Post on 06-Feb-2018
Marsudi Raharjo : Pecahan, Diklat Lanjut Guru SD 2013 1
PPPPTK MATEMATIKA YOGYAKARTA
BAB I
PERBANDINGAN
A. Pengertian
Perbandingan adalah istilah matematika untuk membandingkan dua obyek atau lebih. Sebagai
contoh misalnya Ali berumur 12 tahun 5 bulan dan Budi 12 tahun 8 bulan. Pertanyaan yang
diajukan adalah “mana yang lebih muda Ali atau Budi” atau “mana yang lebih tua diantara
Ali dan Budi”. Jika pertanyaannya “mana yang lebih muda” maka jawabannya adalah Ali (12
tahun 5 bulan) lebih muda dari Budi (12 tahun 8 bulan). Secara matematika Jika A (Ali) dan B
(Budi) maka menurut urutan naik:
Perbandingan dua obyek dapat dilakukan menurut urutan naik atau menurut urutan turun.
Karena pada garis bilangan di atas posisi Ali lebih kiri dari posisi Budi, maka ditulis “A < B”.
Sebaliknya karena posisi Budi lebih kanan dari posisi Ali maka menurut urutan turun Budi
lebih tua dari Ali. Sehingga secara lambang ditulis “B > A”. Perhatikan bahwa “A < B” senilai
dengan (equivalen/sama makna dengan) “B > A”. Secara lambang ditulis (A < B) (B > A)
dibaca “(A < B) ekuivalen dengan (B > A)”.
Pada makalah ini perbandingan yang dimaksud adalah perbandingan yang berupa rasio yakni
perbandingan yang berupa pembagian dua ukuran obyek. Contohnya seperti berikut.
12tahun
13tahun
5bln
8bln
BA
p
3p
4p
180 cm
135 cm
90 cm
45 cmp = satuan pembanding.
Marsudi Raharjo : Pecahan, Diklat Lanjut Guru SD 2013 2
PPPPTK MATEMATIKA YOGYAKARTA
Tinggi Ali =180
135dari tinggi Budi, jika satuan pembandingnya p = 1 cm
=4
3
4
3
p
p, jika satuan pembandingnya p dengan p = 45 cm.
B. Terapan Perbandingan
Permasalahan perbandingan yang sering muncul dalam kehidupan sehari-hari antara lain adalah
perbandingan antara uang yang dimiliki seseorang terhadap orang yang lain. Perbandingannya
dapat berupa perbandingan yang satuan pembandingnya sama dan perbandingan yang satuan
pembandingnya berbeda.
1. Satuan Pembandingnya Sama
Contoh Masalah
Uang Ali dibanding uang Budi dibanding uang Cahya adalah 2:5:7. Jumlah uang mereka
Rp70.000,00. Tentukan uang mereka masing-masing. Berpakah selisih antara uang Ali
dengan uang Cahya?
Pemecahan Masalah
Jika uang Ali dibanding uang Budi dibanding uang Cahya adalah 2:5:7 maka Ali diwakili
oleh 2 petak, Budi 5 petak, dan Cahya 7 petak, atau A = 2p, B = 5p, dan C = 7p.
Selanjutnya jika yang diketahui adalah jumlah uangnya, maka petak-petak yang
bersesuaian disambungkan, sebaliknya jika yang diketahui adalah selisihnya maka petak-
petak yang bersesuaian disandingkan.
2. Satuan Pembandingnya Tak Sama
Contoh Masalah
Uang Ali dibanding dengan uang Budi 3 : 5.
Uang Budi dibanding uang Cahya 2 : 3
Jumlah uang mereka Rp62.000,00.
Berapa rupiah uang mereka masing-masing?
Marsudi Raharjo : Pecahan, Diklat Lanjut Guru SD 2013 3
PPPPTK MATEMATIKA YOGYAKARTA
Jawab
Yang diketahui adalah (1) perbandingan uang Ali banding Budi 3 : 5
(2) perbandingan uang Budi dan Cahya 2 : 3
(3) jumlah uang mereka Rp62.000,00.
Yang ditanyakan adalah: uang mereka masing-masing
a. Kerangka berpikir informal
Karena perbandingan Ali dengan Budi 3 : 5, maka Ali diwakili oleh 3 petak yang
masing-masing petaknya berukuran p dan Budi diwakili oleh 5 petak yang masing-
masing petaknya berukuran p, sehingga Ali = 3p dan Budi = 5p (lihat gambar).
Karena perbandingan Budi dengan Cahya 2 : 3, maka Budi diwakili oleh 2 petak baruyang masing-masing petaknya berukuran q dan Cahya diwakili oleh 3 petak yang
masing-masing petaknya juga berukuran q, sehingga Budi = 2q dan cahya = 3q (lihat
gambar).
Dari gambar milik Budi kita peroleh kesamaan 5p = 2q maka q = 25
p. Selanjutnya
semua satuan pembandingnya kita nyatakan dalam p. Hasilnya
Ali : Budi : Cahya = 3p : 5p : 3q : dengan q = 25
p.
= 3p : 5p : 3×( 25
p)
= 3p: 5p : 215
p
= 6 : 10 : 15 .
Perbandingan yang baru ini mempunyai hubungan dengan sebelumnya. Gambarannya
adalah sebagai berikut.
CahyaAli Budi
q
p p p
q q q q
jumlahnya = 62.000
Ali Budi Cahya
qp p p q q q q
Marsudi Raharjo : Pecahan, Diklat Lanjut Guru SD 2013 4
PPPPTK MATEMATIKA YOGYAKARTA
Karena jumlahnya diketahui = 62.000 rupiah, maka berdasarkan gambar mudah dilihatbahwa
Uang Ali =15106
6
× 62.000 =
31
6× 62.000 = 12.000 rupiah.
Uang Budi =15106
10
× 62.000 =
31
10× 62.000 = 20.000 rupiah.
Uang Cahya =15106
15
× 62.000 =
31
15× 62.000 = 30.000 rupiah.
b. Kerangka berpikir formal
Karena perbandingan uang Ali dan Budi = 3 : 5, maka Ali = 3p dan Budi = 5p.
Karena perbandingan uang Budi dan Cahya = 2 : 3, maka Budi = 2q dan Cahya = 3q.
Maka uang Budi = 5p = 2q.
Dari 5p = 2q diperoleh 2q = 5p, atau
q = 25
p.
Karena perbandingan Ali : Budi = 3p : 5p, dan Budi : Cahya = 2q : 3q , maka
Jika dibandingkan, maka Ali : Budi : Cahya3p : 5p
2q : 3q.
Dengan demikian maka perbandingan uang
Ali : Budi : Cahya = 3p : 5p : 3q ; dengan q = 25
p.
= 3p : 5p : 3 ( 25
p)
= 3p : 5p : 3 ( 25
p)
= 3p: 5p : 215
p
= 6 : 10 : 15 .
Ali Budi Cahya
jumlahnya = 31 petak = 62.000
6 10 15
Total = 62.000 rupiah.
+
Marsudi Raharjo : Pecahan, Diklat Lanjut Guru SD 2013 5
PPPPTK MATEMATIKA YOGYAKARTA
Karena jumlah uang mereka Rp62.000,00 maka
Uang Budi =15106
10
62.000 =
31
10 62.000 = 20.000 rupiah.
Uang Ali =15106
6
62.000 =
31
6 62.000 = 12.000 rupiah.
Uang Cahya =15106
15
62.000 =
31
15 62.000 = 30.000 rupiah.
c. Cara cepat
Uang Ali : Budi = 3 : 5Budi : Cahya = 2 : 3 Uang
Ali : Budi : Cahya = 6 : 10 : 15
Karena jumlah uang mereka Rp62.000,00 maka
Uang Ali =31
6× 62.000 = 12.000 rupiah.
Uang Budi =31
10× 62.000 = 20.000 rupiah.
Uang Cahya =31
15× 62.000 = 30.000 rupiah.
Latihan 2
1. Harga 4 buah buku Rp10.000,00 . Berapakah harga 11 buku?
2. Harga 7 bungkus rokok Rp28.000,00. Berapakah harga 25 bungkus rokok jenis itu?
3. Uang Ali dan uang Budi jumlahnya Rp45.000,00. Perbandingan uang Ali dan Budi 2 : 3.
Berapa uang mereka masing-masing?
4. Selisih uang Ali dan uang Budi Rp30.000,00. Perbandingan uang Ali dan uang Budi 2 : 7.
Berapa rupiah uang mereka masing-masing?
5. Uang Ali, uang Budi, dan uang Cahya jumlahnya Rp50.000,00. Perbandingan uang Ali,
uang Budi, dan uang Cahya Budi 4 : 7 : 9. Berapa rupiah uang mereka masing-masing?
Total = 62.000 rupiah.
+
6
1510
31
Total = 62.000 rupiah.
+
Marsudi Raharjo : Pecahan, Diklat Lanjut Guru SD 2013 6
PPPPTK MATEMATIKA YOGYAKARTA
6. Uang Ali, uang Budi, dan uang Cahya jumlahnya Rp60.000,00. Perbandingan uang Ali,
Budi, dan Cahya adalah 2 : 3 : 7. Berapa rupiah uang mereka masing-masing?
7. Uang Ali, uang Budi, dan uang Cahya jumlahnya Rp60.000,00. Perbandingan uang Ali,
uang Budi, dan uang Cahya adalah 5 : 6 : 9. Tentukan jumlah uang Budi dan uang Cahya.
8. Perbandingan uang Ali dan uang Budi 3 : 7, uang Budi dan uang Cahya 3 : 2. Jika jumlah
uang mereka Rp44.000,00. Tentukan uang mereka masing-masing.
9. Perbandingan uang Ali dan uang Budi 3 : 7, uang Budi dan uang Cahya 3 : 2. Jika selisih
uang Ali dan Cahya Rp10.000,00. Tentukan uang mereka masing-masing. Berapa pula
jumlah uang mereka?
10.Uang Andi, uang Bakri, dan uang Cahya perbandingannya 3 : 5 : 8. Jika jumlah uang Andi
dan Bakri Rp40.000,00. Tentukan jumlah uang Bakri dan Cahya.
Kunci Latihan 1
1. Rp27.500,00 6. Rp10.000,00; Rp15.000,00; Rp35.000,00.
2. Rp100.000,00 7. Rp45.000,00.
3. Rp18.500,00 dan Rp27.500,00 8. Rp9.000,00 ; Rp21.000,00 ; Rp14.000,00
4. Rp12.000,00 dan Rp42.000,00 9. Rp18.000,00 ; Rp42.000,00 ; Rp28.000,0
5. Rp10.000,00; Rp17.500,00; Rp22.500,00. 10. Rp65.000,00.
Marsudi Raharjo : Pecahan, Diklat Lanjut Guru SD 2013 7
PPPPTK MATEMATIKA YOGYAKARTA
BAB II
PERBANDINGAN SENILAI
A. PENGERTIAN
Apabila terdapat dua kelompok data sedemikian sehinggga ada korespondensi satu-satu
antara kedua kelompok data tersebut dengan sifat nilai perbandingan setiap dua elemen/
unsur pada kelompok kiri sama dengan perbandingan 2 elemen yang bersesuaian pada
kelompok kanan maka kedua kelompok data itu disebut berbanding senilai.
B. PERBANDINGAN SENILAI
Ciri perbandingan senilai adalah jika nilai banyak obyek di kelompok kiri semakin
bertambah berakibat nilai banyak obyek yang bersesuaian di kelompok kanan juga menjadi
semakin bertambah. Salah satu contohnya adalah seperti berikut.
Contoh:
Baris ke Banyak Harga Pensil
Pensil dalam rupiah
1
2
3
4
5
1 300
2 600
3 900
4 1200
x y
Dari data tersebut perhatikan bahwa:
2
1
4
2
4-kebarispensilBanyak
2-kebarispensilBanyak
2
1
1200
600
4-kebarispensilBanyak
2-kebarispensilBanyak
Tampak bahwa nilai perbandingan banyak pensil pada baris ke – 2 dan ke – 4 = nilai
perbandingan harga pensil pada dua baris yang bersesuaian. Contoh lain misalnya:
Marsudi Raharjo : Pecahan, Diklat Lanjut Guru SD 2013 8
PPPPTK MATEMATIKA YOGYAKARTA
900
300
3-kebarispensilBanyak
1-kebarispensilBanyak
3
1
900
300
3-kebarispensilBanyak
1-kebarispensilBanyak
Ternyata nilai perbandingan banyak pensil pada baris ke – 1 dan ke – 3 = nilai
perbandingan harga pensil pada dua baris yang bersesuaian. Demikian seterusnya bila
diselidiki lebih lanjut akan selalu bersifat seperti itu. Perbandingan dengan ciri seperti itu
selanjutnya disebut perbandingan senilai. Jika diperhatikan lebih lanjut ternyata cirinya
adalah ”nilai perbandingannya searah”. Perhatikan fakta yang dimaksud.
Banyak Harga Pensil
Pensil dalam rupiah
1 300
2 600
3 900
4 1200
x y
Contoh Terapan
Harga 12 kg beras Rp72.000,00. Berapakah harga 18 kg beras tersebut?
Jawab
Karena makin banyak beras yang dibeli (dalam kg) berakibat makin banyak uang yang
dikeluarkan untuk membelinya dengan rasio proporsional dan konsisiten, maka antara
Latihan 2
1. Manakah diantara pernyataan-pernyataan berikut yang merupakan perbandingan senilai.
a. Berat kopi dengan harga kopi
b. Harga TV dengan ukuran layar tampilannya dalam inchi
c. Lama menjemur celana dengan banyak celana yang dijemur
d. Ukuran layar TV dengan dengan banyaknya obyek yang mampu diliput
e. Ukuran kWh (kiloWatt jam) pemakaian listrik dengan harga langganan tiap satuan kWh.
Perhatikan arah perbandingannya searah.Atas ke bawah data kiri dan data kanannilai perbandingannya sama.
2
1=
600
300,
3
1=
900
300,
3
2=
900
600, dst
Sehingga secara umum berlaku
x
1=
y
300
300
y=
1
x.
Marsudi Raharjo : Pecahan, Diklat Lanjut Guru SD 2013 9
PPPPTK MATEMATIKA YOGYAKARTA
2. Jika harga 15 kg jagung Rp60.000,00 maka harga 12 kg jagung itu adalah ....
3. Harga 5 buah buku Rp15.000,00. Berapakah harga 12 buku?
4. Untuk menempuh jarak 60 km sebuah mobil menghabiskan 5 liter bensin. Berapa liter
bensin yang diperlukan mobil itu untuk menempuh jarak 84 km?
5. Lama menjemur hingga kering dari 100 kg gabah di terik matahari adalah 3,5 jam. Jika kita
menjemur 400 kg gabah di tempat yang sama, maka lama pengeringannya adalah ... jam.
6. Tarif pulsa telepon untuk pemakaian 50 pulsa sebesar Rp24.000,00. Berapa rupiah tarif
untuk pemakaian 200 pulsa.
7. Jika biaya potong rambut untuk 6 orang Rp72.000,00. Tentukan biaya potong rambut untuk
15 orang.
8. Acara menginap di sebuah hotel selama 3 malam Rp1.950.000. Jika kita menginap di hotel
itu selama 8 malam, berapa rupiah uang yang harus kita bayarkan?
Kunci Latihan 2
1. a. ya b. tidak c. tidak d. tidak e. ya
2. Rp48.000,00
3. Rp36.000,00
4. 7 liter
5. 3,5 jam
6. Rp98.000,00
7. Rp180.000,00
8. Rp5.200.000,00
Marsudi Raharjo : Pecahan, Diklat Lanjut Guru SD 2013 10
PPPPTK MATEMATIKA YOGYAKARTA
BAB III
PERBANDINGAN BERBALIK NILAI
Apabila terdapat korespondensi satu-satu antara dua kelompok data dengan sifat nilai
perbandingan 2 elemen yang bersesuaian di kelompok kedua berbalik nilainya dengan nilai
perbandingan di kelompok pertama maka perbandingan antara kelompok pertama dengan
kelompok kedua disebut perbandingan berbalik nilai. Contoh berikut akan memberikan
gambaran yang lebih jelas yakni tentang tabel banyak ternak dan banyak hari yang
diperlukan untuk menghabiskan persediaan makanan yang jumlahnya tertentu:
Baris ke Banyak ternak Banyak hari untuk
(ekor) menghabiskan makanan
1
2
3
4
5
6 40
8 30
10 24
12 20
20 12
x y
Perhatikan bahwa perbandingan di kiri8
6sama nilainya dengan perbandingan di kanan
yang arahnya dibalik yaitu40
30sebab jika disederhanakan nilainya sama-sama
4
3.
A. Contoh-contoh Perhitungan
1. Untuk mengeringkan kaos oblong sebanyak 15 helai diperlukan waktu penjemuran 3
jam. Berapakah waktu penjemuran yang diperlukan untuk mengeringkan kaos oblong
sebanyak 30 helai?
Jawab
Secara nalar makin banyak kaos yang dijemur tidak berakibat makin lama atau makin
cepat waktu penjemurannya hingga kering. Maka antara banyak kaos dan waktu
penjemuran bukan merupakan perbandingan senilai dan sekaligus bukan merupakan
perbandingan berbalik nilai. Dengan demikian waktu penjemurannya tetap 3 jam untuk
berapapun jumlah kaos oblong yang dijemur.
Marsudi Raharjo : Pecahan, Diklat Lanjut Guru SD 2013 11
PPPPTK MATEMATIKA YOGYAKARTA
2. Dengan kecepatan tetap, untuk menempuh jarak 60 km sebuah mobil memerlukan
bensin 5 liter. Berapa liter bensin yang diperlukan untuk menempuh jarak 150 km?
Jawab
Karena semakin jauh jarak yang ditempuh suatu kendaraan bermotor akan berakibat
semakin banyak bahan bakar yang diperlukan dan semakin dekat jarak yang ditempuh
semakin sedikit bahan bakar yang diperlukan, maka jarak tempuh dan bahan bakar
merupakan perbandingan senilai. Sehingga kerangka berfikir untuk menyelesaikan soal
tersebut adalah sebagai berikut.
Jarak tempuh Konsumsi bensin60 km 5 liter
150 km x liter
Karena perbandingannya senilai maka
150
60=
x
5atau 60 x = 5(150)
x =60
)150(5=
60
750= 12,5.
Jadi untuk menempuh jarak 150 km diperlukan bensin 12,5 liter.
3. Dengan kecepatan mobil rata-rata 72 km/jam jarak antara dua kota dapat ditempuh
selama 5 jam. Berapakah kecepatan rata-rata mobil itu jika menginginkan lebih santai
dengan lama perjalanan 8 jam?
Jawab
Karena untuk menempuh jarak yang sama jika kecepatan ditambah berakibat waktu
tempuh berkurang, maka antara kecepatan dan waktu tempuh merupakan perbandingan
berbalik nilai. Sehingga kerangka berfikir untuk menyelesaikan soal tersebut adalah
seperti berikut.
Kecepatan (dalam km/jam) Waktu tempuh (dalam jam)
72 5
x 8
Marsudi Raharjo : Pecahan, Diklat Lanjut Guru SD 2013 12
PPPPTK MATEMATIKA YOGYAKARTA
Karena perbandingannya berbalik nilai maka
x
72=
5
8atau 8x = 72 (5)
x =8
)5(72= 9(5) = 45.
Sehingga untuk waktu tempuh 8 jam kecepatan rata-ratanya 45 km/jam.
4. Misalkan suatu pekerjaan mengecat tembok jika dikerjakan oleh 3 orang akan selesai
dalam 7 hari. Setelah pekerjaan berlangsung 3 hari, karena sesuatu hal pekerjaan terhenti
selama 2 hari. Jika pekerjaan itu ingin diselesaikan tepat waktu, berapa pekerja tambahan
yang diperlukan untuk menyelesaikan pekerjaan tersebut?
Jawab
Cara 1
Menggunakan Penalaran Lengkap Dengan Gambar
Misalkan pekerjaannya adalah mengecat tembok maka 1 pekerjaan yang dimaksud
adalah selesainya pengecatan tembok itu. Gambaran bagian-bagian pekerjaan oleh 3 orang
dan selesai dalam 7 hari itu adalah seperti berikut.
Perhatikan bahwa gambar (a) adalah sebuah tembok yang dikerjakan oleh 3 orang selesai
dalam 7 hari. Gambar (b) adalah pekerjaan yang telah diselesaikan oleh tiga orang pekerja
O1, O2, dan O3, dalam 3 hari pertama, gambar (c) adalah sisa pekerjaan yang belum
(a)
HariO1
O2
O3
1 2 3 4 5 6 7
(b) (c)
(d)
Sisapekerjaan
HariO1
O2
O3
1 2 3 4 5 6 7
Terse-lesaikan
dlm 3 hari
HariO1
O2
O3
1 2 3 4 5 6 7O1
O2
O3
1 2 3 4 5 6 7Hari
O5
O4
O6
Sisa waktu2 hari
Wt
Pt
Pi
Marsudi Raharjo : Pecahan, Diklat Lanjut Guru SD 2013 13
PPPPTK MATEMATIKA YOGYAKARTA
diselesaikan, seharusnya diselesaikan dalam 4 hari (hari ke-4 hingga hari ke-7), dan gambar
(d) adalah sisa pekerjaan yang seharusnya diselesaikan dalam 4 hari menjadi diselesaikan
dalam 2 hari terakhir sesuai target kerja 7 hari.
Ternyata dengan terhentinya pekerjaan selama 2 hari maka untuk menyelesaikan
pekerjaan sesuai terget waktu diperlukan tambahan pekerja O4, O5, dan O6, yakni sebanyak 3
orang.
Secara nalar, berdasarkan gambar tersebut adalah sebagai berikut. Pertama setiap 1 orang
dalam 1 hari menyelesaikan 1 keping pekerjaan dari seluruhnya sebanyak 37 keping = 21
keping. Jadi
1 keping =21
1pekerjaan, atau 1 keping =
73
1
pekerjaan.
Kedua, pada 3 hari pertama sebelum pekerjaan terhenti (mogok kerja), berarti pekerjaan
yang telah diselesaikan adalah
9 keping =21
9pekerjaan =
7
3pekerjaan.
Sehingga pekerjaan yang tersisa adalah sama dengan
(21 – 9) keping = 12 keping =21
12pekerjaan =
7
4pekerjaan.
Kini waktu yang tersisa = 7 hari – (3 hari kerja + 2 hari mogok)
= (7 – 3 – 2) hari
= 2 hari.
Selanjutnya dalam waktu 2 hari ini harus diselesaikan sisa pekerjaannya oleh 3 orang
semula plus n orang pekerja tambahan yakni sama dengan (3 + n) orang. Sehingga
21
2)3( n=
7
4
(3 + n) =7
4
2
21
3 + n = 6
n = 3.
Maka berarti tambahan pekerja yang diperlukan sebanyak 3 orang.
Kalikan semua ruas dengan bilangan2
21
Kurangi semua ruas dengan bilangan 3.
Marsudi Raharjo : Pecahan, Diklat Lanjut Guru SD 2013 14
PPPPTK MATEMATIKA YOGYAKARTA
Cara 2
Dengan Penalaran Tanpa Gambar
Karena 3 orang, 7 hari menyelesaikan 1 pekerjaan 1 pekerjaan = 37 keping.
1 keping =73
1
pekerjaan
Semula 3 orang (sebelum mogok) dalam 3 hari, maka volume kerja yang telah diselesaikan
= 33 keping
=73
33
pekerjaan
=7
3pekerjaan.
Maka volume kerja yang tersisa = (1 –7
3) pekerjaan =
7
4pekerjaan.
Waktu yang tersisa untuk menyelesaikan pekerjaan
= target waktu – (waktu kerja yang sudah dilalui – lama mogok)
= 7 – (3 + 2) hari
= 2 hari.
Karena dalam waktu 2 hari ini harus diselesaikan sisa pekerjaannya oleh 3 orang semula
plus n orang pekerja tambahan yakni sama dengan (3 + n) orang. Maka
21
2)3( n=
7
4
(3 + n) =7
4
2
21
3 + n = 6
n = 3.
Maka berarti tambahan pekerja yang diperlukan sebanyak 3 orang.
Cara 3
Dengan Menggunakan Rumus
Langkah-langkah penalaran di atas digunakan untuk menentukan bentuk umum
penyelesaian pekerjaan yang mengalami penghentian di tengah jadwal kerja yang seharusnya
berjalan.
Kalikan semua ruas dengan bilangan2
21
Kurangi semua ruas dengan bilangan 3.
Marsudi Raharjo : Pecahan, Diklat Lanjut Guru SD 2013 15
PPPPTK MATEMATIKA YOGYAKARTA
Secara umum jika Pt adalah banyaknya pekerja inti, Pt adalah banyaknya pekerja
tambahan, Tw adalah target waktu penyelesaian pekerjaan, Wb adalah waktu yang sudah
berjalan, dan Wt adalah lamanya waktu terhenti (waktu dihentikannya pekerjaan oleh karena
suatu hal) maka berlaku rumus
Pi
PtPi =
WtWbTw
WbTw
atau Pt =
tbw
ti
WWT
WP
Pembuktian rumus tersebut menggunakan prinsip sisa pekerjaan pada gambar ...(c) sama
dengan sisa pekerjaan pada gambar ...((d). Buktikan rumus tersebut!.
Sebagai ilustrasinya perhatikan gambar berikut.
Untuk masalah tersebut berarti:
Pekerja inti = 3 orang → Pi = 3
Pekerja tambahan = n orang → Pt = n
Target waktu penyelesaian → Tw = 7
Waktu kerja yang sudah berjalan, Wb = 3
Waktu pekerjaan terhenti → Wt = 2
Dengan menerapkan rumus
Pi
PtPi =
WtWbTw
WbTw
maka perhitungan berikutnya adalah
3
3 n=
237
37
(d)(c)
O1
O2
O3
1 2 3 4 5 6 7Hari
Sisapekerjaan
Pi
Tw
Wb
O1
O2
O3
1 2 3 4 5 6 7Hari
O5
O4
O6
Sisa waktu2 hari
Wt
Pt
Pi
Tw – Wb - Wt
Marsudi Raharjo : Pecahan, Diklat Lanjut Guru SD 2013 16
PPPPTK MATEMATIKA YOGYAKARTA
3
3 n= 2
3 + n = 6
n = 3.
Maka pekerja tambahan yang diperlukan sebanyak n = 3 orang.
Yakni O4, O5, O6, yaitu orang keempat hingga orang keenam.
Pekerjaan Oleh Tenaga Profesional dan Non-profesional
Pekerjaan yang dilakukan bersama oleh beberapa tenaga kerja profesional dan non-profesional
mempunyai prinsip yang sama dengan suatu pekerjaan yang dilakukan oleh 2 orang Ali dan
Budi. Ali bekerja dari kiri dan Budi bekerja dari kanan.
Contoh
Suatu pekerjaan jika dilakukan oleh 2 orang profesional akan selesai dalam waktu 3 hari.
Pekerjaan yang sama jika dilakukan oleh 3 orang non-profesional akan selesai dalam waktu 6
hari. Jika pekerjaan itu dikerjakan oleh 1 orang profesional dan 6 orang non-profesional, dalam
berapa hari pekerjaan itu dapat diselesaikan?
Jawab
Diketahui
2 orang profesional 1 pekerjaan = 3 hari
3 orang non-profes 1 pekerjaan = 6 hari
Ditanyakan
Jika 1 orang profesional dan 6 orang non-
profesional bekerjasama, dalam berapa hari
pekerjaan itu dapat diselesaikan?
Jawab
2 orang prof 3 hari 2 prof 1 hr =3
1pek
1 prof 1 hr =6
1pek.
Hr ke-1 Hr ke-2 Hr ke-3
TenagaProfes
Hrke-1
Hrke-2
Hrke-6
TenagaNon-Prof
Hrke-1
Hrke-2
Hrke-6
1orangProfes
Marsudi Raharjo : Pecahan, Diklat Lanjut Guru SD 2013 17
PPPPTK MATEMATIKA YOGYAKARTA
3 org non-prof 6 hari 3 non-p 1 hr =6
1pek
1 non-p 1 hr =18
1pek
Jika 1 orang profesional dan 6 orang non-profbekerjasama, maka
1 prof 1 hr =6
1pek =
18
3pekerjaan
6 non-p1 hr =18
6pek =
18
6pekerjaan
1 hr =18
3+
18
6=
18
9pekerjaan
Karena 1 hari =18
9pekerjaan, maka
1 pekerjaan =9
18hari = 2 hari .
Jadi jika pekerjaan itu dikerjakan oleh 1 orang profesional dan 6 orang non-profesional, maka
pekerjaan itu akan selesai dalam 2 hari.
Latihan 3
1. Katakan mana diantara pernyataan-pernyataan di bawah ini yang merupakan perbandingan
senilai, mana yang merupakan perbandingan berbalik nilai dan mana yang bukan keduanya.
a. banyaknya tenaga kerja dan waktu untuk menyelesaikan pekerjaan
b. banyaknya tenaga kerja dan upah yang harus diberikan
c. banyaknya baju yang dijemur di bawah sinar matahari dan waktu yang diperlukan
untuk mengeringkan baju-baju itu
d. banyaknya penumpang bus dengan banyaknya bahan bakar solar yang diperlukan
untuk menempuh jarak tertentu
e. ukuran inci televisi dengan harga televisi
f. banyaknya penghuni asrama dengan banyaknya hari untuk menghabiskan 100kg
beras
g. besarnya ukuran cc silinder sepeda motor dengan harga beli sepeda motor tersebut
1 prof & 6non-prof.
Hr ke-1Hr ke-3 Hr ke-2
6 orangnon-Prof
Hrke-1
Hrke-2
Hr ke-2 Hr ke-1
Hasil 1 prof& 6 non-prof
Marsudi Raharjo : Pecahan, Diklat Lanjut Guru SD 2013 18
PPPPTK MATEMATIKA YOGYAKARTA
2. Suatu persediaan beras jika dikonsumsi oleh 15 orang penghuni asrama habis dalam waktu
24 hari. Jika penghuni asrama bertambah menjadi 18 orang, berapa lama persediaan beras
itu akan habis dikonsumsi?
3. Suatu pekerjaan jika diselesaikan oleh 6 orang selesai dalam waktu 24 hari. Setelah
dikerjakan 4 hari ternyata pekerjaan itu harus terhenti selama 8 hari. Berapa banyak pekerja
tabahan yang diperlukan agar pekerjaan itu dapat diselesaikan tepat waktu.
4. Suatu pekerjaan jika diselesaikan oleh 4 orang selesai dalam waktu 20 hari. Setelah
dikerjakan 4 hari ternyata pekerjaan itu harus terhenti selama 12 hari. Berapa banyak
pekerja tambahan yang diperlukan agar pekerjaan itu dapat diselesaikan tepat waktu.
5. Seorang profesional dapat menyelesaikan suatu pekerjaan selama 48 hari. Sementara itu
seorang non-profesional dapat menyelesaikan pekerjaan yang sama selama 60 hari. Jika
pekerjaan itu dikerjakan oleh 2 orang profesional dan 5 orang non-profesional, dalam waktu
berapa hari pekerjaan itu dapat mereka selesaikan?. (Kunci ..8 hari).
6. Seorang profesional dapat menyelesaikan suatu pekerjaan selama 50 hari. Sementara itu
seorang non-profesional dapat menyelesaikan pekerjaan yang sama selama 90 hari. Jika
pekerjaan itu dikerjakan oleh 5 orang profesional dan 6 orang non-profesional, dalam waktu
berapa hari pekerjaan itu dapat mereka selesaikan?. (Kunci 6 hari)
7. Suatu asrama pelajar yang dihuni oleh 8. Suatu perjalanan dapat ditempuh dalam
10 orang menghabiskan persediaan beras waktu 3 jam dengan kecepatan rata- rata 70
yang ada dalam waktu 6 hari. Jika km/jam. Jika pengemudi menginginkan
penghuni asrama itu bertambah menjadi perjalanan yang lebih santai dengan waktu
20 orang, maka persediaan beras yang tempuh 5 jam, maka kecepatan rata-ratanya
ada itu akan habis dalam waktu .... harus diturunkan menjadi ... km/jam.
(A) 1 hari (A) 42
(B) 2 hari (B) 40
(C) 3 hari (C) 36
(D) 4 hari (D) 35
Marsudi Raharjo : Pecahan, Diklat Lanjut Guru SD 2013 19
PPPPTK MATEMATIKA YOGYAKARTA
9. Suatu pekerjaan dapat diselesaikan 10. Seorang pemborong dapat menyelesai-
dalam waktu 50 hari oleh 14 orang kan suatu pekerjaan dalam waktu 9 bu-
pekerja. Karena sesuatu hal, setelah lan dengan 140 pekerja. Jika pembo-
bekerja 10 hari pekerjaan terhenti rong tadi ingin menyelesaikan pekerja-
selama 12 hari. Agar pekerjaan dapat an dalam waktu 7 bulan, maka banyak
diselesaiakan trepat pada waktunya, pekerja yang diperlukan adalah ...
maka diperlukan tambahan pekerja (EBTANAS SMP 2000)
sebanyak ... orang (EBTANAS SMP 2004) A. 40 orang
A. 6 B. 80 orang
B. 10 C. 150 orang
C. 20 D. 180 orang
D. 34
11. Pemborong bangunan dapat menye- 12. Untuk menyelesaiakan suatu pekerjaan
lesaiakan sebuah gedung dalam waktu selama 72 hari diperlukan pekerja
9 bulan dengan 210 pekerja. Jika sebanyak 24 orang. Setelah dikerjakan
bangunan tersebut direncanakan selesai 30 hari pekerjaan dihentikan selama 6
dalam waktu 7 bulan, maka pemborong hari. Jika kemampuan bekerja setiap
tersebut harus menambah pekerja seba- orang sama, dan agar pekerjaan tersebut
nyak ... selesai sesuai rencana semula, maka
banyak pekerja tambahan yang diperlu-
A. 10 orang kan adalah ... (UN SMP 2010)
B. 12 orang A. 8 orang
C. 14 orang B. 6 orang
D. 15 orang. C. 4 orang
D. 2 orang.
Marsudi Raharjo : Pecahan, Diklat Lanjut Guru SD 2013 20
PPPPTK MATEMATIKA YOGYAKARTA
Kunci Latihan 3
1. a. berbalik nilai b. senilai c. bukan keduanya d. bukan keduanya
e. tidak sebab tidak konsisten f. berbalik nilai g. tidak sebab tidak konsisten
h. bukan keduanya
2. 20 hari
3. 4 orang
4. 20 orang
5. 8 hari
6. 6 hari
7. C. 3 hari
8. A. 42
9. A. 6 orang
10. D. 180 orang
11. B. 12 orang
12. C. 4 orang
Marsudi Raharjo : Pecahan, Diklat Lanjut Guru SD 2013 21
PPPPTK MATEMATIKA YOGYAKARTA
BAB III
PENUTUP
A. KESIMPULAN
Materi pecahan lanjut yang disampaikan pada makalah/modul ini terdiri dari perbandingan
umun, perbandingan senilai, dan perbandingan berbalik nilai, serta terapannya dalam
pemecahan masalah seperti misalnya setelah waktu pengerjaan berjalan sekian hari jika
terjadi pemogokan selama kurun waktu beberapa hari. Pemecahan masalah yang dimaksud
adalah bagaimana seorang pemilik pekerjaan dapat menyelesaikan pekerjaannya tepat
waktu. Tentunya dengan menambah banyak pekerja. Banyak pekerja tambahan yang
diperlukan agar pekerjaan dapat diselesaikan tepat waktu sesuai rencana itulah yang
dimaksud sebagai pemecahan masalah. Tujuannya agar peserta (Guru SD peserta diklat
lanjut) memiliki wawasan dengan pemecahan masalah yang tidak rutin. Harapannya adalah
agar mereka memiliki tambahan pengetahuan yang bersifat lebih dibanding guru SD
sesama mereka.
B. SARAN
Bagi para alumni diklat yang berkomitmen untuk merealisasikan komitmennya pada anak
didik agar mereka menjadi senang dengan pelajaran matematika diberikan saran-saran
sebagai berikut.
1. Laporkan kepada atasan langsung tentang pengalaman apa saja yang menarik selama
menerima sajian akademik dalam kegiatan pelatihan
2. Pikirkan perangkat kerja apa saja yang mendesak untuk dibuat dan segera dite-
rapkan/diimplementasikan di lapangan, jika sebagai guru pertama adalah yang untuk
diterapkan di kelas yang diampunya, kemudian kepada sesama guru di sekolahnya,
kemudian lagi pada kegiatan KKG dan terakhir barulah cita-cita ke lingkup yang lebih
luas
3. Ciptakan segera perangkat tersebut dengan niat baik, tulus, dan iklas demi anak bangsa
di masa depan
4. Diskusikan rencana tindak lanjut Anda pasca pelatihan kepada kepala sekolah dan
kepada pengawas
5. Bersemboyanlah “ Apa yang terbaik yang saya miliki dan dapat saya perbuat untuk
kemajuan bangsa ini sebagai andil dalam rangka mencerdaskan bangsa”. Tuhan maha
mengetahui dan pasti akan memberikan ganjaran yang patut disyukuri berupa sesuatu
yang tak terduga di masa depan.
Amin.
Marsudi Raharjo : Pecahan, Diklat Lanjut Guru SD 2013 22
PPPPTK MATEMATIKA YOGYAKARTA
DAFTAR PUSTAKA
Burton, David M. (1980). Elementary Number Theory. Boston: Allyn and Bacon, Inc.
Depdikbud. (1998). GBPP Matematika SD Kurikulum 1994. Jakarta: Depdikbud.
Depdiknas. (2003). Kurikulum 2004 (Standar Kompetensi Mata Pelajaran Matematika
SD/MI). Jakarta: Departemen Pendidikan Nasional.
Depdiknas. (2006). Kurikulum Tingkat Satuan Pendidikan (KTSP) Mata Pelajaran
Matematika SD/MI. Jakarta: Departemen Pendidikan Nasional.
---------------(2006). Kurikulum Tingkat Satuan Pendidikan (KTSP) Mata Pelajaran
Matematika SMP/MTs. Jakarta: Departemen Pendidikan Nasional.
Estiningsih, Elly. (1994). KBM Matematika di Sekolah Dasar (Makalah Penataran).
Yogyakarta: PPPG Matematika.
Niven, Ivan–Zuckerman, Hurbert S. (1978). An Intoduction to the Theory of Numbers
(Third Edition). New York: John Wiley & Sons, Inc.