Post on 21-Feb-2018
7/24/2019 04 Bunga & Ekivalensi (Gradien) (Wk 3)
http://slidepdf.com/reader/full/04-bunga-ekivalensi-gradien-wk-3 1/22
•
Pemajemukan
Diskrit
:
Deret
Gradien
Aritmatik •
Pemajemukan
Diskrit
:
Deret
Gradien
Geometrik
Konsep
Bunga
&
Ekivalansi
Ekonomi
7/24/2019 04 Bunga & Ekivalensi (Gradien) (Wk 3)
http://slidepdf.com/reader/full/04-bunga-ekivalensi-gradien-wk-3 2/22
Dalam beberapa kasus, aliran kas
periodik besarnya tidak sama,tetapi bertambah atau berkurangdengan jumlah yang tetap( gradien aritmatik = G )
DERET GRADIEN ARITMATIK (UNIFORM GRADIENT SERIES)
7/24/2019 04 Bunga & Ekivalensi (Gradien) (Wk 3)
http://slidepdf.com/reader/full/04-bunga-ekivalensi-gradien-wk-3 3/22
atau A = G( ) A/G, i, n
11
1n
i
n
iG A
Uniform-Gradient- Series Factor
0 1 2 3 n-1 n
(n-2) G
(n-1) G
2G
G
0 1 2 3 n-1 n
A A A A A
Deret Gradien Aritmatik
7/24/2019 04 Bunga & Ekivalensi (Gradien) (Wk 3)
http://slidepdf.com/reader/full/04-bunga-ekivalensi-gradien-wk-3 4/22
Contoh 1
Perkiraan biaya operasi dan perawatan mesin-mesin padasebuah industri kimia adalah Rp 6 juta pada th pertama, Rp 6,5juta pada tahun kedua, dan seterusnya selalu meningkat 0,5 jutasetiap tahun sampai tahun ke-5. Bila tingkat bunga yang berlakuadalah 15% per tahun, hitunglah nilai sekarang dari semuabiaya di atas!
7/24/2019 04 Bunga & Ekivalensi (Gradien) (Wk 3)
http://slidepdf.com/reader/full/04-bunga-ekivalensi-gradien-wk-3 5/22
Diketahui :G = Rp 500.000n = 5 tahuni = 15%
Ditanya : P
Jawab :Cara 1 :P = F1 (P/F, 15%, 1) + F2 (P/F, 15%, 2) + F3 (P/F, 15%, 3) + F4
(P/F, 15%, 4) + F5 (P/F, 15%, 5)P = (6 jt x 0,8696) + (6,5 jt x 0,7561) + (7 jt x 0,6575) + (7,5 jt x
0,5718) + (8 jt x 0,4972)P = 5,2176 + 4,91465 + 4,6025 + 4,2885 + 3,9976
P = Rp 23.000.085
Cara 2 :
P = P1 + P2P = A (P/A, 15%, 5) + G (P/G, 15%, 5)P = (6 jt x 3,3522) + (0,5 jt x 5,7751)P = 20,1132 + 2,88755P = Rp 23.000.075
7/24/2019 04 Bunga & Ekivalensi (Gradien) (Wk 3)
http://slidepdf.com/reader/full/04-bunga-ekivalensi-gradien-wk-3 6/22
Contoh 2
Sebidang tanah dibeli dengan harga Rp 25 juta. Pada saat transaksi, telah disepakati bahwa pembayaran dilakukan denganangsuran, yang meningkat Rp 3 juta setiap tahun, dan dilakukan
mulai tahun depan. Bila tingkat bunga 12% per tahun:a. Berapa besarnya angsuran pertama?
b. Berapa besarnya angsuran terakhir di tahun ke-5?
7/24/2019 04 Bunga & Ekivalensi (Gradien) (Wk 3)
http://slidepdf.com/reader/full/04-bunga-ekivalensi-gradien-wk-3 7/22
Diketahui :P = Rp 25.000.000G = Rp 3.000.000n = 5 tahuni = 12%
Ditanya : A1 dan A5
Jawab :P = A (P/A, i, n) + G (P/G, i, n)
25.000.000 = A (P/A, 12%, 5) + 3.000.000 (P/G, 12%, 5)
25.000.000 = A (3,605) + 3.000.000 (6,397)25.000.000 = 3,605 A + 19.191.000
A = (25.000.000 – 19.191.000) / 3,605A = Rp 1.611.373
A1 = AA1 = Rp 1.611.373A5 = A + 12.000.000A5 = Rp 13.611.373
7/24/2019 04 Bunga & Ekivalensi (Gradien) (Wk 3)
http://slidepdf.com/reader/full/04-bunga-ekivalensi-gradien-wk-3 8/22
Dalam kasus-kasus lainnya, aliran kas
periodik besarnya tidak bertambahatau berkurang dalam jumlah yangtetap (gradien aritmatik = G) tetapidengan prosentase yang tetap(gradien geometrik = g)
DERET GRADIEN GEOMETRIK (GEOMETRIC GRADIENT SERIES)
7/24/2019 04 Bunga & Ekivalensi (Gradien) (Wk 3)
http://slidepdf.com/reader/full/04-bunga-ekivalensi-gradien-wk-3 9/22
Deret Gradien Geometrik
Year Cash Flow
1 100.00 = 100.00 (1+0.1) 0 = 100.00
2 100.00 + 10%(100.00) = 100.00 (1+0.1) 1 = 110.00
3 110.00 + 10%(110.00) = 100.00 (1+0.1) 2 = 121.00
4 121.00 + 10%(121.00) = 100.00 (1+0.1)3
= 133.10
5 133.10 + 10%(133.10) = 100.00 (1+0.1) 4 = 146.41
7/24/2019 04 Bunga & Ekivalensi (Gradien) (Wk 3)
http://slidepdf.com/reader/full/04-bunga-ekivalensi-gradien-wk-3 10/22
1
1 1
t t g F F , t = 1, 2, …,n
0 1 32 n-1 n
F 1 F 1(1+ g)1 F 1(1+ g)2
F 1(1+ g)n-2
F 1(1+ g)n-1
Deret Grandien Geometrik
7/24/2019 04 Bunga & Ekivalensi (Gradien) (Wk 3)
http://slidepdf.com/reader/full/04-bunga-ekivalensi-gradien-wk-3 11/22
n
n
ni
g F
i
g F
i
g F
i
g F P
1
1
1
1
1
1
1
1 1
3
2
32
1
21
0
1
n
n
i
g
i
g
i
g
i
g g
F P
1
1
1
1
1
1
1
1
1 3
3
2
2
1
1
1
Kalikan setiap suku dari persamaan di atas dengan (1+ g)/(1+ g)sehingga diperoleh:
ni
F P 1
1substitusi F dengan 1
1 1
t t g F F
Sehingga diperoleh,
Deret Gradien Geometrik Rumus to findP given F
7/24/2019 04 Bunga & Ekivalensi (Gradien) (Wk 3)
http://slidepdf.com/reader/full/04-bunga-ekivalensi-gradien-wk-3 12/22
dimana g’ adalah growth-free rate , dan subtitusi dari setiap sukuadalah:
n g g g g g F
P 1
1
1
1
1
1
1
1
1 321
1
n
n
g g
g g
F P
1
11
1
1 atau
g F P
1
1
(P/A,g ’ ,n)
Misalkan
i
g
g 1
1
1
11
1
1
g
i g
Rumus to find
P given A
Deret Gradien Geometrik
7/24/2019 04 Bunga & Ekivalensi (Gradien) (Wk 3)
http://slidepdf.com/reader/full/04-bunga-ekivalensi-gradien-wk-3 13/22
g ’ > 0
jika i > g, maka g’ adalah positif dan dihitungdengan menggunakan persamaan yang sesuai.
( P/A, g’, n )
Contoh :Penerimaan dari suatu unit bisnis diestimasikan akanmengalami peningkatan 7% per tahun dari penerimaanawal tahun pertama sebesar $360. Tentukan nilaisekarang dari penerimaan tersebut selama 10 tahun biladigunakan tingkat suku bunga sebesar 15%.
Deret Gradien Geometrik
7/24/2019 04 Bunga & Ekivalensi (Gradien) (Wk 3)
http://slidepdf.com/reader/full/04-bunga-ekivalensi-gradien-wk-3 14/22
Deret Gradien Geometrik
Diketahui :g = 7% per tahunF1 = $ 360n = 10 tahun
i = 15% per tahun
Ditanya : P
Jawab :g’ = [(1 + i)/(1 + g)] – 1g’ = [(1 + 0,15)/(1 + 0,07)] – 1g’ = 0,0748 = 7,48%
(P/A, g ’, n) = (1 + g ’)n – 1g’ (1 + g ’)n
= (1 + 0,0748) 10 – 10,0748 (1 + 0,0748) 10
= 6,87073
P = $ 360 x (6,87073 / 1,07)P = $ 360 x 6,421P = $ 2.311,536
g F P
1
1
(P/A,g ’ ,n)
7/24/2019 04 Bunga & Ekivalensi (Gradien) (Wk 3)
http://slidepdf.com/reader/full/04-bunga-ekivalensi-gradien-wk-3 15/22
g ’ = 0
jika i = g, maka g’ sama dengan nol dan nilai ( )akan sama dengan n , sehingga persamaan geometric- gradient-series factor menjadi :
(P/A,g ’ ,n)
g n
F P 1
1
Contoh
Suatu penerimaan diestimasikan meningkat 10% pertahun dari pokok sebesar $10,000 pada awal tahunpertama. Tentukan P dari 5 tahun penerimaan tersebutdengan tingkat bunga 10%
Deret Gradien Geometrik
7/24/2019 04 Bunga & Ekivalensi (Gradien) (Wk 3)
http://slidepdf.com/reader/full/04-bunga-ekivalensi-gradien-wk-3 16/22
Deret Gradien Geometrik
Diketahui :F1 = $ 10.000i = 10% per tahung = 10% per tahunn = 5 tahun
Ditanya : P
Jawab :
P = $ 10.000 [5 / (1 + 0,1)P = $ 10.000 (4,54545)P = $ 45.454,5
g n
F P 1
1
7/24/2019 04 Bunga & Ekivalensi (Gradien) (Wk 3)
http://slidepdf.com/reader/full/04-bunga-ekivalensi-gradien-wk-3 17/22
g’ < 0jika i < g, maka g’ akan negatif dan nilai tabel tidakdapat digunakan untuk mengevaluasi faktor P/A
Contoh :
Gaji seorang Industrial Engineer baru diperkirakanmeningkat 12% per tahun dari pokok sebesar $22,000selama 5 tahun yang akan datang. Jika tingkat suku bunga10%, tentukan P nya
Deret Gradien Geometrik
7/24/2019 04 Bunga & Ekivalensi (Gradien) (Wk 3)
http://slidepdf.com/reader/full/04-bunga-ekivalensi-gradien-wk-3 18/22
Deret Gradien Geometrik
Diketahui :g = 12% per tahunF1 = $ 22.000n = 5 tahun
i = 10% per tahun
Ditanya : P
Jawab :g’ = [(1 + i)/(1 + g)] – 1g’ = [(1 + 0,10)/(1 + 0,12)] – 1g’ = -0,0179 = -1,79%
(P/A, g ’, n) = (1 + g ’)n – 1g’ (1 + g ’)n
= (1 - 0,0179) 5 – 1-0,0179 (1 - 0,0179) 5
= 5,2801
P = $ 22.000 x (5,2801 / 1,12)P = $ 22.000 x 4,714375P = $ 103.716,25
g F P
1
1
(P/A,g ’ ,n)
7/24/2019 04 Bunga & Ekivalensi (Gradien) (Wk 3)
http://slidepdf.com/reader/full/04-bunga-ekivalensi-gradien-wk-3 19/22
g < 0menghasilkan g’ positif untuk semua nilai positif dari i
Contoh :Sebuah sumur minyak diperkirakan menghasilkan 12.000barel pada tahun pertama dengan harga minyak $21/barel. Jika hasil eksplorasi diperkirakan menurun10% per tahun, tentukan PW pendapatan kotor 7 tahunke depan dengan tingkat suku bunga 17%
Deret Gradien Geometrik
7/24/2019 04 Bunga & Ekivalensi (Gradien) (Wk 3)
http://slidepdf.com/reader/full/04-bunga-ekivalensi-gradien-wk-3 20/22
Deret Gradien Geometrik
Diketahui :g = -10% per tahunF1 = $ 21 x 12.000F1 = $ 252.000n = 7 tahuni = 17% per tahun
Ditanya : P
Jawab :g’ = [(1 + i)/(1 + g)] – 1g’ = [(1 + 0,17)/(1 - 0,10)] – 1g’ = 0,3 = 30%
P = $ 252.000 (2,9247 / (1 – 0,1)]P = $ 252.000 x 3,24967P = $ 818.916
g F P
1
1
(P/A,g ’ ,n)
7/24/2019 04 Bunga & Ekivalensi (Gradien) (Wk 3)
http://slidepdf.com/reader/full/04-bunga-ekivalensi-gradien-wk-3 21/22
TUGAS
1. Suatu instansi memiliki perkiraan pengeluaran untuk promosi selama 9 tahun berturut-turut sebesar Rp 2 juta, 3juta, 4 juta, 5 juta, 6 juta, 5 juta, 4 juta, 3 juta, dan 2 juta. Bilatingkat bunga 10% per tahun, tentukan nilai deret seragamdari semua pengeluaran tersebut selama 9 tahun.
2. Hitunglah besarnya G dari aliran kas dibawah ini agar nilaiawal seluruh aliran kas tersebut bernilai Rp 57.000 bilabunga yang berlaku 15% per tahun.
tahun 1 2 3 4 5 6 7
Aliran kas 8000 8000+G 8000+2G 8000+3G 8000+4G 8000+5G 8000+6G
7/24/2019 04 Bunga & Ekivalensi (Gradien) (Wk 3)
http://slidepdf.com/reader/full/04-bunga-ekivalensi-gradien-wk-3 22/22
TUGAS
3. Berapakah nilai sekarang dari deret gradien geometrikberikut ini :
a. Tahun pertama $900, bertambah 4% tiap tahun hinggatahun ke-10 dengan suku bunga 12%
b. Tahun pertama $1,000 , bertambah 8% per tahun hinggatahun ke-20 dengan suku bunga 8%