Post on 07-Dec-2020
AYU WULANDARI, M.PD
A. Pengantar sistem persamaan linear
Persoalan sistem persamaan linear yang memiliki n persamaan dan n bilangan tak diketahui sering dijumpai dalam permasalahan teknik.
Persamaan linear berbentuk: a1x + a2y = b merupakan persamaan linear dengan satu dua variabel, yaitu variabel x dan y. Secara umum didefinisikan bahwa sebuah persamaan linear dalam n variabel, yaitu variabel x1, x2, x3, …, xn dapat ditulis dalam bentuk:
a1x1 + a2x2 + a3x3 + ….. + an xn = b
dengan a1, a2, a3, …., an dan b adalah konstanta-konstanta real.
Bentuk umum sistem persamaan linear (disingkat SPL) yang terdiri dari m persamaan dan n variable x1, x2, …, xn dapat ditulis sebagai :
a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn = b2
am1x1 + am2 x2 + … + amn xn = bm,
Suatu sistem persamaan linear dengan m persaman dan n variable x1, x2, …, xn dengan Am x n = (aij ), Xn x 1 = ( ) x j , dan Bm x 1 = ( ) bi . Jika matriks B pada SPL di atas diganti dengan matriks nol , maka sistem persamaan linear tersebut dikatakan homogen, jika tidak disebut SPL non homogen
SPL non homogen berikut
x1 – x2 + x3 = 2
2x1 – x2 – x3 = 4
b. SPL homogen berikut
x1 + x2 = 0
x1 – x2 = 0
b. Operasi Baris Metode Elementer
Untuk menentukan solusi dari SPL dilakukan dengan cara membentuk matrik yang diperluas/diperbesar dari SPL dan melakukan Operasi Baris Elementer (OBE) pada matriks yang diperbesar tersebut
OBE ini didapatkan dalam suatu tahapan dengan menerapkan ketiga tipe operasi berikut untuk menghilangkan bilangan-bilangan tak diketahui secara sistematik.
1. Kalikan persamaan dengan konstanta yang tak sama dengan nol.
2. Pertukarkan dua persamaan tersebut.
3. Tambahkan kelipatan dari satu persamaan bagi yang lainnya.
Contoh Carilah solusi dari persamaan dibawah ini dengan menggunakan
OBE. x + y + 2z = 9 2x + 4y – 3z = 1 3x + 6y – 5z = 0 Penyelesaian : Ubah persamaan tersebut kedalam bentuk matriks yang diperbesar kemudian gunakan OBE : baris kedua : B2 + (-2)B1, baris ketiga : B3 + (-3)B1, baris kedua : B2 x (1/2), baris ketiga : B3 + (-3)B2, baris ketiga : B3 x 2,
x + y + 2z = 9
y – 7/2 z = -17/2
z = 3
c. Rank Dari Suatu Matriks
Definisi Rank Matriks
Rank baris dari matriks A adalah dimensi dari ruang baris matriks A.
Rank kolom dari matriks A adalah dimensi dari ruang kolom matriks A.
Dan ternyata Rank Baris = Rank Kolom ditulis r(A).
Catatan :
Rank dari matriks menyatakan jumlah maksimum vektor-vektor baris/kolom yang bebas linier (baris atau kolom yg tidak vektor 0)
Untuk mencari rank dari suatu matriks dapat digunakan transformasi elementer. Dengan mengubah sebanyak mungkin baris/kolom menjadi vektor nol ( karena vektor nol adalah bergantung linier ).
Notasi rank suatu matriks : rank(A) atau r(A)
definisi bebas linier
jika S = { v1,v2,..... vr }adalah himpunan vektor, maka persamaan vektor
K1 + v1 + K2 + v2 +.............+krvr = 0
K1 = 0
K2 = 0
K3 = 0
Contoh soal Tentuka apakahhimpunan berikut ini bebas linear?
S ={ ( 2, 1, 1), ( 3, 1, 0), ( 2, 1, -3)}
Jawab S ={ ( 2, 1, 1), ( 3, 1, 0), ( 2, 1, -3)}
Menjadi K1( 2, 1, 1) + K2( 3, 1, 0) + K3( 2, 1, -3) = ( 0, 0, 0) (2K1 + 3K2 + 2K3, K1 + K2 + K3 , K1-3 K3 = ( 0, 0, 0) Di dapat 2K1 + 3K2 + 2K3 = 0 K1 + K2 + K3 =0 K1 -3k = 0
Karena determinan dari matriks tersebut adalah 4
Dengan cara cramer, maka di dapat K1 = , K2 = ‘K3 =
Jadi persamaan tersebut mempunyai satu-satunya pemecahan yaitu K1 = K2 = K3 = 0
Contoh rank Tentukan rank dari matriks A di bawah ini dengan menggunakan metode minor matriks. Det (A) = Jawab:
Untuk menentukan rank dari matriks A dengan metode minor matriks, tentukan terlebih dahulu determinan dari matriks A yang berukuran 3×3.
Det (A) = menggunakan metode minor menggunakan metode minor = (4 + 48 +6) – (6 + 16 + 16 ) = 58 – 38 = 20
Menurut minor diatas nilai determinan tidak sama dengan 0,maka rank dari matriks diatas adalah 3 mengapa demikian?
Rank suatu matriks di tentukan dari matriks bujur sangkar, pada contoh di atas matriks yang berbentuk dari hasil mencari determinan adalah ordo 3 x 3 maka ranknya adalah 3
Determinan = ad – bc
Matriks apapun yang memiliki nilai determinan = 0, maka tidak ada penyelesaiannya
Jika matriks bujur sangkar memiliki determinan ≠ 0,maka rank nya sesuai dengan orde matrik bujur sangkarnya.misalnya ordo 3 x 3 maka ranknya 3
Contohsoal
Tentukan rank ( A ), rank ( B ), rank ( c )
A =
B=
c =
Penyelesaian :
Det (A) =
menggunakan metode minor
= (4 + 48 +6) – (6 + 16 + 16 )
= 58 – 38
= 20
20 Tidak sama dengan 0
Karena (20) tidak sama dengan 0 , maka ranknya adalah 3
Determinan matriks B adalah -5. Nilai determinan tersebut tidak sama dengan 0, dengan demikian rank matriks B adalah 3 (rank(B) = 3).
D. Persamaan umum persamaan linear dengan metode gauss yordan dan metode cramer
Eliminasi gaus
Eliminasi Gauss adalah suatu metode untuk mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana lagi.
Ciri ciri Metode Gauss adalah
Jika suatu baris tidak semua nol, maka bilangan pertama yang tidak nol adalah 1 (1 utama)
Baris nol terletak paling bawah
1 utama baris berikutnya berada dikanan 1 utama baris diatasnya
Dibawah 1 utama harus nol
Jika dalam penentuan matriks bujur sangkar terdapat lebih dari satu matriks bujur sangkar, maka penentuan determinannya cukup saja untuk mewakili matriks-matriks bujur sangkar yang lainnya, asalkan nilai determinannya sudah terbukti ≠ 0
Langkah terakhir adalah substitusikan balik dari bawah jadi X3 = 0.538 X2 - 0.25(X3) = 1.25 X2 = 1.25 + 0.25(0.538) X2 = 1.384 X1 - 2X2 + X3 = 0 X1 = 2X2 - X3 X1 = 2(1.384) - 0.538 X1 = 2.2 Jadi X1 = 2.23 X2 = 1.384 X3 = 0.538
Penyelesaian dengan Eliminasi Gauss Jordan :
Sebenarnya hanya tinggal melanjutkan dari langkah eliminasi gauss seperti di tambahkan langkah 8 sampai langkah 10
D. Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dengan Metode Cramer
operasi baris elementer dan cramer. Berikut ini aturan cramer
ax + by = p
cx + dy = q
di berikan oleh x = dan y = di mana
D = a b
c d
Dx = p b
q d
Dy =a p
c q
Contoh
2x + 3y = 8
3x + 2y = 7
Jawab :
D = = 2(2) – 3(3) = 4 - 9 = -5
Dx = = 8(2) – 7(3) = 16 – 21 = -5
Dy = = 2(7) – 3(8) = 14 – 24 = -10
x = = = 1
y = = = 2
Terima kasih
Jika A adalah matriks ukuran nxn dan jika ada matriks B ukuran nxn sedemikian rupa sehingga :
AB = BA = I Dimana I adalah matriks identitas ukuran nxn, maka matriks A
disebut non singuar atau invertibel dan matriks A merupakan invers dari B atau B merupakan invers dari A.
Jika matriks A tidak mempunyai invers, maka A disebut matriks singular atau non invertibel.
Invers dari matriks A dinotasikan dengan A-1. Matriks bujur sangkar A = (aij) berordo nxn, mempunyai invers,
jika ada matriks B sedemikian sehingga : AB = BA = Inxn , dengan I adalah matriks satuan atau matriks identitas. Pada persamaan : AB = BA = Inxn, A dan B disebut saling invers.
matriks singular atau non invertibel yaitu determinannya = 0
Invers Matriks : Mia , Sinta , Tri
Contoh Soal 1:
Invers Matriks : Mia , Sinta , Tri
Contoh Soal 2:
Invers Matriks : Mia , Sinta , Tri
Lanjutan…….
Invers Matriks : Mia , Sinta , Tri
Invers matriks bujur sangkar ( 2 x 2 ) dapat dirumuskan sebagai berikut :
Contoh
soal :
Invers Matriks : Mia , Sinta , Tri
SIFAT – SIFAT INVERS MATRIKS :
1. AA-1 = A-1 A = 1 2. (A-1)-1 = A 3. (AB)-1 = B-1A-1
PERSAMAAN MATRIKS
Persamaan dengan bentuk AX = B atau XA = B merupakan persamaan matriks.
Persamaan ini dapat diselesaikan dengan menggunakan sifat invers matriks dan matriks satuan, yaitu AA-1 = I dan I X = X I = X
Lanjutan…….
Jika AX = B maka : A-1 AX = A-1B
I X = A-1B X = A-1B
Jika XA = B maka :XA A-1 = BA-1
X I = BA-1 X = BA-1 Jadi :
Jika AX = B maka X = A-1B Jika XA = B maka X = BA-1
Invers Matriks : Mia , Sinta , Tri
Contoh Soal 1:
Invers Matriks : Mia , Sinta , Tri
Contoh Soal 2:
Invers Matriks : Mia , Sinta , Tri
Contoh Soal 2:
Invers Matriks : Mia , Sinta , Tri
Jika A adalah matriks bujur sangkar berukuran n x n. Maka kofaktor ( K ) dari matriks A
Transpose dari matriks kofaktor ( K ) disebut
matriks Adjoint A dan dinotasikan : Adj A
Adj A = KT=
Dimana, Kij = (-1)i+j Mij
Invers Matriks : Mia , Sinta , Tri
Matriks invers dapat ditentukan dari matriks Adjoint (Adj). Jika A adalah suatu matriks berukuran nxn dan det A 0, maka :Jadi invers matriks A :
Jadi invers matriks A :
Lanjutan.....
Invers Matriks : Mia , Sinta , Tri
CATATAN :
Invers Matriks : Mia , Sinta , Tri
INGAT
INGAT
INGAT
INGAT
INGAT
INGAT
Contoh soal ordo 3x3 :
Invers Matriks : Mia , Sinta , Tri
Lanjutan.....
Invers Matriks : Mia , Sinta , Tri
Hasil……
Invers Matriks : Mia , Sinta , Tri
Contoh soal ordo 4x4 :
Invers Matriks : Mia , Sinta , Tri
Lanjutan.....
Invers Matriks : Mia , Sinta , Tri
Lanjutan.....
Invers Matriks : Mia , Sinta , Tri
Lanjutan.....
Invers Matriks : Mia , Sinta , Tri
Lanjutan.....
Invers Matriks : Mia , Sinta , Tri
Lanjutan.....
Invers Matriks : Mia , Sinta , Tri
Lanjutan.....
Hasil…
Invers Matriks : Mia , Sinta , Tri
Invers Matriks : Mia , Sinta , Tri
Contoh soal :
Invers Matriks : Mia , Sinta , Tri
Invers Matriks : Mia , Sinta , Tri
Lanjutan.....
Invers Matriks : Mia , Sinta , Tri
Lanjutan.....
Hasilnya….
Invers Matriks : Mia , Sinta , Tri
Vektor adalah besaran yang memiliki nilai dan arah.
Contoh besaran vektor :
Perpindahan
Gaya
Kecepatan
Percepatan
Momentum
Vector-vektor dapat dinyatakan secara geometris sebagai segmen-segmen garis terarah ataupun panah-panah diruang-2 atau ruang-3
Arah panah menentukan arah vector
Panjang panah menyatakan besaran.
Ekor panah disebut titik awal dari vector
Ujung panah dinamakan titik terminal. B
A
Titik awal vektor v adalah A dan titik terminalnya adalah B, maka ditulis v = (𝐴𝐵)
Vektor Satuan : Vektor yang memiliki arah meskipun hanya bernilai satu.
Vektor Nol : Vektor yang titik awal dan akhirnya sama
Vektor Posisi : Vektor yang menempati posisi pada bidang kartesius.
Vektor Basis : Vektor yang menempati suatu kartesius.
Ada sejumlah operasi yang dapat diterapkan terhadap vektor, diantaranya adalah :
• Penjumlahan dua vektor
• Selisih dua vektor
• Perkalian sebuah vektor dengan sebuah skalar
• Perkalian dua vektor
• Operasi-operasi tersebut dapat ditinjau secara geometri dan secara aljabar.
Penjumlahan Dua Vektor
Jumlah dua atau lebih vektor disebut vektor hasil atau resultan. Untuk
menjumlahkan dua buah vektor 𝑎 dan 𝑏, dapat kita gunakan 2 metode sebagai berikut :
MetodeSegitiga
Metode Jajar Genjang
Untuk menjumlahkan lebih dari dua vektor dapat digunakan metode poligon. Metode ini merupakan pengembangan metode segitiga. Gambar berikut memperlihatkan contoh menjumlahkan
empat vektor, yaitu : 𝑎 +𝑏+𝑐 +𝑑 .
Penjumlahan vektor secara aljabar dapat dilakukan dengan cara menjumlahkan komponen-komponen yang seletak (seperti menjumlahkan matriks kolom). Perhatikan rumus berikut :
+ + = 𝑎1 + 𝑏1𝑎2 + 𝑏2
Sehingga dapat dituliskan :
a+ b= (a1,a2) + (b1,b2) = (a1 + b1, a2 + b2)
Jika a= 1,6 dan b= 7,3
maka a+b = 1 + 7,6 + 3 = 8,9
Jika a = 34
dan b = 25
maka : a+b = 3 + 24 + 5
= 59
Pada hakekatnya pengurangan vektor merupakan proses penjumlahan vektor dengan vektor negatif
(inver penjumlahan).
Vektor negatif dari 𝑏 yaitu(-𝑏)adalah sebuah vektor yang
besarnya sama dengan vektor 𝑏 tetapi arahnya berlawanan.
Perhatikan bahwa : 𝐴 - 𝐵 = 𝐴 + (-𝐵)
Jika 𝑎 = 𝑎1𝑎2
dan 𝑏 = 𝑏1𝑏2
maka 𝑎 - 𝑏 = 𝑎1 − 𝑏1𝑎1 − 𝑏2
Jika 𝑎 = 𝑎1, 𝑎2 dan 𝑏 = 𝑏1, 𝑏2 maka
𝑎 - 𝑏 = 𝑎1 − 𝑏1, 𝑎2 − 𝑏2
Contoh soal
1.Jika 𝑎 = 5,4 dan 𝑏 = 5,4 maka 𝑎 - 𝑏 = 5 − 5,4 − 4 = 0,0
2.Jika 𝑎 = 3 6
dan 𝑏 = 7 1
maka 𝑎 - 𝑏 = 3 − 76 − 1
= −45
Jika k suatu skalar (bilangan real) dan 𝑣 suatu vektor, maka perkalian k dengan 𝑣 , akan menghasilkan suatu vektor baru yaitu : k𝑣 . menghasilkan suatu vektor yang panjangnya IkI kali panjang vektor 𝑣 dan arahnya sama dengan arah 𝑣 jika k = 0,atau berlawanan dengan 𝑣 bila k = 0, maka diperoleh vektor nol.
Sifat-Sifat Perkalian Vektor Dengan Skalar
Panjang vektor k𝑣 = IkI I𝑣 I
Jika k > 0 dan 𝑣 ≠ 𝑜 maka vektor k𝑣 searah dengan vektor 𝑣
Jika k > 0 dan 𝑣 ≠ 𝑜 maka vektor k𝑣 berlawanan arah dengan vektor 𝑣
Jika k = 0 dan 𝑣 = 𝑜 maka vektor k𝑣 = 𝑜
Jika 𝑣 = 𝑣1𝑣2
maka k𝑣 =k𝑣1𝑣2
=k𝑣1k𝑣2
Jika 𝑣 = 𝑣1, 𝑣2 maka k𝑣 =k 𝑣1, 𝑣2 =
k𝑣1k𝑣2
Jika 𝑣 = 32
maka :
3𝑣 = 332
= 96
-3 𝑣 = −332
= −9−6
1
3𝑣 =
1
3
32
= 123
Diketahui 𝑎 = 3
−2, 𝑏 =
3−2
, 𝑐 =3
−2.
Tentukan 2𝑎 − 3𝑏 − 5𝑐 !
2𝑎 − 3𝑏 − 5𝑐 = 23
−2− 3
3−2
− 53
−2
= 6
−4−
9−6
−15
−10=
−1812
Perkalian skalar dua vektor disebut juga dengan hasil kali titik dua vektor. Perkalian
skalar vektor 𝑎 dengan vektor 𝑏 ditulis dengan :
𝑎 · 𝑏 (baca : 𝑎 dot 𝑏)
Jika sudut yang diapit vektor 𝑎 dan vektor 𝑏 adalah 𝛼, maka :
Misal panjang vektor 𝑎 = 12 satuan dan
panjang vektor 𝑏 = 5 satuan. Jika vektor 𝑎 dan
𝑏 membentuk sudut 60º, tentukanlah 𝑎 · 𝑏.
Jawab : Diketahui I𝑎 I = 12, I𝑏I = 5 dan
(𝑎 ,𝑏) = 𝛼 = 60º
Maka : 𝑎 · 𝑏 = I𝑎 I I𝑏I cos 𝛼 = 12(5) cos 60º = 30
Penjumlahan Vektor
Contoh soal:
Jika 𝑎 = 43
−1 dan 𝑏 =
215
maka :
𝑎 + 𝑏 = 4 + 23 + 1
−1 + 5 =
644
Jika 𝑎 = 2𝑖 + 𝑗 + 4𝑘 dan 𝑏 = 3𝑖 -5𝑗 + 𝑘 maka :
𝑎 +𝑏 = (2+3) 𝑖 +(1-5) 𝑗 +(4+1) 𝑘 = 5𝑖 -4𝑗 + 5𝑘
Jika 𝑎 = 671
dan 𝑏 = 321
maka (𝑎 − 𝑏) =
6 − 37 − 21 − 1
= 350
Jika 𝑎 = 2𝑖 + 𝑗 + 4𝑘 dan 𝑏 = 3𝑖 -5𝑗 + 𝑘 maka :
𝑎 − 𝑏 = (2-3) 𝑖 +(1-(-5)) 𝑗 +(4-1) 𝑘 = −𝑖 +6𝑗 + 3𝑘
Contoh :
Jika 𝑎 = 34
−1 maka 2𝑎 =
2 · 32 · 4
2(−1) =
68
−2
Jika 𝑏 = 1569
dan 𝑐 = 523
maka 𝑏 = 3𝑐
Jika 𝑐 = 2𝑖 + 𝑗 + 4𝑘 maka 2𝑐 = 4𝑖 +2𝑗 + 8𝑘
Jika 𝑐 = 2𝑖 + 𝑗 + 4𝑘 dan 𝑑 = 6𝑖 -3𝑗 + 5𝑘 maka :
2𝑐 − 3𝑑 = 2(2𝑖 + 𝑗 + 4𝑘) – 3(6𝑖 -3𝑗 + 5𝑘) = −14𝑖 + 11𝑗 - 7𝑘
Definisi:
Jika n adalah suatu bilangan bulat positif, maka orderet-n tuple
adalah sebuah urutan n bilangan real. Himpunan semua orderet-n
tuple dinamakan ruang-n dan dinyatakan dengan Rn.
Ruang Euclid (Rn) :
1. Merupakan ruang vektor karena dapat dilakukan 2 pengoperasian
penjumlahan dan perkalian dengan skalar, sehingga memiliki 8
aksioma yang berlaku.
2. Merupakan ruang hasil kali dalam (inner product) karena
mempunyai operasi kali dalam (pekalian titik untuk ruang euclid).
Dalam mempelajari ruang berdimensi 3 dapat terjadi simbol ( ) mempunyai dua interpretasi geometrik yang berbeda. Simbol tersebut dapat diinterpretasikan sebagai sebuah titik, dimana adalah koordinatnya (Gambar 1.a). Atau dapat diinterpretasikan sebagai sebuah vektor, dimana adalah komponen-komponennya (Gambar 1.b). Maka, jelaslah bahwa suatu ganda-n berurut ( ) dapat dipandang baik sebagai suatu “titik umum” ataupun sebagai “vektor umum”.
Gambar 1
(v1,v2,v3) (v1,v2,v3)
(a) (b)
Definisi: Dua vektor u=(u1,u2,…,un), dan v=(v1,v2,…,vn) dalam Rn disebut sama
jika: u1=v1,u2=v2,…,un=vn
Jumlah u + v didefinisikan sebagai: u + v = (u1+v1,u2+v2,…,un+vn) dan jika k adalah sembarang skalar, maka: ku = (ku1,ku2,…,kun) -u= (-u1,-u2,…,-un) Pengurangan vektor-vektor dalam Rn didefinisikan sebagai: v + (-u)= v – u = (v1-u1,v2-u2,…,vn-un)
Teorema 1: Jika u=(u1,u2,…,un), v =(v1,v2,…,vn), dan w=(w1,w2,…,wn), adalah
vektor-vektor dalam Rn dan jika k dan l adalah skalar, maka: a) u + v = v + u b) u + (v + w) = (u + v) + w c) u + 0 = 0 + u = u d) u + (-u) = 0, sehingga u – u = 0 e) k (lu) = (kl) u f) k (u + v) = ku + kv g) (k + l) u = ku + lu h) 1u = u
Contoh soal:
1. Buktikanlah teorema 1.a jika diketahui 𝑢1=(2,1), 𝑢2=(2,3), 𝑣1=(0,2), dan 𝑣2=(1,4)!
Penyelesaian:
𝑢 =2 12 3
, 𝑣 =0 21 4
Teorema 1.a) u+v = v+u
u+v = 2 12 3
+0 21 4
= 2 + 0 1 + 22 + 1 3 + 4
= 2 33 7
v+u = 0 21 4
+2 12 3
= 0 + 2 2 + 11 + 2 4 + 3
= 2 33 7
Maka teorema 1.a terbukti
2. Buktikanlah teorema 1.b hingga teorema 1.d, jika diketahui 𝑢1 = 1,1,2 , 𝑢2 = 2,1,3 , 𝑢3= 0,4,1 ,
𝑣1= 2,−1,0 , 𝑣2 = 4,1,2 , 𝑣3 = 2,2,−1 ,𝑤1 = −1,5,3 , 𝑤2 = 2,2,2 , dan 𝑤3 = 3,4,5 !
Penyelesaian:
𝑢 =1 1 22 1 30 4 1
, 𝑣 =2 −1 04 1 22 2 −1
, 𝑤 =−1 5 32 2 23 4 5
a) Teorema 1.b) u+(v+w)=(u+v)+w
u+(v+w)=1 1 22 1 30 4 1
+2 −1 04 1 22 2 −1
+−1 5 32 2 23 4 5
=1 1 22 1 30 4 1
+1 4 36 3 45 6 4
=2 5 58 4 75 10 5
(u+v)+w=1 1 22 1 30 4 1
+2 −1 04 1 22 2 −1
+ −1 5 32 2 23 4 5
=3 0 26 2 52 6 0
+−1 5 32 2 23 4 5
=2 5 58 4 75 10 5
Maka teorema 1.b tebukti
b) Teorema 1.c) u+0=0+u=0
0+u =1 1 22 1 30 4 1
+0 0 00 0 00 0 0
=1 + 0 1 + 0 2 + 02 + 0 1 + 0 3 + 00 + 0 4 + 0 1 + 0
=1 1 22 1 30 4 1
Maka teorema 1.c terbukti
c) Teorema 1.d) u+(-u)=0, sehingga u-u=0
u- u =1 1 22 1 30 4 1
−1 1 22 1 30 4 1
=1 − 1 1 − 1 2 − 22 − 2 1 − 1 3 − 30 − 0 4 − 4 1 − 1
=0 0 00 0 00 0 0
Maka teorema 1.d terbukti
3. Dari soal no.1 buktikanlah teorema 1.e hingga 1.h, jika diketahui skalar k dan l adalah 2 dan 3 !
Penyelesaian: a) Teorema 1.e) k(lu)=(kl)u
k(lu) = 2 32 12 3
= 23(2) 3(1)3(2) 3(3)
= 26 36 9
=2(6) 2(3)2(6) 2(9)
=12 612 18
(kl)u = 2.32 12 3
= 62 12 3
=6(2) 6(1)6(2) 6(3)
=12 612 18
Maka teorema 1.e terbukti b) Teorema 1.f) k(u+v)=ku+kv
k(u+v)= 22 12 3
+0 21 4
= 22 33 7
=2(2) 2(3)2(3) 2(7)
=4 66 14
ku+kv= 22 12 3
+ 20 21 4
=4 24 6
+0 42 8
=4 + 0 2 + 44 + 2 6 + 8
= 4 66 14
Maka teorema 1.f terbukti
c) Teorema 1.g) (k+l)u=ku+lu
(k+l)u= (2 + 3) 2 12 3
= 52 12 3
=5(2) 5(1)5(2) 5(3)
= 10 510 15
ku+lu= 22 12 3
+3 2 12 3
=4 24 6
+ 6 36 9
=10 510 15
Maka teorema 1.g terbukti. d) Teorema 1.h) 1u=u
1u= 12 12 3
=1(2) 1(1)1(2) 1(3)
=2 12 3
Maka teorema 1.h terbukti.
Berdasarkan analogi dengan rumus-rumus yang kita kenal baik R2 maupun R3, kita definisikan norma euclides (panjang euclides) dari suatu vektor dalam Rn sebagai:
Demikian juga, jarak euclides antara titik dan dalam Rn didefinisikan sebagai :
Diketahui, matriks 𝑢 =2 12 3
, v=2 01 3
, hitunglah panjang dan jarak
vektornya!
Jawab:
Panjang vektor
𝑢 = 22 +12 +22 +32
= 4 + 1 + 4 + 9
= 18
𝑣 = 22 +02 +12 +32
= 4 + 0 + 1 + 9
= 14
Jarak vektor
𝑢 − 𝑣 = (2 − 2)2+(1 − 0)2+(2 − 1)2+(3 − 3)2
= (0)2+(1)2+(1)2+(0)2
= 0 + 1 + 1 + 0
= 2
Definisi:
Misalkan V sebarang himpunan benda yang dua operasinya kita definisikan, yakni penambahan dan perkalian dengan skalar (bilangan real).
Operasi penjumlahan (addition) tersebut kita pahami sebagai suatu aturan untuk mengasosiasikan setiap pasangan benda u dan v padaV, dengan suatu objek, yang disebut jumlah u dan v.
Operasi perkalian skalar (scalar multiplication), dapat kita artikan aturan untuk mengasosiasikannya baik untuk setiap skalar k maupun setiap benda u pada V dengan suatu objek ku, yang disebut kelipatan skalar (scalar multiple) dari u oleh k.
Aksioma-aksioma ruang vektor umum
1) Jika u dan v adalah benda-benda pada V, maka u+v berada di V 2) u+v = v+u 3) u+(v+w) = (u+v)+w 4) Ada sebuah benda 0 di V sehingga 0+u = u+0 untuk semua u di V 5) Untuk setiap u di V, ada sebuah benda -u di V. sehingga u+ (-u) = (-u) + u
= 0 6) Jika k adalah sebarang skalar dan u adalah sebarang benda di V, maka ku
berada di V 7) k(u+v) = ku + kv 8) (k+l) u = ku + kl 9) k (lu) = (kl) (u) 10) 1u = u
Contoh:
1. Tunjukkan bahwa himpunan V dari semua matriks 2x2 dengan anggota bilangan real merupakan suatu vektor jika penjumlahan vektor didefinisika sebagai penjumlahan matriks dan perkalian skalar vektor didefinisikan sebagai perkalian skalar matriks.
Penyelesaian:
Misalkan matrik u, matrik v, dan matrik w adalah elemen dari A.
, dan
Aksioma 1:
Untuk membuktikan aksioma 1, kita harus membuktikan bahwa adalah suatu objek dalam V, yaitu kita harus menunjukkan bahwa adalah suatu matriks 2x2. Dari definisi penjumlahan matriks, maka:
Maka aksioma 1 terbukti karena u+v adalah matriks berordo 2x2
Aksioma 2:
Maka Aksioma 2 terpenuhi dari teorema 1.a.
Aksioma 3:
Maka aksioma 3 terpenuhi.
Aksioma 4:
Untuk membuktikan aksioma 4, kita harus mencari suatu objek 0 dalam A, sehingga untuk semua u dalam A. Hal ini dapat dilakukan dengan mendefinisikan 0 sebagai
Dengan definisi ini dan demikian juga
Maka aksioma 4 terpenuhi.
Aksioma 5:
Untuk membuktikan aksioma 5 kita harus menunjukkan bahwa setiap objek u dalam A mempunyai suatu negatif (-u), sehingga dan . Ini dapat dilakukan dengan mendefinisikan negatif dari u sebagai
, maka:
Maka aksioma 5 terpenuhi.
Aksioma 6:
Demikian juga, aksioma 6 berlaku karena untuk scalar k didapatkan
Maka aksioma 6 terpenuhi karena ku adalah matrik berordo 2x2 yang merupakan objek di A.
Aksioma 7 :
k (u+v) = k
Maka aksioma 7 terpenuhi.
Aksioma 8 :
Maka aksioma 8 terpenuhi.
Aksioma 9 :
Maka aksioma 9 terpenuhi.
Aksioma 10:
Untuk perhitungan aksioma 10 sebagai berikut:
Maka aksioma 10 terpenuhi.
Karena kesepuluh aksioma terpenuhi maka himpunan A merupakan suatu ruang vektor.
Misalkan V terdiri dari sebuah benda tunggal, yang kita nyatakan dengan 0, dan difinisikan 0 + 0 = 0 dan k0 = 0 untuk semua scalar k. Lalu, apakah v adalah ruang vektor?
Teorema 3
Misalkan V adalah sebuah ruang vektor, u sebuah vektor pada V, dan k sebuah scalar, maka:
1. 0u=0
2. k0=0
3. (-1)u=-u
4. Jika ku=0, maka k=0 atau u=0
Bukti: a) Perhatikan bahwa 0u+0u=(0+0)u [aksioma 8] = 0u [sifat bilangan 0] Berdasarkan aksioma 5 maka vektor u adalah bilangan negatif, yakni -0u. Dengan
menambahkan bilangan negatif ini pada kedua ruas di atas maka akan menghasilkan [0u+0u]+(-0u)=0u+(-0u) atau 0u+[0u+(-0u)]=0u+(-0u) [aksioma 3] boleh juga 0u + 0= 0 [aksioma 5] atau bahkan 0u = 0 [aksioma 4] Maka terbukti 0u = 0. b) Dibuktikn bahwa k0 = 0 . Untuk membuktikannya, maka kita gunakan persamaan 0 + 0 = 0. 0 + 0 = 0 k ( 0+ 0 ) = k0 [kedua ruas di kalikan k, dimana k adalah skalar] k0 + k0 = k0 [Aksioma 7] k0 + k0 + ( -k0 )= k0 + ( -k0 ) [kedua ruas ditambahkan (-k0)] k0 + 0 = 0 [Aksioma 5] k0 = 0 [Aksioma 4] Terbukti bahwa k0 = 0 .
c) Dibuktikan bahwa (-1)u=-u Untuk memperlihatkan (-1)u=-u, kita harus memperlihatkan bahwa u+(-
1)u=0. Untuk melihat ini, perhatikanlah bahwa u+(-1)u=1u+(-1)u [Aksioma 10] =1u+(-1)u [Aksioma 8]
=0u [Sifat bilangan] = 0 d) Akan dibuktikan jika ku = 0, maka k = 0 atau u = 0. ku = ku ku + k0 + 0u + 0 = ku + k0 + 0u + 0 [kedua ruas ditambah k0, 0u, 0] ( k + 0 ) ( u + 0 ) = ku + k0 + 0u + 0 [dibuatbentuk perkalian] ( k + 0 ) ( u + 0 ) = 0 + 0 + 0 + 0 ( k + 0 ) ( u + 0 ) = 0 [Sifat dari bilangan] k = 0 atau u = 0 Maka terbukti bahwa jika ku = 0, maka k = 0 atau u = 0.
1. Misal 𝑢 =2 31 2
, dan 𝑣 =−1 02 3
. Hitunglah 2𝑢 + 3𝑣 !
2. Berapakah nilai 5(2𝑣 − 𝑤) dari soal no.1 jika diketahui =1 25 0
!
3. Diketahui 𝑢 =4 33 5
dan 𝑣 =2 31 4
, maka hitunglah panjang vektornya!
4. Dari soal no.3, hitunglah jarak vektornya !
5. Jika 𝑢 =5 3 42 5 73 −2 1
, dan 𝑣 =4 −1 1
−2 3 20 5 6
. Hitunglah panjang vektornya !
6. Buktikan teorema 1 bagian b, jika 𝑢1 = 2,3 , 𝑢2 = 1,4 , 𝑣1 = 3,−1 , 𝑣2 = 5,2 , 𝑤1 =(−2,6), dan 𝑤2 = (0,3)!
7. Dari soal no.6, buktikanlah teorema 1 bagian𝑓, jika diketahui skalar 𝑘 adalah 2 !
8. Dari soal no.6, buktikanlah teorema 1 bagian 𝑔, jika diketahui skalar 𝑘 dan 𝑙 adalah 2 dan5 !
9. Tunjukkan bahwa himpunan A dari semua matriks 2x2 dengan 𝑢1 = 2,1 , 𝑢2 = 2,3 , 𝑣1 = 2,0 ,𝑣2 = 1,3 , 𝑤1 = 2,2 , 𝑤2 = (3,1)dan skalar 𝑘 dan 𝑙 adalah 2 dan 3 !
10. Tunjukkan bahwa himpunan S dari semua matriks 3x3 dengan 𝑢1 = 2,1,2 , 𝑢2 = 2,3,1 , 𝑢3 =−2,2,0 , 𝑣1 = 2,0,5 , 𝑣2 = 1,3,2 , 𝑣3= (4,5,1) 𝑤1 = 2,2,1 , 𝑤2 = (3,1,6) dan 𝑤3 =3,4,1 ,skalar 𝑘 dan 𝑙 adalah 3 dan 5 !
Terima kasih
Teorema : Jika S = (v1, v2, ......, vn) adalah suatu basis orthonormal
untuk suatu ruang hasil kali dalam V, dan u adalah sebarang vektor dalam V, maka u = ( u,v1)V1 + (u, v2) v2 +........ + (u, vn) vn. ( u,v1) + (u, v2) +........ + (u, vn) adalah koordinat-koordinat dari u relatif terhadap basis orthonormal S = (v1, v2, ......, vn)
𝑢 s
𝑢 , 𝑣1
𝑢 , 𝑣2
.
.
𝑢 , 𝑣1
𝑛
Matriks koordinat v relatif terhadap S
Contoh : Diberikan S = (𝑣 1, 𝑣 2, 𝑣 3) dengan 𝑣 1 = (1, 2, 1), 𝑣 2
= (2, 9, 0) dan 𝑣 3 = (3, 3, 4). Carilah matriks koordinat dari dari 𝑣 = (5, -1, 9) terhadap S !
Jawab : Kita mencari skalar c1, c2, c3, sehingga : 𝑣 = c1𝑣 1 +c2𝑣 2 + c3𝑣 3 atau 5,−1, 9 = c1(1, 2, 1) + c2(2, 9, 0) + c3(3, 3, 4)
maka didapat : c1 + 2c2 + 3c3 = 5 2c1 + 9c2 + 3c3 = -1 c1 + 4c3 = 9 dari tiga persamaan di atas diperoleh c1 = 1, c2
= -1, c3 = 2, maka 𝑣 s 1
−1
2
Selama ini kita sering menggunakan basis baku sebagai basis semua vektor. Padalah selain basis baku, ada basis-basis lain yang bisa digunakan untuk menyatakan semua vektor.
Beberapa contoh basis baku:
Basis baku di ruang R2: e1 =10
e2 = 01
Basis baku di ruang R3: e1 = 100
e2 = 010
e3 =
001
dan seterusnya.
Misalkan B = 𝑒1, 𝑒2, … , 𝑒𝑛 adalah basis baku untuk Rn dan sebuah titik X adalah sebuah vektor yang dibentuk oleh kombinasi linear dari basis tersebut, maka
X = 𝑥1𝑒1 + 𝑥2𝑒2 + …+ 𝑥𝑛𝑒𝑛 X = 𝑥1, 𝑥2, … . , 𝑥𝑛 disebut vektor koordinat
relatif terhadap basis B. Koordinat vektor v terhadap basis B adalah
Dimana 𝑘1, 𝑣1 + 𝑘2, 𝑣2 + ⋯+ 𝑘𝑛𝑣𝑛
𝑣 B
𝑘1
.
.
.𝑘𝑛
Matriks koordinat lama dilambangkan dengan 𝑣 B sedangkan matriks koordinata baru 𝑣 B’.
B = (u1, u2) dan B` = (u`1, u2)
[u`1]B = 𝑎𝑏
dan [u`2]B = 𝑐𝑑
u`1 = au1 + bu2 u`2 = cu1 + du2
[v] B = 𝑘1
𝑘2 v = k1 u`1 + k2 u`2
v = k1(au1 + bu2) + k2(cu1 + du2) v = (k1a +k2c)u1 + (k1b + k2d)u2
[v] B = 𝑘1𝑎 + 𝑘2𝑐𝑘1𝑏 + 𝑘2𝑑
[v] B =𝑎 𝑐𝑏 𝑑
𝑘1
𝑘2 atau [v] B
=𝑎 𝑐𝑏 𝑑
[v] B`
Persamaan ini menyatakan bahwa matriks koordinat lama [v] B
dihasilkan jika kita mengalikan dari kiri matriks koordinat baru [v] B`
dengan matriks P = 𝑎 𝑐𝑏 𝑑
Jika kita mengubah basis untuk untuk suatu ruang vektor V dari suatu basis B = (b1, b2, ...... bn) menjadi suatu basis B` = = (b`1, b`2, ...... b`n), maka matriks koordinat lama [v]B dari suatu vektor v dihubungkan dengan matriks koordinat baru [v] B` dari suatu vektor v yang sama dengan persamaan: [v]B = P[v] B`. Dimana kolom-kolom dari P adalah matriks-matriks koordinat dari vektor-vektor basis baru relatif terhadap basis lama, yaitu vektor-vektor kolom dari P adalah [u`1]
B`[u`2] B......, [u`n] B`. Matriks P disebut matriks transisi dari B` ke B, dinyatakan dalam bentuk vektor-vektor kolomnya sebagai : P = [[u`1]B|[u`2]B|....[[u`n]B]
Contoh :
Diketahui basis B = (u1, u2) dan B` = (u`1, u`2) untuk R2, dimana u1 = (1, 0), u2 = (0, 1), u`1 = (1, 1) dan u`2 = (2, 1)
Tentukan :
Matriks transisi dari B` ke B
Tentukan [v]B jika diketahui [v]B` = −35
Jawab :
u1 = (1, 0), u2 = (0, 1), u`1 = (1, 1) dan u`2 = (2, 1)
u`1 = u1 + u2
u`1 = 2u1 + u2
[u1] B` = 11
dan [u2] B`= 21
maka P = 1 21 1
[v]B = P[v] B`
[v]B =1 21 1
−35
= 72
Contoh:
Tinjau R3 dengan basis B = {e1, e2, e3} dan basis B’ = {E1, E2, E3} dengan E1 = (1,0,1), E2 = (1,1,-1) dan E3 = (0,1,2).
(a) sebuah titik X terhadap basis B mempunyai vektor koordinat (2,7,0). Tentukan vektor koordinat X terhadap basis B’.
(b) bila titik X mempunyai vektor koordinat (1,-2,3) terhadap basis B’, tentukan vektor koordinat X terhadap basis B.
Jawab :
a). Kombinasi linier vektor koordinat terhadap basis B harus sama dengan kombinasi linier Vektor koordinat X terhadap basis B’.
2e1 + 7e2 + 0e3 = x1E1 + x2E2 + x3E3
Maka x1, x2, x3 memenuhi sistem persamaan linier
2 100 + 7
010 + 0
001 = x1
101 + x2
11
−1 + x3
012
270 =
1 1 00 1 11 −1 2
𝑥1
𝑥2
𝑥3
Kofaktor: k11 = (-1)2 1 1
−1 2 = 1 ( 2 + 1 ) = 3
k12 = (-1)3 0 11 2
= -1 ( 0 – 1 ) = 1
k13 = (-1)4 0 1
1 − 1 = 1 ( 0 – 1 ) = -1
k21 = (-1)3 1 0
−1 2 = -1 ( 2 – 0 ) = -2
k22 = (-1)4 1 01 2
= 1 ( 2 – 0 ) = 2
k23 = (-1)5 1 1
1 − 1 = -1 ( -1 -1 ) = 2
k31 = (-1)4 1 01 1
= 1 ( 1 – 0 ) = 1
k32 = (-1)5 1 00 1
= -1 ( 1 – 0 ) =-1
k33 =(-1)6 1 10 1
= 1 ( 1 – 0 ) = 1
1
det 𝐴 𝑎𝑑𝑗
= 1
4
3 −2 11 2 −1
−1 2 1 =
3
4
−2
4
1
41
4
2
4
−1
4−1
4
2
4
1
4
270
=
6
4−
14
4+ 0
2
4+
14
4− 0
−2
4+
14
4+ 0
= −243
𝐵 = 𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛 𝐵′ = 𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑛
𝑃 = 𝑣1 𝑣𝑛
𝑣 𝑃 𝑣
𝑣 𝑃 𝑣
𝑣 𝑃−1 𝑣
Contoh :
Diberikan suatu basis terurut di R2
B = 𝑏1 = 32
, 𝑏2 = 11
dan v = 74
Maka koordinat dari v terhadap basis B adalah (x1, x2) diberikan oleh : v = x1b1 + x2b2 (kombinasi linear dari b1 dan b2) atau dalam
bentuk persamaan matriks 74
= 3 22 1
𝑥1
𝑥2
𝑥1
𝑥2 =
1 −1−2 3
74
= 3
−2
Matriks [b1, b2] dinamakan matriks transisi
Contoh :
Diberikan basis terurut di R3
B = 𝑣1 = 111
, 𝑣2 = 232
, 𝑣3 = 154
dan C
= = 𝑢1 = 110
, 𝑢2 = 120
, 𝑢3 = 121
maka
matriks transisi dari basis B ke Basis C adalah :
𝑃−1 𝑣 = 1 1 11 2 20 0 1
−1 1 2 11 3 51 2 4
=
1 1 −3−1 −1 01 2 4
Bila v = v1 + 2v2 + v3
Maka koordinat v terhadap basis B adalah
𝑣 B
123
Jadi 𝑣 B’=𝑃−1 𝑣 B = 1 1 −3
−1 −1 01 2 4
123
=
−6−317
Cek terhadap basis standar (baku)
𝑣 B` = -6u1 – 3u2 + 17u3 = 82217
dan v = v1 +
2v2 + v3 = 82217
Suatu matriks bujur sangkar A dengan sifat A-1 = AT disebut sebagai matriks orthogonal dimana : AAT = ATA = I
Contoh:
Matriks A =
3
7
2
7
6
7
−6
7
3
7
2
72
7
6
7−
3
7
ATA = =
3
7−
6
7
2
72
7
3
7
6
76
7
2
7−
3
7
3
7
2
7
6
7
−6
7
3
7
2
72
7
6
7−
3
7
=
1 0 00 1 00 0 1
Matriks A =
3
7
2
7
6
7
−6
7
3
7
2
72
7
6
7−
3
7
adalah orthogonal
dimana terbukti ATA = I maka vektor baris dan vektor kolomnya membentuk himpunan ortonormal.
Sifat dasar Matriks Orthogonal
Teorema :
Untuk setiap matriks Anxn =
A orthogonal
Vektor-vektor baris dari A membentuk suatu himpunan orthonormal pada Rn dengan hasil kali dalam Euclidean
Vektor-vektor kolom dari A membentuk suatu himpunan ortonormal pada Rn dengan hasil kali Euclidean.
Teorema :
Invers dari suatu matriks ortogonal adalah ortogonal
Hasil kali matris ortogonal adalah ortogonal
Jika A ortogonal, maka det(A) = 1 atau det(A) = -1
Terima kasih