Solusi Persamaan Diferensial Dengan Transformasi Laplace

Febrizal, MT

Langkah-langkah

1. Tuliskan kembali PD dalam bentuk Transformasi Laplace

2. Masukkan kondisi awal yang diberikan3. Susun kembali persamaan secara aljabar

untuk mendapatkan solusi transformasinya4. Tentukan transformasi invers untuk

memperoleh solusi khusus

• Misalkan f’(t) menyatakan turunan pertama dari f(t), f”(t) menyatakan turunan kedua dari f(t), dst

• Sehingga:

Transformasi dari Turunan

• Dengan mengganti f(t) menjadi f’(t), diperoleh

• Dengan cara yang sama, maka diperoleh

• Notas Alternatif– Misalkan x = f(t), pada saat t = 0, kita tulis

• Jika kita menuliskan transformasi laplace x dengan maka;

• Dan,

• Dengan demikian, maka

Solusi PD Orde I

• Contoh 1– Tentukanlah solusi dari PD jika pada saat t = 0, x = 1

• Penyelesaian– Tuliskan kembali persamaan tsb dalam Transformasi Laplace,

– Sehingga persamaan menjadi,

– Masukkan nilai awal t = 0 x = 1, berarti x0 = 1, sehingga

– Susun kembali persamaan diatas sehingga diperoleh persamaan dalam x

– Lakukan invers transformasi pada persamaan tsb.

• Contoh 2– Selesaikan PD , jika diketahui pada t = 0 x = 6

• Penyelesaian– Nyatakan persamaan diatas dalam Transformasi Laplace

– Masukkan nilai awal x0 = 6

– Susun ulang persamaan untuk mendapatkan

– Gunakan invers laplace untuk mendapatkan x

• Contoh 3– Carilah solusi PD jika diketahui t = 0 x = 0

• Penyelesaian

Latihan

Solusi PD Orde II

• Contoh 1– Tentukan penyelesaian PD jika pada saat t = 0 x = 5 dan

• Penyelesaian– Tuliskan kembali persamaan dalam transformasi laplace.

– Masukkan kondisi awal, x0 = 5 dan x1 = 7

– Susun kembali persamaan

– Gunakan pecahan parsial

– A = 4; B = 0; C = 1

• Contoh 2– Tentukan solusi PD jika diketahui pada t = 0 x

= 3 dan dx/dt = 4

• Penyelesaian– Nyatakan persamaan dalam transformasi laplace

– Masukkan nilai kondisi awal; x0 = 3 dan x1 = 4

• Contoh 3– Selesaikan PD jika diketahui pada t = 0 x = 0 dan

• Penyelesaian– Seperti biasa, nyatakan persamaan dalam transformasi laplace

– Uraikan lagi pecahan suku kedua dan ketiga dengan cara pecahan parsial

– Sederhanakan persamaan diatas, sehingga didapat

– Lakukan transformasi invers, maka

• =

Latihan

• Carilah solusi dari persamaan diferensial dibawah ini: