BAB I PERBANDINGAN - · PDF filecontoh misalnya Ali berumur 12 tahun 5 bulan dan ... Pecahan,...

22
Marsudi Raharjo : Pecahan, Diklat Lanjut Guru SD 2013 1 PPPPTK MATEMATIKA YOGYAKARTA BAB I PERBANDINGAN A. Pengertian Perbandingan adalah istilah matematika untuk membandingkan dua obyek atau lebih. Sebagai contoh misalnya Ali berumur 12 tahun 5 bulan dan Budi 12 tahun 8 bulan. Pertanyaan yang diajukan adalah “mana yang lebih muda Ali atau Budi” atau “mana yang lebih tua diantara Ali dan Budi”. Jika pertanyaannya “mana yang lebih muda” maka jawabannya adalah Ali (12 tahun 5 bulan) lebih muda dari Budi (12 tahun 8 bulan). Secara matematika Jika A (Ali) dan B (Budi) maka menurut urutan naik: Perbandingan dua obyek dapat dilakukan menurut urutan naik atau menurut urutan turun. Karena pada garis bilangan di atas posisi Ali lebih kiri dari posisi Budi, maka ditulis “A < B”. Sebaliknya karena posisi Budi lebih kanan dari posisi Ali maka menurut urutan turun Budi lebih tua dari Ali. Sehingga secara lambang ditulis “B > A”. Perhatikan bahwa “A < Bsenilai dengan (equivalen/sama makna dengan) “B > A”. Secara lambang ditulis (A < B) (B > A) dibaca “(A < B) ekuivalen dengan (B > A)”. Pada makalah ini perbandingan yang dimaksud adalah perbandingan yang berupa rasio yakni perbandingan yang berupa pembagian dua ukuran obyek. Contohnya seperti berikut. 12 tahun 13 tahun 5 bln 8 bln B A p 3p 4p 180 cm 135 cm 90 cm 45 cm p = satuan pembanding.

Transcript of BAB I PERBANDINGAN - · PDF filecontoh misalnya Ali berumur 12 tahun 5 bulan dan ... Pecahan,...

Page 1: BAB I PERBANDINGAN - · PDF filecontoh misalnya Ali berumur 12 tahun 5 bulan dan ... Pecahan, Diklat Lanjut Guru SD ... Apabila terdapat dua kelompok data sedemikian sehinggga ada

Marsudi Raharjo : Pecahan, Diklat Lanjut Guru SD 2013 1

PPPPTK MATEMATIKA YOGYAKARTA

BAB I

PERBANDINGAN

A. Pengertian

Perbandingan adalah istilah matematika untuk membandingkan dua obyek atau lebih. Sebagai

contoh misalnya Ali berumur 12 tahun 5 bulan dan Budi 12 tahun 8 bulan. Pertanyaan yang

diajukan adalah “mana yang lebih muda Ali atau Budi” atau “mana yang lebih tua diantara

Ali dan Budi”. Jika pertanyaannya “mana yang lebih muda” maka jawabannya adalah Ali (12

tahun 5 bulan) lebih muda dari Budi (12 tahun 8 bulan). Secara matematika Jika A (Ali) dan B

(Budi) maka menurut urutan naik:

Perbandingan dua obyek dapat dilakukan menurut urutan naik atau menurut urutan turun.

Karena pada garis bilangan di atas posisi Ali lebih kiri dari posisi Budi, maka ditulis “A < B”.

Sebaliknya karena posisi Budi lebih kanan dari posisi Ali maka menurut urutan turun Budi

lebih tua dari Ali. Sehingga secara lambang ditulis “B > A”. Perhatikan bahwa “A < B” senilai

dengan (equivalen/sama makna dengan) “B > A”. Secara lambang ditulis (A < B) (B > A)

dibaca “(A < B) ekuivalen dengan (B > A)”.

Pada makalah ini perbandingan yang dimaksud adalah perbandingan yang berupa rasio yakni

perbandingan yang berupa pembagian dua ukuran obyek. Contohnya seperti berikut.

12tahun

13tahun

5bln

8bln

BA

p

3p

4p

180 cm

135 cm

90 cm

45 cmp = satuan pembanding.

Page 2: BAB I PERBANDINGAN - · PDF filecontoh misalnya Ali berumur 12 tahun 5 bulan dan ... Pecahan, Diklat Lanjut Guru SD ... Apabila terdapat dua kelompok data sedemikian sehinggga ada

Marsudi Raharjo : Pecahan, Diklat Lanjut Guru SD 2013 2

PPPPTK MATEMATIKA YOGYAKARTA

Tinggi Ali =180

135dari tinggi Budi, jika satuan pembandingnya p = 1 cm

=4

3

4

3

p

p, jika satuan pembandingnya p dengan p = 45 cm.

B. Terapan Perbandingan

Permasalahan perbandingan yang sering muncul dalam kehidupan sehari-hari antara lain adalah

perbandingan antara uang yang dimiliki seseorang terhadap orang yang lain. Perbandingannya

dapat berupa perbandingan yang satuan pembandingnya sama dan perbandingan yang satuan

pembandingnya berbeda.

1. Satuan Pembandingnya Sama

Contoh Masalah

Uang Ali dibanding uang Budi dibanding uang Cahya adalah 2:5:7. Jumlah uang mereka

Rp70.000,00. Tentukan uang mereka masing-masing. Berpakah selisih antara uang Ali

dengan uang Cahya?

Pemecahan Masalah

Jika uang Ali dibanding uang Budi dibanding uang Cahya adalah 2:5:7 maka Ali diwakili

oleh 2 petak, Budi 5 petak, dan Cahya 7 petak, atau A = 2p, B = 5p, dan C = 7p.

Selanjutnya jika yang diketahui adalah jumlah uangnya, maka petak-petak yang

bersesuaian disambungkan, sebaliknya jika yang diketahui adalah selisihnya maka petak-

petak yang bersesuaian disandingkan.

2. Satuan Pembandingnya Tak Sama

Contoh Masalah

Uang Ali dibanding dengan uang Budi 3 : 5.

Uang Budi dibanding uang Cahya 2 : 3

Jumlah uang mereka Rp62.000,00.

Berapa rupiah uang mereka masing-masing?

Page 3: BAB I PERBANDINGAN - · PDF filecontoh misalnya Ali berumur 12 tahun 5 bulan dan ... Pecahan, Diklat Lanjut Guru SD ... Apabila terdapat dua kelompok data sedemikian sehinggga ada

Marsudi Raharjo : Pecahan, Diklat Lanjut Guru SD 2013 3

PPPPTK MATEMATIKA YOGYAKARTA

Jawab

Yang diketahui adalah (1) perbandingan uang Ali banding Budi 3 : 5

(2) perbandingan uang Budi dan Cahya 2 : 3

(3) jumlah uang mereka Rp62.000,00.

Yang ditanyakan adalah: uang mereka masing-masing

a. Kerangka berpikir informal

Karena perbandingan Ali dengan Budi 3 : 5, maka Ali diwakili oleh 3 petak yang

masing-masing petaknya berukuran p dan Budi diwakili oleh 5 petak yang masing-

masing petaknya berukuran p, sehingga Ali = 3p dan Budi = 5p (lihat gambar).

Karena perbandingan Budi dengan Cahya 2 : 3, maka Budi diwakili oleh 2 petak baruyang masing-masing petaknya berukuran q dan Cahya diwakili oleh 3 petak yang

masing-masing petaknya juga berukuran q, sehingga Budi = 2q dan cahya = 3q (lihat

gambar).

Dari gambar milik Budi kita peroleh kesamaan 5p = 2q maka q = 25

p. Selanjutnya

semua satuan pembandingnya kita nyatakan dalam p. Hasilnya

Ali : Budi : Cahya = 3p : 5p : 3q : dengan q = 25

p.

= 3p : 5p : 3×( 25

p)

= 3p: 5p : 215

p

= 6 : 10 : 15 .

Perbandingan yang baru ini mempunyai hubungan dengan sebelumnya. Gambarannya

adalah sebagai berikut.

CahyaAli Budi

q

p p p

q q q q

jumlahnya = 62.000

Ali Budi Cahya

qp p p q q q q

Page 4: BAB I PERBANDINGAN - · PDF filecontoh misalnya Ali berumur 12 tahun 5 bulan dan ... Pecahan, Diklat Lanjut Guru SD ... Apabila terdapat dua kelompok data sedemikian sehinggga ada

Marsudi Raharjo : Pecahan, Diklat Lanjut Guru SD 2013 4

PPPPTK MATEMATIKA YOGYAKARTA

Karena jumlahnya diketahui = 62.000 rupiah, maka berdasarkan gambar mudah dilihatbahwa

Uang Ali =15106

6

× 62.000 =

31

6× 62.000 = 12.000 rupiah.

Uang Budi =15106

10

× 62.000 =

31

10× 62.000 = 20.000 rupiah.

Uang Cahya =15106

15

× 62.000 =

31

15× 62.000 = 30.000 rupiah.

b. Kerangka berpikir formal

Karena perbandingan uang Ali dan Budi = 3 : 5, maka Ali = 3p dan Budi = 5p.

Karena perbandingan uang Budi dan Cahya = 2 : 3, maka Budi = 2q dan Cahya = 3q.

Maka uang Budi = 5p = 2q.

Dari 5p = 2q diperoleh 2q = 5p, atau

q = 25

p.

Karena perbandingan Ali : Budi = 3p : 5p, dan Budi : Cahya = 2q : 3q , maka

Jika dibandingkan, maka Ali : Budi : Cahya3p : 5p

2q : 3q.

Dengan demikian maka perbandingan uang

Ali : Budi : Cahya = 3p : 5p : 3q ; dengan q = 25

p.

= 3p : 5p : 3 ( 25

p)

= 3p : 5p : 3 ( 25

p)

= 3p: 5p : 215

p

= 6 : 10 : 15 .

Ali Budi Cahya

jumlahnya = 31 petak = 62.000

6 10 15

Total = 62.000 rupiah.

+

Page 5: BAB I PERBANDINGAN - · PDF filecontoh misalnya Ali berumur 12 tahun 5 bulan dan ... Pecahan, Diklat Lanjut Guru SD ... Apabila terdapat dua kelompok data sedemikian sehinggga ada

Marsudi Raharjo : Pecahan, Diklat Lanjut Guru SD 2013 5

PPPPTK MATEMATIKA YOGYAKARTA

Karena jumlah uang mereka Rp62.000,00 maka

Uang Budi =15106

10

62.000 =

31

10 62.000 = 20.000 rupiah.

Uang Ali =15106

6

62.000 =

31

6 62.000 = 12.000 rupiah.

Uang Cahya =15106

15

62.000 =

31

15 62.000 = 30.000 rupiah.

c. Cara cepat

Uang Ali : Budi = 3 : 5Budi : Cahya = 2 : 3 Uang

Ali : Budi : Cahya = 6 : 10 : 15

Karena jumlah uang mereka Rp62.000,00 maka

Uang Ali =31

6× 62.000 = 12.000 rupiah.

Uang Budi =31

10× 62.000 = 20.000 rupiah.

Uang Cahya =31

15× 62.000 = 30.000 rupiah.

Latihan 2

1. Harga 4 buah buku Rp10.000,00 . Berapakah harga 11 buku?

2. Harga 7 bungkus rokok Rp28.000,00. Berapakah harga 25 bungkus rokok jenis itu?

3. Uang Ali dan uang Budi jumlahnya Rp45.000,00. Perbandingan uang Ali dan Budi 2 : 3.

Berapa uang mereka masing-masing?

4. Selisih uang Ali dan uang Budi Rp30.000,00. Perbandingan uang Ali dan uang Budi 2 : 7.

Berapa rupiah uang mereka masing-masing?

5. Uang Ali, uang Budi, dan uang Cahya jumlahnya Rp50.000,00. Perbandingan uang Ali,

uang Budi, dan uang Cahya Budi 4 : 7 : 9. Berapa rupiah uang mereka masing-masing?

Total = 62.000 rupiah.

+

6

1510

31

Total = 62.000 rupiah.

+

Page 6: BAB I PERBANDINGAN - · PDF filecontoh misalnya Ali berumur 12 tahun 5 bulan dan ... Pecahan, Diklat Lanjut Guru SD ... Apabila terdapat dua kelompok data sedemikian sehinggga ada

Marsudi Raharjo : Pecahan, Diklat Lanjut Guru SD 2013 6

PPPPTK MATEMATIKA YOGYAKARTA

6. Uang Ali, uang Budi, dan uang Cahya jumlahnya Rp60.000,00. Perbandingan uang Ali,

Budi, dan Cahya adalah 2 : 3 : 7. Berapa rupiah uang mereka masing-masing?

7. Uang Ali, uang Budi, dan uang Cahya jumlahnya Rp60.000,00. Perbandingan uang Ali,

uang Budi, dan uang Cahya adalah 5 : 6 : 9. Tentukan jumlah uang Budi dan uang Cahya.

8. Perbandingan uang Ali dan uang Budi 3 : 7, uang Budi dan uang Cahya 3 : 2. Jika jumlah

uang mereka Rp44.000,00. Tentukan uang mereka masing-masing.

9. Perbandingan uang Ali dan uang Budi 3 : 7, uang Budi dan uang Cahya 3 : 2. Jika selisih

uang Ali dan Cahya Rp10.000,00. Tentukan uang mereka masing-masing. Berapa pula

jumlah uang mereka?

10.Uang Andi, uang Bakri, dan uang Cahya perbandingannya 3 : 5 : 8. Jika jumlah uang Andi

dan Bakri Rp40.000,00. Tentukan jumlah uang Bakri dan Cahya.

Kunci Latihan 1

1. Rp27.500,00 6. Rp10.000,00; Rp15.000,00; Rp35.000,00.

2. Rp100.000,00 7. Rp45.000,00.

3. Rp18.500,00 dan Rp27.500,00 8. Rp9.000,00 ; Rp21.000,00 ; Rp14.000,00

4. Rp12.000,00 dan Rp42.000,00 9. Rp18.000,00 ; Rp42.000,00 ; Rp28.000,0

5. Rp10.000,00; Rp17.500,00; Rp22.500,00. 10. Rp65.000,00.

Page 7: BAB I PERBANDINGAN - · PDF filecontoh misalnya Ali berumur 12 tahun 5 bulan dan ... Pecahan, Diklat Lanjut Guru SD ... Apabila terdapat dua kelompok data sedemikian sehinggga ada

Marsudi Raharjo : Pecahan, Diklat Lanjut Guru SD 2013 7

PPPPTK MATEMATIKA YOGYAKARTA

BAB II

PERBANDINGAN SENILAI

A. PENGERTIAN

Apabila terdapat dua kelompok data sedemikian sehinggga ada korespondensi satu-satu

antara kedua kelompok data tersebut dengan sifat nilai perbandingan setiap dua elemen/

unsur pada kelompok kiri sama dengan perbandingan 2 elemen yang bersesuaian pada

kelompok kanan maka kedua kelompok data itu disebut berbanding senilai.

B. PERBANDINGAN SENILAI

Ciri perbandingan senilai adalah jika nilai banyak obyek di kelompok kiri semakin

bertambah berakibat nilai banyak obyek yang bersesuaian di kelompok kanan juga menjadi

semakin bertambah. Salah satu contohnya adalah seperti berikut.

Contoh:

Baris ke Banyak Harga Pensil

Pensil dalam rupiah

1

2

3

4

5

1 300

2 600

3 900

4 1200

x y

Dari data tersebut perhatikan bahwa:

2

1

4

2

4-kebarispensilBanyak

2-kebarispensilBanyak

2

1

1200

600

4-kebarispensilBanyak

2-kebarispensilBanyak

Tampak bahwa nilai perbandingan banyak pensil pada baris ke – 2 dan ke – 4 = nilai

perbandingan harga pensil pada dua baris yang bersesuaian. Contoh lain misalnya:

Page 8: BAB I PERBANDINGAN - · PDF filecontoh misalnya Ali berumur 12 tahun 5 bulan dan ... Pecahan, Diklat Lanjut Guru SD ... Apabila terdapat dua kelompok data sedemikian sehinggga ada

Marsudi Raharjo : Pecahan, Diklat Lanjut Guru SD 2013 8

PPPPTK MATEMATIKA YOGYAKARTA

900

300

3-kebarispensilBanyak

1-kebarispensilBanyak

3

1

900

300

3-kebarispensilBanyak

1-kebarispensilBanyak

Ternyata nilai perbandingan banyak pensil pada baris ke – 1 dan ke – 3 = nilai

perbandingan harga pensil pada dua baris yang bersesuaian. Demikian seterusnya bila

diselidiki lebih lanjut akan selalu bersifat seperti itu. Perbandingan dengan ciri seperti itu

selanjutnya disebut perbandingan senilai. Jika diperhatikan lebih lanjut ternyata cirinya

adalah ”nilai perbandingannya searah”. Perhatikan fakta yang dimaksud.

Banyak Harga Pensil

Pensil dalam rupiah

1 300

2 600

3 900

4 1200

x y

Contoh Terapan

Harga 12 kg beras Rp72.000,00. Berapakah harga 18 kg beras tersebut?

Jawab

Karena makin banyak beras yang dibeli (dalam kg) berakibat makin banyak uang yang

dikeluarkan untuk membelinya dengan rasio proporsional dan konsisiten, maka antara

Latihan 2

1. Manakah diantara pernyataan-pernyataan berikut yang merupakan perbandingan senilai.

a. Berat kopi dengan harga kopi

b. Harga TV dengan ukuran layar tampilannya dalam inchi

c. Lama menjemur celana dengan banyak celana yang dijemur

d. Ukuran layar TV dengan dengan banyaknya obyek yang mampu diliput

e. Ukuran kWh (kiloWatt jam) pemakaian listrik dengan harga langganan tiap satuan kWh.

Perhatikan arah perbandingannya searah.Atas ke bawah data kiri dan data kanannilai perbandingannya sama.

2

1=

600

300,

3

1=

900

300,

3

2=

900

600, dst

Sehingga secara umum berlaku

x

1=

y

300

300

y=

1

x.

Page 9: BAB I PERBANDINGAN - · PDF filecontoh misalnya Ali berumur 12 tahun 5 bulan dan ... Pecahan, Diklat Lanjut Guru SD ... Apabila terdapat dua kelompok data sedemikian sehinggga ada

Marsudi Raharjo : Pecahan, Diklat Lanjut Guru SD 2013 9

PPPPTK MATEMATIKA YOGYAKARTA

2. Jika harga 15 kg jagung Rp60.000,00 maka harga 12 kg jagung itu adalah ....

3. Harga 5 buah buku Rp15.000,00. Berapakah harga 12 buku?

4. Untuk menempuh jarak 60 km sebuah mobil menghabiskan 5 liter bensin. Berapa liter

bensin yang diperlukan mobil itu untuk menempuh jarak 84 km?

5. Lama menjemur hingga kering dari 100 kg gabah di terik matahari adalah 3,5 jam. Jika kita

menjemur 400 kg gabah di tempat yang sama, maka lama pengeringannya adalah ... jam.

6. Tarif pulsa telepon untuk pemakaian 50 pulsa sebesar Rp24.000,00. Berapa rupiah tarif

untuk pemakaian 200 pulsa.

7. Jika biaya potong rambut untuk 6 orang Rp72.000,00. Tentukan biaya potong rambut untuk

15 orang.

8. Acara menginap di sebuah hotel selama 3 malam Rp1.950.000. Jika kita menginap di hotel

itu selama 8 malam, berapa rupiah uang yang harus kita bayarkan?

Kunci Latihan 2

1. a. ya b. tidak c. tidak d. tidak e. ya

2. Rp48.000,00

3. Rp36.000,00

4. 7 liter

5. 3,5 jam

6. Rp98.000,00

7. Rp180.000,00

8. Rp5.200.000,00

Page 10: BAB I PERBANDINGAN - · PDF filecontoh misalnya Ali berumur 12 tahun 5 bulan dan ... Pecahan, Diklat Lanjut Guru SD ... Apabila terdapat dua kelompok data sedemikian sehinggga ada

Marsudi Raharjo : Pecahan, Diklat Lanjut Guru SD 2013 10

PPPPTK MATEMATIKA YOGYAKARTA

BAB III

PERBANDINGAN BERBALIK NILAI

Apabila terdapat korespondensi satu-satu antara dua kelompok data dengan sifat nilai

perbandingan 2 elemen yang bersesuaian di kelompok kedua berbalik nilainya dengan nilai

perbandingan di kelompok pertama maka perbandingan antara kelompok pertama dengan

kelompok kedua disebut perbandingan berbalik nilai. Contoh berikut akan memberikan

gambaran yang lebih jelas yakni tentang tabel banyak ternak dan banyak hari yang

diperlukan untuk menghabiskan persediaan makanan yang jumlahnya tertentu:

Baris ke Banyak ternak Banyak hari untuk

(ekor) menghabiskan makanan

1

2

3

4

5

6 40

8 30

10 24

12 20

20 12

x y

Perhatikan bahwa perbandingan di kiri8

6sama nilainya dengan perbandingan di kanan

yang arahnya dibalik yaitu40

30sebab jika disederhanakan nilainya sama-sama

4

3.

A. Contoh-contoh Perhitungan

1. Untuk mengeringkan kaos oblong sebanyak 15 helai diperlukan waktu penjemuran 3

jam. Berapakah waktu penjemuran yang diperlukan untuk mengeringkan kaos oblong

sebanyak 30 helai?

Jawab

Secara nalar makin banyak kaos yang dijemur tidak berakibat makin lama atau makin

cepat waktu penjemurannya hingga kering. Maka antara banyak kaos dan waktu

penjemuran bukan merupakan perbandingan senilai dan sekaligus bukan merupakan

perbandingan berbalik nilai. Dengan demikian waktu penjemurannya tetap 3 jam untuk

berapapun jumlah kaos oblong yang dijemur.

Page 11: BAB I PERBANDINGAN - · PDF filecontoh misalnya Ali berumur 12 tahun 5 bulan dan ... Pecahan, Diklat Lanjut Guru SD ... Apabila terdapat dua kelompok data sedemikian sehinggga ada

Marsudi Raharjo : Pecahan, Diklat Lanjut Guru SD 2013 11

PPPPTK MATEMATIKA YOGYAKARTA

2. Dengan kecepatan tetap, untuk menempuh jarak 60 km sebuah mobil memerlukan

bensin 5 liter. Berapa liter bensin yang diperlukan untuk menempuh jarak 150 km?

Jawab

Karena semakin jauh jarak yang ditempuh suatu kendaraan bermotor akan berakibat

semakin banyak bahan bakar yang diperlukan dan semakin dekat jarak yang ditempuh

semakin sedikit bahan bakar yang diperlukan, maka jarak tempuh dan bahan bakar

merupakan perbandingan senilai. Sehingga kerangka berfikir untuk menyelesaikan soal

tersebut adalah sebagai berikut.

Jarak tempuh Konsumsi bensin60 km 5 liter

150 km x liter

Karena perbandingannya senilai maka

150

60=

x

5atau 60 x = 5(150)

x =60

)150(5=

60

750= 12,5.

Jadi untuk menempuh jarak 150 km diperlukan bensin 12,5 liter.

3. Dengan kecepatan mobil rata-rata 72 km/jam jarak antara dua kota dapat ditempuh

selama 5 jam. Berapakah kecepatan rata-rata mobil itu jika menginginkan lebih santai

dengan lama perjalanan 8 jam?

Jawab

Karena untuk menempuh jarak yang sama jika kecepatan ditambah berakibat waktu

tempuh berkurang, maka antara kecepatan dan waktu tempuh merupakan perbandingan

berbalik nilai. Sehingga kerangka berfikir untuk menyelesaikan soal tersebut adalah

seperti berikut.

Kecepatan (dalam km/jam) Waktu tempuh (dalam jam)

72 5

x 8

Page 12: BAB I PERBANDINGAN - · PDF filecontoh misalnya Ali berumur 12 tahun 5 bulan dan ... Pecahan, Diklat Lanjut Guru SD ... Apabila terdapat dua kelompok data sedemikian sehinggga ada

Marsudi Raharjo : Pecahan, Diklat Lanjut Guru SD 2013 12

PPPPTK MATEMATIKA YOGYAKARTA

Karena perbandingannya berbalik nilai maka

x

72=

5

8atau 8x = 72 (5)

x =8

)5(72= 9(5) = 45.

Sehingga untuk waktu tempuh 8 jam kecepatan rata-ratanya 45 km/jam.

4. Misalkan suatu pekerjaan mengecat tembok jika dikerjakan oleh 3 orang akan selesai

dalam 7 hari. Setelah pekerjaan berlangsung 3 hari, karena sesuatu hal pekerjaan terhenti

selama 2 hari. Jika pekerjaan itu ingin diselesaikan tepat waktu, berapa pekerja tambahan

yang diperlukan untuk menyelesaikan pekerjaan tersebut?

Jawab

Cara 1

Menggunakan Penalaran Lengkap Dengan Gambar

Misalkan pekerjaannya adalah mengecat tembok maka 1 pekerjaan yang dimaksud

adalah selesainya pengecatan tembok itu. Gambaran bagian-bagian pekerjaan oleh 3 orang

dan selesai dalam 7 hari itu adalah seperti berikut.

Perhatikan bahwa gambar (a) adalah sebuah tembok yang dikerjakan oleh 3 orang selesai

dalam 7 hari. Gambar (b) adalah pekerjaan yang telah diselesaikan oleh tiga orang pekerja

O1, O2, dan O3, dalam 3 hari pertama, gambar (c) adalah sisa pekerjaan yang belum

(a)

HariO1

O2

O3

1 2 3 4 5 6 7

(b) (c)

(d)

Sisapekerjaan

HariO1

O2

O3

1 2 3 4 5 6 7

Terse-lesaikan

dlm 3 hari

HariO1

O2

O3

1 2 3 4 5 6 7O1

O2

O3

1 2 3 4 5 6 7Hari

O5

O4

O6

Sisa waktu2 hari

Wt

Pt

Pi

Page 13: BAB I PERBANDINGAN - · PDF filecontoh misalnya Ali berumur 12 tahun 5 bulan dan ... Pecahan, Diklat Lanjut Guru SD ... Apabila terdapat dua kelompok data sedemikian sehinggga ada

Marsudi Raharjo : Pecahan, Diklat Lanjut Guru SD 2013 13

PPPPTK MATEMATIKA YOGYAKARTA

diselesaikan, seharusnya diselesaikan dalam 4 hari (hari ke-4 hingga hari ke-7), dan gambar

(d) adalah sisa pekerjaan yang seharusnya diselesaikan dalam 4 hari menjadi diselesaikan

dalam 2 hari terakhir sesuai target kerja 7 hari.

Ternyata dengan terhentinya pekerjaan selama 2 hari maka untuk menyelesaikan

pekerjaan sesuai terget waktu diperlukan tambahan pekerja O4, O5, dan O6, yakni sebanyak 3

orang.

Secara nalar, berdasarkan gambar tersebut adalah sebagai berikut. Pertama setiap 1 orang

dalam 1 hari menyelesaikan 1 keping pekerjaan dari seluruhnya sebanyak 37 keping = 21

keping. Jadi

1 keping =21

1pekerjaan, atau 1 keping =

73

1

pekerjaan.

Kedua, pada 3 hari pertama sebelum pekerjaan terhenti (mogok kerja), berarti pekerjaan

yang telah diselesaikan adalah

9 keping =21

9pekerjaan =

7

3pekerjaan.

Sehingga pekerjaan yang tersisa adalah sama dengan

(21 – 9) keping = 12 keping =21

12pekerjaan =

7

4pekerjaan.

Kini waktu yang tersisa = 7 hari – (3 hari kerja + 2 hari mogok)

= (7 – 3 – 2) hari

= 2 hari.

Selanjutnya dalam waktu 2 hari ini harus diselesaikan sisa pekerjaannya oleh 3 orang

semula plus n orang pekerja tambahan yakni sama dengan (3 + n) orang. Sehingga

21

2)3( n=

7

4

(3 + n) =7

4

2

21

3 + n = 6

n = 3.

Maka berarti tambahan pekerja yang diperlukan sebanyak 3 orang.

Kalikan semua ruas dengan bilangan2

21

Kurangi semua ruas dengan bilangan 3.

Page 14: BAB I PERBANDINGAN - · PDF filecontoh misalnya Ali berumur 12 tahun 5 bulan dan ... Pecahan, Diklat Lanjut Guru SD ... Apabila terdapat dua kelompok data sedemikian sehinggga ada

Marsudi Raharjo : Pecahan, Diklat Lanjut Guru SD 2013 14

PPPPTK MATEMATIKA YOGYAKARTA

Cara 2

Dengan Penalaran Tanpa Gambar

Karena 3 orang, 7 hari menyelesaikan 1 pekerjaan 1 pekerjaan = 37 keping.

1 keping =73

1

pekerjaan

Semula 3 orang (sebelum mogok) dalam 3 hari, maka volume kerja yang telah diselesaikan

= 33 keping

=73

33

pekerjaan

=7

3pekerjaan.

Maka volume kerja yang tersisa = (1 –7

3) pekerjaan =

7

4pekerjaan.

Waktu yang tersisa untuk menyelesaikan pekerjaan

= target waktu – (waktu kerja yang sudah dilalui – lama mogok)

= 7 – (3 + 2) hari

= 2 hari.

Karena dalam waktu 2 hari ini harus diselesaikan sisa pekerjaannya oleh 3 orang semula

plus n orang pekerja tambahan yakni sama dengan (3 + n) orang. Maka

21

2)3( n=

7

4

(3 + n) =7

4

2

21

3 + n = 6

n = 3.

Maka berarti tambahan pekerja yang diperlukan sebanyak 3 orang.

Cara 3

Dengan Menggunakan Rumus

Langkah-langkah penalaran di atas digunakan untuk menentukan bentuk umum

penyelesaian pekerjaan yang mengalami penghentian di tengah jadwal kerja yang seharusnya

berjalan.

Kalikan semua ruas dengan bilangan2

21

Kurangi semua ruas dengan bilangan 3.

Page 15: BAB I PERBANDINGAN - · PDF filecontoh misalnya Ali berumur 12 tahun 5 bulan dan ... Pecahan, Diklat Lanjut Guru SD ... Apabila terdapat dua kelompok data sedemikian sehinggga ada

Marsudi Raharjo : Pecahan, Diklat Lanjut Guru SD 2013 15

PPPPTK MATEMATIKA YOGYAKARTA

Secara umum jika Pt adalah banyaknya pekerja inti, Pt adalah banyaknya pekerja

tambahan, Tw adalah target waktu penyelesaian pekerjaan, Wb adalah waktu yang sudah

berjalan, dan Wt adalah lamanya waktu terhenti (waktu dihentikannya pekerjaan oleh karena

suatu hal) maka berlaku rumus

Pi

PtPi =

WtWbTw

WbTw

atau Pt =

tbw

ti

WWT

WP

Pembuktian rumus tersebut menggunakan prinsip sisa pekerjaan pada gambar ...(c) sama

dengan sisa pekerjaan pada gambar ...((d). Buktikan rumus tersebut!.

Sebagai ilustrasinya perhatikan gambar berikut.

Untuk masalah tersebut berarti:

Pekerja inti = 3 orang → Pi = 3

Pekerja tambahan = n orang → Pt = n

Target waktu penyelesaian → Tw = 7

Waktu kerja yang sudah berjalan, Wb = 3

Waktu pekerjaan terhenti → Wt = 2

Dengan menerapkan rumus

Pi

PtPi =

WtWbTw

WbTw

maka perhitungan berikutnya adalah

3

3 n=

237

37

(d)(c)

O1

O2

O3

1 2 3 4 5 6 7Hari

Sisapekerjaan

Pi

Tw

Wb

O1

O2

O3

1 2 3 4 5 6 7Hari

O5

O4

O6

Sisa waktu2 hari

Wt

Pt

Pi

Tw – Wb - Wt

Page 16: BAB I PERBANDINGAN - · PDF filecontoh misalnya Ali berumur 12 tahun 5 bulan dan ... Pecahan, Diklat Lanjut Guru SD ... Apabila terdapat dua kelompok data sedemikian sehinggga ada

Marsudi Raharjo : Pecahan, Diklat Lanjut Guru SD 2013 16

PPPPTK MATEMATIKA YOGYAKARTA

3

3 n= 2

3 + n = 6

n = 3.

Maka pekerja tambahan yang diperlukan sebanyak n = 3 orang.

Yakni O4, O5, O6, yaitu orang keempat hingga orang keenam.

Pekerjaan Oleh Tenaga Profesional dan Non-profesional

Pekerjaan yang dilakukan bersama oleh beberapa tenaga kerja profesional dan non-profesional

mempunyai prinsip yang sama dengan suatu pekerjaan yang dilakukan oleh 2 orang Ali dan

Budi. Ali bekerja dari kiri dan Budi bekerja dari kanan.

Contoh

Suatu pekerjaan jika dilakukan oleh 2 orang profesional akan selesai dalam waktu 3 hari.

Pekerjaan yang sama jika dilakukan oleh 3 orang non-profesional akan selesai dalam waktu 6

hari. Jika pekerjaan itu dikerjakan oleh 1 orang profesional dan 6 orang non-profesional, dalam

berapa hari pekerjaan itu dapat diselesaikan?

Jawab

Diketahui

2 orang profesional 1 pekerjaan = 3 hari

3 orang non-profes 1 pekerjaan = 6 hari

Ditanyakan

Jika 1 orang profesional dan 6 orang non-

profesional bekerjasama, dalam berapa hari

pekerjaan itu dapat diselesaikan?

Jawab

2 orang prof 3 hari 2 prof 1 hr =3

1pek

1 prof 1 hr =6

1pek.

Hr ke-1 Hr ke-2 Hr ke-3

TenagaProfes

Hrke-1

Hrke-2

Hrke-6

TenagaNon-Prof

Hrke-1

Hrke-2

Hrke-6

1orangProfes

Page 17: BAB I PERBANDINGAN - · PDF filecontoh misalnya Ali berumur 12 tahun 5 bulan dan ... Pecahan, Diklat Lanjut Guru SD ... Apabila terdapat dua kelompok data sedemikian sehinggga ada

Marsudi Raharjo : Pecahan, Diklat Lanjut Guru SD 2013 17

PPPPTK MATEMATIKA YOGYAKARTA

3 org non-prof 6 hari 3 non-p 1 hr =6

1pek

1 non-p 1 hr =18

1pek

Jika 1 orang profesional dan 6 orang non-profbekerjasama, maka

1 prof 1 hr =6

1pek =

18

3pekerjaan

6 non-p1 hr =18

6pek =

18

6pekerjaan

1 hr =18

3+

18

6=

18

9pekerjaan

Karena 1 hari =18

9pekerjaan, maka

1 pekerjaan =9

18hari = 2 hari .

Jadi jika pekerjaan itu dikerjakan oleh 1 orang profesional dan 6 orang non-profesional, maka

pekerjaan itu akan selesai dalam 2 hari.

Latihan 3

1. Katakan mana diantara pernyataan-pernyataan di bawah ini yang merupakan perbandingan

senilai, mana yang merupakan perbandingan berbalik nilai dan mana yang bukan keduanya.

a. banyaknya tenaga kerja dan waktu untuk menyelesaikan pekerjaan

b. banyaknya tenaga kerja dan upah yang harus diberikan

c. banyaknya baju yang dijemur di bawah sinar matahari dan waktu yang diperlukan

untuk mengeringkan baju-baju itu

d. banyaknya penumpang bus dengan banyaknya bahan bakar solar yang diperlukan

untuk menempuh jarak tertentu

e. ukuran inci televisi dengan harga televisi

f. banyaknya penghuni asrama dengan banyaknya hari untuk menghabiskan 100kg

beras

g. besarnya ukuran cc silinder sepeda motor dengan harga beli sepeda motor tersebut

1 prof & 6non-prof.

Hr ke-1Hr ke-3 Hr ke-2

6 orangnon-Prof

Hrke-1

Hrke-2

Hr ke-2 Hr ke-1

Hasil 1 prof& 6 non-prof

Page 18: BAB I PERBANDINGAN - · PDF filecontoh misalnya Ali berumur 12 tahun 5 bulan dan ... Pecahan, Diklat Lanjut Guru SD ... Apabila terdapat dua kelompok data sedemikian sehinggga ada

Marsudi Raharjo : Pecahan, Diklat Lanjut Guru SD 2013 18

PPPPTK MATEMATIKA YOGYAKARTA

2. Suatu persediaan beras jika dikonsumsi oleh 15 orang penghuni asrama habis dalam waktu

24 hari. Jika penghuni asrama bertambah menjadi 18 orang, berapa lama persediaan beras

itu akan habis dikonsumsi?

3. Suatu pekerjaan jika diselesaikan oleh 6 orang selesai dalam waktu 24 hari. Setelah

dikerjakan 4 hari ternyata pekerjaan itu harus terhenti selama 8 hari. Berapa banyak pekerja

tabahan yang diperlukan agar pekerjaan itu dapat diselesaikan tepat waktu.

4. Suatu pekerjaan jika diselesaikan oleh 4 orang selesai dalam waktu 20 hari. Setelah

dikerjakan 4 hari ternyata pekerjaan itu harus terhenti selama 12 hari. Berapa banyak

pekerja tambahan yang diperlukan agar pekerjaan itu dapat diselesaikan tepat waktu.

5. Seorang profesional dapat menyelesaikan suatu pekerjaan selama 48 hari. Sementara itu

seorang non-profesional dapat menyelesaikan pekerjaan yang sama selama 60 hari. Jika

pekerjaan itu dikerjakan oleh 2 orang profesional dan 5 orang non-profesional, dalam waktu

berapa hari pekerjaan itu dapat mereka selesaikan?. (Kunci ..8 hari).

6. Seorang profesional dapat menyelesaikan suatu pekerjaan selama 50 hari. Sementara itu

seorang non-profesional dapat menyelesaikan pekerjaan yang sama selama 90 hari. Jika

pekerjaan itu dikerjakan oleh 5 orang profesional dan 6 orang non-profesional, dalam waktu

berapa hari pekerjaan itu dapat mereka selesaikan?. (Kunci 6 hari)

7. Suatu asrama pelajar yang dihuni oleh 8. Suatu perjalanan dapat ditempuh dalam

10 orang menghabiskan persediaan beras waktu 3 jam dengan kecepatan rata- rata 70

yang ada dalam waktu 6 hari. Jika km/jam. Jika pengemudi menginginkan

penghuni asrama itu bertambah menjadi perjalanan yang lebih santai dengan waktu

20 orang, maka persediaan beras yang tempuh 5 jam, maka kecepatan rata-ratanya

ada itu akan habis dalam waktu .... harus diturunkan menjadi ... km/jam.

(A) 1 hari (A) 42

(B) 2 hari (B) 40

(C) 3 hari (C) 36

(D) 4 hari (D) 35

Page 19: BAB I PERBANDINGAN - · PDF filecontoh misalnya Ali berumur 12 tahun 5 bulan dan ... Pecahan, Diklat Lanjut Guru SD ... Apabila terdapat dua kelompok data sedemikian sehinggga ada

Marsudi Raharjo : Pecahan, Diklat Lanjut Guru SD 2013 19

PPPPTK MATEMATIKA YOGYAKARTA

9. Suatu pekerjaan dapat diselesaikan 10. Seorang pemborong dapat menyelesai-

dalam waktu 50 hari oleh 14 orang kan suatu pekerjaan dalam waktu 9 bu-

pekerja. Karena sesuatu hal, setelah lan dengan 140 pekerja. Jika pembo-

bekerja 10 hari pekerjaan terhenti rong tadi ingin menyelesaikan pekerja-

selama 12 hari. Agar pekerjaan dapat an dalam waktu 7 bulan, maka banyak

diselesaiakan trepat pada waktunya, pekerja yang diperlukan adalah ...

maka diperlukan tambahan pekerja (EBTANAS SMP 2000)

sebanyak ... orang (EBTANAS SMP 2004) A. 40 orang

A. 6 B. 80 orang

B. 10 C. 150 orang

C. 20 D. 180 orang

D. 34

11. Pemborong bangunan dapat menye- 12. Untuk menyelesaiakan suatu pekerjaan

lesaiakan sebuah gedung dalam waktu selama 72 hari diperlukan pekerja

9 bulan dengan 210 pekerja. Jika sebanyak 24 orang. Setelah dikerjakan

bangunan tersebut direncanakan selesai 30 hari pekerjaan dihentikan selama 6

dalam waktu 7 bulan, maka pemborong hari. Jika kemampuan bekerja setiap

tersebut harus menambah pekerja seba- orang sama, dan agar pekerjaan tersebut

nyak ... selesai sesuai rencana semula, maka

banyak pekerja tambahan yang diperlu-

A. 10 orang kan adalah ... (UN SMP 2010)

B. 12 orang A. 8 orang

C. 14 orang B. 6 orang

D. 15 orang. C. 4 orang

D. 2 orang.

Page 20: BAB I PERBANDINGAN - · PDF filecontoh misalnya Ali berumur 12 tahun 5 bulan dan ... Pecahan, Diklat Lanjut Guru SD ... Apabila terdapat dua kelompok data sedemikian sehinggga ada

Marsudi Raharjo : Pecahan, Diklat Lanjut Guru SD 2013 20

PPPPTK MATEMATIKA YOGYAKARTA

Kunci Latihan 3

1. a. berbalik nilai b. senilai c. bukan keduanya d. bukan keduanya

e. tidak sebab tidak konsisten f. berbalik nilai g. tidak sebab tidak konsisten

h. bukan keduanya

2. 20 hari

3. 4 orang

4. 20 orang

5. 8 hari

6. 6 hari

7. C. 3 hari

8. A. 42

9. A. 6 orang

10. D. 180 orang

11. B. 12 orang

12. C. 4 orang

Page 21: BAB I PERBANDINGAN - · PDF filecontoh misalnya Ali berumur 12 tahun 5 bulan dan ... Pecahan, Diklat Lanjut Guru SD ... Apabila terdapat dua kelompok data sedemikian sehinggga ada

Marsudi Raharjo : Pecahan, Diklat Lanjut Guru SD 2013 21

PPPPTK MATEMATIKA YOGYAKARTA

BAB III

PENUTUP

A. KESIMPULAN

Materi pecahan lanjut yang disampaikan pada makalah/modul ini terdiri dari perbandingan

umun, perbandingan senilai, dan perbandingan berbalik nilai, serta terapannya dalam

pemecahan masalah seperti misalnya setelah waktu pengerjaan berjalan sekian hari jika

terjadi pemogokan selama kurun waktu beberapa hari. Pemecahan masalah yang dimaksud

adalah bagaimana seorang pemilik pekerjaan dapat menyelesaikan pekerjaannya tepat

waktu. Tentunya dengan menambah banyak pekerja. Banyak pekerja tambahan yang

diperlukan agar pekerjaan dapat diselesaikan tepat waktu sesuai rencana itulah yang

dimaksud sebagai pemecahan masalah. Tujuannya agar peserta (Guru SD peserta diklat

lanjut) memiliki wawasan dengan pemecahan masalah yang tidak rutin. Harapannya adalah

agar mereka memiliki tambahan pengetahuan yang bersifat lebih dibanding guru SD

sesama mereka.

B. SARAN

Bagi para alumni diklat yang berkomitmen untuk merealisasikan komitmennya pada anak

didik agar mereka menjadi senang dengan pelajaran matematika diberikan saran-saran

sebagai berikut.

1. Laporkan kepada atasan langsung tentang pengalaman apa saja yang menarik selama

menerima sajian akademik dalam kegiatan pelatihan

2. Pikirkan perangkat kerja apa saja yang mendesak untuk dibuat dan segera dite-

rapkan/diimplementasikan di lapangan, jika sebagai guru pertama adalah yang untuk

diterapkan di kelas yang diampunya, kemudian kepada sesama guru di sekolahnya,

kemudian lagi pada kegiatan KKG dan terakhir barulah cita-cita ke lingkup yang lebih

luas

3. Ciptakan segera perangkat tersebut dengan niat baik, tulus, dan iklas demi anak bangsa

di masa depan

4. Diskusikan rencana tindak lanjut Anda pasca pelatihan kepada kepala sekolah dan

kepada pengawas

5. Bersemboyanlah “ Apa yang terbaik yang saya miliki dan dapat saya perbuat untuk

kemajuan bangsa ini sebagai andil dalam rangka mencerdaskan bangsa”. Tuhan maha

mengetahui dan pasti akan memberikan ganjaran yang patut disyukuri berupa sesuatu

yang tak terduga di masa depan.

Amin.

Page 22: BAB I PERBANDINGAN - · PDF filecontoh misalnya Ali berumur 12 tahun 5 bulan dan ... Pecahan, Diklat Lanjut Guru SD ... Apabila terdapat dua kelompok data sedemikian sehinggga ada

Marsudi Raharjo : Pecahan, Diklat Lanjut Guru SD 2013 22

PPPPTK MATEMATIKA YOGYAKARTA

DAFTAR PUSTAKA

Burton, David M. (1980). Elementary Number Theory. Boston: Allyn and Bacon, Inc.

Depdikbud. (1998). GBPP Matematika SD Kurikulum 1994. Jakarta: Depdikbud.

Depdiknas. (2003). Kurikulum 2004 (Standar Kompetensi Mata Pelajaran Matematika

SD/MI). Jakarta: Departemen Pendidikan Nasional.

Depdiknas. (2006). Kurikulum Tingkat Satuan Pendidikan (KTSP) Mata Pelajaran

Matematika SD/MI. Jakarta: Departemen Pendidikan Nasional.

---------------(2006). Kurikulum Tingkat Satuan Pendidikan (KTSP) Mata Pelajaran

Matematika SMP/MTs. Jakarta: Departemen Pendidikan Nasional.

Estiningsih, Elly. (1994). KBM Matematika di Sekolah Dasar (Makalah Penataran).

Yogyakarta: PPPG Matematika.

Niven, Ivan–Zuckerman, Hurbert S. (1978). An Intoduction to the Theory of Numbers

(Third Edition). New York: John Wiley & Sons, Inc.