PERTEMUAN 5, 6, 7

LISANUL USWAH SADIEDA

HASILKALI TRANSFORMASI

DefinisiAndaikan F dan G dua

transformasi, denganF : V VG : V V

maka produk atau komposisi dari F dan G yang ditulis sebagai G o F didefinisikan sebagai (G o F) (P) = G[F(P)], P V

TeoremaJika F : V V dan G : V V masing-masing suatu transformasi maka hasilkali H = G o F : V V adalah juga suatu transformasi

Bukti

1. Akan dibuktikan H surjektif Y V X V Y = H(X)F transformasi maka daerah nilai F seluruh bid. VG transformasi maka daerah asal G seluruh bid. VAmbil seb. Y V akan ditunjukkan ada X V Y = H(X)G transformasi maka Y V Z V Y = G(Z). Karena F transformasi maka pada Z V X V Z = F(X).

Maka Y = G[F(X)] atau Y = (GoF) (X).Jadi Y = H(X) Terbukti bahwa Y V X V Y = H(X) H surjektif

2. Akan dibuktikan H injektifMisalkan P Q akan ditunjukkan H(P) H(Q)Andaikan H(P) = H(Q)Maka G[F(P)] = G[F(Q)]Karena G injektif maka F(P) = F(Q) dan karena F injektif maka P = QKontradiksi dengan yang diketahuiPengandaian salah maka H(P) H(Q) H injektif

Dari 1 dan 2 maka H bijektif berarti H suatu transformasi

Hasil kali transformasi bersifat asosiatifAndaikan P’=T1 (P), P’’=T2 (P’), P’’’=T3

(P’’)Maka [T3(T2T1 )](P) = T3 [T2T1 (P)]

= T3 [T2 (T1 (P)]= T3 [T2 (P’)]= T3 (P’’)=P’’’

Atau [(T3 T2)T1 ](P) = (T3T2) [T1 (P)]

= (T3T2) (P’)= T3 [T2 (P’)]= T3 (P’’)=P’’’

Soal

1. Diketahui garis-garis g dan h yg berpotongan dan ttk-ttk P dan Q tdk pd grs tsb. Lukislah A = Mg[Mh (P)]

2. Jika s adalah sumbu X dan t = {(x, y) y=x}. Tentukan :a. Tentukan Mt Ms (P) jika P(0,3)

b. Tentukan Ms Mt (P) jika P (x,y)

INVERS TRANSFORMASI

Definisi

Pemetaan I didefinisikan untuk setiap titik P dalam bidang oleh I(P) = P disebut identitas pemetaan

Sehingga , untuk setiap transformasi T dan hanya untuk setiap titik P

TI(P) = T(I(P))= T(P)

danIT(P) = I (T(P))

= T(P)Jadi TI = IT = T

Definisi

Jika F dan G adalah pemetaan sedemikian hingga FG adalah suatu identitas dan GF juga suatu identitas , maka F dan G saling invers satu sama lain

Contoh

Perhatikan transformasi F dan G berikut ini. Untuk setiap titik P(x,y) pada bidang

F(P) = (x+2, y/2) dan G(P) = (x-2, 2y)maka

FG(P) = F[(x-2, 2y)]= ([x-2]+ 2, ½ [2y])= (x,y)= P

dan

GF(P) = G[F(P)]= G[(x+2, y/2)]= ([x+2]-2, 2[y/2])= (x,y)= P

Jadi FG = GF = I maka F dan G saling invers

Definisi

Jika T suatu transformasi dan L juga suatu transformasi sedemikian hingga TL = LT = I, maka L adalah invers dari T

Teorema

Setiap transformasi mempunyai satu dan hanya satu inversUntuk setiap transformasi T, invers dari T diberi simbol T-1

Bukti

Misalkan T suatu transformasi sebarangT fungsi bijektif, sehingga XV AV T(A) =

XDefinisikan tranformasi L sebagai berikut:

L(X) = AAkan ditunjukkan L invers dari T, LT(X) = TL(X) = XBukti: (1)Ambil sebarang XV, maka ada Y sedemikian shg T(Y) = X dan ada Z sedemikian shg T(X) = ZBerdasarkan definisi L, maka L(Z) = X dan

L(X) = Y

AkibatnyaLT(X) = L[T(X)]

= L(Z) = X

danTL(X) = T[L(X)]

= T(Y)= X

Sehingga TL(X) = LT(X) = I(X) Terbukti setiap transformasi mempunyai sebuah invers

(2)Akan dibuktikan jika L1 dan L2 invers dari T maka L1 = L2

BuktiL1 dan L2 invers dari T, maka

T L1=L1T = I dan T L2= L2T = I

Dilain pihak L1 = L1 I

= L1 (TL2)

= (L1T) L2

= IL2

= L2

Terbukti suatu transformasi dapat memp. paling banyak satu invers

Teorema

Invers dari setiap refleksi garis adalah refleksi garis itu sendiri(dgn kata lain Ms

2 = I untuk setiap garis s)

JawabAndaikan s suatu garisAkan dibuktikan Ms = Ms

-1

Bukti :Ambil sebarang titik P VJika P’ = Ms (P) maka MsMs(P) = Ms[Ms(P)] = Ms(P’)

Akan tetapi s adalah garis sumbu maka bayangan P’ adalah PSehinggaMsMs(P) = P = I(P), PV

Jadi Ms = Ms -1

INVOLUSI

Suatu transformasi yang inversnya adalah transformasi itu sendiri.

Teorema

Untuk transformasi T dan L berlaku (TL)-1 = L-1T-1

BuktiAkan dibuktikan (TL) (L-1T-1) = I = (L-1T-1) (TL)(TL) (L-1T-1) = [(TL) L-1]T-1 = [T(LL-1 )]T-1

= [TI]T-1 = TT-1

= I

Dan(L-1 T-1 ) (TL) = [(L-1T-1)T] L = [L-1(T-1T)] L = (L-1 I) L = L-1L = I Terbukti (TL)-1 = L-1 T-1

Contoh soal

Diketahui t adalah sumbu x dan z = {(x,y) y= x}. Tentukan D sedemikian hingga MtMz(D)=(2,7)

Contoh Soala. Jika t suatu garis, Wt suatu transformasi yang

didefinisikan untuk semua titik P berlaku: Jika P t maka Wt (P) = P Jika P t, maka Wt (P) adalah titik tengah

segmen tegaklurus dari P ke tb. Jika t suatu garis, Vt suatu transformasi yang

didefinisikan untuk semua titik P berlaku: Jika P t maka Vt (P) = P Jika P t, maka Vt (P) = P’ sedemikian hingga P

titik tengah segmen tegaklurus dari P’ ke t

1. Diketahui garis s dan t serta titik-titik P dan Q spt pd gambar. Lukislah! R sedemikian hingga MsMt(R) =P K sedemikian hingga VtWs(K) = P

2. Jika t = {(x,y) x = 3} Tentukan koordinat dari Wt(P) untuk suatu

P(x,y) Tentukan koordinat dari Wt

-1 (P)

Jika s sumbu y dan B(-1,6), tentukan C sedemikian hingga VsWt(C) = B