2. Deviasi Standar

Untuk mengatasi deviasi mean KARL PEARSON seorang ahli statistik memberikan jalan keluarnya, yaitu:• Semua deviasi positif dan deviasi negatifnya

dikuadratkan sehingga semua deviasinya menjadi positif

• Semua deviasi yang bertanda positif itu dijumlahkan, lalu dicari rata-ratanya dan akarnya

Cara kerja diatas disebut deviasi standar (standar deviation) dilambangkan dengan atau SD.

Rumus Deviasi Standar

N

xSD

2

Keterangan: SD = Standar Deviasix2 = Jumlah semua deviasi setelah dikuadratkan

(a) Rumus untuk frekuensi tunggal atau satu(b) Rumus untuk frekuensi lebih dari satu

N

fxSD

2

a. Cara mencari standar deviasi data tunggal yang semua skornya berfrekuensi satu

Nilai (X) f x x2

9 1 2,5 6,25

8 1 1,5 2,25

7 1 0,5 0,25

6 1 -0,5 0,25

5 1 -1,5 2,25

4 1 -2,5 6,25

X=39 6 = N 0 = x 17,5 = x2

Langkah Penyelesaian:1. Isi Kolom 3 (x)

Terlebih dahulu carilah MEAN dengan rumus:

5,66

39

N

XM x

2. Selanjutnya cari x dengan cara x = X - Mx atau kolom 1 dikurangi dengan MEAN. Contoh baris pertama 9 - 6,5 = 2,5 demikian seterusnya.3. Untuk mengisi kolom 4 (x2)

Kuadratkan setiap deviasinya (x) yang ada pada kolom 3.contoh baris pertama: (2,5)2 = 2,5 x 2,5 = 6,25 dan seterusnya. Selanjutnya dijumlahkan ke bawah sehingga diperoleh x2 =17,5

4. Langkah selanjutnya substitusikan ke dalam rumus:

SD = 1,708

N

x2

917,26

5,17

Tabel Perhitungan Standar Deviasi Nilai Siswa SLTAX f fX x x2 fx2

85 5 425 19.65 386,122 1.930,610

80 7 560 14,65 214,622 1.502,354

75 12 900 9,65 93,122 1.117,464

70 14 980 4,65 21,622 302,708

65 25 1625 -0,35 0,122 3,050

60 16 960 -5,35 28,622 497,952

55 10 550 -10,35 107,122 1.071,220

50 8 400 -15,35 235,622 1.884,976

45 3 135 -20,35 414,122 1.242,366

100 = N 6.535 =fX - - 9.512,7=fX2

b. Cara mencari standar deviasi data tunggal yang sebagian skor atau seluruh skornya berfrekuensi lebih dari satu.Langkah pertama dengan mempersiapkan tabel perhitungan seperti di bawah.

Penjelasan:1. Cari mean menggunakan data pada kolom 3 (fX)Kalikanlah kolom f dengan X, contohnya 5 x 85 = 425 demikian seterusnya. Selanjutnya

dijumlahkan ke bawah sehingga diperoleh fX = 6.5352. Pada kolom x

Carilah MEAN dengan rumus

Selanjutnya carilah x dengan rumus x = X – Mx, contohnya 85-65,35 = 19,65 dan seterusnya. Niali x yang akan digunakan untuk perhitungan selanjutnya dalam mencari standar deviasi.

3. Kolom x2

Kuadratkan setiap deviasi (x) pada kolom 4, contohnya (19,65)2 = 386,122 dan seterusnya.

4. Kolom fx2Kalikanlah f dengan x2, contohnya 5 x 19,65 = 1.930,61 dan seterusnya. Selanjutnya dijumlahkan ke bawah hingga diperoleh fX2 = 9.512,7

5. Substitusikan ke dalam rumus:

SD = 9,753

N

fXM x

127,95100

7,512.9

N

fxSD

2

Banyak cara yang dapat digunakan untuk mencari standar deviasi untuk data kelompok.Namun pembahasan ini akan dikemukakan dua rumus saja.

1. Cara pertama dengan rumus

2. Cara kedua dengan rumus

N

fx

N

fxi

''2

N

fx2

c. Cara mencari standar deviasi data kelompok

Tabel Perhitungan Standar Deviasi Nilai Ujian Mahasiswa Perguruan Tinggi

Interval Nilai f X x' fx' x‘2 fx‘2

80-84 11 82 5 55 25 27575-79 24 77 4 96 16 38470-74 30 72 3 90 9 27065-69 48 67 2 96 4 19260-64 55 62 1 55 1 5555-59 31 57 MT 0 0 0 050-54 19 52 -1 -19 1 1945-49 17 47 -2 -34 4 6840-44 10 42 -3 -30 9 9035-39 5 37 -4 -20 16 80

Jumlah 250 = N - - 289=fx’ - 1.433=fx’2

1. Cara PertamaMempersiapkan tabel perhitungan mencari standar deviasi seperti dibawah ini

Penjelasan Cara Pertama:1. Kolom ke-3 yaitu X atau nilai, dapat dicari dengan carara: Nilai tengah masing-masing skorpada kolom 1. contohnya interval 80 – 84

nilai tengahnya adalah demikian seterusnya

2. Kolom ke-4 x’ atau x terkaan (dugaan)Membuat x terkaan (sembarangan), namun sebaiknya pilihlah yang di tengah guna memudahkan perhitungan (kita pilih saja x = 57 lalu yang sebaris dengan x terkaan pada kolom 4 ditempatkan angka 0, kemudian secara berurutan ke atas dibuat 1,2,3,4 dan 5 dan ke bawah -1,-2,-3 dan -4

3. Kolom ke-5 (fx’)Kalikan f dengan x’. Contoh 11 x 5 = 55 demikian seterusnya. Lalu jumlahkan ke bawah sehingga diperoleh fx’ = 289

4. Kolom x’2

Kuadratkan x’ (kolom 4). Contoh (5)2 = 5 x 5 =25 demikian seterusnya5. Kolom fx’2

Kalikan f dengan x’. Contohnya 11 x 25 = 275. lalu jumlahkan ke bawah sehingga diperoleh fx’2 = 1.433

822

164

2

8480

Dari data di atas kita ketahuiN = 250i = 5fx’ = 289fx’2 = 1.433

Langkah selanjutnya substitusikan ke dalam rumus :

SD = 10,483 Jadi Standar Deviasi adalah 10,483

N

fx

N

fxi

''2

250

289

250

433.15

096664,25396,45

Tabel Perhitungan Standar Deviasi Nilai Ujian Mahasiswa Perguruan Tinggi

Interval Nilai f X fX x x2 fx2

80-84 11 82 902 19,22 369,408 4.063,48875-79 24 77 1.848 14,22 202,208 4.852,99270-74 30 72 2.160 9,22 85,008 2.550,24065-69 48 67 3.216 4,22 17,808 854,78460-64 55 62 3.410 0,78 0,608 33,44055-59 31 57 1.767 -5,78 33,408 1.035,64850-54 19 52 988 -10,78 116,208 2.207,95245-49 17 47 799 -15,78 249,008 4.233,13640-44 10 42 420 -20,78 431,808 4.318,08035-39 5 37 185 -25,78 664,608 3.323,040

Jumlah 250 = N - 15.695 =fX - - 27.472,8 =fx2

2. Cara KeduaMempersiapkan tabel perhitungan seperti dibawah ini

Penjelasan Cara Kedua:1. Kolom X Nilai tengah masing-masing skorpada kolom 1. contohnya interval

80 – 84 nilai tengahnya adalah demikian seterusnya2. Kolom (fX)

Kalikan f dengan X. Contoh 11 x 82 = 902 demikian seterusnya. Selanjutnya jumlahkan ke bawah sehingga diperoleh fX = 15.695

3. Kolom xTerlebih dahulu carilah MEAN dengan rumus: 62,78Selanjutnya carilah deviasi (x) masing-masing skor dengan rumus x = X – Mx. Contoh 82 – 62,78 = 19,22 demikian seterusnya

4. Kolom x2

Kuadratkan x (kolom 5). Contoh (19,22)2 = 19,22 x 19,22 = 369,408 demikian seterusnya

5. Kolom fx2 Kalikan f dengan x2. Contohnya 11 x 369,408 = 4.063,488 demikian seterusnya, lalu jumlahkan ke bawah sehingga diperoleh fx2 = 27.472,8

822

164

2

8480

N

fXM x

Dari data di atas kita ketahuiN = 250i = 5fX = 15.695fx2 = 27.472,8

Langkah selanjutnya substitusikan ke dalam rumus :

SD = 10,483 (Hasilnya sama dengan rumus pertama) Jadi Standar Deviasi adalah 10,483

N

fx2

250

8,472.27

483,1089,109