Post on 21-Jan-2016
description
TUGAS
Bahan Ajar Matematika SMA IPA kelas XI Semester 2
SUKU BANYAK Oleh :
Heri Kuswanto
Satriani
SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
(STKIP) HAMZANWADI SELONG
JURUSAN PENDIDIKAN MIPA
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
2012
1
Materi : Suku Banyak |oleh: Heri Kuswanto & Satriani
MATERI :
SUKU BANYAK
STANDAR KOMPETENSI
4. Menggunakan aturan suku banyak dalam penyelesaian masalah
KOMPETENSI DASAR
4.1. Menggunakan algoritma pembagian sukubanyak untuk menentukan hasil bagi dan sisa pembagian.
INDIKATOR
Menjelaskan algoritma pembagian sukubanyak.
Menentukan derajat sukubanyak hasil bagi dan sisa pembagian dalam algoritma pembagian.
Menentukan hasil bagi dan sisa pembagian sukubanyak oleh bentuk linear atau kuadrat.
A. Pengertian Sukubanyak, Nilai Suku Banyak, dan Operasi Antara Sukubanyak
1 Pengertian Sukubanyak
Jika a0, a1, a2,............an adalah konstanta, maka bentuk :
Dinamakan suku banyak (polinom) dalam x yang berderajat n dengan n bilangan cacah dan an ≠ 0
bilangan a0, a1, a2 .... ... ... .an disebut koefisen dan a0 disebut suku tetap.
Suku banyak diatas diawali dengan suku tetap a0 dan diakhiri dengan suku yang perubahannya
mempunyai pangkat tertinggi yaitu a0 xn . perhatikan bentuk-bentuk aljabar dibawah ini.
1 X2 – 3x + 4
2 4 x3 + x2 – 16x +2
3 X4 + 3 x3 – 12 x2 – 10x +5
4 2x5 – 10 x4 + 2 x3 + 3x2 + 15x - 6
Bentuk-betuk aljabar seperti diatas disebut suku banyak dalam perubahan x atau polinom dalam
pariabel x. suku banyak yang hanya mempunayai suatu pariabel disebut univariabel, suku
banyak dengan variable lebih dari satu disebut multivariable.
A0+a1x+ a2x2+ …….+ a0-1xn-1+ anxn
2
Materi : Suku Banyak |oleh: Heri Kuswanto & Satriani
a. Contoh suku banyak univariabel
Diketahui polinom : 5x2 – 8x3 – x + 12
1. suku banyak dalam perubahan x
2. sukubnyak dalam derajat 3
3. koefisien dari x3 adalah 5
x3 adalah 8
x adalah -1 suku tetap adalah 12
b. Contoh suku banyak univariabel
X3 + 2y4 – 2x + 2xy + y2 + 4 merupakan suku banyak dalam dua perubahan yaitu perubahan x
dan y, suku bnyak diatas berderajat 3 dalam x atau derajat 4 dalam y.
Latihan 1
Sebutkan nama peubah atau variable, derajat dn oefisien-koefisien dari setiap suku banyak
berikut :
a. 2x3 + 5x2 – 10x + 7
b. X3 – 4x + 2
c. 5x4 +12x + 7
d. 10 – 2y
e. 4 + 3y – 5y2
f. A2 + 3a + 5
g. 3p3 + 5p2 + 2p + 10
h. 3p5 + 6p2 q3 – q2 + 15
2 Nilai Sukubanyak
Suatu suku banyak dalam variable x dapat kita pandang sebagai fungsi dari x sehingga bentuk
umum suku banyak dapat dituliskan sebagai :
F(x) = an xn + an-1 xn-1 + an-2 xn-2 + . . . . . . . +a2 x
2 + a2 x2 + a1 x + a0 nilai suku banyak f(x) untuk x = k
adalah f(x) yang nilainya dapat kita temukan dengan dua cara, yaitu cara subtitusi dan cara,
yaitu subtitusi dan cara bagan.
3
Materi : Suku Banyak |oleh: Heri Kuswanto & Satriani
1) Menentukan nialai suku banyak dengan cara subtitusi
Agar kalian dapat memahmi cara mencri nili suku banyak dengan cara subtitusi, perhatikan
suku banyak dalam peubah x yang berderajat 3 berikut.
F(x) = x4 + 2x3 – 3x2 + 5x + 1
Nilai suku banyak F(x) untuk x = -2
F(-2) = (-2)4 + 2 (-2)3 – 3(-2)2 + 5(-2) +1
= 16 – 16 – 12 – 10 + 1
= -21
Niai suku banyak f(x) untuk x = -1
F(-1) = (-1)4 + 2(-1)3 – 3(-1)2 + 5(-1)+1
= 1 – 2 – 3 – 5 + 1
= -8
Niai suku banyak f(x) untuk x = 0
F(0) = (0)4 + 2(0)3 – 3(0)2 + 5(0)+1
= 1
Niai suku banyak f(x) untuk x = 1
F(1) = (1)4 + 2(-1)3 – 3(1)2 + 5(1)+1
= 1 + 2 – 3 + 5 + 1
= 6
Latihan 2
Tentukan nilai suku bnyak berikut :
a. 2x2 + x + 3
b. X3 + 2x2 + 2x + 1
c. X4 + x3 + 2x2 + 6x + 10
d. 3x4 + 2x3+ x2 + 3x – 3
2) Menentukan nilai suku banyak dengan cara bagan,
Pada latiha 2 diatas kalian tentunya dapat menyelesaikan soal-soal latihan dengan mudah
menggunakan cara subtitusi karena kalian harus menghitung. Bilangan yang berpangkat 2
dan 3, tapi bagaimana jika kalian harus menghitung bilangan 2 yang berpangkat besar atau
4
Materi : Suku Banyak |oleh: Heri Kuswanto & Satriani
menghitung suku banyak yang berderajat besar, jangan khawatir, kalin akan lebih mudah
menyelesaikan persoalan tersebut dengan menggunakan cara bagan.
Misalnya kita menentukan nilai suku banyak f(x) = ax3 + bx2 + cx + d untuk x = k. Dengan cara
subtitusi kita peroleh f(x) = ak3 + bk2 +cx+ d. Perhatikan bahwa bentuk :
Ak3 + bk2 + d = (ak3 + bk2 + ck) +d
= k(ak2 + bk + c) + d
= k{k(ak+ b)+c}+d
Berdasarkan bentuk terahir, maka untuk menghitung nilai f(x) tersebut dapat dilakukan
menurut langkah 2 berikut ini. Langkah 2 :
1. a dikalikan x, kemudian ditambah b sehingga menghasilkan (ak+b)
2. (ak+b) dikalikan k, kemudian sehingga menghasilkan k (ak+b) + c = ak3 + ak2 + c
3. (ak2+bk+c) dikalikan k, kemudian ditambah d dan hasilnya k (ak2+bk+c) + c = ak3 + ak2 +
d
Langkah 1 sampai 3 diatas dapat disusun dalam bentuk bagan sebagai berikut :
a b c d
K
ak ak2 + bk ak2 + bk + ck
a ak + b ak2 + bk ak2 + bk + ck + d
Keterangan :
a. Pada baris pertama bagan diatas berisi koefisien f(x) = ak3 + bk2 + ck + d. Dari pangkat
tertinggi sampai pangkat terendah, yaitu a,b,c, dan d.
b. Tanda berarti dikalikan dengn k.
c. Nilai f(x) ditunjukkan oleh bagan yang diberikan kotak
5
Materi : Suku Banyak |oleh: Heri Kuswanto & Satriani
Contoh :
Hitunglah nilai 2k3 – 3k2 + 4k + 2. untuk x = 5 dengan menggunakan bakgan.
5 2 -3 4 2
10 35 105
2 7 39 197
Jadi, nilai dari suku banyak tersebut adalah 197
3 Kesamaan Suku banyak
Suku banyak f(x) dikatakan memiliki kesamaan dengan suku banyak g(x), jika kedua suku banyak
itu mempunyai nilai yang sama untuk semua peubah x bilangan real
F(x) = g(x)
Contoh :
Tentukan nilai a, b, c dan d jika :
X4 – 8x3 + 15x – 20 = x4 + a x3 + (a+b) x2 + (26 – c) x + d
Jawab :
Koefisien x4 ; 1 = 1
Koefisien x3 ; -8 = a a = -8
Koefisien x2 ; 0 = a + b b = -a = 8
Koefisien x; 15 = 2b – c c = 2b – 15 = 1
Koefisien x0 ; -20 = d d = -20
6
Materi : Suku Banyak |oleh: Heri Kuswanto & Satriani
pembagi
Latihan 4
Setelah memahami penjelasan dan contoh-contoh diatas, sekarang uji kemampuan kalian
dengan menjawab soal-soal latihan berikut.
1. Diketahui p = x4 + 5x3 + 2x2 – 20
q = x4 + 2x3 - 3x2 + x – 1
Hitung nilai p+q dan p-q ?
2. Diketahui p = x5 + 2x3 – 3x2 + x – 1
q = 2x3 - x + 3
Tentukan nilai p+q ?
3. Tentukan hasil kali antara 2x3 + 3x + 5 dengan 2x + 2
4. Tentukan nilai a, b, c dan d jika 2x2 – 3x + 5 = ax + 3bx + 5c.
5. Tentukan nilai a pada kesamaan x2 – 3x + 14 = (x – 1) (x – 2) +3a
B. Pembagian suku banyak
1. pembagin suku banyak dengan pembagian bentuk panjang
pembagian suku banyak dapat dilakukan seperti pada pembagian bilangan bentuk seperti pada
pembagian bilangan bentuk panjang jika diketahui f(x) = ax3 + bx2 + cx + d, dibagi (x-k) maka :
ax3 + (b+ak)x + c + bk + ak2 hasil bagi (h (x))
x – k ax3 + bx2 + cx + d
ax3 – akx2 yang dibgi
(b+ak)x2 + cx
(b+ak)x2 – (bk+ak2)x
(c+bk – ak2)x + d
(c+bk – ak2)x – (ck+ bk2+ak3)
d+ck+bk2+ak3 sisa pembagian (S)
7
Materi : Suku Banyak |oleh: Heri Kuswanto & Satriani
dengan memperhatikan pembagian diatas, hubungan antara sukubanyak yang dibagi suku
banyak pembagi, dan sisa pembagian dapat dituliskan sebagai berikut :
dengan memperhatikan pembagian diatas, hubungan antara sukubanyak yang dibagi suku
banyak pembagi, hasil bagi, dan sisa pembagian dapat dituliskan sebagai berikut :
f(x) = (x – k). H(x) + S
dimana f(x) = yang dibagi
(x – k) = pembagi
H (x) = hasil bagi
S = sisa
Catatan : “Derajat hasil bagi ditambah derajat pembagi sama dengan derajat yang dibagi”.
Contoh :
Tentukan hasil bagi dan sisa pembagin dari 3x3 – 7x2 +5x+4 : (x+3)!
3x3 – 16x2 +53
X + 3 3x3 – 7x2 + 5x + 4
3x3 + 9x2
-16x2 + 5x
-16x2 – 48x
53x + 4
53x + 159
-155 (sisa pembagian)
2. Pembagian suku banyak dengan metode horner (skema)
F(x) = ax3 + bx2 + cd + d, dibagi (x – k )
8
Materi : Suku Banyak |oleh: Heri Kuswanto & Satriani
Contoh :
Carilah hasil bagi dan sisannya pada bagian dan sisanya pada pembagian 2x 3 + 5x2 + 3x – 1,
dibagai (x – 3), kemudian tulislah hasilnya dalam bentuk persamaan : yang dibagi = (pembgian x
hasil bagi) + sisa
3 2 -5 3 1
6 3 18
2 1 6 17
Sehingg diperoleh kesamaan 2x3 – 5x2 + 3x – 1 = (x – 3 ) (2x2 + x +6)+ 17
9
Materi : Suku Banyak |oleh: Heri Kuswanto & Satriani
STANDAR KOMPETENSI
4. Menggunakan aturan suku banyak dalam penyelesaian masalah
KOMPETENSI DASAR
4.2. Menggunakan teorema sisa dan teorema faktor dalam pemecahan masalah
INDIKATOR
Menentukan sisa pembagian suku-banyak oleh bentuk linear dan kuadrat dengan teorema sisa.
Menentukan faktor linear dari suku-banyak dengan teorema faktor. Menyelesaikan persamaan suku-banyak dengan menggunakan teorema faktor.
C. Teorema sisa
Teorima sisa berbunyi ”jika suku banyak f(x) dibagi dengan (x-k), maka sisanya sama dengan f(k)
Bukti :
F(k) = (x-k) . H(x)+ S
F(k) =(x-k) . H(x)+ S
F(k) = 0 + S
Jadi terbukti semua S = f(k)
1. Menentukan Sisa Pembgian Sukubanyak oleh Pembagi Berbentuk (ax-b)
Jika suatu suku banyak f(x) dibagi oleh (ax-b) hasil baginya H(x) dan sisanya S, maka bentuk
dasar dari f(x) tersebut adalah :
F(x) = [x - ba ]. H(x) + S =
a1 (axb). H(x) + S
Keterngn :
F(x) = suku banyak yang dibagi
(ax – b) = pembgi
a
xH )( = hasil bagi
S = sisa pembagian
Untuk x = b
a → f
a
b = (a
a
b - b). H
a
a
b
+ S
F a
b = 0. .H
a
a
b
+ S
10
Materi : Suku Banyak |oleh: Heri Kuswanto & Satriani
F a
b = S
Jadi, sisa pembagiannya S = fa
b
Contoh :
1. Carilah pembagian suku banyak f(x) = 6x3 + x2 + 1 dibagi oleh 2x – 3
Jawab :
Dihitung dengan cara subtitusi :
Sisanya = f(3/2) = 6(3/2)3 + (3/2)2 + 1
= 81/4 + 9/14 + 1
= 94/4
=23 21
Dihitung dengan metode horner
3/2 6 1 0 1
9 15 22 21
6 10 15 23 21
Jadi sisanya = 23 21 dan hasil baginya
2
151026 xx
2. Carilah p agar 4x4 – 12x2 – 8x + p habis dibagi oleh 2x – 1
Jawab :
F(x) habis dibagi (2x – 1), maka sisanya = 0
21 4 -12 13 -8 p
2 -5 4 -2
4 -10 8 -4 p-2
Diperoleh : p-2 = 0 → p = 2
11
Materi : Suku Banyak |oleh: Heri Kuswanto & Satriani
2. Menentukan sisa pembgian suku banyak oleh pembagi berbentuk (x-a) (x-b)
Terdapat cara yang lebih singkat dalam menentukan hasil bagi dan sisi pembagian suku banyak
dengan (x – a) (x – b) yaitu :
a. Dengan teorema
Jika suku banyak f(x) berderajat n dibagi (x –a) (x –b), sisanya :
S = )()( afax
bxbf
ab
ax
Contoh :
Carilah sisanya apabila 2x4 – 3x2 – x + 2 dibagi oleh x2 – x – 2
Jawab :
Dengan teorima f(x) = 2x4 – 3x2 – x + 2
Pembagi = x2 – x – 2 = (x – 2) (x + 1)
Sisanya =
D. Teorima Faktor
1. pempaktoran suku banyak
jika f(x) dibagi (x – a), maka sisanya = 0 menurut teorima sisa, maka diperoleh :
f(x) = (x – a).H(x) + S
= (x – a).H(x) + f(a), jika f(a) = 0
= (x – a).H(x)
Persamaan terahir ini berarti, (x – a) merupakan faktor dari f(x).
Teorima faktor :
F(x) sukubanyak, (x – a) adalah faktor dari f(x) jika dan hanya jika f(a) = 0
Teorim diatas adalah teorima faktor. Dalam teorima faktor ini memuat kata hubungan logika jika
dan hanya jika, sehingga teorima faktor adalah sebuah pernyataan biimplikasi atau implikasi
dwiarah. Oleh karena itu pernytaan dalam terima faktor itu dapat dibaca sebagai berikut.
Jika (x – a) adalah faktor dari f(x), maka f(a) = 0
Jika f(a) = 0, maka (x – a) adalah faktor dari f(x)ssv
1. Akar rasional
Misalkan f(x) adalah sebuah suku banyak (x - k)adalah faktor dari f(x) jika dan hanya jika k
adalah akar dari f(x) = 0, k disebut akar atau nilai nol dari persamaan suku banyak f (x)= 0
12
Materi : Suku Banyak |oleh: Heri Kuswanto & Satriani
Akar-akar rasional bulat maupun pecahan dari suatu persamaan suku banyak secara umum
dapat ditentukan dengan menggunakan teorema berikut
Teorema akar-akar rasional
Misalkan f (x) = 0 adalah sebuah persamaan suku banyak dengan koefisien-koefisien bulat
jika c/d adalah akar –akar rasional dari f(x) = 0, maka c adalah faktor bulat positif dari a0
dan d adalah faktor bulat an
Langkah-langkah menentukan akar-akar rasional adalah sebagai berikut:
a. Jika jumlah koefisien –koefisien suku banyak = 0, maka x = 1 merupakan akar-akar dari
suku banyak tersebut.
b. Jika jumlah koefisien pangkat ganjil dan genap sama, maka x = -1 merupakan salah satu
akar dari suku banyak tersebut
c. Jika langkah 1 dan 2 tidak memenuhi maka gunakan cara coba-coba yaitu dengan;
Langkah 1
Mula-mula ditentukan akar-akar yang mungkin dari persamaan suku banyak f(x) = 0, yaitu
c/d, dimana c faktor-faktor bulat.
Positif dari a0 dan d adalah faktor an
Langkah 2
Dari himpunan akar-akar yang mungkin diperoleh pada langkah 1, akar-akar yang
sebenarnya memenuhi syarat f(c/d)
Contoh:
tentukan akar-akar dari persamaan suku banyak
Jawab:
Langkah a
Jumlah koefisien-koefisien = 1 -1 -3 + 2 = - 1, berarti x = 1 bukan merupakan akar suku
banyak tersebut.
Langkah b
Jumlah koefisien pangkat genap = -1 + 2 = -1
Jumlah koefisien pangkat ganjil = 1 – 3 = -2
Jadi, x = 1 bukan merupakan akar suku tersebut.
Langkah c
13
Materi : Suku Banyak |oleh: Heri Kuswanto & Satriani
Menetukan akar-akar yang mungkin;
Faktor bulat positif dari 2 adalah 1 dan 2 faktor bulat dari 1 adalah 1 dan -1, sehingga akar-
akar yang mungkin = 1, -1, 2, -2 →dari langkah 1 dan 2 diperoleh kesimpulan -1 dan 1 bukan
merupakan akar.
Langkah 2
f(2) = 22 – 22 – 3.2 + 2 = 8 – 4 – 6 + 2 = 0 jadi 2 merupakan akar.
f(-2) = (-2)2- (-2)2 – 3(-2) + 2 = -8 – 4 – 6 + 2 = 0 jadi, -2 bukan merupakan akar
dari langkah-langkah diatas diperoleh akar persamaan di atas yaitu x = 2
2. Akar irasional
Untuk menentukan akar irasaional perhatikan teorema berikut
Teorema pendekatan akar irasional:
Misalnya diketahui prsamaan suku banyak f(x) = 0, jika f(a) dan f(b) berlainan tanda, maka
f(a)> 0 dan f(b) < 0 atau f(a)< 0 atau f(b) > 0 atau f(a).f(b) < 0, maka terdapat sebuah akar
irasional f(x) = 0, yang terletak diantara a dan b (a < x1 < b).
Contoh:
Tunjukkan bahwa x3 + 3x2 – 2x – 5 = 0 mempunyai akar-akar yang terletak antara 1 dan 2.
Jawab:
f(x) = x3 + 3x2 – 2x- 5
f(1)= (1)2 – 2.1 – 5 = -3
f(2)= 23+ 3.22 – 2.2 – 5 = 11
karena f(1) negatif berarti dibawah sumbu x dan f(2) positif berarti di atas sumbu x, maka
akar-akarnya antra 1 dan 2
3. Jumlah dan hasil kali akar-akar suku banyak (program pengayaan)
Bila persamaan suku banyak berderajat 3 dengan bentuk :
Ax3 + x2 + cx + d = 0 yang memppunayai kar-akar x1 dan x3 maka :
1. Jumlah akar-akarnya: x1 + x2 + x3 =
2. Hasil kali tiap dua akarnya : x1 .x2+x1.x2 + x2. x3 = c/a
3. Haasil kali tiga akarnya x1 .x2. x3 = -d/a
14
Materi : Suku Banyak |oleh: Heri Kuswanto & Satriani
Contoh
Diketahui persamaan x3 – 4x2 + 3x + 2 = 0 akar-akarnya x1, x2, x3 carilah:
a. X1 + x2 + x3
b. X1.x2 + x1.x3 + x2.x3
c. X1.x2.x3
Jawab
a. X1 + x2 + x3 = -b/a= -(-4)= 4
b. X1.x2 + x1.x3 + x2.x3 = c/a = 3/1 = 3
c. X1.x2.x3 = -d/a = -2/1 = -2
Latihan
1. dengan menggunakan teorema faoktr tunjukkan bahwa (x+1) adalah faktor dari 4x 6+ 4x5 +
6x4 + 6x3 – 8x2 +18x + 10.
2. Tentukan nilai k untuk tiapf(x) = x3 – x2-32x +k mempunyai faktor (x-2).
3. Tentukan akar –akar irasional dari 2x3 + x2 – 2x.
4. Tentukan akar –akar persamaan 2x3 –x2 +8x – 4 = 0.
Tugas kelompok
1. Tuniukan bahwa persamaan y3 - 9y2+20y – 12 + 0 habis dibagi (y-1).
2. Tentukan jumlah akar –akar persamaan x3 – 6x2 + 9x – 2 =0.
3. Tunjukkan bahwa salah satu dari akar persamaan x3 + x2 2x – 3 = 0 letaknya antara 1 dan 2.