281282 2234 kkkkkk

12281282 2234 kkkkkk

1214642 2234 kkkkkk

24 112 kk

1.1112 222 kkk

1121 22 kkJadi, 1kP benar

Kesimpulan :

n

in nniP

1

223 1212

(Terbukti)

d. 3333 2.....642 n

Misal :

n

in nniP

1

223 122

Langkah pertama

1

1

2231 111.22

i

iP

1

1

2223 111.22.22i

iPRK

Jadi,

1

1

2231 111.22

i

iP benar

Langkah kedua

Anggap

k

ik kkiP

1

223 122

BenarAkan dibuktikan

1

1

2231 2122

k

ik kkiP

1

1 1

1

1

333 222:k

i

k

i

k

ki

iiiPRK

322 1212 kkk 322 1812 kkk

1412 22 kkk

4412 22 kkk 22 212 kk

Jadi, 2231 2122 kkiPk

Kesimpulan :

n

in nniP

1

223 122

(Terbukti)2. a. nnPn 212.....6.54.32.1

3

141

nnn

Langkah pertama

1

11 3

114111212

i

iiP

2.11.2112: PRK

3114111

Jadi, 1P bernilai benar Langkah kedua

Anggap

k

ik

kkkiiP

1 3141

212


1

11 212

k

ik iiP

3

11421

kkk

Bernilai benar

1

1

212k

i

ii

k

i

kkii1

1211222


3

122133

141

kkkkk

3

61241 2

kkkk

3

3421

kkk

3

11421

kkk

Kesimpulan :

n

in

nnniiP

1 3141

212

(Terbukti)b. 1212.....7.55.33.1 nnPn

3

164 2

nnn

1

1

1121121212i

n iiP

33.1

311.61.41 2

1P bernilai benar Langkah kedua

Anggap

k

ik iiP

1

212

3

164 2

kkkbenar

Akan dibuktikan

1

11 1212

k

ik iiP

3

11141 2 kkk

Bernilai benar

1

11 1212

k

ik iiP

k

i

ii1

1212

112112 kk

32123

164 2

kkkkk

3

3843364 223

kkkkk

3923184 23

kkk

3

91441 2

kkk

3

116141 2

kkk

Kesimpulan :

3

164212

2

1

nnniiP

n

in

(Terbukti)

c. 21

.....5.3

14.2

13.1

1

nn

Pn

214

53

nnnn

n

in nn

nnii

iP

1 21453

2 Langkah pertama

424

813.1

13.1

12

11

11

i iiP

21114

51.31

1P bernilai benar Langkah kedua

Anggap

k

ik kk

kkii

P1 214

532

1


1

11 324

51312

1k

ik kk

kkii

P

Bernilai benar

1

1 1211

12

12

1k

i

k

ikkiiii

31

1214

53

kkkkkk

3214819143 23

kkkkkk

3214

831 2

kkk

kk

21114

5131

kk

kk

n

in nn

nnii

P1

21453

21

(Terbukti)


d. 11

1 232

62

12

n

n

iin

niP

Langkah pertama

5612

1122

121

11111

i

i

iP

112

3126

1P bernilai benar

Langkah kedua

Anggap

k

ikik

kiP1

11 2326

212

BenarAkan dibuktikan

1

11111 2

3126

212k

ikik

kiP

Bernilai benar

1

1 111111 2

1122

122

12k

i

k

ikiik

kiiP

kk

kk2

122

3261

k

kk2

123226

k

k2

526

112

3126

k

k

n

inn

nii

P1

12326

21

(Terbukti)

e.

n

ix

xxnix

n aaa

aP1

1

1 Langkah pertama

1

1

11

1 1ix

xxxix

aaaaaP

1

1 11:

ix

xxxix

aaaaaPRK

1

11

x

xx

aaa

Jadi,

1

1

11

1 1ix

xxix

aaaaP

(Benar)

Langka keduaAnggap kP benar, yaitu

k

ix

xxkix

k aaaaP

1

1

1Akan dibuktikan bahwa

1

1

2

1 1

k

ix

xxkix

k aaa

aP

1

1 1

1

1

:k

i

k

i

k

ki

ixixix aaaPRK

xk

x

xxk

aa

aa 11

1

11

.1

11

x

xk

x

xxk

aa

aa

aa

1

111

x

xkxxkxxk

aaaaa

1

2

x

xxk

aaa

Jadi,

1

1

2

1 1

k

ix

xxkix

k aaa

aP

BenarKesimpulan :

n

ix

xxnix

n aaaaP

1

1

1Terbukti

3. a. nnPn 23 habis dibagi 3

32112131P habis dbagi 3

1P benar

Anggap kkPk 23 habis dibagi 3(benar)

Adib 121 31 kkPk

habis dibagi 3 (Benar)

121 31 kkPk

22133 23 kkkk3332 23 kkkk

132 23 kkkk

habis dibagi 3 habis dibagi 3

1 kP habis dibagi 3Kesimpulan :

nnPn 23 habis dibagi 3(Terbukti)atau 3 faktor dari nn 23


b. 35 nnP habis dibagi 4

83511 P habis dibagi 4

1P benar

Anggap 35 kkP habis dibgi 4

(Benar)Adib 35 1

1

kkP habis dibagi 4

(Benar)151535.55 1

1

kkkP

12355 k


1 kP habis dibagi 4

Kesimpulan :35 n

nP habis dibagi 4(Terbukti)atau 4 faktor dari 35 n

c. 1212 32 nnnP habis dibagi 5

11.211.21 32 P

33 32 35278 habis dibagi 5

1P benar

Anggap 1212 32 kkkP habis dibagi 5

(Benar)Akan dibuktikan

1121121 32

kkkP habis dibagi 5

(Benar) 112112

1 32 kk

kP1212 3.92.4 kk

1212 3542.4 kk

121212 3.53.42.4 kkk

121212 3.5324 kkk

kP habis dibagi 5 habis dibagi

1kP habis dibagi 5 (Benar)Kesimpulan :

1212 32 nnnP habis dibagi 5 atau

5 faktor dari 1212 32 nn

d. nnnPn 23 23 habis dibagi 6

61.21.31 231P habis dibagi 6

1P benar

Anggap kkkPk 23 23 habis dibagi 6 (Benar)

Adib 12131 231 kkkPk

habis dibagi 6 (Benar) 12131 23

1 kkkPk

233 3133 kkkk2236 kk

69323 223 kkkkk 23323 223 kkkkk


1kP benarKesimpulan :

nnnPn 23 23 habis dibagi 6

Atau 6 faktor dari nnn 23 23

4. a. 12 .....321 nnxxx

xnx

xx nn

11

12

xnx

xx

ixPnnn

i

in

111

21

1

1

12

1111

1 1.111

11i x

xxxxP

xx

xx

1

.111 1

2

1

1P benar

Anggap kP benar

1

12

1

111k

i

kki

k xkx

xx

ixP

Adib

1

1

1

2

11

1 11

11k

i

kki

k xxk

xxixP

1

1 1

1111 1k

i

k

i

kii xkixix

k

kkxk

x

kx

x

x1

11

12

2

2

1

111

x

xkxkxx kkk

2

2

1

1211

x

xkxxkxx kkk

222

1

...2

.21

x

xxxkxxx

xkxxkxkxxkkk

kkkkk

21111

1

..221

x

xxxkxxkx kkkk


2111

111

1

..

1

x

xxxkxx

xkxkxkkk

kkk

2

11

1

.11

x

xxkkxx kk

21

2

1

1

11

1

1

x

xkx

x

x kk

xxk

x

x kk

11

1

1 1

2

1

Jadi, 1kP benarKesimpulan untuk setiap n berlaku

12 .....321 nnxxx

xnx

xx nn

11

12

b. nUUUU .....,,log 321

nUUU log.....loglog 21

n

iii

n

i

UU11

log

1

11

1

11 ;log

iiii

i

PUUUP benar

Anggap

k

iii

k

ik UUP

11

loglogBenar

Akan dibuktikan

1

1

1

11 loglog

k

iii

k

ik UUP (Benar)

11

1

11 logloglog

ki

k

ii

k

ik UUUP

k

iki UU

11loglog

1

1

logk

iiU

1 kP benarKesimpulan :

nUUU .....,log 21

nUUU log.....loglog 21

5. a. 12 1 nnP nn

111 21 P

01 (Benar)

1P benar

Anggap 12 kk kP benar

Adib 111 21

kk kP benar

111 2.2121

kkk kP

12.21 kk1121 kk

1 kP benarKesimpulan :

1,2 1 nn n

b. 214 22 nnnPn

222 1242 P

98 (Benar)

2P benarAnggap

12441 221 kkkPk

24121 22 kkkk

22 1144 kkk

221 1141 kkPk


2,14 22 nnn

c. 31 23 nnPn

233 133 P

1627 (Benar)

Anggap 23 1 kkPk benar

Adib 231 111 kkPk

Benar 1331 233 kkkk

1331 22 kkk

2541 23 kkk 2344 22 kkkk

222 2;232 kkkk

0 untuk 3kJadi, 23 21 kkKesimpulan :

23 1 nnPn dengan 3n

d. 6;12 2 nnP nn

266 162 P

4964 benar

6P benar

Anggap 212 kP kk benar

Adib 211 112

kP kk benar


1222 21 kkk

242 2 kk 244 22 kkk

0 untuk 6k442 kk

22kJadi, 1kP benarKesimpulan :

212 nP nn dengan 6n

B. Evaluasi Kemampuan Analisis1. 1;5 nm

nmS , 1;2,1 nS nm

1;21, nS nm

12,, nmSP nmnm

Untuk m,n bulat positif Langkah pertama

11121,11 SP

1;5: 1,1 nmSPRK14

1112 Jadi, 1P benar

Langkah keduaAnggap 12,, kjSP kjkj

(Benar)Adib 1,11,1 kjkj SP

1112 kj1;2,11,1 kSS kjkj

221,1 kjS

2222,1 kjS

1;2.1,1 jKS j

kS j 221,

kS j 2221,1

kjS 22.1,1

5;225 1,1 Skj12222 kj

1112 kjJadi, 1,1 kjP benar

Kesimpulan : 12,, nmSP nmnm

untuk nm, bilangan bulat positif

2. Biaya pos yang dapat menggunakanperangko 500.1.Rp dan 000.3.Rp

3. akan dibuktikan nnnn ,6,!3 bulat

Misal : !3 nP nn

Langkah pertama!131

1 P!133: 1 PRK

Sehingga !131 Jadi, !131

1 P (Benar) Langkah kedua

Andai !3 kP kk

Adib : !13 11

kP kk (Benar)

13;3!.3.33 1 kkkk

Untuk 6k 1!. kk

1......3.2.1 kk !1k

Jadi, !13 1 kk


,!3 nP nn untuk nn ;6 Bulat

A. Pilihan Ganda1. D.

Deret .....242221

41

2,221

,41

321 UUU

Uji Kompetensi Akhir BAB 1


222

41

21

1

2 UU

22224

22

21

2

3 UU

karena 2

3

1

2

UU

UU

r konstanta

maka deret tresebut adlah deret goematridengan pembanding sebesar 22

2. A......27log9log3log 555

3log51 U

2552 3log9log U

3log2 5355

3 3log27log U

3log.3 5Periksa bahwa 3log5

2312 UUUUAdalah tetap, maka deret tersebutmerupakan deret aritmetika dengan beda

3log5 .

3. A.

Deret aritmetika 17321 nnSn

1 nnn SSU

17131

21173

21 nnnn

203

21

21

217

23 2 nnnn

10

2310

23

217

23 22 nnnnn

102310

217 nnn

103 nMaka 103 nUn

4. B.Suatu deret memiliki nnSn 43 2

91010 SSU

9.49.310.410.3 22 53207260

Jadi, suku kesepuluh adalah 53

5. B. Bilangan antara 1–150 yang habis

dibagi 4. 148,.....,16,12,8,4

merupakan barisan aritmetika dengan448,41 bU

1484.14148 nUn

1484 n37n

812.214842

3737 S

Bilangan antara 1–150 yang habisdibagi 4 dan 7 adalah

140,112,84,56,28420401128456284 S

Maka jumlah semua bilangan asli antara1–150 yang habis dibagi 4 tetapi tidakhabis dibagi 7 adalah

392.2420812.2

6. E......8log4log2log

Adalah deret aritmetika dengan2loga

2log4log b2log2log 2 2log2log2

2log

bnanSn 122

2log12log22

nn

2log12

nn

2log121 nn

7. D.Mobil meluncur dengan mengikuti aturanbarisan aritmetika

jam140 jankm

1 dkm40

Pada waktu selama 2 jamjam145jam140 jam

kmjam

km2 d

854540 Beda 22 dd

454085 Maka jarak pada waktu setelah t jam adalah

11 tddt beda

45140 t454540 t

1;545 tt


8.B.Suatu deret memiliki nS n

n 52

488765 SSUUUU 4.528.52 48 26036296

9. A.Deret geometri tak hingga

8S dan38

genap S

8S

81

ra

ra 18 …..(i)

38

genap S

38

1 2 rar

; masukkan (i)

38

118

2

rrr

3

811

18

rr

rr

rr 8824 816 r

168r

rar 1821

42118

45 arU

41

214

4

10. A.

3

0

6

4

22 121n n

nnn

2222 13121110 15.2514.24 22

16.262 251694101

56

11. A.Deret aritmetika

285;47,15 1515 SUn

nn UanS 2

1515 215 UaS

472

15285 a

3847 a4738a

9aSuku pertama adalah –9

12. E.Diantara bilangan 8 dan 112 disisipkan 10bilangan sehingga terbentuk deretaritmetika 10,112,81 kUU n

sekarang, banyak suku 2kn210n

12n

nn UUS 1212

1286 7201206

13. A.Deret aritmetika

204225205 baS

202225

ba

2025 ba42 ba ….. 1

324... /5

/4

//1 2

UUUU

32435343231 UUUUUUUU 32422 bbbb

3244 4 b814 b

3bUntuk 3b

ba 24 ; lihat persamaan (i)3.24a

2aUntuk 3b

ba 24 3.24

10


Untuk 2a dan 3b

3.72228

8 S

68174 Untuk 10a dan 3b

3710228

8 S

414 Jadi, 8S adalah 68 atau –4

14. E.tiga buah bilangan cba ,, adalah deretaritmetika, maka

cab 2 ….. 1abc 2 ….. 2

Diketahui : 6ac makaac 6 ….. 3

Barisan 3,, cba adalah barisangeometri, maka

32 cabaacb 32 ; masukkan 2 dan 3

aacca

2

2

aaaaa 3626 2

aaaa 363 22 aaaaa 3696 22

93 a3a

ac 69936 c

cab 21293

62

12 bb

222222 963 cba126

12. E.

1,4

log,log 22 xx adalah deret geometri

Konvergen. Karena barisan tersebut adalahbarisan geometri, maka

2122 UUU

1.log4

log 22

2 xx

xx log4loglog 2222

xx log2log 222 0log4log4log 2222 xxx04log5log 222 xx

01log4log 22 xx4log2 x atau 1log2 x

422 2loglog x 2loglog 22 x42x 2x

16x Untuk 16x

42log

1x

r

121

4log1

log1

24

162

16x memenuhi syarat konvergen Untuk 2x

422log

1r

11

1log1

212

Karena 11 maka2x tidak memenuhi

Jadi, nilai x yang memenuhi adalah 16

16. D.Deret geometri tak hingga konvergen

21 U

genapganjil 5 SS

22 15

1 rar

ra

51

51 rr

raS

1

5,2252

12

54

51

17. D.Akar-akar persamaan kuadrat berikutadalah 1x dan 2x

016132 2 xkx

8:2

162121 xx

ac

xx


21

8x

x ..... 1

2121 ,, xxxx membentuk barisan goemetri,

maka

21122 . xxxx

8.122 xx

88

22

1122

xxxx ….. 2

213

21 k

abxx

Maka2

1321

kxx ….. 3

1 = 2

88 2

2

2 x

x

6432 x

44 233

2 xx

2488

21

xx

21 xPersamaan 3

213

21

kxx

213

42

k

413 k53 k

35

k

Nilai k memenuhi adalah35

18. D.

Suatu deret memiliki 1

1

326

n

n

nS

344 SSU

13

13

14

14

326

326

916

2732

2716

274832

Maka2716

4 U

19. C.Kelompok bilangan ,.....22,20,18,16,14,12,10,8,6,4,2Suku awal kelompok :

148422 4 6

2 2Barisan tingkat 2

Pendekatan 1 : 22

!22 nn


210116941

1 1 1

Pendekatan 2 : nn /

!11

Langkah 2Hasil Operasi 1 : 2101

22224321

Pendekatan 3 = 222 nnU n

Suku awal kelompok 15212215152

15 UBanyak suku di kelompok tersebut adalah15 maka 2,15,2121 bnU

Suku tengah adalah suku ke 82151

2.72128 U22614212

20. B.Deret sincoscossin2sin 2

20.....sin4cossincos2 3

Suku-suku ganjil...sincossincossin 42

2cos,sin ra

2ganjil cos1sin

S

Suku-suku genap sincos2cossin2 3

.....sincos2 5 2cos,cossin2 ra

Hasil Operasi 1 :

2n :

n :


genapganjil SSS

22 cos1cossin2

cos1sin

2cos1cossin2sin

2sin

cos21sin

sincos21

21. B.

Untuk3 barisan

,.....21,

21,

21

42 sinsin tt

menjadi

,.....21,

21,

21 3

sin3

sin 42

,.....

21,

21,

21

4212

21 33

Perkalian barisan tersebut

.....21

.21

.21

4

212

21 33

.....331

4

212

21

21

Pangkat merupakan deret geometri dengan

1a dan433

21 2

r

raS

1

41

1

43

Perkalian barisan menjadi161

21 4

22. B. 4

1212 xnnU

Deret konvergen jika 1r maka cari dulu

rasio

1

2

UUr

4124

12412

21

22

20

xxx

Syarat konvergen : 1r11 r

121 412

x; pangkat 02

0220 412

x

Perhatikan batas atas022 4

12

x maka

0412 x

021

21

xx

Maka21

21 x

Jadi, deret konvergen untuk21

21

x

23. A.

n

i iS

12 141

n

i ii1 1221

1221

.....

5.21

3.21

3.21

1.21

122

1122

1nn

1221

21

n

1222

122112

nn

nn

12

nn


243,3,1 1 nUra2

1

nn arU

23.1243 n

2433 2 n

52 33 n

Maka 52n7n


117

7

rra

S

2186.

21

13131 7

093.1Jadi, jumlah n suku pertama 093.1

25. A.

89

1

tanloga

a

89tanlog....2tanlog1tanlog 89tan.....tan.1tanlog

Untuk 1tan0891 a

Pecahanlog dari pecahan bernilai negatif

89tan.....2tan1tanlog

Perkalian pecahan sehingga nilainyamendekati 0untuk numerus 0 maka nilai lognyamendekati – 60

B. Bentuk Uraian1. Deret aritmetika

baS 322417174

ba 6417 ….. 1

baS 722868688

ba 7217 ….. 21 2

ba 6417 1 ba 6417

b

ba817

14434

1817

b

ba 7217 1772 ba

18336119

171817

.7

18217

36217a

baU 1920

36429

1817

.1936

217

2. 150nS deret geometri

516016512 nn SS52 nU

nnn SSU 11

10150160

1

2

n

n

UUr

21

105

Jadi, rasio adalah21

3. a.

21log

1log

9

1i jj

109log.....

32log

101log

109.....

43.

32.

21log

110log 1

b.

6

1

6

1 11

log1

11log

ii iiii

7.61

log.....3.2

1log

2.11

log

7.61

.6.5

1.

5.41

.4.3

1.

3.21

.2.1

1log

16 6288,3.10log800.628.3

1log

6288,3log6

c.

5

1

121 2222k

k k

5623 22.....22 6222 16

d. 1010510410310 ..... CCCC

!7!3!10

!6!4!10

!5!5!10

!4!6!10

!3!7!10

!10!0!10

!9!1!10

!8!2!10

21025221012096811045120

ba 7217 2


4. .....533

12122

1212

1212

nn

nn

nn

nS

1212

2

1212

11212

1212

3

12122

1212

1212

1212

312122

1212

21

22

.....3

nn

nn

nn

nnn

nn

nn

nn

nnn

nn

nn

n

S

S

S

2

12.

1212

21212

121212 2

nnn

nn

Sn

nnn

12

121212

122 2

nn

nn

Sn n

212122 nnSn

121221 2 nnSn

1214421 2 nnn

nn 2421 2

Jika 36nS maka akan dibuktikan 4n

nn 2421

36 2

07224 2 nn0362 2 nn

0492 nn

29

n atau 4n

jadi, terbukti nilai 4n jika 36nS

5. akan dibuktikan nnnP 5 habis dibagi 5

untuk 1n 0111 5 P habis dibagi 5

andaikan nP benar

Akan dibuktikan 1nP benar

145 nnnnnP 11 22 nnn 111 2 nnnn

111 5 nnnP 2345 10105 nnnn

115 nn nnnnnn 2345 225

nP benar kelipatan 5

1nP benarKesimpulan : nnnP 5 habis dibagi 5

BAB 1 Barisan Dan Deret

Documents

Transcript of BAB 1 Barisan Dan Deret