MEKANIKA BAHAN

Permodelan Struktur

A

Bentuk Tegangan 3 Dimensi

z

xy

xy

y

yz

xyz

xz

xz

Y

X

Z

Bentuk Tegangan 2 Dimensi

x

y

xy

xy

Y

X

Fungsi Transformasi Tegangan Bidang

Mentransformasikan suatu tegangan pada suatu titik dengan mengubah orientasi (sudut) dari suatu elemen

x

y

xy

xy

Y'

X'

Y

X

C

A B

x

y

xy

xy

Y'

X'

Y

X

C

A B

y

xy

x

x'xy'C

A xyB

y sin

xy cos

x cos

x'xy'C

A xy sin B

C

A B

dAdA cos

dA sin

Free Body Diagram

y

xy

x

x'xy'C

A xyB

y sin

xy cos

x cos

x'xy'C

A xy sin B

C

A B

dAdA cos

dA sin

0NF cossinsincossinsincoscos' dAdAdAdAdA xyxyyxx

sincos2sincos' 22xyyxx

2

2sin22

)21(2

)2cos1('

xyyxx

Cos

2sin2cos

22' xy

yxyxx

y

xy

x

x'xy'C

A xyB

y sin

xy cos

x cos

x'xy'C

A xy sin B

C

A B

dAdA cos

dA sin

0sF

sinsincoscoscossinsincos' dAdAdAdAdA xyxyyxxy

)sin(coscossinsincos' 22 xyyxxy

)sin(coscossin)(' 22 xyyxxy

)2(cos2sin2

'

xyyx

xy

Bentuk Persamaan Transformasi Tegangan Bidang

y

xy

x

x'xy'C

A xyB

)2(cos2sin2

'

xyyx

xy

2sin2cos

22' xy

yxyxx

Tegangan Normal

Tegangan Geser

Catatan :Perjanjian tanda untuk dua persamaan di atas1.Tegangan normal Tarik (+) Tegangan normal Tekan (-)2.Tegangan geser searah sumbu (+) Tegangan geser berlawanan arah (-)3.Sudut acuan berlawanan dengan arah jarum jam

x

y

xy

xy

Y'

X'

Y

X

C

A B

Contoh Soal 1

Carilah nilai tranformasi tegangan normal dan geser pada gambar di atas jika

diketahui xy210 kg/cm2 dan x 315 kg/cm2 y =105 kg/cm2 ?

x

y

xy

xy' C

AxyB

x'

315 kg/cm2210 kg/cm2

105 kg/cm2

Jawaban

x

y

xy

xy' C

AxyB

x'

)45*2sin(210)45*2cos(2

1053152

105315'

x

Tegangan Normal

2sin2cos

22' xy

yxyxx

)90sin(210)90cos(210210' x

2100210' x

2/420' cmkgx

315 kg/cm2210 kg/cm2

105 kg/cm2

Jawaban

x

y

xy

xy' C

AxyB

x'

Tegangan Geser

)2(cos2sin2

'

xyyx

xy

)45*2cos(210)45*2sin(2

105315'

xy

)90cos(210)90sin(105' xy

2/105' cmkgxy

315 kg/cm2210 kg/cm2

105 kg/cm2

60 MPa

80 MPa

100 MPa

A

B

C

AB

315 kg/cm2

210 kg/cm2

105 kg/cm2

420 kg/cm2

105 kg/cm2

Contoh Soal 2

Sket diagram free body irisan A – B dan hitung nilai tranformasi tegangan normal dan geser pada gambar di atas

60 MPa

80 MPa

100 MPa

A

B

Contoh Soal 2

60 MPa

80 MPa

100 MPa

A

B

100 MPa

A

B 60 MPa

80 MPaDiagram Free Body 1

60 MPa

80 MPa

100 MPa

A

B

Contoh Soal 2

60 MPa

80 MPa

100 MPa

A

B )42*2sin(60)42*2cos(2

)100(802

)100(80'

x

Tegangan Normal

2sin2cos

22' xy

yxyxx

84sin6084cos9010' x

67,5941,910' x

MPax 26,60'

100 MPa

A

B 60 MPa

80 MPa

60 MPa

80 MPa

100 MPa

A

B

100 MPa

A

B 60 MPa

80 MPa

Tegangan Geser

)2(cos2sin2

'

xyyx

xy

)42*2cos()60()42*2sin(2

)100(80'

xy

)84cos()60()84sin(90' xy

MPaxy 77,95'

60 MPa

80 MPa

100 MPa

A

B60,26 MPa

95,77 MPa

100 MPa

A

B 60 MPa

80 MPa

PR

Sket diagram free body irisan A – B dan hitung nilai tranformasi tegangan normal dan geser pada gambar di atas

A

B

50 MPa

30 MPa

25 MPa

Definisi tegangan utama:

Tegangan normal maksimum dan minimum yang bekerja pada bidang utama

Pada bidang utama tidak bekerja tegangan geser

Letak tegangan utama:

0'

dd x

02cos22sin)('

xyyxx

dd

2sin2cos

22' xy

yxyxx

2sin)(2cos2 yxxy

2/)(2tan

yx

xy

Letak Tegangan Utama

Letak tegangan utama:

y+x

xy

y+x

xy

y+x

xy

-

-

22

2 xyyx

xy

22

2

2

xyyx

yx

Sin 2 =

Cos 2 =

Tan 2 =2/)( yx

xy

Nilai tegangan utama:

2sin2cos22

' xyyxyx

x

2

22

2minmax,

22

222

'

xyyx

xyxy

xyyx

yx

yxyx

Nilai tegangan utama:

2

22

2minmax,

22

222

'

xyyx

xyxy

xyyx

yx

yxyx

Disederhanakan menjadi

22

minmax, 22' xy

yxyx

Nilai Tegangan Utama

Letak tegangan geser maksimum 0

'

dd xy )2(cos2sin

2'

xy

yxxy

02sin22cos)('

xyyx

xy

dd

xy

yx

2/)(

2tan

Letak Tegangan Geser Maskimum

Letak tegangan geser maksimum

Sin 2 =

Cos 2 = 22

2 xyyx

xy

22

2

2

xyyx

yx

xy

yx

2/)(

2tan

Nilai tegangan Geser Max dan Min)2(cos2sin

2'

xy

yxxy

2

22

2minmax,

22

22

'

xyyx

xyxy

xyyx

yx

yx

Nilai tegangan Geser Max dan Min

2

22

2minmax,

22

22

'

xyyx

xyxy

xyyx

yx

yx

Disederhanakan menjadi

22

minmax, 2' xy

yx

NILAI TEGANGAN GESER

Ditemukan oleh insiyur Jerman bernama Otto Mohr (1835 – 1918)

Digunakan untuk merepresentasikan tegangan normal dan geser terhadap suatu titik tegangan dengan orientasi sudut yang telah ditentukan

Persamaan Tranformasi Tegangan

2sin2cos22

' xyyxyx

x

)2(cos2sin2

'

xyyx

xy

Persamaan Lingkaran

222 )()( Rbyax Y

X

b

a

R

Titik Pusat(a,b)

Persamaan Lingkaran

222 )()( Rbyax

222

'2

' Rxyyx

x

2

22

)2(cos2sin2

2sin2cos2

Rxyyx

xyyx

Persamaan Lingkaran

2cos2sin2

22cos2sin2

22cos2sin2sin2cos2

222222

2xy

yxxy

yxxy

yxR

22

2

2 xyyxR

Persamaan Lingkaran

Bentuk Akhir Persamaan Lingkaran Mohr

22

22

2'

2' xy

yxxy

yxx

222

'2

' Rxyyx

x

Persamaan Lingkaran Mohr

Indentik dengan persamaan lingkaran

22

22

2'

2' xy

yxxy

yxx

222)( Ryax

222 '' Ra xyx Bentuk persamaan lingkaran tersebut merupakan persamaan lingkaran dengan jari – jari RYang bertitik pusat di (a,0)

Persamaan Lingkaran Mohr

Y'

X'

Y

X

x

y

xy

x'y'

x'

12

max

max

xxy)

y+x

y-x

y xy)

min =

C J

E

D

Hal – hal penting dalam lingkaran mohr

Tegangan Normal paling besar adalah 1 dan teganngan paling kecil adalah 2. Tegangan geser tidak bekerja pada sumbu ini

Tegangan Geser terbesar adalah max. secara numerik sama dengan radius lingkaran juga sama dengan

2)( 21

Hal – hal penting dalam lingkaran mohr

Tegangan Normal yang samadengan bekerja pada masing – masing bidang geser maksimum

Bila 1 = 2 maka lingkaran mohr akan berubah menjadi sebuah titik dan tegangan geser tidak terbentuk pada bidang tersebut

2)( 21

KONSTRUKSI LINGKARAN MOHR

Gambar Salib Sumbu tegangan normal dan tegangan geser

y

xy

a

a

KONSTRUKSI LINGKARAN MOHR

Tentukan titik pusat lingkaran C

C y+x)/2,0))

0,

2)( yx

y

xy

a

a

KONSTRUKSI LINGKARAN MOHR

Tentukan titik Adan tarik sebuah

garis dari titik C ke titik

A

xyx ,

C y+x)/2,0))

xxy)

y

xy

a

a

KONSTRUKSI LINGKARAN MOHR

Dari garis CA buatlah lingkaran dengan titik pusat di C

Didapatkan 1 dan 2

C

xxy)

12

y

xy

a

a

KONSTRUKSI LINGKARAN MOHRLukis garis melalui titik A dan sejajar bidang a serta memotong lingkaran di titk B.

Lukis garis l SB mendatar dari titk B hingga memotong lingkaran di titik S

Tegangan yang bekerja pada bidang tertentu, dapat ditentukan, yaitu : a dan -a

y

xy

a

a

C

xxy)

12

B

y+x

Sa a)

x

xy

a

a

Mencari Tegangan Umum dan Tegangan Geser Maksimum

4MPa

4MPa

2MPa

Mencari Tegangan Umum dan Tegangan Geser Maksimum

Gambar salib sumbu dengan pusat 0

0

4MPa

4MPa

2MPa

Mencari Tegangan Umum dan Tegangan Geser Maksimum

Tentukan pusat lingkaran C ={(-2+4)/2,0} = (1,0)

0

C

4MPa

4MPa

2MPa

Mencari Tegangan Umum dan Tegangan Geser Maksimum

Tentukan titik A:(-2,-4)

4MPa

4MPa

2MPa

A(-2,-4)

0

C

Mencari Tegangan Umum dan Tegangan Geser Maksimum

Lukis garis CA (jari-jari lingkaran).Lukis lingkaran dengan jari-jari CA dan pusatnya di C.(1,0).)

4MPa

4MPa

2MPa

A(-2,-4)

0

C

Mencari Tegangan Umum dan Tegangan Geser Maksimum

Setelah lingkaran terlukis, didapat 1 = -4 MPa ,2 =6 Mpa,

max = 5

4MPa

4MPa

2MPa

A(-2,-4)

B(6,0)E

(-4,0)

F(1,5)

G(1,-5)

0

C

Mencari Tegangan Umum dan Tegangan Geser Maksimum

Hubungkan titik A dan B dan teruskan, maka garis ini adalah letak bekerjanya Tegangan Utama.

4MPa

4MPa

2MPa

1MPa

5MPa

6MPa

6MPa

4MPa

C

F(1,5)

B(6,0)

A(-2,-4)

G(1,-5)

0E

(-4,0)

Mencari Tegangan Umum dan Tegangan Geser Maksimum

Tarik garis yang melalui A dan G, maka garis ini adalah letak bekerjanya Tegangan Geser Maksimum.

4MPa

4MPa

2MPa

1MPa

5MPa

6MPa

6MPa

4MPa

C

F(1,5)

B(6,0)

A(-2,-4)

G(1,-5)

0E

(-4,0)