26 January 2012 2. PERNYATAAN 2

PERNYATAAN

Pernyataan atau proposisi adalah sebuah kalimat tertutup yangmempunyai nilai kebenaran BENAR saja atau SALAHsaja, tapi tidak keduanya.

Umumnya digunakan huruf kecil seperti : p, q, r, s, t …

Nilai kebenaran suatu pernyataan dinotasikan dengan simbol

1. p : “ Hasil perkalian 3 dan 6 adalah 18 “ , (p) = B (Benar) atau(p) = T (True)

2. q : “ Semua bilangan prima adalah bilangan ganjil” , (q) = S (Salah) =F(False)

3. r : “ 12 + 5 > 16 “ , (r) = T

4. s : “ Besi adalah benda cair “ , (s) = F

26 January 2012 2. PERNYATAAN 3

Contoh Pernyataan

Kalimat yang tidak mempunyai nilai kebenaran yang pasti adalahbukan pernyataan. Berikut ini adalah beberapa contoh kalimatyang bukan pernyataan.

1. “ Biarkan dia pergi”

2. “ Dimana kau simpan uangku?”

3. “ Semoga kau bahagia”

4. “ x2 – 5x + 4 > 0 “

5. “ 2x + 5 < 18 “

6. “ Jarak antara kota x dan kota Bandung lebih dari 60 Km ”

7. “ Kasihan deh lu”

26 January 2012 2. PERNYATAAN 4

OPERASI-OPERASI pada PERNYATAAN

1.Operasi Uner (Monar)

Operasi uner adalah operasi negasi / ingkaran.

Nilai kebenarannya berlawanan dengan nilai pernyataan sebelumnya.

Ingkaran dari suatu pernyataan diberi lambang “ ~ “,

p: Bandung adalah ibu kota Jawa Barat.

q: 6 + 7 = 10

r: 27 adalah bilangan prima

~p: tidak benar Bandung adalah ibu kota Jawa Barat , (~p) = S

~p: Bandung bukan ibu kota Jawa Barat.

~q: tidak benar 6 + 7 = 10, 6+7 10

OPERASI-OPERASI pada PERNYATAAN

p ~p

B S

S B

p q p v q

B B B

B S B

S B B

S S S

p q p ^ q

B B B

B S S

S B S

S S S

NEGASI DISJUNGSI KONJUNGSI

p q p q

B B B

B S S

S B B

S S B

IMPLIKASI

p q p q

B B B

B S S

S B S

S S B

p q p q

B B S

B S B

S B B

S S S

BIIMPLIKASI EXCLUSIVE OR

26 January 2012 2. PERNYATAAN 6

TABEL KEBENARAN PERNYATAAN MAJEMUK

1. ~ (p ~q)

p q ~q (p ~q) ~(p ~q)

B B S S B

B S B B S

S B S S B

S S B S B

p q ~ ( p ^ ~ q )

B B B S S S B

B S S B B B S

S B B S S S B

S S B S S B S

CARA

BIASA

CARA

SINGKAT

26 January 2012 2. PERNYATAAN 7

Contoh Tabel Kebenaran Majemuk 3 var

2. (p q) [ ~p V (q r) ]1 2 3 4 5 6 7 8 , 9 10 11 12 13

p q r ( p ^ q ) [ ~p V ( q ^ r ) ]

B B B B B B B S B B B B

B B S B B B S S S B S S

B S B B S S B S S S S B

B S S B S S B S S S S S

S B B S S B B B B B B B

S B S S S B B B B B S S

S S B S S S B B B S S B

S S S S S S B B B S S S

(1) (1) (1) (1) (3) (1) (5) (2) (4) (1) (3) (1)

26 January 2012 2. PERNYATAAN 8

TAUTOLOGI, KONTRADIKSI, SATISFY

TAUTOLOGI : Pernyataan Majemuk yang nilai

kebenarannya BENAR semua

KONTRADIKSI: Pernyataan Majemuk yang nilai

kebenarannya SALAH semua

SATISFY : Pernyataan Majemuk yang nilai

kebenarannya GABUNGAN.

26 January 2012 2. PERNYATAAN 9

Contoh Tautologi & Kontradiksi

p V ~ ( p ^ q )

B B S B B B

B B B B S S

S B B S S B

S B B S S S

TAUTOLOGI

~( pq ) (~p V q )p V ~ ( p q )

~ ( p q) ^ (~p V q)

S B B B S S B B

B B S S S S S S

S S B B S B B B

S S B S S B B S

KONTRADIKSI

26 January 2012 2. PERNYATAAN 10

Aplikasi pada rangkaian

PARALEL: Arus akan mengalir ke titik

B Jika salah satu dari p atau q ON

SERI : Arus akan mengalir ke titik B

Jika p dan q keduanya ON.

p V q

q

p

p q

BA

BAp q

p

~pq

r

~q

p

[ p V (q ^ ~p) ] V [ (r V ~q) ^ p ]

26 January 2012 2. PERNYATAAN 11

KONDISIONAL KONVERS INVERS KONTRAPOSISI

p q p q q p ~p ~ q ~ q ~p

B B B B B B

B S S B B S

S B B S S B

S S B B B B

KONDITIONAL KONVERS INVERS KONTRAPOSISI

.Tentukan kontra posisi dari kalimat berikut.

a. Jika Parto seorang penyair maka ia orang miskin

b. Hanya jika Hafid belajar maka ia akan lulus ujian.

a. Jika Parto tidak miskin, maka Ia bukan seorang penyair

b. Jika Hafidz tidak belajar, maka Ia tidak akan lulus ujian

26 January 2012 2. PERNYATAAN 12

Pernyataan bersyarat dan negasinya

~ ( p q )

S B B B

B B S S

S S B B

S S B S

p ^ ~ q

B S S B

B B B S

S S S B

S S B S

p q ~p V q

B S B B

S S S S

B B B B

B B B S

~ ( p q )

S B B B

B B S S

B S S B

S S B S

( p ~q )

B S S

B B B

S B S

S S B

( ~p q )

S S B

S B S

B B B

B S S

~( p q ) = p ~q = ~p q

~( p q ) = p ^ ~q ( p q ) = ~ p v q

EKIVALENSI LOGIS

DEFINISI:

Dua proposisi P(p,q,r, . . .) dan Q(p, q, r, . . .) dikatakan ekivalen secara logis, atau ekivalen atau sama, dinotasikan oleh

P(p,q,r, . . .) Q(p, q, r, . . .)

Jika mereka mempunyai tabel kebenaran yang sama.

Contoh

1. Tunjukkan bahwa ~ ( p V q ) ekivalen dengan ~p ^ ~q

~ (p V q)

S B B B

S B B S

S S B B

B S S S

~p ^ ~q

S S S

S S B

B S S

B B B

2. Tunjukkan bahwa ~ ( p ^ q ) ekivalen dengan ~p v ~q

~ (p ^ q)

S B B B

B B S S

B S S B

B S S S

~p v ~q

S S S

S B B

B B S

B B B

26 January 2012 2. PERNYATAAN 16

Hukum2 Aljabar Proposisi

1 IDEMPOTEN p V p = p

2 ASOSIATIF p V (q V r ) = (p V q) V r

3 KOMUTATIF p V q = q V p

4 DISTRIBUTIF p V (q r) = (p V q) (p V r)

5

6

IDENTITAS p V F= p

p V T = T

7 INVOLUSI ~(~p ) = p

8

9

KOMPLEMEN p V ~p = T

~T = F

10 DE MORGAN ~( p V q) = ~p ~q

p ^ p = p

p ^ (q ^ r ) = (p ^ q) ^ r

p ^ q = q ^ p

p ^(q V r) = (p ^ q) V (p ^ r)

p ^ T= p

p ^ F = F

p ^ ~p = F

~F = T

~( p ^ q) = ~p V ~q

LATIHAN SOAL

Buatlah Tabel Kebenaran untuk pernyataan majemuk berikut.

1. ~ [ p q ] V ~ p

2. [~ p V ~q ] r

3. [p V q] ~q

4. [( p q) ~q ] ~p

5. p ( q V r )

6. ~p V (q ~r)

7. p [p ( q V r) ]

8. [ (p q) ( ~q V r )] ( p r )

7. Tunjukkan bahwa (p q) ekivalen dengan~p V q

8. Tunjukkan bahwa p V (p ^ q) p danp ^ (p V q) p

9. Gambarkan rangkaian dari pernyataanmajemuk berikut

a. (~p ^ [ q V (r ^ ~s) ]) V [~q V p]

b. { [ (p ^ q) V (r ^ ~p)] ^ s } V { ~p ^ [ q V (r ^ ~s) ] ^ ~q }

Buatlah tabel kebenaran untuk masing-masing

pernyataan berikut

1. [(~pr) ~q ] ( ~r V p )

2. [ (~r V q) ~p ] ( ~q p )