1

DEFINISI TURUNAN PARSIAL

Jika didalam f(X,Y) nilai Y ditahan agar konstan, maka f menjadi fungsi satu perubah bebas x ,Turunan semacam ini disebut turunan parsial f terhadap x dan biasanya ditulis

yx x

fyxf

),(

x

y y

fyxf

),(

animE stuDio

Jika f(x,y) nilai x dibuat konstan, maka turunan parsial terhadap y adalah

2

Contoh….

)ln(3),( 222 yxxyxyxf

xyx

yxyxfx

yxfx 2

132),(

),(22

yyx

xx2yxfy

yxfy 2

13),(

),(22

animE stuDio

3

Pada kasus gas ideal:

V

nRTp

V

nR

T

p

nV

, V

RT

n

p

vt

,2

, V

nRT

V

p

nT

animE stuDio

4

Volume ( V ) suatu gas tertentu memerlukan hubungan dengan temperaturnya (T) dan tekanannya ( P ) menurut hukum gas pV = 10 T. Jika volume gas itu diusahakan konstan 200. Berapa laju perubahan sesaat tekanan terhadap temperatur?

animE stuDio

Jawab :P = 10 T/Vdp / dT = 10 / VLaju perubahan P terhadap T jika v

konstan.Karena v = 200, maka laju perubahan p

terhadap T adalah 10/200 = 0,05

5

Diberikan fungsi maka.),,( zyxf

zyx x

fzyxf

,

),,(

zx

y y

fzyxf

,

),,(

xyz z

fzyxf

,

),,(

)!,,(),,,(),,,( zyxfzyxfzyxTentukanf zyx

zxyzxyzyxf 32),,(

animE stuDio

Turunan parsial terhadap z

Turunan parsial terhadap y

Turunan parsial terhadap x

6

TURUNAN LEBIH TINGGI

Turunan parsial fungsi f terhadap x atau y

Jika diturunkan lebih lanjut terhadap x atau y

x

y y

fyxf

),(

),( yxf x

),(),(2

2

yxfx

zyxf

x xxx

),(),(2

yxfyx

zyxf

y xyx

yx x

fyxf

),(

animE stuDio

7

Jika diturunkan lebih lanjut terhadap x atau y),( yxf y

),(),(2

2

yxfy

fyxf

y yyy

),(),(2

yxfxy

fyxf

x xyy

Pada kasus gas ideal, buktikan bahwa

nnVT

p

TV

p

22

animE stuDio

8

DIFERENSIAL TOTAL

Suatu fungsi z=f(x,y) jika didefensial secara total, akan menghasilkan

dy

y

zdx

x

zdz

xy

.........

ddd

zdc

c

zdb

b

zda

a

zdz

animE stuDio

Jika z merupakan fungsi yang mempunyai variabel lebih dari 2, z=f(a,b,c,d,…), maka.

9

Persamaan yang sering ditemukan di termodinamika

),( yxMx

z

),( yxNy

z

y

z

xx

z

y

animE stuDio

Dari sifat komulatif diferensial parsial, yaitu:

Jika dihubungkan dengan definisi diferensial total, maka:

dz = M(x,y) dx + N(x,y) dy

10

Dari sifat komulatif diferensial parsial, didapatkan bahwa.

),(),( yxNx

yxMy

animE stuDio

Hubungan tersebut merupakan Resiprositas EulerJika suatu fungsi memenuhi Resiprositas Euler, maka fungsi tersebut dikatakan diferensial eksak, dan sebaliknya.Contoh : Energi dalam U, Entalpi H, Entropi S, Energi bebas Helmholtz A, Energi bebas Gibbs G

11

TURUNAN FUNGSI IMPLISIT

• Relasi antara x dan y (f=(x,y)) disebut bentuk eksplisit

• Jika antar x dan y tidak berbentuk seperti itu maka dikatakan x dan y berelasi secara implisit

A. Fungsi-fungsi variabel tunggal

fungsi implisit tipe f (x,y)=0 , yaitu :

karena f (x,y) = o , maka :

animE stuDio

dyy

fdx

x

fdf

y

x

f

f

y

f

x

f

dx

dy

12

Contoh. Cari jika 134 32 xyyx

dx

dy

34

12

3

x

x

34

83

34

382

2

2

2

x

xyx

x

xxy

dx

dy

Ganti y dengan cara 4 x2y – 3 y = x3-1y (4 x2 – 3y) = x3-1

y =

Penyelesaian : df = ( 8 xy – 3 x2 ) dx + ( 4x2-3 ) dy

13

34

34

183

2

2

32

x

x

xxx

dx

dy

22

322

)34(

)1(8)34(3

x

xxxx

dx

dy

22

424

)34(

88912

x

xxxx

dx

dy

22

24

)34(

894

x

xxx

dx

dy

B. Fungsi dua variabel

fungsi 2 variabel, F (x,y,z)=0 , maka :

0

dzz

Fdy

y

Fdx

x

FdF

14

zF

dyyF

zF

dxxF

dz

Jika y konstan, maka dy bernilai nol.

z

Fx

F

x

z

y

Jika x konstan, maka dx bernilai nol.

z

F

y

F

y

z

x

Persamaan Van Der Waals

RTbVV

ap

2

15

Penurunan fungsi implisit

Contoh:

xyx 423

2cos23 xyxyy

134 32 xyyx

animE stuDio

16

C. Manfaat hubungan antar turunan parsial

dyy

zdx

x

zdz

jika z = f ( x,y ) memiliki differensial total dz :

Untuk z yang konstan, maka dz bernilai nol. Persamaannya adalah :

x

y

z

y

z

x

z

x

y

Aplikasinya contohnya adalah : CHAIN RULE

1

xyz y

z

z

x

x

y

df= -SdT-pdV >>> F = F (T,V)

17

Perubahan Variable

Z= f(u,v)U= f(x,y)V= f(x,y)

Turunan z terhadap x

Turunan z terhadap y

animE stuDio

dz

dvx

dv

dz

dx

dux

du

dz

dx

dz

dy

dvx

dv

dz

dy

dux

du

dz

dy

dz

18

Turunan Energi dalam terhadap temperatur

animE stuDio

PTvp dT

dV

dV

VTdU

dT

VTdU

dT

PTdU

),(),(),(

H= U + PV

PdT

dHCp

PdT

PVUdCp

)(

PP dT

PVd

dT

dUCp

)(

dT

VdP

dT

dVP

dT

dUCp

PP

PP dT

dVP

dT

dUCp

PP

P T

VPC

T

U

19animE stuDio

PTV

PP T

V

V

UC

T

VPC

PTVP T

VP

V

UCC

Karena gaya antarmolekul gas diabaikan maka energi dalam tidak bergantung pada volume, sehingga (dU/dV) bernilai 0 dan

Cp = Cv + R

VV T

UC

20

TRANSFORMASI LEGENDRE DAN RELASI MAXWELL

Persamaan Transformasi Legendre.

Jika f merupakan fungsi dari n variable x1, x2, …., xn, maka

nn

dxx

fdx

x

fdx

x

fdf

......22

11

animE stuDio

21

Jika…

11

xx

ffg

11

11

xx

fddx

x

fdfdg

nn

dxx

fdx

x

fdx

x

fx

x

fddg

.......33

22

11

animE stuDio

Persamaan tersebut dinamakan Transformasi Legendre

Maka diferensial totalnya adalah…..

22

PERSAMAAN TERMODINAMIKAdU = TdS – PdVApabila U adalah fungsi S dan V , U = f (S,V), diferensial totalnya.

dVV

UdS

S

UdU

SV

SV V

Udanp

S

UT

animE stuDio

Jika kedua persamaan tersebut dihubungkan, didapatkan.

23

Sifat komposit sistem dan turunannya

animE stuDio

H = U + pV → dH = dU + pdV + Vdp → dH = Tds + Vdp

A = U – TS → dA = dU – TdS – SdT → dA = - SdT – pdV

G = U + pV – TS → dG = dU + pdV + Vdp – TdS –SdT → dG = - SdT + Vdp

24

APLIKASI TRANSFORMASI LEGENDRE

H = U + PV

Apabila H merupakan fungsi dari S dan p, maka H =f(S,p)

dH = TdS + VdpdH = TdS + Vdp

dpp

HdS

S

HdH

Sp

animE stuDio

25

Dengan cara yang sama, didapatkan:

dTT

AdV

V

AdA

VT

dTT

Gdp

p

GdG

pT

animE stuDio

dG = VdP – SdT

dA = - pdV – SdT

26

HUBUNGAN MAXWELL

Untuk memperoleh hubungan Maxwell diterapkan hubungan pertukaran Euler, yaitu :

dU = TdS – pdVSS V

U

SS

U

V

dVV

UdS

S

UdU

sv

vS

UT

sV

Up

SV

U

S

U

VV

T

vss

2

VS

U

V

Ux

SS

p

sVV

2vs S

p

V

T

animE stuDio

27

Hubungan Maxwell lain

dH = TdS + Vdp >>>

dA = -SdT – pdV>>>

dG = VdP – SdT>>>

psS

V

p

T

VT T

P

V

S

TsS

V

p

T

animE stuDio