Analisis Rangkaian Listrik di Kawasan FasorFasor, Impedansi,

Metoda Analisis

Fasor dan Impedansi

Mengapa Fasor?

)cos( tAySudut fasa

Frekuensi sudutAmplitudo

Analisis rangkaian listrik di kawasan waktu melibatkan operasi diferensial dan integral, karena hubungan arus-

tegangan elemen-elemen adalah

dt

diLv L

L dt

dvCi C

C dtiC

v CC1

Di kawasan waktu bentuk gelombang sinus dinyatakan sebagai

Energi listrik, dengan daya ribuan mega watt, disalurkan menggunakan bentuk gelombang sinus.

Pekerjaan analisis rangkaian, dimana peubah rangkaiannya berbentuk gelombang sinus, akan sangat dipermudah jika operasi-operasi diferensial dapat dihindarkan.

Siaran radio juga dipancarkan dengan menggunakan bentuk gelombang sinus.

Bentuk gelombang sinus sangat luas digunakan.

Dalam matematika ada sebuah fungsi yang turunannya berbentuk sama dengan fungsi itu

sendiri, yaitu

Jika sinyal sinus dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi eksponensial, maka operasi diferensial

dan integral akan terhindarkan

xx

edx

de x

x

Aedx

dAe

Fungsi Eksponensial

Hal itu dimungkinkan karenaada hubungan antara fungsi sinus dan fungsi eksponensial yaitu

xjxe jx sincos

Ini adalah fungsi eksponensial kompleks

Berikut ini kita akan melihat ulang bilangan

kompleks

Bagian nyata pernyataan kompleks ini yang digunakan untuk menyatakan sinyal sinus

Identitas Euler

Bilangan Kompleks

012 s

Tinjau Persamaan:

js 1

Akar persamaan adalah:

Bilangan tidak nyata (imajiner)

00.5

11.5

22.5

33.5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x

x

Tak ada nilai untuk negatifx x

Pengertian Tentang Bilangan Kompleks

jbas dengan a dan b

bagian nyata dari s Re(s) = a

bagian imajiner dari s Im(s) = b

Re(sumbu nyata)

Im(sumbu imajiner)

a

s = a + jbjb

Bilangan kompleks didefinisikan sebagai

|S|cosθ = Re (S)

|S| sinθ = Im (S)

θ = tan1(b/a)

22 baS

bagian nyata dari S

bagian imaginer dari S

Bilangan kompleks

S = |S|cosθ + j|S|sinθ

a Re

Im

S = a + jbjb

(sumbu nyata)

(sumbu imajiner)

Re

Im

S = a + jb

| S

|

jb

a

Representasi Grafis Bilangan Kompleks

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5Re

Im

4

3

2

1

-1

-2

-3

3 + j4 = 5cos + j5sin

5

Contoh

Penjumlahan

jbas 1

)()(21 qbjpass

Perkalian

))(())(( 21 jqpjbass

Pembagian

jqp

jba

s

s

2

1

jqps 2

jbas 1

jqps 2

)()(21 qbjpass

)()( bpaqjbqap

22

)()(

qp

aqbpjbqap

jqp

jqp

+ --

Operasi-Operasi Aljabar Bilangan Kompleks

Pengurangan

43dan 32 21 jsjs

25

1

25

18

43

)98()126(

43

43

43

32

22

2

1

jj

j

j

j

j

s

s

75)43()32(21 jjjss

11)43()32(21 jjjss

176)98()126(

)43)(32())(( 21

jj

jjss

diketahui:

maka:

Contoh

)sin(cos)( jeeee jj

Fungsi eksponensial bilangan kompleks didefinisikan sebagai

dengan e adalah fungsi eksponensial riil

jbaS

)sin(cos22 jbaS

jebaS 22

Dengan identitas Euler ini bilangan komleks yang dituliskan sebagai:

sincos je jdan Ini identitas Euler

Penulisan bilangan kompleks di atas adalah penulisan dalam bentuk sudut siku yang juga dapat dituliskan dalam bentuk polar yaitu:

dapat dituliskan sebagai:

Bentuk Sudut Siku dan Bentuk Polar

|S| = 10 sudut fasa: θ = 0,5 rad S = 10 e j0,5 Bentuk Polar

8,48,8)48,088,0( 10

)5,0sin5,0(cos 10

jj

jS

Bentuk Sudut Siku

rad 93,03

4tan 1

S = 3 + j4 543 || 22 SBentuk Sudut Siku

S = 5e j 0,93Bentuk Polar

543 || 22 S rad 93,03

4tan 1 SS = 3 j4 Bentuk Sudut Siku

S = 5e j 0,93Bentuk Polar

Contoh

* atau ||* 2 SS|S|SSS

**2121 SSSS *

*

**

1

1

2

1

S

S

S

S

**2121 SSSS *

Suatu bilangan kompleks dan konjugatnya mempunyai hubungan-hubungan berikut:

S = a + jb

S* = a jb

Re

Im

Re

Im

Bilangan kompleks S mempunyai konjugat S*

Konjugat dari S = a + jb adalah S* = a - jb

S* = p + jq

S = p jq

Kompleks Konjugat

Dalam Bentuk Fasor

Pernyataan Sinyal Sinus

hanya amplitudo A dan sudut fasa θ yang diperhatikan karena diketahui sama untuk seluruh sistem

Sinyal Sinus di kawasan waktu : )cos( tAv

Mengingat relasi Euler, fungsi ini bisa dipandang sebagai bagian riil dari suatu bilangan kompleks

A e j(t+) = A {cos(t + θ) + j sin(t + θ)} = V

v = Re(V) = Re ( A e j t e j θ )sehingga dapat ditulis dalam bentuk:

Jika seluruh sistem (rangkaian) mempunyai bernilai sama maka ejt bernilai tetap sehingga tak perlu selalu dituliskan

V = A e j θ dapat ditulis dalam bentuk eksponensial kompleks :

dan sinyal sinus )cos( tAv

Re dan e j

tidak ditulis lagi

Inilah yang disebut Fasor

Fasor

A

Ae j

V

V

dituliskan

sincos jAAAV

a

bbajba 122 tanV

Karena hanya amplitudo dan sudut fasa saja yang diperhatikan maka

V

|A|

Im

Rea

jb

Penulisan dan Penggambaran Fasor

Penulisan sinyal sinus dalam bentuk fasor

07,707,7)45sin(10)45cos(10

atau 4510oo

1

o1

jj

V

V )45500cos(10)( o1 ttv

)30500cos(15)( o2 ttv

5,799,12)30sin(15)30cos(15

atau 3015oo

2

o2

jj

V

V

menjadi:

menjadi:

Pada frekuensi = 500

1000cos4)( 1 tti

4)0sin(4)0cos(4

atau 04oo

1

o1

jI

I

)901000cos(3)( o2 tti

3)90sin(3)90cos(3

atau 903oo

2

o2

jj

I

I

menjadi:

menjadi:Pada frekuensi = 1000

Contoh

A|A|

Im

Re A|A|

A*

a

jb

a

jb

Jika AA

A*A

180

180 o

o

A

AA

maka negatif dari A adalah

dan konjugat dari A adalah

jba A

jba *A

jba AJika

Fasor Negatif dan Fasor Konjugat

Perkalian

)( 21 ABBA

)( 212

1

B

A

B

A

B

APembagian

2121

2121

sinsincoscos

sinsincoscos

BAjBA

BAjBA

BA

BA

Penjumlahan dan Pengurangan

2BB1AAJika diketahui :

maka :

Operasi-Operasi Fasor

343004213 jjj III

o1223 9,216 5

4

3tan)3()4(

I

ooo*111 4540 )04()4510( IVS

ooo*222 12045)903()3015( IVS

oo

o

2

22 1205

903

3015

I

VZ

oo

o

1

11 455.2

04

4510

I

VZ

o1 4510 V

o2 3015V

o1 04I

o2 903 I

Diketahui:

maka :

Re

I3

-4

-3

Im216,9o

5

Contoh

Impedansi

Impedansi suatu elemen rangkaian di kawasan fasor adalah perbandingan antara

fasor tegangan dan fasor arus elemen tersebut

x

xxZ

I

V

impedansi

fasor tegangan

fasor arus

Catatan: Ada pengertian impedansi di kawasan s yang akan kita pelajari kemudian

Impedansi di Kawasan Fasor

jtjRm

tjRm

RmR

eei

ei

titi

)cos()()(

+ vR

iR

jtj

Rm

RR

eeRi

tRitv

)()(

RR II

RR RIV

R

RRI

V

Kawasan fasor

Kawasan waktu

Impedansiresistansi resistor di kawasan waktubernilai sama denganimpedansinya di kawasan fasor

R

R

i

vR

Resistor

Resistor

iL

+ vL

jtjLm

tjLm

LmL

eei

ei

titi

)cos()()(

)(

)()(

jtjm

LL

eeiLj

dt

tdiLtv

LL II

LL Lj IV

LjZL

LL

I

V

Kawasan fasor

Impedansi

dt

diLv L

L

Kawasan waktu

hubungan diferensial hubungan linier

Induktor

iC

+ vC `

)(

)(

)(

tjCm

CC

evCj

dt

dvCti

)(

)cos()(

tj

Cm

CmC

ev

tvtvKawasan fasor

Impedansi

CC Cj VI

CC VV

Cj

CjZ

C

CC

1

1

I

Vdt

dvCi C

C

Kawasan waktu

hubungan diferensial hubungan linier

Kapasitor

R

RRI

V LjZ

L

LL

I

V

Cj

CjZ

C

CC

1

1

I

V

Impedansi: Z

Admitansi: Y = 1 / Z

RYR

1

L

j

LjZY

LL

11

CjZ

YC

C 1

IV Z

Perhatikan: relasi ini adalah relasi linier.

Di kawasan fasor kita terhindar dari perhitungan diferensial.

VI Y

Impedansi dan Admitansi

)()( jXRZ

11

)/1(

)/1(2

2

2//RC

CRLj

RC

R

CjR

CjRLjZ CRL

• Perhatian : Walaupun impedansi merupakan pernyataan yang berbentuk kompleks, akan tetapi impedansi bukanlah fasor. Impedansi dan fasor merupakan dua pengertian dari dua konsep yang berbeda.– Fasor adalah pernyataan dari sinyal sinus – Impedansi adalah pernyataan elemen.

Impedansi Secara Umum

Kaidah Rangkaian dan Diagram Fasor

LjRZ seriRL

IV LjRseriRL

R

+ VR

I

+ VL

jL

C

jRZ seriRC

IV 1

Cj

RseriRC+ VC

Rj/C

+ VR

I

Hubungan Seri

IV

C

jLjseriLC

CLjZ seriLC

1 j/CjL

+ VL + VC

I

Kaidah Pembagi Tegangan

nseritotal

seritotalseritotal

ZZZZ

Z

21

IV

totalseritotal

kk Z

ZVV

Kaidah Pembagi Tegangan

VV

I kk

k YZ

VVII total

n

kk

n

kktotal YY

11

n

n

kktotal ZZZ

YY111

211

totaltotal

kkk Y

YY IVI

Itotal

I3

R

jL

j/C

I1I2

Kaidah Pembagi Arus

Kaidah Pembagi Arus

Diagram Fasor

IL

VL

Re

ImArus 90o di belakang tegangan

L = 0,5 H , iL(t) = 0,4cos(1000t) A

5005,01000 jjZ L

V 9020004,090500

04,0)500(ooo

o

jZ LLL IV

Arus dijadikan referensi (sudut fasa = 0)

Di kawasan waktu:

-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

0 0,002 0,004 0,006 0,008

100 iL(t)

vL(t)VA

detik

Arus dan Tegangan pada Induktor

Misalkan

C = 50 pF , iC(t) = 0,5cos(106 t) mA

V 9010

)0105,0()901020(

k 20)1050(10

1

o

o3o3

126

CCC

C

Z

jj

CjZ

IV

IC

VC

Re

Im

arus 90o mendahului tegangan

Arus dijadikan referensi (sudut fasa = 0)

detik

Di kawasan waktu:

-10

-5

0

5

10

0 0,0005 0,001 0,0015 0,002

10 iC(t)V

mA

vC(t)

Arus dan Tegangan pada Kapasitor

Misalkan

A 405dan V 10120 oo IV

128,20)30sin(24)30cos(24

3024405

10120 oo

o

jj

Z B I

V

Pada sebuah beban : v(t) =120cos(314t +10o) V i(t) = 5cos(314t + 40o) A

IV

Re

Im arus mendahului tegangan

Beban Kapasitif

Pada sebuah beban : v(t) =120cos(314t + 20o) V i(t) = 5cos(314t 40o) A

8,2012

)60sin(24)60cos(24

6024405

20120

oo

oo

o

j

j

Z B I

V

I

V

Re

Im

arus tertinggal dari tegangan

A 405 dan V 20120 oo IV

Beban Induktif

87,36125

100

75tan)75()100(

7510025 100100

o

122

jjjZ tot

A 36,87287,36125

0250 oo

o

tot

s

Z

VI

i(t) = 2 cos(500t + 36,87o) A

Kembali ke kawasan waktu

251050500

1001020500

100 V; 0250

3

6

o

jjZ

jj

Z

Z

L

C

RsV

100 j100

j25Vs=

2500oV

+

Transformasi rangkaian ke kawasan fasor

100+

20F50mHvs(t) =

250 cos500t V

i = ?

Beban RLC seri, analisis di kawasan waktu

87,36125

100

75tan)75()100(

7510025 100100

o

122

jjjZ tot

A 36,87287,36125

0250 oo

o

tot

s

Z

VI

100 j100

j25Vs=

2500oV

+

I

V Re

Im

100+

20F50mHvs(t) =

250 cos500t V

Transformasi rangkaian ke kawasan fasor

Beban RLC seri ini bersifat kapasitif |ZC| > |ZL| arus mendahului tegangan

25 ; 100

100 ;0250 o

jZjZ

Z

LC

RsV

Beban RLC Seri, analisis di kawasan fasor

100 j100

j25Vs=

2500oV

+

VL = jXL I

VR = RI

Vs

Re

Im

VC = jXC II

V 26,87105025087,36125

9025

V ,1335200025087,36125

90100

V 36,87200025087,36125

100

ooo

o

ooo

o

ooo

L

C

R

V

V

V

A 36,87287,36125

0250 oo

o

tot

s

Z

VI

87,3612575100 o jZtot

Fasor tegangan rangkaian mengikuti hukum Kirchhoff

LCRs VVVV

Fasor Tegangan Tiap Elemen

V 0250

100

25

100

o

s

L

C

R

jZ

jZ

Z

V

87,36125

100

75tan)75()100(

75100100 25100

o

122

jjjZtot

A 36,87287,36125

0250 oo

o

tot

s

Z

VI

100 j25

j100Vs=

2500oV

+

IV Re

Im

Pada beban kapasitif |ZL| > |ZC|arus tertinggal dari tegangan

Beban RLC seri induktif

.0250

01.0

04.0

01.0

o

s

L

C

R

jY

jY

Y

V

03.001.0

01.004.001.0

j

jjYtot

100

j25

j100Vs=

2500oV

+

I

o122 6.719.75.2

5.7tan5.72.5

5.75.2)03.001.0(250

jjYVI

I

V Re

Im

Beban RLC Paralel

Teorema Rangkaian

XY K

Y = fasor keluaran,

X = fasor masukan,

K = konstanta proporsionalitas yang pada umumnya merupakan bilangan kompleks

Prinsip Proporsionalitas

Prinsip Superposisi

selalu berlaku di kawasan waktu dan berlaku di kawasan fasor bila frekuensi

sama

Prinsip Superpossi

20cos4t V +_ 83cos4t Aio

3H

200o +_

8 j6

Io1 j12 8

30o j6

Io2 j12

A 9,3629,3610

020

68

020

6128

020

oo

o

oo

o1

jjjI

A 4,1932,4039,3610

3,564,14

0368

12803

)128/(1)6/(1

)6/(1

ooo

o

ooo2

j

j

jj

jI

24,07,544,11,42,16,1o21oo jjj III

oo 4,27,5 I )4,24cos(7,5)( o

o tti

Contoh

TNTNNNTT Z

YYZ1

; ; VIIV

RT

A

B

vT+ VT

ZT

A

B

+

Kawasan waktu Kawasan fasor

Teorema Thévenin

V 3,399,19

45207,5995,0

452010010

100

V 9010901,0100

o

o

o

oo

j

jB

A

V

V

V 6,226,156,124,1510

3.399,199010 oo

jjjBAT

VVV

99,09,10910010

)100(10100 j

j

jZT

+j100

10

1000,190o A

2045o V

`

A B

+VT

ZT

A B

Contoh Rangkaian Ekivalen Thévenin

Metoda Analisis

j9 j3

+

140 V

12 A B C

D

9 3

Ix

j3 I1 I2

I3 I4

+ vx +

14cos2tV

12 A B C

D

9 3

ix

3/2 H

1/6 F1/18 F

ti

K

x

xx

2cos5,0

05,028

014

28

1

28

1 oo

AA

VIV

I

A )01(Misalkan jx I

V 2891213

4

jjBA VV

V 3jC VV 1

3 jC

VI4

A 11 jx 43 III

V 311333 jjjjCB 3IVV

A 3

1

92 BVI A 1

3

4 321

jIII

Metoda Keluaran Satu Satuan

A )8,732cos(3)9,364cos(2 sehingga

A )8,732cos(3dan A )9,364cos(2oo

o2o1o

o2o

o1o

ttiii

titi

Karena sumber berbeda frekuensi maka fasor Io1 dan Io2 tidak dapat langsung dijumlahkan. Kembali ke kawasan waktu, baru kemudian dijumlahkan

20cos4t V +_ 93cos2t Aio

3H

200o+_

9 j6

Io1 j12 9

30o j12

Io2 j6

A 9,3629,3610

020

68

020

6128

020

oo

o

oo

o1

jjjI

A 8,733039,3610

9,3610

0368

6803

)68/(1)12/(1

)12/(1

ooo

o

ooo2

j

j

jj

jI

Metoda Superposisi

+

18cos2t V

i

62 2

1H

A

B

2H

1/8 F

V 12

9 018

462

2 o

jjhtT

VV

A 2cos1

A 01

)12(2)47(

)12(

)12(

9

42o

ti

jjj

j

jjjZT

T

V

I

+

180o V

6

2

A

B

j4

j2 j4

I

2

+

180o V

6 2

A

B

j4

2

12

47

48

812816

462

4622

j

j

j

jj

j

jZT

+

VT

IA

B

j4

ZT j2

Metoda Rangkaian Ekivalen Thévenin

i1 =0.1cos100t A

v =10sin100t V

200F 1H

50

ix?A B

A B

I1 =0.10o A

V=1090oV

j50 j100

50

Ix

Sumber tegangan dan sumber arus berfrekuensi sama, = 100. Tetapi sumber tegangan dinyatakan dalam sinus, sumber arus dalam cosinus. Ubah kedalam bentuk standar, yaitu bentuk cosinus melalui kesamaansinx = cos(x90)

sumber tegangan tersambung seri dengan resistor 50 paralel dengan induktor j100

Simpul B hilang. Arus Iy yang sekarang mengalir melalui resistor 50, bukanlah arus Ix yang dicari; Iy kali 50 adalah tegangan simpul A, bukan tegangan simpul B tempat Ix keluar

IyA

I2

j50 j100

50

I1 =0.10o A

Iy

j50 j100

50I1 I2

Metoda Reduksi Rangkaian

30

10

120

122 : Gauss eliminasi

10

10

11

122

B

A

B

A

V

V

V

V

j

jj

j

jj

I1 =0,10o A

V=1090oV

j50 j100

50

Ix=?A B

VVV

VVVI

BA

BBA1

: B

05010050

:A jj

o

o

B

A

9010

01,0

1150

1

100

1

50

1

V

Vjj

V 4,186,1215,0

1010

15,0

151010

6,26 0,268 V; 6,264,136125

)12(30

12

30

oBA

ooB

j

j

j

jjj

jj

j x

VV

IV

Metoda Tegangan Simpul

I =0,10o A

V=1090oV

j50 50

A B

I1 I2I3

0

10

1.0

100501000

1001005050

001

3

2

1

j

jj

jjjj

I

I

I

0

1

1.0

2120

1055

001

3

2

1

j

jj

jjj

I

I

I

3

5.1

1.0

10500

1050

001

3

2

1

j

j

j

jj

I

I

I

A 2,533,0 5

105,1 A; 6,2627,0

105

3 A; 01,0 o3

2o

30

1

j

jj

j

j IIII

Metoda Arus Mesh

Course Ware

Analisis Rangkaian Listrik Di Kawasan Fasor

Fasor, Impedansi, Metoda Analisis

Sudaryatno Sudirham