Post on 23-Jul-2015
Matematika 3
Vektor
Matriks dan Determinan
Matriks Invers
Sistem Persamaan Linier
1
Sistem Persamaan Linier
Transformasi Linier
Bidang Datar dan Garis Lurus
Dr. D. L. Crispina Pardede, SSi., DEA.
D. L. Crispina Pardede (Mei 2012)
ReferensiReferensi[1]. Yusuf Yahya, D. Suryadi. H.S., Agus S.,
Matematika untuk Perguruan Tinggi, Ghalia-Indonesia, Jakarta, 1995.
[2]. Suryadi H.S., Pengantar Aljabar Linier dan Geometri Analitik, Penerbit Gunadarma, Geometri Analitik, Penerbit Gunadarma, Jakarta, 1991.
[3]. Seymour Lipschutz, Theory and problems of Linear Algebra, McGraw-Hill, 1968.
[4]. D. Suryadi H. S., Teori dan Soal Ilmu Ukur Analitik Ruang, Ghalia Indonesia, 1986
2 D. L. Crispina Pardede (Mei 2012)
MATRIKSMATRIKS
1. Pengertian Dasar
2. Transpose dari Sebuah Matriks
3. Operasi Pada Matriks
4. Transformasi Elementer Baris dan Kolom4. Transformasi Elementer Baris dan Kolom
5. Determinan
6. Matriks Invers
3 D. L. Crispina Pardede (Mei 2012)
MatriksMatriks
Sebuah Matriks adalah sekumpulan elemen yang disusun dalam baris dan kolom.
ba
baris
• a dan d adalah elemen-
elemen diagonal.
dc
bakolom
Matriks dapat dijumlahkan, dicari selisihnya, dan dalam beberapa kasus, dikalikan dan diinversikan.
elemen diagonal.
• b dan c adalah elemen-
elemen off-diagonal
4 D. L. Crispina Pardede (Mei 2012)
MatriksMatriks
Dimensi matriks disebut Ordo dan menunjukkan banyaknya baris dan kolom sebuah matriks.
Contoh: [ ]δβα=
−= b
d
bA ;
1
1
Ordo matriks A adalah 2x2.
5
Ordo matriks A adalah 2x2. Ordo matriks b adalah 1x3.
• Matriks yang mempunyai hanya satu kolom atau satu
baris saja disebut vektor.
• Jika banyaknya baris dan kolom sebuah matriks sama,
maka matriks tersebut adalah matriks bujursangkar.
5 D. L. Crispina Pardede (Mei 2012)
Bentuk Umum
MatriksMatriks
a...........aa
a...........aa
An22221
n11211
=MOMM
aij adalah elemen di baris ke-i
dan kolom ke-j.
Ordo A adalah m x n
Bila m = n, maka A adalah matriks bujursangkar
Bila aij=0 ∀i, j , maka A adalah matriks nol.
a...........aa mn2m1m
MOMM Ordo A adalah m x n
6 D. L. Crispina Pardede (Mei 2012)
MatriksMatriks
Dua buah matriks A dan B dikatakan samabila
-. ordo A sama dengan ordo B dan
-. ∀i, j berlaku aij= bij.
Contoh:Contoh:
−
−−
=
+−
−
−+
031
202
112
zxyx1
z20y
1yxx2
x =….. ; y = ….. ; z = …..7 D. L. Crispina Pardede (Mei 2012)
Operasi Pada MatriksOperasi Pada MatriksMisalkan A dan B matriks, k skalar
1.Penjumlahan Matriks A + B
Syarat: Ordo A = ordo B
C = A + B , A = (aij) ; B = (bij).
C = (cij) , cij = aij + bij , ∀i, j .
2. Perkalian Matriks A x B2. Perkalian Matriks A x B
Syarat: Banyaknya kolom A = banyaknya baris B.
D = A x B , D = (dij) ,
3. Perkalian Skalar dengan Matriks
E = k A , eij = k.aij.
.ba...baba bad njinj22ij11i
k
kjikij +++==∑
8 D. L. Crispina Pardede (Mei 2012)
Operasi Pada MatriksOperasi Pada Matriks
Penjumlahan, Selisih, Perkalian
++
++=
+
hdgc
fbea
hg
fe
dc
ba
−−
−−=
−
hdgc
fbea
hg
fe
dc
ba
Penjumlahan
Selisih
−−
hdgchgdc
++
++=
dhcfdgce
bhafbgae
hg
fe .
dc
baPerkalian
=
dc
ba
dc
ba
kk
kkk Perkalian dengan Skalar
9 D. L. Crispina Pardede (Mei 2012)
Operasi Pada Matrix Operasi Pada Matrix … … Contoh
222222
117
25
20
13
97
12
xxxCBA =+
=
+
=
−
65
11
32
01
97
12
10
653297
222222 x
2726
34
32
01x
97
12
xxxCBA =
=
=
8143
2141
16
42
8
1
D. L. Crispina Pardede (Mei 2012)
Operasi Pada Matrix Operasi Pada Matrix (Lanjutan)
� Perkalian matriks AB harus memenuhi syarat:
Banyaknya kolom matriks A harus sama dengan banyaknya baris matriks B.
Jika ordo A adalah (mxn) dan ordo B adalah (nxp), maka AB dapat dicari. AB adalah matriks berordo (mxp)
11
(mxp)
� Penjumlahan matriks A + B harus memenuhi syarat:
Matriks A dan B memiliki ordo sama.
Jika ordo A dan B adalah (mxn), maka A + B adalah matriks berordo (mxn)
D. L. Crispina Pardede (Mei 2012)
Hukum Pada Operasi Matriks
� Hukum komutatif penjumlahan matriksA + B = B + A
Operasi Pada Matrix Operasi Pada Matrix (Lanjutan)(Lanjutan)
++
++=
+
=+
1212111112111211
baba
baba
bb
bb
aa
aaBA
12
++
=
+
=+2222212122212221 bababbaa
BA
++
++=
+
=+
22222121
12121111
2221
1211
2221
1211
abab
abab
aa
aa
bb
bbAB
D. L. Crispina Pardede (Mei 2012)
Operasi Pada Matrix Operasi Pada Matrix (Lanjutan)(Lanjutan)
� Hukum asosiatif penjumlahan matriks(A + B) + C = A + (B + C)
+
+
=++
2221
1211
2221
1211
2221
1211
cc
cc
bb
bb
aa
aaCB)(A
13
++++
++++=
+
++
++=
222222212121
121212111111
2221
1211
22222121
12121111
222122212221
cbacba
cbacba
cc
cc
baba
baba
ccbbaa
D. L. Crispina Pardede (Mei 2012)
Operasi Pada Matrix Operasi Pada Matrix (Lanjutan)(Lanjutan)
� Perkalian skalar dengan matriks bersifat distributif
k (A + B) = k A + k B.
++ ++
+
=+
2221
1211
2221
1211
)ba.(k)ba.(kbaba
bb
bb
aa
aa.k B)k(A
14
++
++=
++
++=
++
++=
22222121
12121111
22222121
12121111
22222121
12121111
kbkakbka
kbkakbka
)ba.(k)ba.(k
)ba.(k)ba.(k
baba
baba.k
D. L. Crispina Pardede (Mei 2012)
Operasi Pada Matrix Operasi Pada Matrix (Lanjutan)(Lanjutan)
Misalkan A, B, C memenuhi syarat perkalian matriks.
� A (B+ C) = AB + AC
� (B+ C) A = BA + CA
� A (B C) = (A B)C
15
� A (B C) = (A B)C
� A B ≠ B A
� Jika A B = matriks nol, maka kemungkinan-. A = 0 atau B = 0
-. A ≠ 0 atau B ≠ 0
D. L. Crispina Pardede (Mei 2012)
� Perkalian matriks umumnya tidak komutatif.
A B ≠ B A
Operasi Pada Matrix Operasi Pada Matrix (Lanjutan)(Lanjutan)
−=
=
76
10B,
43
21A
16
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
=
+−+
+−+=
2524
1312
74136403
72116201AB
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
−−=
++
−+−+=
4027
43
47263716
41203110BA
D. L. Crispina Pardede (Mei 2012)
� Pengecualian pada hukum komutatif.A B = B A jika dan hanya jika
B = sebuah skalar,
B = matriks identitas, atau
Operasi Pada Matrix Operasi Pada Matrix (Lanjutan)(Lanjutan)
17
B = invers dari A i.e., A-1.
D. L. Crispina Pardede (Mei 2012)
Transpose Pada MatrixTranspose Pada Matrix
Misalkan A sebuah matriks. Transpose dari matriks A, ditulis AT, diperoleh dengan cara
Bila A = (aij ), maka AT = (aij
T) di mana
(aijT) = (aij ), ∀i, j .
a...........aa
a...........aa
a...........aa
a...........aa
A
mn2m1m
n22221
n11211
=MOMM
a...........aa
a...........aa
a...........aa
A
mnn2n1
2m2212
1m2111
T
=MOMM
18 D. L. Crispina Pardede (Mei 2012)
Transpose Pada Matrix Transpose Pada Matrix (Lanjutan)(Lanjutan)
Contoh:
=
421
321
43
22
11
.1
T
=
=
43
22
11T
421
321
43
22
11
.2
TT
19 D. L. Crispina Pardede (Mei 2012)
Sifat Transpose Matriks
1. (A + B) T = AT + BT .
2. (AT )T = A .
3. λ(AT ) = (λA)T .
4. (AB)T = BT AT .
Transpose Pada Matrix Transpose Pada Matrix (Lanjutan)(Lanjutan)
20
4. (AB)T = BT AT .
Latihan:
Buktikan sifat-sifat operasi matriks dan sifat-sifat pada matriks transpose.
D. L. Crispina Pardede (Mei 2012)
Jenis Matriks KhususJenis Matriks Khusus
000
100
010
001� Matriks Identitas adalah sebuah matriks bujursangkar dengan semua elemen diagonal bernilai 1 dan elemen lainnya bernilai 0.
� Matriks Nol adalah matriks dengan semua elemen bernilai 0 (nol).
21
000
000elemen bernilai 0 (nol).
� Keduanya merupakan matriks diagonal. Semua elemen off-diagonal bernilai 0.
� Keduanya merupakan Matriks Idempoten
A = AT and
A = A2 = A3 = …
D. L. Crispina Pardede (Mei 2012)
Transformasi ElementerTransformasi Elementer
pada Baris dan Kolom Matrikspada Baris dan Kolom Matriks
� Hij (A) : penukaran tempat baris ke-i dengan baris ke-j. Elemen-elemen pada baris ke-i menjadi elemen-elemen baris ke-j dan sebaliknya.dan sebaliknya.
� Kij(A) : penukaran tempat kolom ke-i dengan kolom ke-j. Elemen-elemen pada kolom ke-i menjadi elemen-elemen kolom ke-j dan sebaliknya.
22 D. L. Crispina Pardede (Mei 2012)
�Hi(λλλλ)(A): mengalikan baris ke-i dengan
skalar λ ≠ 0 .
� Ki(λλλλ)(A): mengalikan kolom ke-i dengan
skalar λ ≠ 0 .
Transformasi ElementerTransformasi Elementer
pada Baris dan Kolom Matrikspada Baris dan Kolom Matriks
skalar λ ≠ 0 .
�Hij(λλλλ)(A): menambahkan baris ke-i dengan
λ kali baris ke-j.
� Kij(λλλλ)(A): menambahkan kolom ke-i dengan
λ kali kolom ke-j.
23 D. L. Crispina Pardede (Mei 2012)
Matriks EkivalenMatriks Ekivalen
Matriks A dikatakan ekivalen
dengan matriks B, ditulis A ∼∼∼∼ B,
jika salah satunya diperoleh dari yang jika salah satunya diperoleh dari yang
lain melalui transformasi baris
dan/atau kolom.
24 D. L. Crispina Pardede (Mei 2012)
Matriks EkivalenMatriks Ekivalen … Contoh… Contoh
A dan B ekivalen, karena B = H12(A).
132
014B H
014
132A ).1 12
=
=
∼
03151204
ekivalen, karena B = H12(K42(-2)(K12
(1)(A)))
1204
0315Bdan
2314
1204A ).2
=
=
25 D. L. Crispina Pardede (Mei 2012)
1. Tentukan matriks hasil transformasi elementer berikut
terhadap matriks A.
a). H21(-3) b). H31
(2) c). K21(-2)
d). K23 e). K1(-1)
2(1)
2. Tentukan hasil transformasi H (1) dan K (2) secara
Transformasi ElementerTransformasi Elementer
pada Baris dan Kolom Matrikspada Baris dan Kolom Matriks …Latihan…Latihan
2. Tentukan hasil transformasi H31(1) dan K21
(2) secara
berurutan terhadap matriks B.
=
−
−
=
021-
28-4
11-2
B
5232
2143
1021
A
26 D. L. Crispina Pardede (Mei 2012)