Bab I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Sistem bilangan yang sudah dikenal sebelumnya adalah sistem bilangan real, tetapi sistem

bilangan real ternyata masih belum cukup untuk menyelesaikan semua bentuk permasalahan

dalam berbagai operasi dan persamaan dalam matematika. Oleh karena itu, diperlukan sistem

bilangan baru yaitu sistem bilangan kompleks. Sistem bilangan kompleks terdiri dari bilangan

kompleks, fungsi analitik, fungsi elementer, integral fungsi kompleks, deret kompleks, dan metode

pengintegralan residu.

Dalam sistem bilangan kompleks fungsi elementer sangat penting dan sebagai penunjang

untuk mempelajari sistem bilangan kompleks yang lainnya. Fungsi elementer diantaranya, fungsi

linear, fungsi pangkat, fungsi bilinear, fungsi eksponensial, fungsi logaritma, fungsi trigonometri

dan fungsi hiperbola. Pemahaman tentang fungsi elementer sendiri sangat diperlukan dalam

menganalisis suatu kurva secara geometris.

Dalam makalah ini akan dibahas tentang Fungsi Trigonometri dan Fungsi Hiperbolik

dalam bilangan kompleks.

1.2 Rumusan Masalah

1. Apa definisi dari fungsi Trigonometri dan fungsi Hiperbolik?

2. Apa saja contoh fungsi Trigonometri dan fungsi Hiperbolik?

3. Teorema apa saja yang terdapat dalam fungsi Trigonometri dan Fungsi Hiperbolik?

1.3 Tujuan

1.Mengetahui definisi Fungsi Trigonometri dan Fungsi Hiperbolik?

2. Mengetahui contoh Fungsi Trigonometri dan Fungsi Hiperbolik?

3. Mengetahui Teorema Fungsi Trigonometri dan Fungsi Hiperbolik?

i

Fungsi Trigonometri dan Fungsi Hiperbolik

Disusun oleh:

Kelompok 3

Nama NPM

1. Desni Winata Sinaga 121500042. Rohdame Tindaon 121500183. Sartika Candra Dewi Sinaga 121500324. Mariana Reanita Sirait 121500365. Laurensius Tamba 121500426. Riris Margareta Siadari 12150044

PRODI : PENDIDIKAN MATEMATIKA

Grup : A

MATA KULIAH : ANALISIS KOMPLEKS

DOSEN PEMBIMBING : Dr.Binur Panjaitan,M.Pd

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS HKBP NOMMENSEN

PEMATANGSIANTAR

2015

Daftar IsiBab I Pendahuluan 1.1 Latar Belakang ......................................................................................................i

1.2 Rumusan Masalah................................................................................................i

1.3 Tujuan ..................................................................................................................iBab II Isi2.1 FUNGSI KOMPLEKS TRIGONOMETRIK

A.Defenisi Fungsi Trigonometri....................................................................1

2.2FUNGSI KOMPLEKS HIPERBOLIK

A. Definisi Fungsi Kompleks Hiperbolik....................................................... 5

B. Sifat-sifat Dan Bukti Pada Fungsi Kompleks Trigonometri ..................... 7C. Perbedaan fungsi kompleks trigonometri dengan fungsi nyata trigonometri.......................................................................................12Bab III

Kesimpulan dan Saran................................................................................................ 13

Bab II

ISI

2.2 FUNGSI KOMPLEKS TRIGONOMETRIK

Dengan menggunakan rumus euler

e ix=cos x+ isin x ………………………………1¿¿

Maka ,

e−ix=e i(− x)=cos (−x)+i sin (−x )=cos x−sin x ……………2¿¿

Dua persamaan berikut kita eliminasi ,

e ix=cos x+ isin x..................1)

e−ix=cos x−i sin x...................2)

Kurangkan, diperoleh

e−ix−e ix=2 i sin x

Maka,

sin x= 12i

(e−ix−e ix)

Dengan cara serupa, diperoleh

cos x= 12 i

(e−ix +e ix)

Kedua rumus tersebut dapat dikatakan mewakili bentuk kompleks fungsi nyata sinus dan cosinus. Untuk fungsi kompleks trigonometri, didefinisikan dengan mengganti x (pada fungsi nyata trigonometri di atas) dengan z, yaitu ;

A.Defenisi Fungsi Trigonometri

sin z= 12i

( eiz−e−iz) dan cos z=¿ 12

(e iz+e−iz )¿

Untuk semua bilangan kompleks z

Empat fungsi trigonometri yang lain didefenisikan:

tan z= sin zcos z

cot z=cos zsin z

sec z=¿ 1cos z

csc z= 1sin z

¿

Dengan syarat penyebut pada empat bentukterakhirtidak sama dengan nol

Contoh Soal

Contoh 1 : Tentukan nilai cos i

Jawab : Dengan menggunakan definisi ,

Cos i = 12

(e i .i+e−i .i )=12

(e−1+e1 )= 12 ( 1

e+e)≈ 1,54308

Contoh 2 : Tentukan yang memenuhi cos z=2

Jawab : Dengan menggunakan definisi ,

Cos z = 12

(e iz+e−iz )→ 2=12

( eiz+e−iz )

maka diperoleh :

4=e iz+e−iz

Misalkan s=e iz , maka diperoleh

4=s+1s

→ 4 s=s2+1→ s2−¿4s+1=0

Menggunakan rumus abc , diperoleh

S=4 ±√16−4

2=4 ± √ 12

2=2± √ 3

maka,

s=2+ √ 3 atau s=2-√ 3

e iz=2+√3 atau eiz=¿2-√ 3

iz=In(2+√3¿atauiz=In(2-√ 3¿

z=(In(2+√3¿¿/ iatau z=(In(2-√ 3¿¿/ i

Diperoleh solusinya yaitu

z=(In(2+√3¿¿/ iatau z=(In(2-√ 3¿¿/ i

Contoh 3 Gunakan definisi fungsi kompleks untuk menuliskan bilangan-bilangan berikut dalam bentuk A+iB

Jawab : menurut definisi

cos π=12

¿

Ingat identitas euler yaitu e iπ=1 , sehingga

cos π=12(e iπ+e−iπ)

cos π=12(e iπ+ 1

e−iπ)

¿12 (−1+( 1

−1 ))¿ 1

2(−2 )

¿−1

Dalam bentuk yang diinginkan , maka cosπ=−1+0 i

Contoh 4

Carilah turunan keenam fungsi trigonometrik dan nyatakan dalam suku-suku trigonometrik pula

Jawab : ddz

[ sin−1 ]= ddz [ 1

2 i(e iπ+e−iπ ) ]

12i

(i e iπ+e−iπ )

¿ 12(eiπ+e−iπ)

¿cos z

: ddz

[ cos z ]= ddz [ 1

2i( eiπ+e−iπ )]

¿12

(i eiπ−e−iπ )

¿i2

(e iπ−e−iπ )

¿ ii

i2

( eiπ−e−iπ )

¿− 12 i

(e iπ+e−iπ )

¿−sin z

: ddz

[ tan z ]= ddz [ 1

2 i(eiz−e−iz)

12

( eiz+e−iz ) ]

¿ 1i

.ddz [ 1

2i(e iz−e−iz)

12

(e iz+e−iz) ]

¿ 1i

.(i eiz+e−iz )(eiz+e−iz)(ie iz−e−iz)(eiz−e−iz)

(e iz+e−iz)2

¿ ii

.(e iz+e−iz )(e iz+e−iz)(e iz−e−iz)(eiz−e−iz)

(eiz+e−iz)2

¿(e2iz+2e ize−iz+e−2 iz )−(e2 iz−2eiz e−iz+e−2 iz)

(eiz+e−iz)2

¿(e2iz+2+e−2 iz )−( e2 iz−2+e−2 iz )

(e iz+e−iz)2

¿ 4

(e iz+e−iz)2

¿ 1¿¿

¿ 1

cos2 z

¿ sec2 z

: ddz

[ tan z ]= ddz [ 1

2 i(eiz+e−iz)

12

(e iz−e−iz ) ]

¿ i .ddz [ 1

2 i(eiz+e−iz)

12

( eiz−e−iz ) ]

¿ i .(i eiz−e−iz )(eiz−e−iz)(i eiz+e−iz)(eiz+e−iz )

(eiz−e−iz)2

¿ i2 .(e iz−e−iz )(e iz−e−iz)(eiz+e−iz )(eiz+e−iz )

(e iz−e−iz)2

¿−( e2 iz−2e ize−iz+e−2 iz )−( e2 iz+2eiz eiz+e−2 iz )

(eiz−e−iz)2

¿−( e2 iz+2+e−2 iz )−( e2 iz−2+e−2 iz )

(eiz−e−iz)2

¿− −4

(e iz−e−iz)2

¿− 1¿¿

¿− 1

cos2 z

¿−sec2 z

:ddz

[ sec z ]= ddz [ 1

12

(e iz−e−iz ) ] ¿1−0¿¿

¿

−12

( eiz−e−iz )

¿¿

¿

−12

.ii

(e iz−e− z )

¿¿

¿

12 i

. (e iz−e−iz )

¿¿

¿ sin z

cos2 z

¿ tan z sec z

:ddz

[ csc z ]= ddz [ 1

12

( eiz−e−iz) ]¿1−0¿¿

¿

−12

( eiz+e−iz )

¿¿

¿ −cos z

sin2 z

¿−cot zcsc z

Non Contoh (contoh yang bukan merupakan fungsi kompleks trigonometri) Yaitu, fungsi-fungsi kompleks yang tidak memenuhi definisi fungsi kompleks trigonometri (selain yang didefinisikan pada definisi fungsi kompleks trigonometri)

Misalnya, fungsi linear yaitu : f ( z )=az+b ,atau fungsi kompleks yang lain, g ( z )=1z

2.1 FUNGSI KOMPLEKS HIPERBOLIK

A.Definisi fungsi kompleks hiperbolik

sinh z=12

( ez−e− z )

dan

cosh z=12

(ez+e−z )

Empat fungsi hiperbolik yang lain didefinisikan

tanh z= sinh zcosh z

coth z= cosh zsinh z

sech z= 1cosh z

csch z= 1sinh z

Hubungan Fungsi Kompleks Hiperbolik Dengan Fungsi Kompleks Trigonometrik yaitu,

cos (iz )=cosh z dan sin (iz )=isinh (z)

Bukti : cos (iz )=12

(e i (iz )+e−i (iz ) )=12

(e− z+ez )=cosh z

dan

sin (iz )=12

(e i( iz )+e−i (iz ) )=−i2

( e−z−ez )=isinh z

Penulisan cos z dan sin z dalam bentuk u+iv

Misalkan, z=x+iy

sin ( x+iy )= 12 i

(e i ( x+iy )−e−i ( x+iy ) )

¿ 12i

( eix e− y−e−ix e y )

¿ 12i

¿

¿ 12i

¿

¿ 12i

¿

¿ i cos x ( ey−e− y

2 i )+sin x ( e y−e− y

2 i )

¿ i cos x . sinh y+sin xcosh y

¿ sin x cosh y+i cos x . sinh y

Dengan langkah serupa,¿cos x cosh y+i sin x . sinh y

B.Sifat-sifat Dan Bukti Pada Fungsi Kompleks Trigonometri

1) sin z=0 ↔ z=kπ , k∈Z

bukti :

(← )

Karena z=kπ maka

sin z=12

(e iz+e−iz )

¿ 12i

( ekπi+e−kπi )

¿ 12i

(cos kπ+i sin kπ−coskπ+ isin kπ )

¿ 2i sin kπ2 i

¿ sin kπ

¿0

(→)

Karena sin z=0sesuai definisi

12i

( eiz+e−iz )=0

karena ,12i

≠ 0 maka tentu saja e iz−e−iz=0

jadi,

e iz=e−iz →eiz

e−iz=1 → e2 iz=1

kedua ruas di logaritma natural kan! Diperoleh ,

2 iz=i .2kπ → z=kπ

2) cos z=0 ↔π2+kπ , k∈Z

bukti :

(←)

Karenaz=π2+kπ , maka

cos z=12

( eiz+e−iz )

¿ 12(e( π

2+kπ)i

+e−( π

2+kπ)i)

¿12 (cos( π

2+kπ )+isin ( π

2+kπ )+cos (−π

2−kπ )+isin (−π

2−kπ ))

¿12 (cos( π

2+kπ )+isin ( π

2+kπ )+cos ( π

2+kπ )−isin ( π

2+kπ ))

¿ 12

(sin (kπ )+ icos ( kπ )+sin (kπ )−i cos (kπ ))

¿ 2sin k π2

¿ sin k π

¿0

Karena cos z=0sesuai definisi

12

(e iz+e−iz )=0

maka

e iz−e−iz=0

jadi,

e iz=e−iz →eiz

e−iz=−1→ e2iz=−1

kedua ruas dilogaritmanaturalkan! Diperoleh ,

2 iz=i . (π+2kπ )→ z=π2+kπ

3) sin ( z )=−sin z

bukti :

sin (−z )= 12 i

(e i(−z )−e−i (−z ))= 12i

( e−iz−e iz)=−12 i

(e iz−e−iz )=−sin z

4) cos (−z )=cos z

bukti :

cos (−z )=12

(e i(−z )+e−i(− z))=12

(e−iz+eiz )=12

(e iz+e−iz )=cos z

5) sin2 z+cos2 z=1

bukti :

sin2 z=( 12 i

(e iz−e−iz ))2

=−14

(e2 iz−2 eiz e−iz+e−2iz )=−14

( e2iz−2+e−2iz )

cos2 z=( 12

(e iz+e−iz ))2

= 14

( e2 iz+2 eiz e−iz+e−2iz )=14

(e2iz+2+e−2 iz )

maka ,

sin2 z+cos2 z=14

(( e2 iz+2+e−2 iz)−(e2 iz−2+e−2 iz ))= 14

( 4 )=1

6) sin ( z+w )=sin zcos w+sin w cos z

bukti :

¿ 12i

( ei ( z+w )−e−i ( z+w ) )

¿ 12i

( eiz eiw−e−iz e−iw )

¿ 14 i

(2 e iz eiw−2 e−iz e−iw )

¿ 14 i

( eiz eiw+e iz e−iw−e−iz eiw−e−iz e−iw+e iz eiw−e−iz e−iw+e−iz eiw−e−iz e−iw )

¿ 14 i

( eiz eiw+e iz e−iw−e−iz eiw−e−iz e−iw )+ 14 i

(eiz e iw−e−iz e−iw+e−iz e iw−e−iz e−iw )

¿( 12 i

(e iz−e−iz ) . 12

(e iz e−iw ))+( 12i

( eiw−e−iw ) . 12

( eiz+e−iz ))=sin z cosw+sin w cos z

7) cos (z+w )=cos zcos w+sin z sin w

bukti :

¿ 12

(e i ( z+w )+e−i (z+w ))

¿ 12i

( eiz eiw+e−iz e−iw )

¿ 14 i

(2 e iz eiw+2e−iz e−iw )

¿ 14 i

(eiz e iw+e iz e−iw+e−iz e iw+e−iz e−iw+(e iz e iw−e−iz e−iw+e−iz eiw−e−iz e−iw))

¿ 14 i

( eiz eiw+e iz e−iw+eiz e−iw+e−iz e−iw )+ 14 i

(e iz e iw−e−iz e−iw−e−iz eiw +e−iz e−iw )

¿( 12 i

(e iz−e−iz ) . 12

(e iw e−iw ))−( 12i

( eiz−e−iz ). 12

(e iw+e−iw ))¿cos z cosw+sin zsin w

8) |sin z|2=sin2 x+sinh2 y , dimana z=x+iy

Bukti :

Perhatikan sin z=sin x cosh y+icos x sinh y

|sin z|2=(√ (sin xcosh y )2 (cos x sin y )2 )2

¿ sin2 xcos h2 y+cos2 x sin h2 y

=sin2 xcosh2 y+(1−sin2 x ) sin h2 y

=sin2 xcosh2 y−sin2 x sin h2 y+sin2 y

=sin2 x (cosh2 y−¿ x sin h2 y )+sin2 y ¿

=sin2 x+sinh2 y sin2 x+sinh2 y

9) dxdx

[ sin z ]=cos z

Bukti : ¿dxdx [ 1

2(e iz+e−iz )]

¿12

(i eiz+ie−iz )

¿12

(i eiz+ie−iz )

¿cos z

Sifat-sifat yang lainnya mengenai fungsi kompleks trigonometri dan fungsi kompleks

hiperbolik

10) Identitas dasar Hiperbolik : cosh2 z−sinh2 z=1

cosh2 z−sinh2 z=¿ 14

(e2 z−2+e−2 z )− 14

( e2 z−2+e−2 z )=1

Bukti :

11) sinh ( z )=−sinh z

bukti :

sinh (−z )=12

( e(−z )−e−(−z ))=−12

(e z−e− z )=−sinh z

12) cos (−z )=cos z

bukti :

cos (−z )=12

(e(− z)+e−(−z ))=12

(e z+e−z )=cosh z

Contoh penggunaan sifat :

Gunakan sifat – sifat yang telah ada untuk menunjukkan bahwa

sin 3z = 3 sin z (cos2 z – sin2 z)

Jawab :

sin 3z = sin (2z + z) = (sin 2z)(cos z) + (sin z) (cos 2z)

= (2 sin z cos z)(cos z) + (sin z)(cos2 z – sin2 z)

= 2 sin z cos2 z + sin z cos2 z – sin3 z

= 3 sin z cos2 z – sin3 z

= 3 sin z (cos2 z – sin2 z)

C.PERBEDAAN FUNGSI KOMPLEKS TRIGONOMETRI DAN FUNGSI NYATA TRIGONOMETRI Perbedaan terbesar terletak pada batas nilainya Jika pada fungsi nyata trigonometri kita mengenal untuk (begitu juga untuk cos) Pada fungsi kompleks trigonometri, kita tidak mengenal hal itu (not bounded) Tentu saja karena Bilangan Kompleks tidak mengenal suatu urutan. Dua bilangan kompleks tidak bisa dibandingkan nilainya, yang bisa dibandingkan adalah modulusnya.

Bab III

Kesimpulan dan Saran

Kesimpulan nya bahwa fungsi trigonometri berhubungan dengan fungsi hiperbolik sifat maupun pembuktian saling keterkaiatan

Untuk saran sangat penting bagi pembaca memahami sifat untuk menyelesaikan soal-soal mengenai fungsi kompleks elementer dengan menggunakan fungsi hiperbolik