Post on 05-Jul-2019
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | i
Disusun Oleh:
Nego Linuhung
Ira Vahlia
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | ii
LOGIKA, HIMPUNAN, DAN RELASI DAN FUNGSI
Pendidikan Matematika UM Metro
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | iii
LEMBAR PENGESAHAN
MODUL/ BAHAN PEMBELAJARAN
Judul Modul : Logika Himpunan dan Relasi dan
FungsiTerintegrasi Nilai-nilai Islam
Mata Kuliah : Logika dan Himpunan
Semester/Prodi : 1 (satu)/Pendidikan Matematika
Tahun Akademik : 2017/2018
Tim Penyusum : 1. Nego Linuhung, M.Pd.
2. Ira vahlia, M. Pd.
Jumlah Halaman : 122 Halaman
Keterangan : Tidak Diterbitkan, digunakan untuk
kalangan Sendiri
Dengan ini menyatakan bahwa Modul Pembelajaran tersebut di atas telah
disahkan untuk dapat digunakan dalam proses Perkuliahan Logika dan
Himpunan Tahun Akademik 2017/2018
Disahkan Oleh:
Dekan FKIP UM Metro
Drs. Partono, M.Pd.
NIP. 19660413 199103 01 003
Metro, September 2017
Ketua TPJM
Agil Lepiyanto, M.pd
NIDN. 0212028502
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | iv
LOGIKA, HIMPUNAN, DAN RELASI
DAN FUNGSI Edisi 2 (2017)
Nego Linuhung
Ira Vahlia
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | v
Pendidikan Matematika UM Metro LOGIKA, HIMPUNAN, DAN RELASI DAN FUNGSI
Penyusun : Nego Linuhung
Ira Vahlia
Dosen Pendidikan Matematika
Universitas Muhammadiyah Metro
Penerbit : Pendidikan Matematika UM Metro
Pendidikan Matematika UM Metro
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | vi
Assalamu‟alaikum warahmatullahi wabarakatuh.
Segala puji bagi Allah SWT. yang telah memberikan nikmat serta
hidayah-Nya terutama nikmat kesempatan dan kesehatan, sehingga penulis
dapat menyelesaikan modul ini. Kemudian shalawat beserta salam
senantiasa kita sanjung agungkan kepada Nabi besar Muhammad SAW.
yang telah memberikan pedoman hidup yakni Al-qur‟an dan Sunnah untuk
keselamatan umat di dunia.
Modul ini merupakan salah satu modul yang harus dipelajari oleh
mahasiswa khususnya program studi pendidikan matematika. Pada modul
ini membahas substansi logika, himpunan, relasi dan fungsi matematika.
Logika selalu digunakan dalam rangka melakukan pembuktian. Logika
tidak dapat dihindarkan dalam kehidupan manusia sehari-hari dalam
mencari kebenaran. Himpunan merupakan cara mengelompokkan objek
secara bersama-sama dan sangat fundamental dalam ilmu matematika,
sedangkan relasi dan fungsi merupakan bentuk yang digunakan untuk
mengetahui hubungan antar himpunan.
Sebagaimana kita juga ketahui logika, himpunan, relasi dan fungsi
memainkan peranan penting dalam berbagai bidang keilmuan, bahkan
dalam kehidupan sehari-hari dan terkait erat dengan berbagai ilmu lain
yang berhubungan dengan komputer, misalnya matematika diskrit, aljabar
linier, dan komputasi numerik.
Dalam penyusunannya, penulis memperoleh banyak bantuan dari
berbagai pihak, karena itu penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-
KATA PENGANTAR
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | vii
besarnya kepada semua pihak yang telah membantu dalam penyusunan
modul ini. Meskipun penulis berharap isi dari modul ini bebas dari
kekurangan dan kesalahan, namun selalu ada yang kurang. Oleh karena itu,
penulis mengharapkan kritik dan saran yang membangun agar modul ini
dapat lebih baik lagi.
Nego Linuhung Ira Vahlia
Pendidikan Matematika UM Metro
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | viii
HALAMAN JUDUL .......................................................................................... i KATA PENGANTAR ....................................................................................... iii Halaman Pengesahan ....................................................................................... v DAFTAR ISI ....................................................................................................... vi BAB I PENDAHULUAN .................................................................................. 1 A. Deskripsi ....................................................................................................... 1 B. Materi Prasyarat .......................................................................................... 1 C. Capaian Pembelajaran................................................................................. 1 BAB II LOGIKA ................................................................................................. 3 A. Proposisi/Pernyataan ............................................................................... 3 B. Kalimat terbuka ......................................................................................... 5 C. Ingkaran atau negasi suatu proposisi ..................................................... 6 D. Pernyataan Majemuk ................................................................................ 8 E. Ingkaran Pernyataan Majemuk ............................................................... 13 F. Konvers, Invers, dan Kontraposisi ......................................................... 16 G. Pernyataan Berkuantor ............................................................................. 20 H. Ingkaran Suatu Pernyataan Berkuantor.................................................. 22 I. Tautologi, Kontradiksi dan Kontingensi ................................................ 23 J. Ekuivalen Logis ......................................................................................... 25 K. Inferensi Logika (Silogisme, Modus Ponens, dan Modus Tollens .......
BAB III HIMPUNAN ........................................................................................ 35 A. Pengertian dan Anggota Himpunan ........................................................ 35 B. Penulisan Himpunan .................................................................................. 35 C. Macam-macam Himpunan ........................................................................ 36 D. Hubungan antar Himpunan ...................................................................... 42 BAB III RELASI DAN FUNGSI ....................................................................... 55 1. Pengertian Relasi ......................................................................................... 55 2. Cara menyajikan relasi ............................................................................... 56 3. Jenis-jenis Relasi .......................................................................................... 59 4. Pengertian Fungsi ....................................................................................... 61 5. Notasi dan Nilai Fungsi ............................................................................. 63 6. Menyatakan Fungsi dalam Diagram Panah, Diagram Cartesius,
dan Himpunan Pasangan Berurutan ........................................................ 66 7. Menentukan Banyaknya Fungsi dari Dua Himpunan ........................... 67
DAFTAR ISI
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | ix
8. Menentukan Bentuk Fungsi Jika Nilai dan Data Fungsi Diketahui ..... 69 9. Grafik Fungsi/Pemetaan ........................................................................... 70 10. Macam-macam Fungsi ............................................................................... 72 11. Sifat-sifat Fungsi ......................................................................................... 80 12. Aljabar Fungsi ............................................................................................. 82 13. Fungsi Komposisi ....................................................................................... 83 14. Fungsi Invers ............................................................................................... 87 DAFTAR PUSTAKA ......................................................................................... 92
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 1
A. Deskripsi
Materi Logika, Himpunan, Relasai dan Fungsi ini merupakan materi wajib
bagi mahasiswa Pendidikan Matematika. Hasil yang diharapkan dari
perkuliahan ini adalah memahami konsep-konsep dasar matematika dan
mengimplementasikan dalam kehidupan sehari-hari. Pokok bahasan pada
modul ini adalah logika, himpunan, dan relasi dan fungsi. Materi logika,
diantaranya dasar-dasar logika, tabel kebenaran, proposisi majemuk,
tautologi, ekuivalensi logis; materi himpunan diantaranya istilah dan
simbol himpunan, diagram Venn, relasi himpunan, operasi himpunan: dan
relasi dan fungsi diantaranya notasi dan nilai fungsi, grafik
fungsi/pemetaan, aljabar fungsi, fungsi komposisi, dan fungsi invers.
B. Materi Prasyarat
Materi ini tidak memerlukan pengetahuan prasyarat secara khusus.
Pengetahuan matematika yang telah didapat di pendidikan dasar dan
pendidikan menengah sudah cukup sebagai dasar untuk mempelajari
materi pokok modul ini.
C. Capaian Pembelajaran
Setelah mengikuti mata kuliah ini, diharapkan mahasiswa dapat:
1. Memahami proposisi, dan nilai kebenaran kalimat terbuka
2. Menjelaskan proposisi majemuk yang diwujudkan dalam ekspresi
logika dan pengoperasiannya
3. Menjelaskan validitas argumen yang berupa tautologi dan bukan
tautologi.
4. Menjelaskan hukum-hukum dalam logika yang diperoleh dari
ekuivalen berbagai ekspresi logika.
BAB I PENDAHULUAN
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 2
5. Menjelaskan proses pembuktian benar atau salahnya suatu
kesimpulan secara logika
6. Menjelaskan penggunaan teori inferensi yang melibatkan kuantor
7. Memahami pengertian himpunan, cara menyatakan himpunan, dan
diagram venn
8. Menjelaskan pengertian operasi dua himpunan atau lebih
9. Menjelaskan operasi himpunan, komplemen dan selisih himpunan
10. Menjelaskan pengertian relasi, cara menyajikan relasi, pengertian
fungsi, notasi dan nilai fungsi
11. Menyatakan fungsi dalam diagram panah, diagram cartesius, dan
himpunan pasangan berurutan
12. Menjelaskan pengoperasian aljabar fungsi
13. Memahami konsep fungsi komposisi dan fungsi Invers
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 3
Logika matematika adalah cabang logika dan matematika yang
mengandung kajian matematis logika dan aplikasi kajian ini pada bidang-
bidang lain di luar matematika. Logika matematika mempelajari tentang
bagaimana kita berfikir logis dengan menggunakan simbol-simbol
matematika. Logika matematika berhubungan erat dengan ilmu komputer
dan logika filosofis. Tema utama dalam logika matematika antara lain
adalah kekuatan ekspresif dari logika formal dan kekuatan deduktif dari
sistem pembuktian formal. Logika matematika sering dibagi ke dalam
cabang-cabang dari teori himpunan, teori model, teori rekursi, teori
pembuktian, serta matematika konstruktif.
Pada modul ini juga akan membahasa materi logika dan dikaitkan
dengan Al-Qur‟an yang merupakan kitab suci bagi kita umat Islam dan
juga sebagai pedoman untuk kehidupan sehari-hari. Modul ini selain akan
membahas tentang logika matematika, diharapkan dapat meningkatkan
pengetahuan tentang Al-Qur‟an dan berimplikasi pada peningkatan
keimanan dan ketaqwaan kepada Allah SWT. Sebagai pengantar mari kita
telaah logika matematika dalam Al-Qur‟an, yaitu Allah SWT. Berfirman
dalam Al-Qur‟an Al-Ashr ayat 1-3 sebagai berikut:
Artinya: 1. Demi masa, 2. Sesungguhnya manusia itu benar-benar dalam
kerugian, 3. kecuali orang-orang yang beriman dan mengerjakan
amal saleh dan nasehat menasehati supaya mentaati kebenaran dan
nasehat menasehati supaya menetapi kesabaran.
BAB I LOGIKA
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 4
p: orang yang beriman
q: orang yang mengerjakan kebajikan
Pernyataan ini akan bernilai benar jika nilai kebenaran dari kedua
pernyataan tersebut benar.
1. Manusia yang beriman dan mengerjakan kebajikan, manusia
tersebut tidak berada dalam kerugian,
2. Manusia yang beriman dan tidak mengerjakan kebajikan,
manusia tersebut berada dalam kerugian,
3. Manusia yang tidak beriman dan mengerjakan kebajikan,
manusia tersebut berada dalam kerugian,
4. Manusia yang tidak beriman dan tidak mengerjakan kebajikan,
manusia tersebut berada dalam kerugian.
A. Proposisi/Pernyataan
Definisi 1.1
Proposisi/Pernyataan merupakan kalimat yang mengandung nilai benar (B)
atau salah (S) tetapi tidak sekaligus kedua-duanya.
Perhatikan kalimat pada di bawah ini!
Contoh 1.1
1) Bandung adalah Ibu Kota Jawa Barat
2) Al-Qur‟an adalah pedoman hidup manusia
3) Umat Islam pada bulan Ramadhan diwajibkan untuk berpuasa
4) 7 adalah faktor dari 10
5) Semoga selamat sampai tujuan
6) Muhammad adalah Rosul Allah
7) 2 adalah bilangan prima
8) x - 8 < 7
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 5
9) Dilarang merokok
10) 5 + 6 = 11
11) x faktor dari 7
12) 5 + 4 > 7
13) Dilarang membuang sampah disini
14) y + 4 = 6
Kalimat pada Contoh 1.1 yang merupakan pernyataan adalah 1, 2, 4, 6, dan
8 karena kalimat tersebut dapat ditentukan nilai kebenarannya yaitu benar
(B) atau salah (S).
Proposisi dinotasikan dengan huruf kecil seperti p, q, r dst.
Contoh 1.2:
1) p: Budi anak yang rajin
2) q: Semua manusia akan mati
3) r: Reno memakai topi
4) m: 5 + 6 = 11
Untuk menentukan nilai kebenaran suatu proposisi dapat memakai dasar
empiris dan dasar tak-empiris.
a. Dasar empiris: jika nilai kebenaran ditentukan dengan pengamatan
pada saat tertentu.
Contoh 1.3:
1) Ibu kota Provinsi Jawa Barat adalah Bandung (B)
2) Batu adalah benda cair (S)
b. Dasar tidak empiris: jika nilai kebenaran ditentukan menurut kaidah
atau hukum tertentu atau perhitungan-perhitungan dalam
matematika. Jadi nilai mutlak tidak terikat oleh waktu dan tempat.
Contoh 1.4:
1) Jumlah sudut dalam segitiga adalah 1800
2) akar persamaan x + 2 = 3 adalah 1
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 6
Dalam logika matematika, ada beberapa lambang-lambang
(operator) proposisi yang digunakan di dalam pengoperasiannya. Berikut
adalah lambang-lambang tersebut.
Tabel 1.1 Lambang-lambang (operator) Proposisi
No Nama Lambang Arti dalam Bahasa Sehari-hari
1. Negasi ~ tidak, bukan
2. Konjungsi ∧ dan, tetapi, meskipun,
walaupun
3. Disjungi ∨ Atau
4. Implikasi jika … maka …
5. Biimplikasi jika dan hanya jika … maka …
B. Kalimat terbuka
Definisi 1.2
Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum dapat ditentukan nilai
kebenarannya. Ciri dasar kalimat terbuka adalah adanya peubah atau
variabel.
Contoh 1.5:
1) 4x + 2 = 18
x adalah variabel, jika x diganti dengan 4, maka proposisi itu bernilai
Benar (B), namun jika x diganti dengan 5 atau bilangan bulat lain
maka proposisi itu bernilai Salah (S)
2) 7 + n adalah bilangan prima
n adalah variabel, jika n diganti dengan 4, maka proposisi tersebut
bernilai Benar (B). pada kasus ini, himpunan Penyelesaiannya
bergantung pada semestanya. Jika semestanya bilangan asli kurang
dari 7 dan n diganti dengan 1, 2, 3, 5, maka proposisi itu bernilai
salah (S).
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 7
3) Kota ... adalah ibukota provinsi Jawa Timur
... adalah variabel, jika ... diganti dengan Surabaya maka proposisi
bernilai benar (B).
C. Ingkaran atau negasi suatu proposisi
Ingkaran atau negasi dari suatu proposisi adalah proposisi yang
mengingkari pernyataan semula. Ingkaran dari proposisi p dinotasikan ~p.
Apabila proposisi bernilai benar, maka proposisi ~p bernilai salah.
Sebaliknya jika proposisi p bernilai salah maka proposisi ~ p bernilai benar.
~ p dibaca: tidak p atau tidak benar p atau bukan p
Untuk lebih jelasnya perhatikan tabel kebenaran berikut:
p ~ p
B S
S B
Contoh 1.6:
1. p : 5 + 4 = 9
~ p : 5 +4 ≠ 9
2. ~ p : 3 + 2 = 7
~ (~ p) = p = 3 + 2 ≠ 7
3. p : Neneng memakai baju putih
~ p : Neneng tidak memakai baju putih
4. p : 2 + 5 > 9
~ p : 2 + 5 ≤ 9
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 8
D. Pernyataan Majemuk
Pernyataan majemuk adalah gabungan dari beberapa pernyataan tunggal
yang dihubungkan dengan kata hubung.
Pernyataan majemuk menggunakan 4 kata hubung yaitu ∧, ∨, , dan
Tabel 1.2 Kata Hubung Pernyataan Majemuk
Pernyataan Dibaca disebut
qp p dan q Konjungsi
qp q atau q Disjungsi
p q Jika p maka q Implikasi
p q p jika dan hanya jika q atau jika p
maka q dan jika q maka p
Biimplikasi
1. Konjungsi
Konjungsi Merupakan pernyataan majemuk dengan kata penghubung
“dan”.
Konjungsi dari pernyataan p dan q dinotasikan dengan qp yang
dibaca p dan q. Tabel kebenarannya :
Tabel 1.3 Tabel Kebenaran Konjungsi
p q qp
B B B
B S S
S B S
S S S
Contoh 1.7:
a. p : Arman lahir di Tulang Bawang (B)
q : Arman Kuliah di Metro (S)
Maka qp : Arman lahir di Tulang Bawang dan Kuliah di Metro (S)
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 9
b. p : Pedoman hidup umat Islam adalah Al-Qur‟an (B)
q : Pedoman hidup umat Islam adalah As-Sunnah (B)
Maka qp : Pedoman hidup umat Islam adalah Al-Qur‟an dan As-
Sunnah (B)
c. p : 42 = 15 (S)
q : 5 + 8 = 13 (B)
Maka qp : 42 = 15 dan 5 + 8 = 13 (S)
Salah satu firman Allah Pada surat Al-An‟am ayat 101 menjelaskan
tentang konjungsi yang di baca p dan q.
Artinya: Dia Pencipta langit dan bumi. bagaimana Dia mempunyai anak
Padahal Dia tidak mempunyai isteri. Dia menciptakan segala
sesuatu; dan Dia mengetahui segala sesuatu.
Dijelaskan dalam surat Al – An‟am ayat : 101 Bahwa “Allah pencipta
langit dan bumi.” Sehingga dapat ditulis dalam bentuk logika p dan q.
p : Allah pencipta langit
q : Allah pencipta bumi
qp : Allah pencipta langit dan bumi
2. Disjungsi Disjungsi adalah pernyataan majemuk dengan kata hubung atau.
Disjungsi dari pernyataan p dan q dinotasikan qp dan dibaca p atau q.
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 10
Apa yang dimaksud dari kata “atau” di atas maka muncul dua
macam jenis disjungsi yaitu:
a. Disjungsi Inklusif, yaitu dua pernyataan yang bernilai benar
apabila paling sedikit satu dari keduanya bernilai benar. Disjungsi
inklusif dua pernyataan p dan q ditulis qp .
b. Disjungsi Eksklusif, yaitu dua pernyataan bernilai benar apabila
hanya satu dari dua pernyataan bernilai benar. Disjungsi eksklusif
dua pernyataan p dan q ditulis qp .Tabel kebenarannya :
Tabel 1.4 Tabel Kebenaran Disjungsi Inklusif dan Eksklusif
p q qp qp
B B B S
B S B B
S B B B
S S S S
Contoh 1.8:
Diketahui:
1. P : 3 + 5 = 8
q : Metro terletak di Palembang
Tentukan nilai kebenaran dari qp !
Penyelesaian:
P : 3 + 5 = 8 ........ (B)
q : Metro terletak di Palembang ........ (S)
Jadi:
qp : 3 + 5 = 8 atau Metro terletak di Lampung ........ (B)
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 11
Diketahui:
2. P : 3 + 5 = 8 .......... (B)
q : Metro terletak di Lampung .......... (B)
Tentukan nilai kebenaran dari qp !
Penyelesaian:
qp : 3 + 5 = 8 atau Metro terletak di Lampung .......... (S)
3. Implikasi
Untuk memahami implikasi, pelajarilah uraian berikut:
Anto berjanji pada Rina, “Jika malam nanti tidak hujan, maka saya akan
datang kerumahmu”. Janji Anto ini berlaku hanya untuk kondisi malam
nanti tidak hujan. Akibatnya, jika malam nanti hujan, tidak ada
keharusan bagi Anto untuk datang kerumah Rina.
Misalkan malam ini tidak hujan dan Anto datang kerumah Rina,
Rina tidak akan kecewa karena Anto memenuhi janjinya. Tapi, jika
malam ini hujan dan Anto tetap kerumah Rina, Rina tentu merasa
senang sekali. Jika malam ini hujan dan Anto tidak datang kerumah
Rina, tentunya Rina akan memakluminya. Bagaimana jika malam ini
tidak hujan dan Anto tidak kerumah Rina? Itu akan lain lagi ceritanya.
Tentu saja Rina akan kecewa dan menganggap Anto sebagai pembohong
karena tidak menepati janjinya.
Misalkan,
p : malam tidak hujan.
q : Anto datang kerumah Rina.
Pernyataan “jika malam nanti tidak hujan, maka Anto akan datang
kerumah Rina”. Dapat dinyatakan sebagai “jika p maka q” atau
dilambangkan dengan “p q”.
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 12
Suatu pernyataan majemuk dengan bentuk “jika p, maka q” disebut
implikasi.
Terdapat perbedaan antara implikasi dalam kegiatan sehari-hari dan
implikasi dalam logika matematika.
a. Sehari-hari, pernyataan hipotesis p haruslah memiliki hubungan
dengan pernyataan konklusi/konsekuen q. Misalnya, pada Contoh
implikasi sebelumnya, “Jika malam nanti tidak hujan maka saya
akan datang kerumahmu”. Artinya ada hubungan sebab-akibat.
b. Dalam logika matematika, pernyataan hipotesis/anteseden p tidak
harus memiliki hubungan dengan konklusi/konsekuen q.
Implikasi adalah pernyataan majemuk dengan kata hubung “jika ....
maka .......”
Implikasi dari pernyataan p dan q dinotasikan dengan
p q
yang dibaca
- jika p maka q
- p jika hanya jika q
- syarat perlu bagi q
- q syarat cukup bagi p
Dari implikasi p q,
p disebut anteseden atau sebab atau hipotesa
q disebut konsekuen atau kesimpulan atau konklusi.
Tabel 1.5 Tabel Kebenaran Implikasi
P q qp
B B B
B S S
S B B
S S B
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 13
Salah satu firman Allah Pada Qur‟an Surat Al-Waqi‟ah ayat 4-6 yaitu:
Artinya: Apabila bumi digoncangkan sedahsyat-dahsyatnya, dan
gunung-gunung dihancur luluhkan seluluh-luluhnya, maka jadilah ia debu
yang beterbangan,
Dari surat Al-Waqi‟ah ayat 4-6 dapat dikaitkan dengan implikasi
pada logika matematika, misalkan:
p : Apabila bumi diguncangkan sedahsyat-dahsyatnya.
q : Gunung-gunung dihancur leburkan sehancur-hancurnya.
r : Jadilah debu yang beterbangan.
Dari premis-premis diatas dapat kita buat tabel kebenaran seperti di
bawah ini:
P q r p ˄ q (p ˄ q) → r
B B B B B
B S B S B
S B B S B
S S B S B
B B S B S
B S S S B
S B S S B
S S S S B
Berdasarkan tabel kebenaran, dapat disimpulkan bahwa “ (p ˄ q) →
r” adalah bernilai benar, sesuai dengan surat Al-Waqi‟ah ayat 4-6, “Apabila
bumi diguncangkan sedahsyat-dahsyatnya dan gunung-gunung dihancur
leburkan sehancur-hancurnya, maka jadilah debu yang berterbangan.”
Merupakan contoh implikasi sekaligus peringatan kepada umat manusia.
Contoh 1.9:
a) Tentukanlah nilai kebenaran dari implikasi berikut:
Jika 5 + 8 = 12, maka Batu adalah benda padat.
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 14
Penyelesaian:
5 + 8 = 12 ........... (S)
Batu adalah benda padat ........... (B)
Sehingga, Jika 5 + 8 = 12, maka Batu adalah benda padat
........... (B)
b) Diketahui
P : 5 + 8 = 10 ......... (S)
q : Lampung adalah ibukota negara Indonesia ........ (S)
Tentukan nilai kebenaran p q!
Penyelesaian:
Sehingga, p q : Jika 5 + 8 = 10 maka lampung adalah ibukota
negara Indonesia. ........ (B)
4. Biimplikasi
Biimplikasi adalah pernyataan majemuk dengan kata hubung “.......jika
dan hanya jika............” dan dilambangkan .
Biimplikasi dari pernyataan p dan q ditulis p q yang dibaca p jika
dan hanya jika q atau jika p maka q dan jika q maka p.
Tabel kebenarannya:
Tabel 1.6 Tabel kebenaran Biimplikasi
p q qp
B B B
B S S
S B S
S S B
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 15
Contoh 1.10:
Diketahui:
p : 5 + 10 =16
q : Persegi memiliki jumlah sudut tiga
Tentukan nilai kebenaran p q!
Penyelesaian:
p : 5 + 10 =16 ........ (S)
q : Persegi memiliki jumlah sudut tiga ........ (S)
Sehingga:
p q : 5 + 10 = 16 jika dan hanya jika persegi memiliki jumlah sudut
tiga ........ (B)
Berdasarkan uraian kalimat majemuk di atas mengenai Konjungsi,
Disjungsi, Implikasi dan Biimplikasi, maka Tabel Kebenaran dapat
digambarkan pada Tabel berikut:
Tabel 1.7 Tabel kebenaran Konjungsi, Disjungsi, Implikasi dan Biimplikasi
p q ~ p Tidak
p
qp p dan q
qp p atau q inklusif
qp p atau q eksklusif
qp Jika p
maka q
qp p jika dan
hanya jika q
B B S B B S B B
B S S S B B S S
S B B S B B B S
S S B S S S B B
Salah satu firman Allah Pada QS. Ibrahim ayat 7 yaitu:
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 16
Artinya: dan (ingatlah juga), tatkala Tuhanmu memaklumkan;
"Sesungguhnya jika kamu bersyukur, pasti Kami akan menambah
(nikmat) kepadamu, dan jika kamu mengingkari (nikmat-Ku), Maka
Sesungguhnya azab-Ku sangat pedih".
Pernyataan yang telah di Firmankan oleh Allah SWT mengandung
kunjungsi dan implikasi, selanjutnya perhatikan penjelasan berikut:.
p = Manusia bersyukur
q = Manusia ditambah nikmat
r = Manusia kufur nikmat
s = Manusia mendapat adzab
Tabel 1.8 Nilai kebenaran dari konjungsi dan implikasi
p q r s qp r s p q r s
B B B B B B B
B B B S B S S
B B S B B B B
B B S S B B B
B S B B S B S
B S B S S S S
B S S B S B S
B S S S S B S
S B B B B B B
S B B S B S S
S B S B B B B
S B S S B B B
S S B B S B B
S S B S S S S
S S S B S B B
S S S S S B B
Perhatikan penjabaran logika dalam QS. Ibrahim ayat 7 sebagai berikut:
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 17
p = Manusia bersyukur
q = Manusia ditambah nikmat
r = Manusia kufur nikmat
s = Manusia mendapat adzab
p q r s
Jika manusia bersyukur maka, manusia akan ditambah
nikmatnya dan jika manusia kufur, maka manusia akan
mendapatkan adzab. Pernyataan ini bernilai benar.
~p q r s
Jika manusia bersyukur, maka manusia akan ditambah
nikmatnya dan jika manusia kufur, maka manusia tidak akan
mendapatkan adzab. Pernyataan ini bernilai salah.
~p q r s
Jika manusia bersyukur, maka manusia tidak akan ditambah
nikmatnya dan jika manusia kufur, maka manusia akan
mendapatkan adzab. Pernyataan ini bernilai salah
Jika manusia bersyukur, maka manusia akan ditambah
nikmatnya dan jika manusia tidak kufur, maka manusia tidak akan
mendapatkan adzab. Pernyataan ini bernilai benar.
E. Ingkaran Pernyataan Majemuk
Ingkaran dari suatu pernyataan majemuk dapat dibentuk dari
ingkaran pernyataan-pernyataan tunggal dengan menggunakan ekuivalensi,
~ ~p q r s
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 18
yaitu jika ingkaran pernyataan-pernyataan majemuk itu mempunyai nilai
kebenaran yang sama dengan pernyataan majemuk ingkaran dari
komponen-komponennya. Berikut adalah ekuivalensi yang dimaksud:
1. Ingkaran dari suatu Konjungsi
Seperti yang telah dibahas pada konjungsi sebelumnya,
“Rudi sedang makan dan mendengarkan lagu”
Konjungsi dari pernyataan tersebut akan bernilai benar jika
pertanyaan tunggalnya bernilai benar. Sedangkan ingkaran adalah
pernyataan yang jika pernyataan awalnya bernilai benar maka
pernyataan negasinya bernilai salah, begitupun sebaliknya.
Oleh karena itu:
“Rudi sedang makan dan mendengarkan lagu”
Negasinya adalah:
“tidak benar Rudi sedang makan dan mendengarkan lagu”.
Dari pernyataan negasinya tersebut, bisa saja kenyataannya Rudi
tidak sedang makan tapi sedang mendengarkan lagu, atau bisa juga
Rudi sedang makan tapi tidak mendengarkan musik, atau juga dengan
kalimat lain Rudi tidak sedang makan atau tidak sedang mendengarkan
lagu.
Perhatikan Tabel Kebenaran Berikut ini:
Tabel 1.9 Tabel kebenaran Ingkaran dari suatu Konjungsi
p q ~ p ~ q qp ~ )( qp
)~~( qp
B B S S B S S
B S S B S B B
S B B S S B B
S S B B S B B
* *
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 19
Berdasarkan Tabel Kebenaran di atas nampak pada kolom ~ (p ∧ q)
dan ~ p ∨ ~ q memiliki pernyataan tunggal yang sama, sehingga dapat
disimpulkan bahwa ~ (p ∧ q) ≡ ~ p ∨ ~ q.
2. Ingkaran dari suatu Disjungsi
Disjungsi adalah pernyataan majemuk yang menggunakan penghubung
“atau”.
Perhatikan pernyataan majemuk berikut:
“Mahasiswa diwajibkan membawa Pulpen atau Pensil”
Pernyataan disjungsi akan bernilai salah jika kedua pernyataan
tunggalnya bernilai salah. Sehingga negasinya yaitu salah satu
pernyataan tunggalnya adalah negasi dari komponen pernyataan
awalnya.
Tabel 1.10 Tabel Kebenaran Ingkaran dari suatu Disjungsi
p q ~ p ~ q qp ~ )( qp
)~~( qp
B B S S B S S
B S S B B S S
S B B S B S S
S S B B S B B
* *
Berdasarkan Tabel Kebenaran di atas nampak pada kolom
~ (p ∨ q) dan ~p ∧ ~q memiliki pernyataan tunggal yang sama
sehingga dapat disimpulkan bahwa ~ (p ∨ q) ≡ ~p ∧ ~q.
Sebagai latihan, silahkan buktikan sebagai latihan anda negasi dari
Implikasi dan Negasi dari Biimplikasi berikut:
a. ~ (p q) ≡ p ∧ ~q
b. ~ (p q) ≡ (p ∧ ~q) ∨ (q ∧ ~p)
Untuk membuktikan dapat dilakukan dengan tabel kebenaran.
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 20
F. Konvers, Invers, dan Kontraposisi
Konvers, Invers dan Kontraposisi adalah suatu pernyataan Implikasi
baru dari suatu pernyataan implikasi. Dari pernyataan yang berupa
implikasi p ⇒ q dapat dibuat pernyataan implikasi baru sebagai berikut:
Pernyataan q ⇒ p disebut Konvers dari p ⇒ q
Pernyataan ~p ⇒ ~q disebut Invers dari p ⇒ q
Pernyataan ~q ⇒ ~p disebut Kontraposisi dari p ⇒ q.
Untuk melihat hubungan nilai kebenaran antara implikasi, konvers,
invers dan kontraposisi perhatikanlah tabel kebenaran berikut:
Tabel 1.11 Hubungan antara Implikasi, Konvers, Invers dan Kontraposisi
p q ~p ~q Implikasi p ⇒ q
Konvers q ⇒ p
Invers ~p ⇒ ~q
Kontraposisi ~q ⇒ ~p
B B S S B B B B
B S S B S B B S
S B B S B S S B
S S B B B B B B
(1) (2) (3) (4)
Berdasarkan Tabel 1.11 di atas dapat disimpulkan sebagai berikut:
1. Implikasi kolom (1) ekuivalen dengan kontraposisinya kolom (4):
p ⇒ q ≡ ~q ⇒ ~p
2. Konvers suatu implikasi kolom (2) ekuivalen dengan inversnya (3)
q ⇒ p ≡ ~p ⇒ ~q .
Contoh 1.11:
1. Tentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari setiap pernyataan
implikasi berikut :
a. Jika harga BBM naik, maka harga beras naik
b. Jika Arman siswa yang pandai, maka ia lulus tes
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 21
c. Jika harga turun, maka permintaan naik
d. Jika x = 7, maka x2 = 49
Penyelesaian:
a. Konvers : Jika harga beras naik, maka harga BBM naik
Invers : Jika harga BBM tidak naik, maka harga beras
tidak naik
Kontraposisi : Jika harga beras tidak naik, maka harga BBM
tidak naik.
b. Konvers : Jika Arman lulus tes, maka ia siswa yang
pandai
Invers : Jika Arman siswa yang tidak pandai, maka ia
tidak lulus tes
Kontraposisi : Jika Arman tidak lulus tes, maka ia siswa
yang tidak pandai
c. Konvers : Jika permintaan naik , maka harga turun
Invers : Jika harga tidak turun, maka permintaan
tidak naik
Kontraposisi : Jika permintaan tidak naik , maka harga tidak
turun
e. Konvers : Jika x2 = 49, maka x = 7
Invers : Jika x ≠ 7, maka x2 ≠ 49
Kontraposisi : Jika x2 ≠ 49, maka x ≠ 7
G. Pernyataan Berkuantor
Kuantor merupakan suatu lambang yang apabila dibubuhkan pada suatu
kalimat terbuka akan mengubah kalimat terbuka tersebut menjadi suatu
kalimat tertutup atau pernyataan.
1. Kuantor Universal
Kuantor universal menunjukkan bahwa setiap/semua obyek dalam
semestanya mempunyai sifat kalimat yang menyatakannya.
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 22
notasi: “∀ ”, dibaca “ semua atau setiap”
jika p(x) merupakan suatu kalimat terbuka maka:
(∀x) p(x) dibaca “untuk semua/setiap x berlaku p(x)”
bernilai benar jika dan hanya jika p(x) benar untuk semua x dalam
semestanya.
Contoh 1.12
a. (∀x R) x2 ≥ 0
Dapat dibaca sebagai:
Kuadrat semua bilangan real tidak ada yang negatif
Semua bilangan real mempunyai kuadrat tak negatif
Setiap bilangan real mempunyai kuadrat tak negatif
Semestanya adalah himpunan bilangan bulat, benar atau
salahkah pernyataan berkuantor berikut:
(∀x Bulat) x2 + x – 2 = 0
Penyelesaian:
Meskipun ada nilai x yang memenuhi persamaan
x2 + x – 2 = 0, tetapi tidak semua bilangan bulat x yang
memenuhi persamaan tersebut, misalkan kita ambil nilai x = 2,
maka persamaannya 22 + 2 – 2 = 4 ≠ 0, maka ini jelas merupakan
pernyataan yang salah (S).
2. Kuantor Eksistensial
Kuantor eksistensial berarti ada/beberapa obyek dalam semestanya
mempunyai sifat kalimat yang menyatakannya.
notasi: “∃“, dibaca “ada/beberapa/terdapat/paling sedikit satu”
jika p(x) merupakan suatu kalimat terbuka maka:
(∃x) p(x), dibaca “ada suatu x sehingga berlaku p(x)”
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 23
bernilai benar jika dan hanya jika paling sedikit ada satu nilai x
dalam semestanya yang menyebabkan p(x) benar, dan akan bernilai
salah jika untuk semua x dalam semestanya.
Contoh 1.12
a. (∃x Bulat) x2 = x
Ada bilangan bulat yang kuadratnya sama dengan bilangan
itu sendiri
Beberapa bilangan bulat yang kuadratnya sama dengan
bilangan itu sendiri
Terdapat paling sedikit satu bilangan bulat yang kuadratnya
sama dengan bilangan itu sendiri
b. Semestanya adalah himpunan bilangan bulat, benar atau
salahkah pernyataan berkuantor berikut:
(∃x Bulat) x2 + x – 2 = 0
Penyelesaian:
x2 + x – 2 = 0 dapat difaktorkan:
(x+2)(x-1) = 0
Jadi persamaan itu dapat dipenuhi untuk x1=-2 dan x2 = 1.
Sehingga memang benar ada x yang memenuhi persamaan
x2 + x – 2 = 0 yaitu -2 atau 1 sehingga pernyataan bernilai benar
(B)
H. Ingkaran Suatu Pernyataan Berkuantor
1. Ingkaran Kuantor Universal
Ingkaran dari “untuk semua/setiap x berlaku p(x): adalah
“ada(paling sedikit satu) x yang tidak berlaku p(x)”
~(∀x) p(x) ≡ (∃x) ~p(x),
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 24
Misalkan ada pernyataan
p: Semua siswa telah pulang dari sekolah
jika kita dapat menemukan paling sedikit 1 siswa yang belum
pulang, maka pernyataan dari p bernilai salah (S).
Contoh:
a. (∀x Bulat) x2 + x – 2 = 0
b. Semua ikan hiu telah musnah
c. (∀x Cacah) x2 + 1 > 0
Penyelesaian:
a. (∃x Bulat) x2 + x – 2 ≠ 0
b. Kalimat mula-mula : )( HiuIkanx (x telah musnah)
Ingkaran : )( HiuIkanx (x belum musnah)
Dalam bahasa sehari-hari: “ Ada Ikan Hiu yang belum musnah”
c. (∃x Cacah) x2 + 1 ≤ 0
2. Ingkaran Kuantor eksistensial
Ingkaran dari “ada suatu x sehingga berlaku p(x): adalah “untuk
semua/setiap x tidak berlaku p(x)”
Ingkaran kalimat berkuantor universal adalah kalimat
berkuantor eksistensial, sedangkan ingkaran kalimat berkuantor
eksistensial adalah kalimat berkuantor universal. Jika terdapat kalimat
kuantor universal (∀x) p(x) dan kalimat berkuantor eksistensial (∃x)
p(x), ingkaran dari keduanya dapat ditulis sebagai berikut:
~(∃x) p(x) ≡ (∀x) ~p(x),
Tentukan Ingkaran dari Pernyataan Berkuantor berikut:
a. (∃x Bulat) x2 + x – 1 > 0
b. Terdapat bilangan bulat x sedemikian hingga x2 = 9
c. Ada Hewan yang berkaki empat
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 25
Penyelesaian:
a. (∀x ϵ Bulat) x2 + x – 1 ≤ 0
b. Kalimat awal : (∃x ϵ Bulat) x2 = 9
Ingkaran : (∃x ϵ Bulat) x2 ≠ 9
Dalam bahasa sehari-hari: “Kuadrat semua bilangan bulat tidak
sama dengan 25”
c. Semua Hewan tidak berkaki empat
I. Tautologi, Kontradiksi dan Kontingensi
1. Pernyataan majemuk disebut tautologi jika ia benar untuk semua
kasus.
p ~(p q) adalah sebuah tautologi
Tabel 1.12 Tabel Kebenaran p ~(p q)
p q qp ~(p ∧ q) p ∨ ~ (p ∧ q)
B B B S B
B S S B B
S B S B B
S S S B B
Tabel di atas terlihat bahwa untuk semua nilai kebenaran dari
pernyataan p dan pernyataan q, pernyataan p ~(p q) bernilai
benar (B), maka p ~(p q) adalah sebuah tautologi.
2. Pernyataan majemuk disebut kontradiksi jika ia salah untuk semua
kasus.
)( qp ~(p ∨ q) adalah sebuah Kontradiksi.
Tabel 1.13 Tabel Kebenaran )( qp ~(p ∨ q)
p q qp p ∨ q ~(p ∨ q) ( qp ) ∧ ~(p ∨ q)
B B B B S S
B S S B S S
S B S B S S
S S S S B S
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 26
Tabel 1.13 terlihat bahwa untuk semua nilai kebenaran dari
pernyataan p dan pernyataan q, pernyataan )( qp ~(p ∨ q)
bernilai salah (S), maka )( qp ~(p ∨ q) adalah sebuah kontradiksi.
3. Pernyataan majemuk disebut Kontingensi jika pernyataan majemuk
yang bukan Tautologi atau Kontradiksi
q ∧ ( qp ) p adalah sebuah Kontingensi
Tabel 1.14 Tabel Kebenaran q ∧ ( qp ) p
p q qp q ∧ ( qp ) q ∧ ( qp ) p
B B B B B
B S S S B
S B B B S
S S B S B
Tabel 1.14 terlihat bahwa untuk nilai kebenaran dari pernyataan p
dan pernyataan q, pernyataan q ∧ ( qp ) p pada baris ketiga
bernilai salah (S), dan baris yang lain bernilai benar (B),
maka q ∧ ( qp ) p adalah sebuah kontingensi.
J. Ekuivalen Logis
Dua kalimat disebut ekuivalen (secara logika) bila dan hanya bila keduanya
mempunyai nilai kebenaran yang sama.
Jika p dan q adalah kalimat-kalimat yang ekuivalen maka dinotasikan p ≡ q,
jika p ≡ q maka q ≡ p.
Berikut adalah hukum-hukum aljabar pernyataan yang merupakan
ekuivalen logis:
1. Hukum identitas:
p S ≡ p
p B ≡ p
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 27
2. Hukum null/dominasi:
p S ≡ S
p B ≡ B
3. Hukum negasi:
p ~p ≡ B
p ~p ≡ S
4. Hukum idempoten:
p p ≡ p
p p ≡ p
5. Hukum involusi (negasi ganda):
~(~p) ≡ p
6. Hukum penyerapan (absorpsi):
p (p q) ≡ p
- p (p q) ≡ p
7. Hukum komutatif:
p q ≡ q p
p q ≡ q p
8. Hukum asosiatif:
p (q r) ≡ (p q) r
p (q r) ≡ (p q) r
9. Hukum distributif:
p (q r) ≡ (p q) (p r)
p (q r) ≡ (p q) (p r)
10. Hukum De Morgan:
~(p q) ≡ ~p ~q
~(p q) ≡ ~p ~q
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 28
Contoh 1.13:
1. Perlihatkan bahwa ~(~p ~q) ≡ p ∧ q dengan tabel kebenaran!
Penyelesaian:
p q ~p ~q ~p ~q ~(~p ~q) p ∧ q
B B S S S B B
B S S B B S S
S B B S B S S
S S B B B S S
2. Tunjukkan bahwa p ~(p q) dan p ~q keduanya ekivalen secara
logika.
Penyelesaian:
p ~(p q ) ≡ p (~p ~q) (Hukum De Morgan)
≡ (p ~p) (p ~q) (Hukum distributif)
≡ B (p ~q) (Hukum negasi)
≡ p ~q (Hukum identitas)
3. Buktikan hukum penyerapan: p (p q) ≡ p
p (p q) ≡ (p S) (p q) (Hukum Identitas)
≡ p (S q) (Hukum distributif)
≡ p S (Hukum Null)
≡ p (Hukum Identitas)
4. Buktikan hukum penyerapan : ∨ ∧ ∨ ∧ ∨ ∧ Hukum de morgan
∨ ∧ ∨ Hukum Distributif
∧ Hukum Idempoten
Hukum identitas
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 29
K. Inferensi Logika (Silogisme, Modus Ponens, dan Modus Tollens)
Argumen merupakan rangkaian kalimat-kalimat. Kalimat terakhir disebut
kesimpulan/konklusi. Sedangkan kalimat selain itu sebelumnya disebut
hipotesa/premis/asumsi.
Gambaran umum mengenai skema hipotesa/premis dan
kesimpulan/konklusi digambarkan seperti gambar di bawah ini:
p1
p2
... hipotesa/premis/asumsi
pn
q kesimpulan/konklusi
(tanda q dibaca “jadi q”)
Suatu argumen dikatakan valid apabila pernyataan implikasi
p1 p2 ... pn q merupakan tautologi.
1. Silogisme Hipotesis
Silogisme merupakan suatu bentuk pemikiran kesimpulan secara
deduktif dan tidak langsung yang mana kesimpulannya ditarik dari dua
premis yang tersedia sekaligus. Dua premis yang dimaksud adalah
premis mayor dan premis minor. Kesimpulan tersebut sering disebut
argumentasi.
Premis mayor:
Premis minor:
Konklusi/kesimpulan:
Penarikan kesimpulan dengan kaidah silogisma diperoleh dari premis-
premis qp dan rq dapat ditarik konklusi rp . Penarikan
kesimpulan seperti ini disebut kaidah silogisma.
Jika qp benar dan rq benar maka rp benar.
Skema argumen dapat ditulis sebagai berikut :
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 30
qp . . . . . premis 1
rq . . . . . premis 2
rp . . . kesimpulan / konklusi
Dalam bentuk implikasi, silogisme dapat dituliskan sebagai
rprqqp valid atau tidak suatu silogisme dapat
diuji dengan tabel kebenaran sebagai berikut :
Tabel 1.15 Tabel nilai kebenaran rprqqp .
p q r qp rq
rp
rq
qp
rp
rqqp
B B B B B B B B
B B S B S S S B
B S B S B B S B
B S S S B S S B
S B B B B B B B
S B S B S B S B
S S B B B B B B
S S S B B B B B
Dari tabel kebenaran di atas dapat terlihat bahwa
rprqqp merupakan tautologi. Jadi silogisme
merupakan argumentasi yang valid.
Salah satu firman Allah Pada surat Qs. Ibrahim ayat 1 yaitu :
Artinya: Alif, laam raa. (ini adalah) kitab yang Kami turunkan kepadamu
supaya kamu mengeluarkan manusia dari gelap gulita kepada
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 31
cahaya terang benderang dengan izin Tuhan mereka, (yaitu)
menuju jalan Tuhan yang Maha Perkasa lagi Maha Terpuji.
Pendekatan silogisme dalam QS Ibrahim ayat 1 “Kami turunkan
kepadamu supaya kamu mengeluarkan manusia dari gelap gulita kepada
cahaya terang benderang”
Pernyataan tersebut dapat di telaah sebagai berikut:
p = Kitab Al-Qur‟an di Turunkan
q = Manusia keluar dari Zaman Kegelapan
r = Manusia menuju zaman yang terang benderang
qp Jika Kitab Al-Qur‟an di turunkan, maka manusia keluar dari zaman
Kegelapan
rq Manusia keluar dari Zaman Kegelapan, maka manusia menuju
zaman yang terang benderang
rp Jika Kitab Al-Qur‟an di turunkan, maka manusia menuju zaman
yang terang benderang
Contoh 1.14:
1) Misalkan Implikasi “ Jika saya Rajin Belajar, maka saya mendapatkan
nilai bagus” dan implikasi “Jika saya mendapat nilai bagus, maka saya
mendapat hadiah dari Ibu” adalah benar. Maka menurut kaidah
silogisma diperoleh penarikan kesimpulan sebagai berikut:
Jika saya Rajin Belajar, maka saya mendapatkan nilai bagus
Jika saya mendapat nilai bagus, maka saya mendapat hadiah dari Ibu
Jika saya Rajin Belajar, maka saya akan mendapat hadiah dari Ibu.
2) Perhatikan Contoh selanjutnya:
Jika 2 adalah bilangan genap, maka 3 adalah bilangan ganjil
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 32
Jika 3 adalah bilangan ganjil, maka 5 adalah bilangan prima
Jika 2 adalah bilangan genap, maka 5 adalah bilangan prima
Penarikan kesimpulannya adalah Jika 2 adalah bilangan genap, maka
5 adalah bilangan prima.
2. Modus Ponens
Jika qp benar dan p benar maka q benar.
Skema argumen dapat ditulis sebagai berikut :
qp . . . . . . premis 1
p . . . . . . premis 2
q . . . . . kesimpulan / konklusi
Dalam bentuk implikasi, argumentasi tersebut dapat dituliskan
sebagai qpqp . Argumentasi ini dikatakan valid jika
pernyataan implikasi qpqp merupakan tautologi.
Tabel 1.16 Tabel nilai kebenaran dari qpqp
p q qp qp p pqp p
B B B B B
B S S S B
S B B S B
S S B S B
Dari tabel kebenaran di atas tampak bahwa qpqp
merupakan tautologi, jadi argumen tersebut valid.
Contoh 1.15
1) Misalkan implikasi “Jika 10 habis dibagi 5, maka 3 adalah
bilangan ganjil” dan “10 habis dibagi 5” keduanya benar. Maka
menurut kaidah modus ponens diperoleh penarikan kesimpulan
sebagai berikut:
Jika 10 habis dibagi 5, maka 3 adalah bilangan ganjil
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 33
10 habis dibagi 5
3 adalah bilangan ganjil.
2) Perhatikan Contoh selanjutnya:
Jika saya makan maka saya kenyang
Saya makan
Saya kenyang
3. Modus Tollens
Jika qp benar dan q~ benar maka p benar
Skema argumen dapat ditulis sebagai berikut:
qp . . . . . premis 1
~q . . . . . premis 2
~p . . . . . . kesimpulan / konlusi
Dalam bentuk implikasi, modus tollens dapat dituliskan sebagai
pqqp ~~ , valid atau tidak suatu modus tollens dapat
diuji dengan tabel kebenaran sebagai berikut!
Tabel 1.17 Tabel nilai kebenaran pqqp ~~
p q ~p ~q qp qp
q~
qqp ~
p~
B B S S B S B
B S S B S S B
S B B S B S B
S S B B B B B
Dari tabel kebenaran di atas tampak bahwa pqqp ~~
merupakan tautologi. Jadi modus tollens merupakan argumentasi
yang valid.
Contoh 1.16
1) Misalkan implikasi “5 adalah bilangan ganjil, maka 3 adalah
bilangan prima” dan implikasi “3 adalah bilangan komposit”
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 34
keduanya benar maka menurut kaidah modus tollens diperoleh
penarikan kesimpulan sebagai berikut:
5 adalah bilangan ganjil, maka 3 adalah bilangan prima
3 adalah bilangan komposit
5 adalah bilangan genap
2) Perhatikan Contoh selanjutnya:
Jika saya makan maka saya kenyang
Saya tidak makan
Saya tidak kenyang
4. Simplifikasi
Kaidah simplikasi diperoleh dari tautologi (p q) → q. Pada kasus
ini p dan q adalah hipotesis, sedangkan q adalah kesimpulan.
Jika p benar dan q benar maka q benar
Skema argumen dapat ditulis sebagai berikut:
p q
q
Contoh 1.17
1) Rudi memiliki mobil dan memiliki motor. Kesimpulannya Rudi
punya motor.
Menggunakan kaidah simplifikasi diperoleh penarikan
kesimpulan sebagai berikut:
Rudi memiliki mobil dan memiliki motor
Rudi memiliki motor
Menggunakan kaidah simplifikasi juga diperoleh penarikan
kesimpulan sebagai berikut:
Rudi memiliki mobil dan memiliki motor
Rudi memiliki mobil
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 35
Urutan pernyataan dalam konjungsi tidak berpengaruh,
p q ≡ q p
L. Ragam Soal dan Penyelesaian
1. Perhatikan kalimat di bawah ini
(I) saya berharap selamat sampai tujuan saja
(II) Bunda sedang apa?
(III) Jangan merokok di kampus!
(IV) Silahkan tutup pintu!
(V) Betapa indahnya pemandangan di pantai pasir putih!
(VI) 4-3=0
(VII) Sapi adalah hewan berkaki empat
Manakah diantara pernyataan di atas yang bukan proposisi?
Pembahasan :
Pada poin (VI) dan )(VII) adalah kalimat proposisi karena
mengandung nilai benar atau salah saja.
Sedangkan poin (I), (II), (III), (IV), (V), dan (VIII) yang merupakan
kalimat harapan, kalimat tanya, kalimat perintah, dan kalimat
keheranan.
2. Sebutkan jenis kalimat berikut ini:
(i) Jawa Barat terletak di Pulau Sumatra
(ii) 3 + 7 ≤ 4 + 5
(iii) Semoga lekas sembuh dan kembali beraktivitas
(iv) x > 10
Pembahasan:
(i) kalimat proposisi bernilai salah, karena Jawa Barat terletak di
Pulau Jawa
(ii) kalimat proposisi bernilai salah, karena 10 > 9
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 36
(iii) kalimat harapan, dan tidak tergolong dalam ciri kalimat
proposisi
(iv) Kalimat terbuka karena nilai kebenaran bergantung pada nilai x.
3. Pada kalimat terbuka , 2x + 3 = 11 , x himpunan bilangan cacah.
Jelaskan alasan mengapa itu merupakan kalimat terbuka !
Pembahasan:
pada 2x + 3 = 11, jika x disubstitusi dengan bilangan cacah = 4, maka
bernilai benar. Tetapi jika x disubstitusi selain 4, maka bernilai salah.
4. Tentukan ingkaran kalimat berikut
10 adalah bilangan bulat positif
Pembahasan:
p = 10 adalah bilangan bulat positif
~p = 10 bukan bilangan positif
5. Tentukan ingkaran kalimat berikut
10 + 6 ≤ 15
Pembahasan:
p = 10 + 6 ≤ 15
~p = 10 + 6 > 15
6. Tentukan ingkaran kalimat berikut:
Semua guru memakai baju putih saat di kelas
Pembahasan:
kalimat yang memuat (semua atau setiap) maka negasinya (beberapa
atau ada)
maka jawabannya adalah:
ada guru yang tidak memakai baju putih saat di kelas
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 37
7. Tentukan ingkaran kalimat berikut:
Ada jenis burung yang tidak bisa terbang
Pembahasan:
kalimat yang memuat (beberapa atau ada) maka negasinya (semua atau
setiap)
maka jawabannya adalah:
semua jenis burung bisa terbang
8. (p → q) : Jika 7 bilangan prima maka 7 habis di bagi 2.
Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan tersebut !
Pembahasan :
p : 7 bilangan prima (bernilai benar )
q : 7 habis di bagi 2 (bernilai salah)
Maka , (p→ q) = bernilai salah.Karena implikasi bernilai salah jika p
(benar) dan q (salah).
9. (p ↔ q) : 10 bilangan genap Jika dan hanya jika 10 habis di bagi 2.
Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan tersebut !
Pembahasan :
p : 10 bilangan genap (bernilai benar)
q : 10 habis di bagi 2 (bernilai benar)
Maka , (p ↔ q) = bernilai benar. Karena biimplikasi bernilai benar jika p
dan q bernilai benar.
10. (p ∧ q) : = 32 dan 2 + 7 ˂ 10
Tentukan negasinya !
Pembahasan :
~(p ∧ q) = ~(p ∨ q) . Jadi , ≠ 32 atau 2 + 7 > 10.
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 38
11. (p ∨ q) : Semua mahasiswa tidak terlambat atau dosen tidak marah.
Tentukan negasinya !
Pembahasan :
Maka , ada siswa terlambat dan dosen marah.
Karena , ~(p ∨ q) = ~(p ∧ q).
12. (p ↔ q) : 2 bilangan prima dan bilangan genap Jika dan hanya jika 2
bukan bilangan komposit.
Tentukan negasinya !
Pembahasan:
~(p ↔ q) = (p ∧ ~q) ∨ (q ∧ ~p).
Maka 2 bilangan prima dan bilangan genap dan 2 bilangan komposit
atau 2 bukan bilangan komposit dan 2 bukan bilangan prima dan
bilangan genap.
13. Tentukan pernyataan berkuantor universal dari q(x): (∀x ∈ R)(x2 +3 > 0)
dan tentukan nilai kebenarannya jika himpunan semestanya adalah
semua bilangan real!
Pembahasan:
Pernyataan berkuantor universal adalah (∀x∈ R)(x2 +3 > 0).
Pernyataan berkuantor universalnya mempunyai arti untuk semua x
berlaku (x2 +3 >0), jelas ini merupakan pernyataan yang benar, karena
dapat menemukan x yang memenuhi pertidksamaan (x2 +3 > 0),
misalnya x = 1 maka diperoleh 12 + 3 > 0 merupakan pernyataan benar.
14. Tentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari pernyataan “jika Doni
laki-laki, maka Dina adalah perempuan”!
Pembahasan :
Konvers (q ⇒ p) :
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 39
Jika Dina adalah perempuan ,maka Doni laki-laki
Invers (~p ⇒ ~q) :
Jika Doni bukan laki-laki, maka Dina bukan perempuan
Kontraposisi (~q ⇒ ~p):
Jika Dina bukan perempuan, maka Doni bukan laki-laki
15. Tentukan ingkaran dari pernyataan berkuantor berikut :
a. Semua siswa yang lulus ujian pasti pandai
b. Beberapa penyanyi dangdut tidak pandai berjoget
c. (∃x∈ Real ) x + 5 > 0
Pembahasan :
a. Negasi/ingkaran dari ∀(x) P(x) adalah ∃(x)~P(x)
∀(x) P(x) :Semua siswa yang lulus ujian pasti pandai
Jadi ∃(x)~P(x): Beberapa siswa yang lulus ujian belum pasti pandai
b. Negasi/ingkaran dari ∃(x)P(x)adalah ∀(x)~P(x)
∃(x)P(x) :Beberapa penyanyi dangdut tidak pandai berjoget
Jadi, ∀(x)~P(x): Semua penyanyi dangdut pandai berjoget
c. Negasi/ingkaran dari ∃(x) adalah ∀(~x)
jadi~ ((∃x∈ Real ) x + 5 > 0) adalah (∀x∈ Real)x + 5 ≤0
16. Perhatikan proposi berikut:
“Semua tanaman hijau membutuhkan air untuk tumbuh“
tuliskan pernyatan berkuantor universal tersebut kedalam simbol!
Pembahasan:
jika P(x) adalah tanaman hijau maka Q(x) membutuhkan air untuk
tumbuh, maka simbolnya : ∀(x) P(x) ⇒Q(x)
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 40
17. Tunjukkan bahwa ⇒ ∧ ⇒ adalah sebuah tautologi!
Pembahasan:
⇒ ⇒ ∧ ⇒ ∧ ⇒ B B B B B
B S S S B
S B B S B
S S B S B
18. Dengan menggunakan tabel Kebenaran tunjukkan bahwa Pernyataan
∧ ∧ adalah sebuah kontradiksi.
Pembahasan:
∧ ∧ ∧ B B S S S
B S S S S
S B B B S
S S B S S
19. Dengan menggunakan tabel kebenaran tunjukkan bahwa Pernyataan
⇒ ∧ ⇒ adalah sebuah Kontingensi.
Pembahasan:
⇒ ⇒ ∧ ⇒ ∧ ⇒ B B S S
20. Kebenaran pernyatan ekivalen ∧ ∧
Pembahasan:
∨ ∨ p ∧
B B B S S S S
B S B S S B S
S B B S B S S
S S S B B B B
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 41
21. Tabel kebenaran ∧ ∨
Pembahasan:
∨ ∨ ∧ ∨ B S B S S
S B B S S
B B B S S
S S S B S
Dari tabel kebenaran diatas dapat disimpulkan bahwa
pernyataan majemuk ∧ ∨ selalu SALAH (Kontradiksi ).
22. Tabel kebenaran ∧ ∨
Pembahasan:
∧ ∨ ∧ ∨ S S B S B B
B S S B S S
S B B B S S
B B S B S S
Ini adalah tabel kebenaran yang menunjukkan Kontingensi
dengan alasan yaitu semua pernyataan bukan Tautologi atau
Kontradiksi.
23. Tabel kebenaran ∨
Pembahasan:
∨ B B S B B
S B B S B
B S B S B
S S B S S
Dari tabel kebenaran diatas dapat di simpulkan bahwa ∨
adalah Kontingensi karena semua pernyataan bukan
tautologi atau kontradiksi.
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 42
24. Tabel kebenaran ∨
Pembahasan:
∨ S S B B B
B S S B B
S B B S B
B B S B B
Dari tabel kebenaran diatas dapat disimpulkan bahwa
∨ adalah tautologi karena pernyataan majemuk
∨ selalu BENAR.
25. Perhatikan bahwa ∧ ∨
Pembahasan:
∧ ∧ ∨ B B S S S B B
S B B S S B B
B S S B S B B
S S B B B S S
26. Tunjukkan bahwa ∧ ∧ dan ∧ keduanya ekivalen secara
logika.
Pembahasan:
∧ ∧ ∧ ∨ (hukum De Morgan)
( ∧ ∨ ∧ (hukum distributif)
S ∨ ∧ (hukum negasi)
∧ (hukum identitas)
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 43
1. Manakah yang merupakan proposisi, kalimat terbuka atau bukan
pernyataan dari kalimat-kalimat berikut ini:
a. Gunung bromo terletak di Jawa Tengah
b. Nabi Muhammad adalah Utusan Allah SWT.
c. Pergi saja kamu dari sini
d. Jakarta adalah ibukota Singapura
e. x adalah bilangan prima kurang dari 15
f. 3 adalah faktor dari 15
g. Rukum Iman ada enam
h. Rukun Islam lima
i. 2+5=9
j. 6 + x > 9
k. Mari kita belajar
l. 35 habis dibagi 2
2. Tentukan himpunan Penyelesaian dari kalimat terbuka berikut ini:
a. 4p – 1 = 41
b. x2 – 8x + 15 = 0
c. 4x2 – 12x - 7 = 0
d. 11
72
x
x
3. Tentukan Ingkaran dari pernyataan-pernyataan dari p berikut:
a. 13 adalah bilangan prima (B)
b. 7 + 5 ≠ 12 (S)
c. Ada bulan yang jumlah harinya 31 hari (B)
LATIHAN 1
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 44
d. Besi tidak memuai bila dipanaskan (S)
e. 4 adalah bilangan Positif (B)
4. Tentukan nilai x agar kalimat:
3x + 1 =10 ∧ 5 adalah bilangan prima
Bernilai:
a. Benar, b. Salah
5. Tentukan nilai x agar kalimat:
x2 + 2 = 6 ∨ 2 - (-1) = 2, bernilai salah
6. Pernyataan p bernilai salah
Pernyataan q bernilai benar
Tentukan nilai kebenaran dari konjungsi di bawah ini:
a. p ∧ q
b. p ∧ ~q
c. ~p ∧ q
d. ~p ∧ ~q
7. Pernyataan p bernilai salah
Pernyataan q bernilai benar
Tentukan nilai kebenaran dari disjungsi berikut:
b. p ∨ q
c. p ∨ ~q
d. ~p ∨ q
8. Tuliskan Ingkaran pernyataan majemuk berikut:
"Pada hari Senin siswa SMAN memakai sepatu hitam dan atribut lengkap"
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 45
9. Tentukan invers, konves dan kontraposisi dari proposisi
berikut ini:
a. Jika saya lapar, maka saya makan roti
b. Jika saya berwajah tampan, maka saya terkenal
10. Tentukan invers, konves dan kontraposisi dari proposisi
berikut ini:
a. ~p ⇒ ~q
b. ~q ⇒ ~p
c. (p ∧ q) ⇒ r
d. p ⇒ (q ∧ r)
e. ~q ⇒ p
f. ~p ⇒ q
g. ~p ⇒ (q ∧ ~r)
h. (p ∨ ~q) ⇒ (q ∧ r)
11. Tentukan invers, konves dan kontraposisi dari proposisi
berikut ini:
a. Jika α = 30o, maka cos α = 32
1
b. Jika x adalah sudut pada segitiga samasisi, maka x =60o
12. Bentuklah tabel kebenaran dari pernyataan majemuk
a. (p q) (~q r) b. rqpp
13. Bentuklah tabel kebenaran dari pernyataan majemuk:
qpqp
14. Tunjukanlah bahwa p ~(p q) adalah sebuah tautologi
15. Buktikan hukum penyerapan: p (p q) ≡ p
16. Tunjukkan bahwa:
a. q~ p~qp ~ (hukum De Morgan)
b. q~ p~qp ~ (hukum De Morgan)
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 46
c. p q ~ p q d. )( pqqpqp
17. P1 : jika saya belajar, maka saya tahu banyak hal
P2 : jika saya tahu banyak hal, maka saya menjadi siswa teladan
Konklusi:.............................................................................
18. P1 : jika ABC sama sisi, maka A = B
P2 : A ≠ B
Konklusi:.............................................................................
19. P1 : jika x suatu integer, maka 2x adalah bilangan genap
P2 : 2x bukan bilangan genap
Konklusi:.............................................................................
20. P1 : Jika n adalah bilangan asli, maka 2n adalah bilangan asli genap
P2 : Jika 2n adalah bilangan asli genap, maka (2n+1) adalah
bilangan asli ganjil
Konklusi:.............................................................................
21. Gunakan tabel kebenaran untuk mengetahui manakah yang sah dari
tiap argumen berikut ini:
a. qp p~ q~ b. qp ~ q~ p
c. qp rq ~
rp ~
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 47
Himpunan didefinisikan sebagai kumpulan obyek-obyek yang berbeda.
Himpunan dinotasikan dengan huruf besar A, B, C,... Obyek dalam
himpunan disebut elemen/anggota, yang disimbolkan dengan huruf kecil a,
b, c....., Salah satu firman Allah dalam QS. An‟am ayat 128 yaitu:
Artinya: “Dan (ingatlah) hari diwaktu Allah menghimpunkan mereka semuanya (dan Allah berfirman): "Hai golongan jin, sesungguhnya kamu telah banyak menyesatkan manusia", lalu berkatalah kawan-kawan meraka dari golongan manusia: "Ya Tuhan kami, sesungguhnya sebahagian daripada kami telah dapat kesenangan dari sebahagian (yang lain) dan kami telah sampai kepada waktu yang telah Engkau tentukan bagi kami". Allah berfirman: "Neraka itulah tempat diam kamu, sedang kamu kekal di dalamnya, kecuali kalau Allah menghendaki (yang lain)". Sesungguhnya Tuhanmu Maha Bijaksana lagi Maha Mengetahui.”
A. HIMPUNAN DAN ANGGOTA HIMPUNAN
BAB II HIMPUNAN
Nilai akidah pada ayat di atas adalah menunjukkan bahwa Allah mempunyai sifat Maha Adil, karena Allah membalas apa yang telah dilakukan manusia selama di dunia. Sekecil apapun amal perbuatan manusia akan diminta pertanggungjawabannya, baik amal baik maupun buruk. Nilai syari‟ah pada ayat di atas adalah rasa tanggungjawab yang harus dimiliki oleh setiap manusia.
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 48
Himpunan biasanya diberi simbol huruf kapital dan anggota himpunan
dibatasi dengan tanda kurung kurawal { … }
Contoh 1 :
G adalah kumpulan Gadis-gadis dengan tinggi badan antara 150 cm sampai
dengan 165 cm dan dengan berat badan dari 50kg sampai dengan 60 kg.
Dalam kumpulan ini jelas kriteria untuk menjadi anggota, dalam arti, setiap
kita mengambil seorang gadis, berat dan tingginya dapat diukur dengan
pasti, dengan demikian dapat ditentukan dengan jelas apakah dia termasuk
dalam kategori dimaksud. Jadi G adalah suatu himpunan.
Contoh 2:
M adalah kumpulan Gadis-gadis manis. Dalam kumpulan ini tidak jelas
kriteria untuk menjadi anggota, sehingga M bukan merupakan suatu
himpunan, karena jika kita mengambil seorang gadis, tidak jelas apakah dia
termasuk gadis manis atau tidak.
Contoh 2.
1. A = {b, c, d} artinya bahwa himpunan A mempunyai anggota b, c dan d
atau dengan kata lain dapat dikatakan b, c dan d merupakan anggota
himpunan A. Untuk menyatakan bahwa suatu benda atau object menjadi
anggota suatu himpunan digunakan lambang dan untuk menyatakan
bahwa suatu objek bukan merupakan anggota himpunan digunakan
symbol .
2. A = {b,c,d} dan B = {e,f}
maka b A dan b B
c A dan c B
d A dan d B
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 49
Penulisan himpunan yang biasa dipergunakan ada dua bentuk yaitu;
a. Bentuk Enumerasi yaitu penulisan himpunan dengan menuliskan semua
anggota himpunan dianta dua kurung kurawal
Contoh :
1. A = { a, b, c, d, e } menyatakan himpunan 5 huruf pertama.
2. B = { 1, 3, 5, 7, 9, 11 } menyatakan himpunan 6 bilangan ganjil.
3. C = { 11, 13, 17, 19 } menyatakan himpunan 4 bilangan prima.
b. Notasi Pembentuk Himpunan yaitu penulisan himpunan dengan
menuliskan sifat anggotanya pada suatu notasi diantara dua kurung
kurawal.
Contoh :
1. A = { x | x = lima huruf pertama abjad }.
2. B = { x | x = enam bilangan ganjil pertama }.
c. Diagram Venn yaitu menuliskan himpuan dalam bentuk diagram dimana
himpunan semestanya digambarkan dengan segi empat sedangkan
himpunan-himpunan yang ada dilingkungannya digambarkan dengan
lingkaran.
Gambar 2.1
B. PENULISAN HIMPUNAN
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 50
Contoh :
1. Tuliskan dalam bentuk enumerasi himpunan berikut serta
kardinalitasnya:
a. A = { x | x himpunan bilangan bulat, 2 < x < 10 }
b. B = { x | x himpunan bilangan bulat, x2 + 1 10 }
c. C = { x | x himpunan bilangan bulat, x bilangan ganjil, 5 < x < 5 }
Penyelesaian:
a. A terdiri dari semua bilangan bulat antara 3 dan 9, sehingga A = { 3, 4,
5, 6, 7, 8, 9 } dan n ( A ) = 7
b. B memuat semua bilangan bulat yang memenuhi persamaan x 2 + 1 =
10, sehingga B = { 2, 3, 1, 2, 3 } dan n ( B ) = 5
b. C = { 3, 1, 1, 3 } dan n ( C ) = 4
Berdasarkan pengamatan dengan memperhatikan jumlah anggotanya,
himpunan dibagi menjadi beberapa macam:
a. Himpunan Kosong
Himpunan kosong adalah suatu himpunan yang tidak mempunyai anggota
dan dinotasikan dengan atau { }, himpunan kosong merupakan
himpunan bagian dari setiap himpunan.
Himpunan kosong disajikan dalam bentuk diagram Venn sebagai berikut:
Gambar 2.2
C. MACAM-MACAM HIMPUNAN
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 51
Contoh:
1. Jika P adalah himpunan nama-nama bulan yang dimulai dengan
huruf K, nyatakan dalam notasi himpunan P
Penyelesaian :
P = atau P = { } karena tidak ada nama bulan yang dimulai dengan
huruf K
2. R = {x | x adalah bilangan ganjil yang habis dibagi 2}
nyatakan dalam notasi himpunan R
Penyelesaian :
R = atau R = { } karena bilangan ganjil adalah bilangan yang tidak
habis dibagi 2.
3. Apakah {0}=? Jelaskan mengapa demikian?
Penyelesaian:
Himpunan kosong tidak mempunyai anggota, misalkan ada
himpunan Q = {x | x < 1, x C}, maka Q = {0} atau n(Q) = 1.
Anggota himpunan Q adalah 0. Jadi, himpunan Q bukan merupakan
himpunan kosong.
4. Apakah = {}? Jelaskan mengapa demikian?
Himpunan kosong tidak mempunyai anggota, sedangkan {} adalah
himpunan yang anggotanya himpunan kosong, sehingga himpunan
ini memiliki satu anggota, yaitu , jadi dengan demikian jelas bahwa
≠ {}
b. Himpunan Semesta
Himpunan semesta atau semesta pembicaraan adalah himpunan yang
memuat semua anggota atau objek himpunan yang dibicarakan. Himpunan
semesta (semesta pembicaraan) biasanya dilambangkan dengan S atau U.
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 52
Berikut telah dijelaskan dalam QS. Taha Ayat 6 tentang alam semesta:
Artinya: “Kepunyaan-Nya-lah semua yang ada di langit, semua yang di
bumi, semua yang di antara keduanya dan semua yang di bawah tanah.”
Contoh:
Diketahui:
A = {1,3,5,7,}
Maka semesta pembicaraan dari himpunan A adalah himpunan
S = {Bilangan Prima}. Artinya, S adalah himpunan semesta dari A.
Himpunan S memuat semua anggota himpunan A.
Jika kita membicarakan himpunan bilangan asli kurang dari 8, yaitu:
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
A ={1, 3, 5, 7}
B = {2, 4, 6}
C = {7, 8, 9}
Maka S adalah semesta dari himpunan A dan B, tetapi bukan semesta
dari himpunan C.
Jika digambarkan dengan diagram Venn:
Nilai akidah pada ayat diatas adalah menguatkan bukti Tauhid
Rububiyah (meyakini bahwa Allah adalah satu-satu Dzat yang
mencipta, mengatur alam semesta). Allah yang telah menciptakan alam
semesta dan seisinya secara sempurna. Penciptaan Allah merupakan
salah satu bukti keberadaan Allah sebagai satu-satunya Dzat yang
bersifat wujud (ada) dan Maha Kuasa. Benda-benda langit, benda-benda
bumi, benda-benda yang berada diantara langit dan bumi serta benda-
benda dalam perut bumi, semua itu tidak mungkin ada kalau tidak ada
yang menciptakan
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 53
Gambar 2.3
c. Himpunan Berhingga (Finite Set)
Himpunan yang memiliki banyak anggotanya berhingga disebut himpunan
berhingga.
Contoh:
1. A = {a, b, c, d, e, f} dengan n(A) = 6
2. B = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13} dengan n(B) = 7
3. P adalah himpunan bilangan Asli yang kurang dari 20
Jika dinyatakan dalam bentuk mendaftar sebagai berikut:
P = {1, 2, 3, . . . , 19} dengan n(P) = 19
4. Q adalah himpunan nama bulan yang diawali dengan huruf M
Jika dinyatakan dalam bentuk mendaftar sebagai berikut:
Q = {Maret, Mei} dengan n(Q) = 2
5. Himpunan mahasiswa program studi matematika UM Metro
(apakah himpunan ini berhingga atau tidak?)
d. Himpunan Tak Berhingga (Infinite Set)
Himpunan yang memiliki banyak anggota tak berhingga disebut himpunan
tak berhingga.
1. A = {x | x bilangan Asli}
Jika dinyatakan dalam bentuk mendaftar sebagai berikut:
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 54
A = {1, 2, 3, 4, . . .}
2. A = {x | x bilangan Bulat}
Jika dinyatakan dalam bentuk mendaftar sebagai berikut:
B = {. . . , -2, -1, 0, 1, 2, 3, . . .}
3. P adalah himpunan kelipatan 5 dari bilangan asli
Jika dinyatakan dalam bentuk mendaftar sebagai berikut:
P = {5, 10, 15, 20, 25, . . .}
4. Q adalah himpunan bilangan cacah
Jika dinyatakan dalam bentuk mendaftar sebagai berikut:
Q = {0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .}
Soal:
1. a. Berilah tiga contoh kumpulan yang bukan merupakan
himpunan.
b. Berilah tiga contoh kumpulan yang merupakan himpunan.
2. Diketahui B = {p, q, r}. Katakanlah apakah keempat pernyataan
berikut benar, kemudian berikan alasannya.
a. p ϵ B
b.{q} ϵ B
c. r ϵ B
d. s ϵ B
3. Tulislah himpunan berikut dengan tabulasi.
a. A = {x2 = 25}
b. B = {x| x + 3 = 3}
D. RAGAM SOAL DAN PENYELESAIAN
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 55
c. A = {x| x > 3, x bilangan asli ganjil}
4. Tulislah dengan menyebutkan syarat-syarat anggotanya.
a. E = {a,i,u,e,o}
b. F = {2,3,5,7,11}
c. G = {3,6,9,12, …}
d. H = {123, 132, 213, 231, 312, 321}.
5. Tulislah dengan notasi pembentuk himpunan untuk himpunan
bilangan asli yang:
a. kurang dari 5,
b. lebih dari atau sama dengan 3,
c. kelipatan 5 kurang dari 50, dan
d. prima.
6. Penulisan himpunan berikut manakah yang benar
a. J= {x| x > 0, x ϵ himpunan bilangan bulat}
b. K = {x| x < 20, x bilangan asli genap}
c. L = {x| x > 4, x bilangan cacah}
Pembahasan:
1. a. Kumpulan yang bukan merupakan Himpunan
Kumpulan mahasiswa yang badannya gemuk.
Kumpulan mata kuliah yang sulit.
Kumpulan masakan yang enak rasanya
b. Kumpulan yang merupakan Himpunan
Kumpulan bintang dilangit.
Kumpulan huruf yang membentuk kata “Matematika Anggota
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 56
himpunan ini adalah m, a, t, e, i, dan k.
Kumpulan orang Solo yang sudah menikah
2. a. p ϵ B
jawab : benar, karena p merupakan anggota himpunan B
b. {q} ϵ B
jawab : salah, ???
c. r ϵ B
jawab : benar, karena r merupakan anggota himpunan B
d. s ϵ B
jawab : salah, karena s bukan merupakan anggota himpunan B
3. a. A = {x2 = 25}
Jawab : A = {5}
b. B = {x| x + 3 = 3}
Jawab : B = {0}
c. A = {x| x > 3, x bilangan asli ganjil}
Jawab : A = {5, 7, 9, 11, 13, …}
4. a. E = {a,i,u,e,o}
Jawab : E himpunan huruf vocal
b. F = {2,3,5,7,11}
Jawab : F himpunan bilangan prima
c. G = {3,6,9,12, …}
Jawab : G himpunan bilangan perkalian 3
d. H = {123, 132, 213, 231, 312, 321}.
Jawab : H himpunan bilangan ???
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 57
5. a. kurang dari 5,
Jawab : A = {x| x < 5, x bilangan asli}
b. Iebih dari atau sama dengan 3,
Jawab : B ={x| x ≥ 3, x bilangan asli}
c. kelipatan 5 kurang dari 50, dan
Jawab : C = { x| x kelipatan 5 kurang dari 50}
d. prima.
Jawab : D = { x | x bilangan prima }
6. a. J= {x| x > 0, x ϵ himpunan bilangan bulat}
Jawab : Salah
b. K = {x| x < 20, x bilangan asli genap}
Jawab : Benar
c. L = {x| x > 4, x bilangan cacah}
Jawab : Benar
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 58
1. Nyatakan himpunan berikut ini dengan menuliskan semua anggotanya
dan dengan menuliskan sifat-sifatnya:
A = Himpunan bilangan asli antara 4 dan 9
B = Himpunan yang anggotanya adalah meja, kulkas, kucing, tanah
2. Misalkan kpositifbulatbilangansuatuuntuknZnS k)1(
(dengan Z = himpunan bilangan prima). Nyatakan himpunan S dengan
cara mendaftarkan anggotanya.
3. Misalkan A = 6,5,4,3 , B = 10,5 dan C= 6,4 . Tentukan apakah relasi-
relasi berikut ini yang benar? Berikan alasannya.
a. AB
b. CC
c. AC
4. Buktikan bahwa:
a. Himpunan kosong adalah himpunan bagian semua himpunan.
Jadi A untuk semua himpunan A.
b. Himpunan kosong adalah tunggal
LATIHAN 2.a
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 59
a. Himpunan Bagian
Semesta pembicaraan (simbol S) adlah himpunan semua obyek yang
dibicarakan. Suatu himpunan yang tidak mempunyai anggota disebut
himpunan kosong, diberi simbol atau .
Perhatikan Surat Al- Waqi‟ah ayat 7-10 berikuti ini:
Artinya: “dan kamu menjadi tiga golongan. Yaitu golongan kanan. Alangkah mulianya golongan kanan itu. Dan golongan kiri. Alangkah sengsaranya golongan kiri itu. Dan orang-orang yang beriman paling dahulu. Mereka itulah yang didekatkan kepada Allah. Berada dalam jannah kenikmatan. Segolongan besar dari orang-orang yang terdahulu. dan segolongan kecil dari orang-orang yang kemudian.”
Contoh 1 :
S = Manusia
A = Golongan Nabi dan umatnya yang beriman
B = Golongan kanan A B / golongan kiri
E. HUBUNGAN ANTAR HIMPUNAN
Nilai akidah yang terdapat dalam ayat di atas adalah adanya Tauhid
Uluhiyah. Tauhid Uluhiyah merupakan inti dakwah para rasul, yaitu
mengesakan Allah dengan memurnikan perbuatan para hamba semata-
mata dengan niat taqarrub (mendekatkan diri) kepada Allah, seperti
shalat, zakat, puasa, haji, shodaqoh, membaca Al-Qur’an, berdzikir,
tawakkal, bertaubat, dan lainlain. Ibadah- ibadah tersebut menjadi
halhal yang dapat menjadikan manusia menjadi golongan kanan.
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 60
Gambar 2.4
Jika A dan B adalah himpunan-himpunan maka A disebut himpunan bagian
(subset) dari B bila dan hanya bila setiap anggota A juga merupakan
anggota B.
AB )(( BxAx
Perhatikan gambar 2.4. Jika A adalah himpunan bagian B, dikatakan juga
bahwa B memuat A (simbol B )A .
Jika ada anggota A yang bukan anggota B, berarti A bukan himpunan
bagian B (ditulis AB). Secara matematika, A B ))(( BxAxx
Perhatikan perbedaan antara (simbol keanggotaan himpunan) dan
(simbol himpunan bagian). xA berarti bahwa elemen x adalah salah satu
di antara elemen-elemen A. Sedangkan A B berarti bahwa setiap anggota
A merupakan anggota B.
Dari uraian di atas himpunan bagian didefinisikan:
A B
Himpunan A merupakan himpunan bagian dari B,
Ditulis A B, jika setiap anggota A juga merupakan
anggota B.
Himpunan A bukan merupakan himpunan bagian dari B,
Ditulis A B, jika ada anggota A yang bukan merupakan
anggota B.
B
A
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 61
Contoh 2:
Jika A = 2,1,1,2,1 . Perhatikan bahwa A memiliki 4 anggota, masing-
masing 1,2 1 dan 2,1 sehingga
1 11,1,1,1, AAAA
1 adalah himpunan yang anggotanya 1, sedangkan 1 adalah
himpunan yang anggotanya 1
2 AAAA 2,2,2, dan juga A2
A2,1 dan juga A2,1
b. Himpunan Sama
Dua himpunan dikatakan sama, apabila Dua buah himpunan yang memiliki
anggota yang persis sama, tanpa melihat urutannya.
A = B jika dan hanya jika ∀x, x ∈ A ↔ x ∈ B
Bukti:
Berdasarkan definisi maka jika A = B berlaku:
⇒∀x, x ∈ A ⇔ x ∈ B
⇒∀x,(x ∈ A ⇐ x ∈ B) ∧ (x ∈ A
⇒ x ∈ B) ⇒(A ⊆ B) ∧ (B ⊆ A)
Sebaliknya jika (A ⊆ B) ∧ (B ⊆ A) berlaku:
⇒∀x,(x ∈ A ⇐ x ∈ B) ∧ (x ∈ A
⇒ x ∈ B) ⇒∀x, x ∈ A ⇔ x ∈ B
⇒A = B
Contoh:
Perhatikan himpunan A = {m, e, t, r, o} dan B = {m, e, r, o, t}. Terlihat bahwa
setiap anggota A termuat dalam B, demikian juga sebaliknya. Dalam hal ini,
himpunan A dan B disebut dua himpunan sama, ditulis A = B.
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 62
c. Himpinan Setara/ekuivalen
Dua himpunan P dan Q dikatakan ekuivalen jika memiliki banyaknya
anggota yang sama atau n(P) = n(Q)
Notasi: P ~ Q
A ≡ B ↔ #(A) = #(B)
Contoh:
Perhatikan himpunan R = {m, e, t, r, o} dan S = {1, 2, 3, 4, 5}
Karena jumlah anggota himpunan R sama banyaknya dengan jumlah
anggota himpunan S, maka dikatakan himpunan R setara dengan himpunan
S, ditulis: R ~ S
d. Himpunan Kuasa/Power Set
Himpunan kuasa dari himpunan A ditulis dengan P(A) Yaitu himpunan
yang anggotanya adalah himpunan-himpunan bagian dari suatu himpunan.
Perhatikan tabel berikut:
Tabel 2.1 Himpunan Kuasa
Himpunan Banyaknya Anggota
(i)
Himpunan Bagian
(ii)
Banyaknya Himpunan
Bagian
{a} 1 { } {a}
2 = 21
{a, b} 2 { } {a}, {b} {a, b}
4 = 22
{a, b, c} 3 { } {a}, {b}, {c} {a, b}, {a, c}, {b, c} {a, b, c}
8 = 23
{a, b, c, d} 4 { } {a}, {b}, {c}, {d} {a, b}, {a, c}, {a, d}, {b, c}, { b, d}, {c, d} {a, b, c}, {a, b, d}, {a, c, d}, {b,
16 = 24
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 63
c, d} {a, b, c, d}
{a, b, c, d, ...} n { } {a}, {b}, ...
2n
Terlihat bahwa terdapat hubungan antara banyaknya anggota suatu
himpunan dengan banyaknya himpunan bagian himpunan tersebut.
Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa:
Banyaknya semua himpunan bagian dari suatu himpunan adalah 2n, dengan
n banyaknya anggota himpunan tersebut.
1. Tentukan himpunan bagian dari A = {2, 4, 6, 8, 10} yang anggotanya
adalah:
a. himpunan bilangan prima
b. himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3
c. himpunan bilangan bulat yang habis 4
Jawab:
a. P ={2}
b.T = {6}
c. E = {4, 8}
2. Tulislah semua himpunan bagian dari himpunan-himpunan berikut
a. H = {h, i, a, t}
b. A = {1, 2, 3, 4, 5,}
Jawab:
a. Himpunan bagian dari H adalah {h}, {i}, {a}, {t}, {h, i}, {h, a}, {h, t}, {i,a},
{i, t}, {a, t}, {h, i, a}, {h, i, t}, {h, a, t}, {i, a, t}, {h, i, a, t}, {..}
F. RAGAM SOAL DAN PENYELESAIAN
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 64
b.himpunan bagian dari A adalah {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {1,2}, {1,3}, {1,4},
{1,5}, {2,3}, {2,4}, {2,5}, {3,4}, {3,5}, {4,5}, {1,2,3}, {1,2,4}, {1,2,5}, {1,3,4}, {
1,3,5}, {1,4,5}, {2,3,4}, {2,3,5}, {2,4,5}, {3,4,5}, {1,2,3,4}, {1,2,3,5}, {1,2,4,5},
{1,3,4,5}, {{2,3,4,5}, {1,2,3,4,5}, {…}.
1. Pasangkanlah himpunan-himpunan dibawah ini sehingga merupakan
dua himpunan yang sama.
A = {3, 4, 5, 6} D = {huruf vocal}
B = {bilangan asli antara 2 dan 7} E = {a, s, i, p}
C = {s, a, p, i} F = {e, i, u, e, o}
Jawab:
C ekuivalen dengan E, D ekuivalen dengan F, A ekuivalen dengan B
4. Manakah himpunan-himpunan berikut yang ekuivalen.
a. A = {1, 3, 5, 7}, B = {4, 6, 8, 10}
b. C = {bilangan ganjil}, D = {bilangan genap}
c. T = {huruf pembentuk kata “HISAP”}, K = {huruf pembentuk kata
“PINTAR”}
Jawab:
a. A tidak ekuivalen dengan B
b. C tidak ekuivalen dengan D
c. T tidak ekuivalen dengan K
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 65
Dengan melihat Jumlah himpunan bagian pada tabel sebelumnya, Lengkapi
tabel berikut:
Himpunan
(i)
Jumlah Anggota
(ii)
Jumlah himpunan bagian yang
anggotanya (iii)
Segitiga Pascal (iv)
0 1 2 3 4 5
{ } 0 ... ... ... ... ... ... 1
{a} 1 ... ... ... ... ... ... 1 1
{a, b} 2 ... ... ... ... ... ... 1 2 1
{a, b, c} 3 ... ... ... ... ... ... 1 3 3 1
{a, b, c, d} 4 ... ... ... ... ... ... 1 4 6 4 1
{a, b, c, d, e} 5 ... ... ... ... ... ... 1 5 10 10 5
1
Jumlah anggota himpunan bagian 0 1 2 3 4 5
1) Apa keistimewaan kolom (iii) dan kolom (iv)?
2) Cek apakah banyak semua himpunan bagian P = {a, b, c, d, e}
adalah 2n?
e. Himpunan saling lepas (disjoint)
Definisi:
Himpunan A dikatakan saling lepas atau saling asing dengan himpunan B
jika kedua himpunan tersebut tidak mempunyai anggota persekutuan.
A||B jika dan hanya jika ∀x,(x ∈ A → x 6 B) ∧ (x ∈ B → x 6A)
LATIHAN 2.b
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 66
Contoh:
Diketahui:
A = {1,3,5,7,9}
B = {2,4,6,8,10}
bila disajikan dalam diagram Venn sebagai berikut:
Gambar 2.5
Perhatikan bahwa tidak ada satupun anggota himpunan A yang menjadi
anggota himpunan B. Demikian pula sebaliknya, tidak ada satu pun anggota
himpunan B yang menjadi anggota himpunan A.
f. Himpunan tidak saling lepas (berpotongan)
Definisi:
Dua himpunan A dan B dikatakan tidak saling lepas (berpotongan) jika A
dan B mempunyai anggota persekutuan, tetapi masih ada anggota A yang
bukan anggota B dan ada anggota B yang bukan anggota A.
Contoh:
Diketahui:
P = {2, 4, 6, 8, 10}
Q = {2, 3, 5, 7}
bila disajikan dalam diagram Venn sebagai berikut:
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 67
Gambar 2.6 Perhatikan ada anggota himpunan P yang juga menjadi anggota himpunan
Q, yaitu {2}. Dalam hal ini dikatakan bahwa {2} adalah anggota persekutuan
dari himpunan P dan Q. Perhatikan juga ada anggota himpunan P yang
tidak menjadi anggota himpunan Q, demikian pula sebaliknya. Artinya:
himpunan tidak saling lepas (berpotongan)
a. Irisan (intersection)
Irisan himpunan A dan B adalah himpunan yang memuat semua anggota A
yang juga menjadi anggota B.
Perhatikan QS. Al-Fatihah Ayat 7 yang berbunyi:
Artinya: “(yaitu) Jalan orang-orang yang telah Engkau beri nikmat
kepada mereka; bukan (jalan) mereka yang dimurkai dan
bukan (pula jalan) mereka yang sesat.”
Notasi : A B = { x x A dan x B },
6. Operasi Pada Himpunan
Nilai akidah dalam ayat tersebut menunjukkan bahwa Allah Maha Pengasih dan Maha Penyayang, diantaranya adalah banyaknya nikmat yang telah diberikan kepada manusia. Manusia yang mampu mensyukuri apa yang sudah diberikan oleh Allah adalah orang-orang yang beriman kepada Allah. Bagi orang-orang yang tidak mau dan tidak mampu mensyukuri nikmat-nikmat Allah merupakan orang-orang kafir. Bagi manusia yang berada dalam keduanya menunjukkan bahwa orang tersebut adalah orang munafik.
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 68
bila disajikan dalam diagram Venn irisan himpunan A dan B sebagai
berikut:
Contoh:
A = Orang-orang yang beriman kepada Allah
B = Orang-orang yang kafir
A B = Orang-orang munafik
Gambar 2.7
A B adalah daerah yang diarsir
Jika dua buah himpunan salaing lepas(disjoint) maka A B =
b. Gabungan (union)
Gabungan himpunan A dan himpunan B adalah himpunan semua anggota
A dan/atau menjadi anggota himpunan B
Notasi : A B = { x x A atau x B }
bila disajikan dalam diagram Venn gabungan himpunan A dan
himpunan B sebagai berikut:
Gambar 2.8
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 69
c. Komplemen (complement)
Komplemen himpunan A adalah suatu himpunan yang anggota anggotanya
merupakan anggota S tetapi bukan anggota A
Notasi : Ac = { x x S, x A }
bila disajikan dalam diagram Venn komplemen dari suatu himpunan
sebagai berikut:
Gambar 2.9
d. Selisih (difference)
Selisih (difference) himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya
semua anggota dari A tetapi bukan anggota dari B.
Notasi: A – B = { x x A dan x B } = A Bc
bila disajikan dalam diagram Venn selisih himpunan A dan B sebagai
berikut:
Gambar 2.10
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 70
e. Selisih Simetri (Symmetric Difference)
Selisih simetri dari himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang
elemennya ada pada himpunan A atau B, tetapi tidak pada keduanya.
Notasi: A B = (A B) – (A B) = (A – B) (B – A)
bila disajikan dalam diagram Venn selisih simetri dari himpunan A dan B
sebagai berikut:
Gambar 2.11
Contoh
Jika A = { 2, 4, 6 } dan B = { 2, 3, 5 }, maka A B = { 3, 4, 5, 6 }
Teorema: Selisih Simetri memenuhi sifat-sifat berikut:
(a) A B = B A (hukum komutatif)
(b) (A B ) C = A (B C ) (hukum asosiatif)
f. Perkalian Kartesian (cartesian product)
Perkalian kartesian dari himpunan A dan B adalah himpunan yang
elemennya merupakan pasangan berurutan (a,b) yang dibentuk dari
komponen himpunan A dan komponen himpunan B.
Notasi: A B = {(a, b) a A dan b B }
Yang perlu diperhatikan dalam perkalian kartesian adalah:
o Jika A dan B merupakan himpunan berhingga, maka: n (A B)= n(A)
. (B)
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 71
o Pasangan terurut (a, b) berbeda dengan (b, a), jadi (a, b) (b, a).
o tidak berlaku komutatif, yaitu A B B A, dengan syarat A atau B
tidak kosong
Contoh
(Misalkan A = { p, q, r }, dan B = { 1, 2 }, tentukan perkalian kartesian dari
kedua himpunan tersebut?
Penyelesaian:
A B = { (p, 1), (p, 2), (q, 1), (q, 2), (r, 1), (r, 2) }
g. Hukum-hukum Himpunan
1. Hukum idempoten:
o A A = A
o A A = A
2. Hukum identitas:
o A = A
o A S = A
3. Hukum null/dominasi:
o A =
o A S = S
4. Hukum komplemen:
o A AC = S
o A AC =
5. Hukum involusi:
o (AC)C = A
6. Hukum penyerapan (absorpsi):
o A (A B) = A
o A (A B) = A
7. Hukum komutatif:
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 72
o A B = B A
o A B = B A
8. Hukum asosiatif:
o A (B C) = (A B) C
o A (B C) = (A B) C
9. Hukum distributif:
o A (B C) = (A B) (A C)
o A (B C) = (A B) (A C)
10. Hukum De Morgan:
o (A B)C = AC B C
o (A B)C = AC B C
Dalam membuktikan sifat-sifat di atas kita menggunakan hasil pada
A = B jika dan hanya jika A ⊆ B dan B ⊆ A. Berikut diambil salah satu sifat
sebagai contoh pembuktian, misalnya A∩B = B ∩ A.
Bukti:
Ambil sembarang unsur x ∈ (A ∩ B)
⇒ (x ∈ A) ∧ (x ∈ B) definisi A ∩ B
⇒ (x ∈ B) ∧ (x ∈ A) komutatif konjungsi
⇒ x ∈ (B ∩ A) definisi B ∩ A
⇒ (A ∩ B) ⊆ (B ∩ A) definisi A ⊆ B
Sebaliknya, ambil sembarang unsur y ∈ B ∩ A
⇒ (y ∈ B) ∧ (y ∈ A) definisi B ∩ A
⇒ (y ∈ A) ∧ (y ∈ B) komutatif konjungsi
⇒ y ∈ (A ∩ B) definisi A ∩ B
⇒ (B ∩ A) ⊆ (A ∩ B) definisi B ⊆ A
Karena (A ∩ B) ⊆ (B ∩ A) dan (B ∩ A) ⊆ (A ∩ B),
maka (B ∩ A) = (A ∩ B)
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 73
h. Prinsip Inklusi-Eksklusi
Untuk dua himpunan A dan B:
n(A B) = n(A) + n(B) – n(A B)
n(A B) = n(A) + n(B) – 2 . n(A B)
Contoh
Berapa banyak bilangan bulat antara 1 dan 100 yang habis dibagi 3 atau 5?
Penyelesaian:
A = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3,
B = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 5,
A B = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3 dan 5
(adalah kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari 3 dan 5, yaitu 15),
Ditanya: n(A B)?
n(A)= 100/3 = 33,
n(B) = 100/5 = 20,
n(A B) = 100/15 = 6
n(A B) = n(A) + n(B) – n(A B) = 33 + 20 – 6 = 47
Jadi, ada 47 buah bilangan yang habis dibagi 3 atau 5.
Untuk tiga buah himpunan A, B, dan C, berlaku
n(A B C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A B) - n(A C) - n(B C)
+ n (A B C)
Untuk himpunan A1, A2, …, Ar, berlaku:
n (A1 A2 … Ar) = 1An –
rji
ji AAn1
+
rkji
kji AAAn1
+ … + (-1)r-1 n(A1 A2 … Ar) i. Partisi
Partisi dari sebuah himpunan A adalah sekumpulan himpunan
bagian tidak kosong A1, A2, … dari A sedemikian sehingga:
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 74
(a) A1 A2 … = A, dan
(b) Ai Aj = untuk i j
Contoh Misalkan A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, maka { {1}, {2}, (3, 4, 5, 6}, {7,
8}, {9, 10} } adalah partisi A.
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 75
1. Misalkan A = 3,1 dan B = 4,3 . Carilah himpunan berikut ini
a. P (A)
b. P (A ∩ B )
c. P ( A ∪ B)
2. Diketahui A = 3,1 dan B= 3,1 . Carilah:
a. P (A) – P (B)
b. P (A) ∩ P (B)
c. P (A ∩ B)
3. Misalkan semesta pembicaraan adalah himpunan bilangan riil R.
41;20 xRxxRxA B
Tentukan
a. A ∩ B
b. AC
c. BC
d. AC ∩ BC
e. AC ∪ BC
4. Dua buah himpunan dikatakan terpisah (disjoint) jika irisan kedua
himpunan tersebut = . Pada sembarang himpunan, apakah kedua
himpunan di bawah ini terpisah?
d. A-B dan B-A
e. A – ( B ∪ C) dan B – (A ∪ )
f. A – (B ∩ C) dan B - (A ∩ C)
LATIHAN 2.c
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 76
Konsep himpunan bagian (⊂) ekuivalen dengan konsep implikasi logis pada
himpunan, karenanya implikasi logis dan penalaran dapat dimanfaatkan
untuk mempelajari sifat-sifat himpunan bagian seperti diuraikan berikut ini.
Relasi ⊆ adalah relasi yang bersifat refleksif, transitif tetapi non simetrik
yaitu:
∀A, A ⊆ A
∀(A, B, C) (A ⊆ B) ∧ (B ⊆ C) ⇒ (A ⊆ C)
∀(A, B) (A ⊆ B) ∧ (B ⊆ A) ⇒ (A = B)
Untuk sembarang himpunan A dari semesta U maka
1. A ⊆ A
2. ⊆ A
3. A ⊆ U
Pembuktian butir 1. jelas dari definisi. Sedangkan pembuktian butir 2. dan
butir 3. dapat dilakukan dengan menggunakan bukti pengandaian.
Bukti 3.:
Andaikan A 6 ⊆ U berarti ∃x ∈ A, 3 x 6 ∈ U. Tetapi berdasarkan definisi U
tidak ada x /∈ U. Oleh karena itu terjadi kontradiksi dan pengandaian harus
diingkar. Artinya untuk sembarang himpunan A, maka A ⊆ U
A ⊆ B ⇔ A ∪ B = B
Bukti:
Teorema ini mengandung beberapa pengertian dintaranya:
1. (A ⊆ B) ⇒ A ∪ B = B
2. A ⊆ B ⇐ (A ∪ B = B)
7. Sifat-sifat Lanjut Relasi Himpunan
bagian
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 77
3. (A ∪ B) ⊆ B)
4. B ⊆ (A ∪ B) Jika A ⊆ B maka ∀x ∈ A ⇔ x ∈ B.
Ambil sembarang y ∈ (A ∪ B)
⇒(y ∈ A) ∨ (y ∈ B) definisi A ∩ B
⇒(y ∈ B) ∨ (y ∈ B) A ⊆ B
⇒(y ∈ B) idempoten ∨
⇒(A ∪ B) ⊆ ∩B) definisi B ⊆ A
Ambil sembarang z ∈ B
⇒(z ∈ A) ∨ (z ∈ B) sifat additif ∨
⇒(y ∈ (A ∪ B) A ⊆ B
⇒(y ∈ B) idempoten ∨
⇒(A ∪ B) ⊆ ∩B) definisi B ⊆ A
Berarti kita telah membuktikan bahwa
A ⊆ B ⇒ A ∪ B = B
Untuk hal sebaliknya, misalkan A ∪ B = B, berarti A ∪ B ⊆ B, karenanya
⇒∀x x ∈ (A ∪ B),⇒ x ∈ B
⇒ 6 ∃x 3 x ∈ (A ∪ B), ∧x 6∈ B
⇒ 6 ∃x 3 (x ∈ A ∨ x ∈ B) ∧ x 6∈ B
⇒(6 ∃x ∈ A) ∧ (6 ∃x ∈ B) 3 x 6∈ B
⇒(6 ∃x ∈ A) 3 x 6∈ B
⇒∀x, x ∈ A
⇒ x ∈ B ⇒A ⊆ B
Untuk himpunan semesta U dan himpunan
A U ⊆ A ⇔ A = U
Untuk sembarang himpunan A dan B,
A ⊆ A ∪ B dan B ⊆ A ∪ B
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 78
(A ∩ B) ⊆ A dan (A ∩ B) ⊆ B
(A/B) ⊆ A dan (B/A) ⊆ B
Untuk A, B, C ⊆ U
(A ⊆ C) ∧ (B ⊆ C) ⇒ (A ∩ B) ⊆ (A ∪ B) ⊆ C
(A ⊆ C) ∨ (B ⊆ C) ⇒ (A ∩ B) ⊆ C (6.13)
(A ⊆ B) ∧ (B ⊆ C) ⇒ A ⊆ C
Selain dengan diagram Venn, hubungan subset dapat juga
diilustrasikan dengan menggunakan diagram subset yang pada dasarnya
merupakan pohon subset. Dengan pohon subset, himpunan-himpunan
digambarkan dalam diagram pohon. Himpunan yang mejadi subset dari
himpunan yang lain ditulis lebih rendah dari himpunan yang menjadi
supersetnya dan dihubungkan dengan garis.
Apabila sudah ada jalur yang menghubungkan suatu hubungan
antara sutu himpunan dengan himpunan lain, maka tidak perlu membuat
garis kusus yang menghubungkan kedua himpunan tadi. Selain itu, dalam
hal hubungan “subset dari” maka ada dua hal yang selalu benar yaitu: 1.
setiap himpunan adalah subset dari Himpunan semesta S dan 2. himpunan
kosong, yaitu himpunan yang tidak memiliki anggota, ( ) adalah subset dari
setiap himpunan. Oleh karena itu puncak atas dari pohon subset adalah
himpunan semesta dan puncak bawahnya adalah himpunan kosong.
Bilangan walaupun merupakan konsep yang sangat abstrak, namun
penggunaannya tidak bisa dilepaskan dengan kehidupan manusia sejak
dini. Untuk menggambarkan bilangan, kita menggunakan lambang
bilangan (angka). Dalam kaitan dengan operasi hitung dan matematka
umumnya, lambang bilangan yang kita pakai adalah lambang bilangan
8. Himpunan Bilangan
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 79
Hindu-Arab yang terdiri atas sembilan angka 0,1,2,...9. Selain itu, untuk
menunjukkan tingkatan dan urutan ada lambang bilagan lain yang disebut
lambang bilangan Romawi (i,ii,iii,iv,v ...). Berikut ini telah dijelaskan dalam
QS Muddatstsir Ayat 31 yakni:
Artinya: Dan tiada Kami jadikan penjaga neraka itu melainkan dari malaikat: dan tidaklah Kami menjadikan bilangan mereka itu melainkan untuk jadi cobaan bagi orang-orang kafir, supaya orang-orang yang diberi Al-Kitab menjadi yakin dan supaya orang yang beriman bertambah imannya dan supaya orang-orang yang diberi Al-Kitab dan orang-orang Mukmin itu tidak ragu-ragu dan supaya orang-orang yang di dalam hatinya ada penyakit dan orang-orang kafir (mengatakan):Apakah yang dikehendaki Allah dengan bilangan ini sebagai suatu perumpamaan? Demikianlah Allah membiarkan sesat orang-orang yang dikehendaki-Nya dan memberi petunjuk kepada siapa yang dikehendaki-Nya. Dan tidak ada yang mengetahui tentara Tuhanmu melainkan Dia sendiri. Dan Saqar itu tiada lain hanyalah peringatan bagi manusia.(QS Muddatstsir: 31).
4.
Ayat ini menjelaskan mengenai keberadaan angka-angka (bilangan).
Tujuannya agar manusia itu menggunakan akalnya untuk berpikir dan
meyakini apa yang telah diturunkan, yakni Alquran. Allah
menciptakan alam semesta ini dengan perhitungan yang matang dan
teliti. Ketelitian Allah itu pasti benar. Dan, Dia tidak menciptakan alam
ini dengan main-main. Semuanya dibuat secara terencana dan
perhitungan.
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 80
5. Himpunan Bilangan Asli
Bilangan Asli disebut juga bilangan Alam (Natural numbers). Bilangan ini
merupakan bilangan yang kita kenal paling awal, ketika kita ingin
menghitung banyaknya sesuatu yang ada di sekuitar kita.
Himpunan bilangan Asli N = {1, 2, 3, · · · }
Operasi hitung yang dapat dilakukan pada bilangan asli adalah
penjumlahan dan perkalian dengan beberapa sifat berikut:
Sifat 1 Bilangan asli tertutup terhadap penjumlahan dan perkalian
∀x, y ∈ N, x + y ∈ N
∀x, y ∈ N, (x.y ∈ N)
Sifat 2 Bilangan asli memenuhi sifat kumutatif dan assosiatif baik
penjumlahan dan perkalian, yaitu:
∀x, y ∈ N x + y = y + x
x.y = y.x
∀x, y, z ∈ N x + (y + z) = (x + y) + z
x.(y.z) = (x.y).z
Sifat 3 Bilangan asli memenuhi sifat distributif perkalian atas penjumlahan.
∀x, y, z ∈ N (x + y)z = xz + yz
Sifat 4 Bilangan asli memiliki unsur identitas perkalian tetapi tidak identitas
penjumlahan.
∃1, 3 ∀x ∈ N x.1 = 1.x = x
tetapi 6 ∃ e ∈ N, 3 ∀x ∈ N x + e = e + x = x
Tetapi himpunan bilangan asli tidak memiliki beberapa sifat berikut:
1. Bilangan asli (kecuali 1) tidak memiliki invers baik penjumlahan maupun
perkalian.
∀x(6= 1) ∈ N, 6 ∃x 0 ∈ N, 3 x.x0 = 1
2. Bilangan asli tidak tertutup terhadap pengurangan dan pembagian.
∃ x, y ∈ N 3 (x − y) 6∈ N dan
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 81
∃ x, y ∈ N 3 (x/y) 6∈ N
Bilangan Asli dibedakan menjadi bilangan prima dan bilangan
komposit. Bilangan prima adalah bilangan yang hanya dapat dibagi
bilangan itu sendiri dan 1. Bilangan 1 tidak termasuk bilangan prima.
Sedangkan sisanya (termasuk 1) disebut bilangan komposit. Jadi
1. Himpunan bilangan Prima = P = {2, 3, 5, 7, 11, 13 · · · }
2. Himpunan bilangan Komposit = N/P
Ada suatu hasil dalam bilangan asli yang sangat terkenal yang disebut
Postulat Peano yang mengatakan bahwa Untuk S ⊆ N,
berlaku
h (1 ∈ N) ∧ (∀ k ∈ S ⇒ k ∗ ∈ S) i ⇒ (S = N)
Persamaan diatas pada dasarnya mengatakan bahwa jika pada suatu
himpunan bagian S dari N, berlaku 1 pada S dan untuk setiap k pada S
maka pengurutnya (k ∗ ) juga pada S, maka S adalah himpunan seluruh
bilangan asli.
h (n1 ∈ N) ∧ (∀ (k > n1) ∈ S ⇒ k ∗ ∈ S) i ⇒ (S = {n1, n1 + 1, n1 + 2, · · · })
Persamaan diatas pada dasarnya mengatakan bahwa jika pada suatu
himpunan bagian S dari N, berlaku n1 pada S dan untuk setiap k > n1 pada
S maka pengurutnya (k ∗ ) juga pada S, maka S adalah himpunan bilangan
asli mulai dari n1, yaitu S = {n1, n1 + 1, n1 + 2, · · · }.
Cari Halaman Kembali Layar Penuh Tutup Keluar Postulat Peano di
atas menjadi dasar dari pembuktian dengan menggunakan induksi
matematika, yang telah dibicarakan pada bab penalaran, yang dapat
dirumuskan sebagai berikut:
Pengurut bilangan asli k, dinotasikan k ∗ adalah bilangan asli
berikutnya setelah bilagan asli k. Jadi k ∗ = k + 1.
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 82
h P(1) ∧ ∀ k, P(k) ⇒ P(k ∗ ) i ⇒ P(n), ∀ n ∈ N
Ada pengelompokan jenis himpunan yang kardinalnya terkait dengan
himpunan bilangan Asli, yaitu himpunan terhitung dan himpunan tak
terhitung.
Contoh : H = ,.....5,3,1 , Himpunan bilangan Prima, himpunan Bilangan
bulat adalah termasuk himpunan bilangan terhitung. Sedangkan
xxxH ,21 himpunan bilangan Rasional, himpunan bilangan Riil
adalah himpunan tak terhitung.
B. Himpunan Bilangan Cacah
Perhatikan firman Allah dalam Surah Al-Fajr Ayat 2-3 :
Artinya: dan malam yang sepuluh. dan yang genap dan yang ganjil.
Sebagaimana dikatakan sebelumnya bahwa Bilangan Asli tidak
mempunyai identitas penjumlahan. Apabila himpunan bilangan Asli
digabung dengan 0 sebagai unsur identitas penjumlahan, maka terbentuklah
himpunan bilangan Cacah. Himpuan bilangan cacah disebut juga himpunan
bilangan kardinal, karena bilangan cacah ini dipergunakan untuk
Himpunan dikatakan terhitung (denumerable) atau himpunan diskrit,
jika himpunan tersebut kosong atau ekuivalen dengan sebagian atau
seluruh himpunan bilangan Asli. Jika tidak demikian maka himpunan
dikatakan himpunan tak terhitung yang merupakan himpunan kontinu.
Ayat ini menjelaskan mengenai adanya bilangan yang ganjil dan ada yang
genap.
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 83
menentukan kardinal suatu himpunan. Kardinal himpunan ; adalah 0. Jadi
bilangan cacah atau bilangan kardinal mulai dari 0.
Himpunan bilangan Cacah(C) = ,....2,1,00( N
Semua sifat operasi yang berlaku pada himpunan bilangan asli juga
berlaku pada himpunan bilangan cacah. Beberapa sifat yang tidak berlaku
pada himpunan bilangan asli (identitas penjumlahan, berlaku pada
himpunan bilangan cacah. Himpunan bilangan cacah meskipun memiliki
identitas penjumlahan dan perkalian tetapi tidak memiliki invers
penjumlahan maupun invers perkalian.
Sifat 5 Identitas Penjumlahan
cccCcC 00,,0
Tetapi
0,)0( '' ccCcCc
C. Himpunan Bilangan Bulat Apabila himpunan bilangan cacah digabung dengan himpunan inverse
penjumlahannya, maka terbentuklah himpunan bilangan bulat, Z.
,....2,1,0,1,2....,,....2,1 CZ
Jadi himpunan pada bilangan semua unsur memiliki invers penjumlahan,
tetapi bukan invers perkalian.
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 84
Artinya: Dan Kami jadikan malam dan siang sebagai dua tanda, lalu Kami
hapuskan tanda malam dan Kami jadikan tanda siang itu terang,
agar kamu mencari kurnia dari Tuhanmu, dan supaya kamu
mengetahui bilangan tahun-tahun dan perhitungan. Dan segala
sesuatu telah Kami terangkan dengan jelas (QS Al-Isra: 12)
Sifat 6 Invers Penjumlahan.
0, '' ccCcCc
Tetapi
1.,)0( '' ccCcCc
D. Himpuan Bilangan Rasional
Kami jadikan malam dan siang dengan segala bentuk dan perputaran
silih berganti yang ada padanya sebagai tanda yang menunjukkan
keesaan dan kekuasaan Kami. Kami hilangkan sinar pada malam hari,
sehingga tidak tampak sesuatu apa pun. Sebagai tandanya adalah
kegelapan yang tidak disinari oleh matahari. Itu merupakan tanda yang
paling besar. Kami jadikan siang terang benderang. Dan matahari yang
merupakan tanda yang paling besar tampak kelihatan. Dengan adanya
sinar pada siang hari kalian dapat mencari penghidupan. Dan dengan
pergantian siang dan malam kalian dapat mengetahui bilangan tahun,
perhitungan bulan, hari dan segala sesuatu yang mendatangkan
maslahat bagi kalian. Semua itu telah Kami terangkan dengan jelas
sehingga dapat menjadi bukti bagi kalian setelah sempurnanya
kenikmatan.
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 85
Apabila himpunan bilangan bulat digabung dengan himpunan invers
perkaliannya, maka terbentuklah himpunan bilangan Rasional, Q.
Disamping itu bilangan rasional juga tertutup terhadap penjumlahan dan
perkalian (termasuk perkalian dengan inversdari unsur lainnya). Secara
umum bilangan rasional didefinisikan seperti pada definisi berikut ini.
Contoh :
1/5 = 0; 20 dan 1/3 = 0; 33333::: = 0; 33 adalah bilangan- bilangan rasional
Jadi pada himpunan bilangan Rasional, semua unsur memiliki invers
penjumlahan, maupun invers perkalian.
Sifat 7 Invers Perkalian
'', xxQxQx
''' 1.,)0( ccQxCx
Definisi Bilangan rasional q adalah bilangan yang dapat dinyatakan
dalam bentuk a=b dengan b 6= 0. Dalam bentuk desimal q dapat
dinyatakan sebagai pecahan desimal berhingga atau pecahan desimal
takhingga tapi berulang.
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 86
A. Pengertian Relasi
Dalam kehidupan sehari-hari, kita sering mendengar atau menyebut istilah
relasi. Secara umum, relasi berarti hubungan. Di dalam matematika, relasi
memiliki pengertian yang lebih khusus.
Misalkan A dan B adalah himpunan-himpunan. Hasil kali Kartesian A
dengan B ( Simbol A x B) adalah himpunan semua pasangan berurutan (a,b)
dengan a A dan b B
A x B = ),,( BbAaba
Hasil kali Kartesian tidak bersifat komutatif karena secara umum (a,b)
(b,a). Hasil kali Kartesian beberapa himpunan A1, A2,..., An didefinisikan
sebagai:
A1 x A2 x .... x An = nnan AaAaAaaaa ,...,,),...,,( 22121
Misalkan A dan B adalah himpunan-himpunan. Suatu relasi (Biner) R dari A
ke B adalah himpunan bagian dari A x B. Jika (a,b) A x B dan a berelasi
dengan b, dituliskan a R b. Jika a tidak berelasi dengan b dituliskan a R b.
Contoh
Misalkan A = 2,1 dan B = 3,2,1
A x B = )3,2(),2,2(),1,2),3,(!),2,1(),1,1(
Jika didefinisikan relasi R dari A ke B dengan aturan x A berelasi dengan
y B (x-y) genap, maka R = )2,1.()2,2(),3,1(),1,1( R karena (1-2)= -1
bukan bilangan genap
A x B dinyatakan dalam gambar 3.1. tampak bahwa R A x B.
BAB III RELASI DAN FUNGSI
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 87
Gambar 3.1
Dapat disimpulkan bahwa:
Definisi:
Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah hubungan/kaitan
yang memasangkan anggota-anggota himpunan A dengan anggota-
anggota himpunan B.
o Relasi R antara himpunan A dan B adalah suatu himpunan bagian
dari A B, atau dinotasikan: R (A B), dimana A B = {(a, b)│a
A dan b B}
o a R b merupakan notasi dari (a, b) R, yang berarti a dihubungkan
dengan b oleh R
o a R b merupakan notasi dari (a, b) R, yang artinya a tidak
dihubungkan oleh b oleh relasi R.
B. Cara menyajikan relasi
a. Diagram Panah
Diagram panah adalah diagram yang menggambarkan hubungan
antara dua himpunan dengan disertai tanda panah.
Marilah kita lihat Contoh lain penggambaran relasi dengan diagram
panah.
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 88
Contoh 2
Diberikan dua himpunan:
A = {Aldo, Dudung, Ninung, Nipon, Aling, Bruno}
B = {matematika, IPA, IPS, Kesenian, B. Inggris, Penjaskes, B. Indo}
Gambar di bawah menunjukkan relasi pelajaran yang disukai dari
himpunan A ke himpunan B
Gambar 3.2
Relasi antara himpunan A dan himpunan B dinyatakan oleh arah panah,
sehingga diagram tersebut dinamakan diagram panah.
b. Diagram Cartesius
Dalam menyatakan relasi antara anggota-anggota dua himpunan, selain
dengan menggunakan diagram panah dapat juga dinyatakan dalam
koordinat Cartesius. Pada diagram cartesius diperlukan dua garis
perpotongan tegak lurus yaitu; sumbu mendatar (horisontal) dan sumbu
tegak (vertikal).
Gambar 3.3
y
x
(x,
y)
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 89
x A diletakkan pada sumbu mendatar
y B diletakkan pada sumbu tegak
Pemasangan x → y ditandai dengan sebuah noktah yang koordinatnya
ditulis sebagai pasangan berurutan (x , y)
Contoh, pada diagram panah Gambar 2, akan dibuat diagram cartesiusnya
dapat disajikan sebagai berikut:
Aldo Dudung Nipon Ninung Aling Bruno
Gambar 3.4
Relasi antara anggota himpunan A dan B adalah mata pelajaran yang disukai.
Noktah yang menghubungkan Aldo dan IPA, artinya Aldo menyukai mata
pelajaran IPA, dan seterusnya.
c. Himpunan Pasangan Berurutan
Berdasarkan pada Gambar 3.2, relasi dari A ke B dapat dinyatakan
dalam pasangan terurut:
R = {(Aldo, IPA), (Dudung, Matematika), (Dudung, Kesenian), (Ninung,
B.Inggris), (Nipon, B.Indonesia), (Aling, Kesenian), (Bruno, Penjaskes)}
B. Indonesia
Penjaskes
B. Inggris
Kesenian
IPS
IPA
Matematika
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 90
d. Dalam Bentuk Tabel
Berdasarkan pada Gambar 3.2, relasi dari A ke B dapat juga
dinyatakan dalam bentuk tabel sebagai berikut:
Tabel 3.1
A B
Aldo IPA
Dudung Matematika
Dudung Kesenian
Ninung B.Inggris
Nipon B.Indonesia
Aling Kesenian
Bruno Penjaskes
C. Jenis-Jenis Relasi
Misalkan R adalah suatu relasi pada himpunan A. R disebut relasi yang:
a. Refleksif xRxAx )(
b. Simetris xRyxRxAyx ),(
c. Transitif zRxzRydanyRxAzyx )(),,(
d. Irrefleksif xRxAx )(
e. Asimetris xRyxRxAyx ),(
f. Antisimetris yxxRydanyRxAyx )(),(
4. Operasi-Operasi pada Relasi
Pada hakikatnya suatu relasi merupakan suatu himpunan, maka beberapa
relasi juga dapat dioperasikan dengan operasi-operasi himpunan.
Misalkan R dan S adalah 2 buah relasi dari himpunan A ke himpunan B.
R S adalah himpunan semua pasangan berurutan ( x,y )A x B
sedemikian hingga (x,y) R atau (x,y) S.
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 91
SyxatauRyxyxSR ),(),(),(
R S adalah himpunan semua pasangan berurutan ( x,y )A x B
sedemikian hingga (x,y) R dan (x,y) S.
SyxatauRyxyxSR ),(),(),(
Operasi himpunan lain seperti selisih, komplemen, dan lain-lain
didefinisikan menurut definisi operasi himpunan.
Misalkan A, B dan C adalah himpunan-himpunan xBAR 1dan xCBR 2
Komposisi 2121 ),(),(),(. RzydanRyxyxRR
Jika R1 = R2 = R, maka R1. R2 = R. R = R2. Secara umum, simbol Rk dipakai
untuk menyatakan bahwa relasi R dikomposisikan dengan dirinya sendiri
sebanyak k kali.
R1=R dan Rk = Rk-1R, untuk k 1
Tutupan transitif (simbol R+) relasi R adalah gabungan dari semua Rk, (k
).1
R+ = R R2 R3 .....= k
k
R
1
Tutupan transitif relasi R didapat dengan cara menambahkan semua relasi
yang bersifat transitif pada relasi R mula-mula. Tutupan transitif suatu relasi
R merupakan relasi transitif terkecil yang memuat R.
Tutupan Transitif Refleksif (simbol R*) adalah tutupan transitif yang bersifat
refleksif. Tutupan transitif refleksif didapat dengan menggabungkan
tutupan transitif dengan semua elemen yang berelasi dengan dirinya
sendiri.
R* = R+ Aaaa ),(
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 92
D. Pengertian Fungsi
Relasi fungsional atau fungsi sering disebut dengan istilah pemetaan
(mapping).
Perhatikan relasi yang dinyatakan dengan tabel dan diagram panah di
bawah ini:
Tabel 3.2 Nama Siswa Tinggi Badan
Aldo 156
Dudung 158
Ninung 150
Nipon 152
Aling 152
Bruno 160
Gambar 3.5 Gambar 3.5 merupakan diagram panah yang menunjukkan relasi tinggi
badan dari data pada Tabel 3.2. Dari diagram panah pada Gambar 3.5
terlihat bahwa:
a. Setiap siswa Aldo, Dudung, Ninung, Nipon, Aling, Bruno, memiliki
tinggi badan masing-masing 156, 158, 150, 152, 152, 160, hal ini
berarti setiap anggota A yaitu mempunyai kawan atau pasangan
dengan anggota B.
b. Setiap siswa memiliki tepat satu tinggi badan, berarti setiap anggota
A mempunyai tepat satu kawan atau pasangan dengan anggota B.
Berdasarkan uraian di atas dapat kita ambil kesimpulan bahwa relasi dari
himpunan A ke himpunan B adalah relasi khusus yang memasangkan setiap
anggota A dengan tepat satu anggota B. maka relasi dari himpunan A dan B
disebut fungsi atau pemetaan.
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 93
Definisi:
Fungsi dari himpunan A ke himpunan B adalah relasi yang
menghubungkan setiap anggota himpunan A dengan tepat satu
anggota himpunan B.
Syarat suatu relasi merupakan pemetaan atau fungsi adalah
a. setiap anggota A mempunyai pasangan di B;
b. setiap anggota A dipasangkan dengan tepat satu anggota B.
Contoh 3:
Untuk lebih memahami tentang fungsi, perhatikan relasi berikut ini
Relasi (i) tidak bisa disebut fungsi, sebab ada
anggota himpunan A yaitu 5 yang tidak
dipasangkan dengan anggota himpunan B
(i) Relasi (ii) tidak bisa disebut fungsi, sebab ada
anggota himpunan A yaitu 1 yang
dipasangkan lebih dari satu dengan anggota
himpunan B, yaitu 1 → a dan b → 2
(ii)
Relasi (iii) disebut fungsi. Mengapa?
Karena setiap anggota himpunan A dengan
tepat satu anggota himpunan B
(iii)
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 94
Relasi (iv) tidak bisa disebut fungsi, sebab ada
anggota himpunan A yaitu 3 yang tidak
dipasangkan dengan anggota himpunan B dan
ada anggota himpunan A yaitu 2 yang
dipasangkan lebih dari satu dengan anggota
himpunan B, yaitu 2 → b dan 2 → c
(iv) Gambar 3.6 E. Notasi dan Nilai Fungsi
Fungsi f dari himpunan A ke himpunan B dinotasikan dengan f : A→ B
dibaca: fungsi f memetakan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B
o f adalah fungsi yang memetakan suatu elemen x ∈ A ke suatu y ∈ B
o y adalah peta dari x oleh fungsi f dinotasikan f(x)
o x disebut prapeta dari y, dengan demikian dapat ditulis menjadi:
f : x → y atau f : x → f(x)
dibaca: fungsi f memetakan x anggota A ke y anggota B
untuk lebih jelasnya, Perhatikan gambar berikut:
Gambar 3.7
a. Himpunan A disebut Daerah asal atau Domain Himpunan B disebut
Daerah kawan/lawan atau Kodomain
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 95
b. Himpunan bagian dari himpunan B yaitu himpunan C yang
anggotanya dipasangkan dengan anggota himpunan A disebut
Daerah hasil atau Range.
o y = f(x) disebut bayangan x oleh fungsi f.
o Variabel x dapat diganti dengan sebarang anggota himpunan
A
o variabel y anggota himpunan B yang merupakan bayangan x
oleh fungsi f ditentukan oleh aturan yang didefinisikan.
Artinya y bergantung pada nilai x.
o Misalkan bentuk fungsi f(x) = ax + b. Untuk menentukan nilai
fungsi untuk x tertentu, dengan cara mengganti
(mensubstitusi) nilai x pada bentuk fungsi f(x) = ax + b.
Contoh 4:
1. Perhatikan diagram panah pada Gambar 5
Tentukan (i) domain; (ii) kodomain; (iii) range.
Penyelesaian:
(i) Domain = { Aldo, Dudung, Ninung, Nipon,
Aling, Bruno }
(ii) Kodomain = {150, 152, 154, 156, 158, 160,
164}
(iii) Range = {150, 152, 156, 158, 160}
2. Perhatikan diagram panah pada di bawah ini:
Tentukan
(i) domain;
(ii) kodomain;
(iii) range.
Gambar 3.8
Gambar 3.9
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 96
Penyelesaian:
(i) domain = {1, 2, 3, 4, 5}
(ii) kodomain = {a, b, c, d}
(iii) range = { a, b, c, d}
3. Diketahui fungsi f didefinisikan sebagai f(x) = 2x + 2
Tentukan nilai fungsi f(x) untuk
a. x = -1
b. x = 0
c. x =1
d. x =2
Penyelesaian:
Substitusi nilai x = -1 ke fungsi f(x) = 2x + 2,
sehingga f(-1) = 2(-1) + 2
= - 2 + 2
= 0
Substitusi nilai x = 0 ke fungsi f(x) = 2x + 2
sehingga f(0) = 2(0) + 2
= 0 + 2
= 2
Substitusi nilai x = 1 ke fungsi f(x) = 2x + 2
sehingga f(1) = 2 (1) + 2
= 2 + 2
= 4
Substitusi nilai x = 2 ke fungsi f(x) = 2x + 2
sehingga f(2) = 2 (2) + 2
= 4 + 2
= 6
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 97
F. Menyatakan Fungsi dalam Diagram Panah, Diagram Cartesius, dan
Himpunan Pasangan Berurutan
Pada pembahasan sebelumnya, kita sudah mempelajari bahwa relasi dapat
dinyatakan dalam diagram panah, diagram Cartesius, dan himpunan
pasangan berurutan, pun demikian dengan fungsi, sebab fungsi adalah
relasi dalam bentuk khusus.
Contoh 5:
Diketahui f: A → B adalah fungsi dari A ke dalam B dengan f: A→ B atau
f: x → (2x + 1),
A = {1, 2, 3, 4, 5}
B = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13}, maka fungsi f dapat dinyatakan dengan:
a. Diagram panah
y = f(x) = (2x + 1)
maka:
f(1) = 2(1) + 1 = 3
f(2) = 2(2) + 1 = 5
f(3) = 2(3) + 1 = 7
f(4) = 2(4) + 1 = 9
f(5) = 2(5) + 1 = 11
Gambar 3.10
f
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 98
b. Diagram Cartesius
Gambar 3.11
c. Himpunan Pasangan Berurutan
Jika fungsi f dinyatakan dengan himpunan P maka:
P = {(1, 3), (2, 5), (3, 7), (4, 9), (5, 11)}
G. Menentukan Banyaknya Fungsi dari Dua Himpunan
Contoh 6
Diketahui f: Q → R adalah fungsi dari Q ke dalam R, jika Q = {a, b, c} dan R
= {1 , 2}.
Tentukanlah semua fungsi f yang mungkin!
Penyelesaian:
Q = {a, b, c} dan R= {1, 2} maka n(Q) = 3 dan n(R) = 2
Banyaknya fungsi yang mungkin dari Q ke R seperti tampak pada diagram
panah pada Gambar berikut:
(i) (ii) (iii)
1 2 3 4 5
13
11
9
7
5
3
1
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 99
(vi). (v) (vi)
(vii) (viii) Gambar 3.12
Dari gambar fungsi-fungsi tersebut bila dinyatakan dengan himpunan
pasangan berurutan
(i) = {(a, 1), (b, 1), (c, 1)}
(ii) = {(a, 2), (b, 2), (c, 2)}
(iii) = {(a, 1), (b, 1), (c, 2)}
(iv) = {(a, 1), (b, 2), (c, 2)}
(v) = {(a, 2), (b, 2), (c, 1)}
(vi) = {(a, 2), (b, 1), (c, 2)}
(vii) = {(a, 2), (b, 1), (c, 1)}
(viii) = {(a, 1), (b, 2), (c, 1)}
Dapat diketahui bahwa untuk n(Q) = 3, n(R) = 2 maka banyaknya
fungsi f dari Q ke dalam R = 23 = 8.
Berdasarkan pengamatan di atas, dapat disimpulkan bahwa:
Jika f : adalah fungsi dari Q ke dalam R den gan n(Q) = q dan n(R) = r,
maka
banyaknya fungsi yang mungkin dari Q ke dalam R adalah rq
banyaknya fungsi yang mungkin dari R ke dalam Q adalah qr
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 100
Contoh 7:
Jika: P = {bilangan asli kurang dari 4}
R = {empat huruf pertama dalam abjad}, hitunglah banyaknya
fungsi/pemetaan?
a. dari P ke R;
b. dari R ke P,
Penyelesaian:
a. P = {1, 2, 3}, n(P) = 3
R = {a, b, c, d}, n(R) = 4
Banyaknya fungsi yang mungkin dari P ke R = rp = 43 = 64
b. Banyaknya fungsi yang mungkin dari R ke P = pr = 34 = 81
H. Menentukan Bentuk Fungsi Jika Nilai dan Data Fungsi Diketahui Sebagaimana kita ketahui bentuk fungsi linear, yaitu f(x) = ax + b. Dimana a
dan b konstanta dan x variabel. Jika nilai variabel x = n maka nilai f(n) = an +
b, sehingga kita dapat menentukan bentuk fungsi f jika diketahui nilai-nilai
fungsinya. Setelah itu, kita dapat menentukan nilai konstanta a dan b
berdasarkan nilai-nilai fungsi yang diketahui.
Contoh 8:
a. Diketahui f fungsi linear dengan f(1) = 7 dan f(4) = 13. Tentukan
bentuk fungsi f(x)
Penyelesaian:
f fungsi linear, maka f(x) = ax + b, sehingga diperoleh:
f(1) = 7
f(1) = a(1) + b = 7
= a + b = 7 .......... (1)
f(4) = a(4) + b = 13
= 4a + b = 13 .......... (2)
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 101
Dengan metode eliminasi pers. (1) dan (2)
a + b = 7
4a + b = 13 _
-3a = - 6
a =2
Substitusi a = 2 pada persamaan a + b = 7, diperoleh:
a + b = 7
2 + b = 7
b =7 – 2
= 5
Jadi nilai a = 2 dan b = 5, bentuk fungsi f adalah f(x) = 2x + 5
b. Diketahui f fungsi linear dengan f(0) = –3 dan f(2) = 1. Tentukan
bentuk fungsi f(x).
Penyelesaian:
f fungsi linear, maka f(x) = ax + b, sehingga diperoleh:
f(0) = –3
f(0) = a(0) + b = –3
0 + b = –3
b = –3
selanjutnya menentukan nilai a, yaitu:
f(2) = 1
f(2) = a(2) + b = 1
2a – 3 = 1
2a = 1+ 3
2a = 4
a = 2
Jadi nilai a = 2 dan b = -3, bentuk fungsi f adalah f(x) = 2x – 3
I. Grafik Fungsi/Pemetaan Pemetaan atau fungsi f yang memetakan himpunan A ke himpunan B dapat
dibuat grafik fungsinya. Grafik fungsi adalah bentuk diagram Cartesius dari
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 102
suatu fungsi. Dimana (x, y) merupakan pasangan terurut dalam f dengan
domain himpunan A.
Contoh 9:
Gambarlah grafik fungsi f(x) = 2x + 2 dengan domain:
a. {x | 0 ≤ x ≤ 6, x bilangan Cacah};
b. {x | 0 ≤ x ≤ 6, x bilangan Real}.
Penyelesaian:
f(x) = 2x + 2, buat tabel sehingga memenuhi fungsi tersebut, maka diperoleh
koordinat titik-titik yang merupakan pasangan terurut (x, y)
x 0 1 2 3 4 5 6
y = 2x + 2 2 4 6 8 10 12 14
(x, y) (0,2) (1, 4) (2, 6) (3, 8) (4,10) (5,12) (6,14
a. Grafik fungsi f(x) = 2x + 2 dengan domain: {x | 0 ≤ x ≤ 6, x bilangan
Cacah};
Gambar 3.13
0 1 2 3 4 5
1
4
1
3
1
2
1
1
1
0
9
8
7
6
5
4
3
2
1
Y
X
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 103
a. Grafik fungsi f(x) = 2x + 2 dengan domain: {x | 0 ≤ x ≤ 6, x bilangan
Real};
Gambar 3.14 J. Macam-macam Fungsi
a. Fungsi konstan (fungsi tetap)
Fungsi konstan adalah fungsi f yang dinyatakan dalam rumus f(x) = C,
dengan C suatu bilangan konstan. Fungsi konstan f memasangkan
setiap bilangan real dengan konstanta C.
Contoh 10:
Diketahui f : R → R dengan rumus f(x) = 2 dengan daerah domain: {x | –
3 ≤ x ≤ 3}. Tentukan gambar grafiknya.
0 1 2 3 4
5
1
4
1
3
1
2
1
1
1
0
9
8
7
6
5
4
3
2
1
Y
X
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 104
Gambar 12
b. Fungsi linear
Fungsi linear adalah suatu fungsi f(x) yang ditentukan oleh f(x) = ax + b,
dimana a ≠ 0, a dan b bilangan konstanta dan grafiknya berupa garis
lurus. Jika domainnya tidak dinyatakan secara khusus maka domain
fungsi tersebut merupakan semua anggota himpunan bilangan real.
Contoh 11:
Diketahui suatu fungsi f(x) = 2x + 4, gambarlah grafik fungsi linear
tersebut.
Penyelesaian:
Untuk x = 0, maka y = 2(0) + 4 = 4
Untuk y = 0, maka 0 = 2x + 1
-1= 2x
x = 2
1
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
Y
X
3
2
1 f(x) = 2
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 105
Gambar 3.15
c. Fungsi kuadrat
Bentuk umum fungsi kuadrat adalah y = ax2 + bx + c dengan a, b, c R, dan
a ≠ 0. Grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola maka sering juga disebut
fungsi parabola.
- Jika a>0, maka parabola terbuka ke atas, sehingga mempunyai titik balik
minimun,
- Jika a<0, maka parabola terbuka ke bawah, sehingga mempunyai titik balik
maksimum
Langkah-langkah membuat grafik fungsi kuadrat y = ax2 + bx + c,
a ≠ 0. yaitu:
1) Menentukan titik potong dengan sumbu X, yaitu: y = 0.
2) Menentukan titik potong dengan sumbu Y, yaitu: x = 0.
3) Menentukan persamaan sumbu simetri x = a
b
2
4) Menentukan titik puncak
a
D
a
b
4,
2dengan nilai diskriminan D =
b2 – 4ac
Contoh 12:
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
Y
X
4
3
2
1
f(x) = 2x+4
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 106
Fungsi f ditentukan oleh f(x) = x2 – 4
y = 0, x =-2 dan x = 2
x = 0, y = -4
Gambar 14
d. Fungsi identitas
Fungsi identitas adalah suatu fungsi f(x) yang setiap anggota domain
fungsi berlaku f(x) = x atau semua anggota domain fungsi berkaitan
dengan dirinya sendiri.
Grafik fungsi identitas y = x untuk x R, berupa garis lurus yang melalui
titik asal dan semua titik absis maupun ordinatnya sama.
Contoh 13:
Suatu fungsi pada R didefinisikan sebagai f(x) = x untuk setiap x.
(1) Carilah f(–2), f(-1), f(0), f(1), f(2).
(2) Gambarlah grafiknya.
Penyelesaian:
f(x) = x
f(–2) = –2
f(–1) = –1
f(0) = 0
f(1) = 1
(2) = 2
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
Y
X
3
2
1
-1
-2
-3
-4
f(x) = x2- 4
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 107
Gambar 3.16
e. Fungsi tangga (bertingkat)
fungsi tangga adalah suatu fungsi f(x) yang grafik fungsi f(x)
berbentuk interval-interval yang sejajar.
Contoh 14:
–2, jika x ≤ –1 -1, jika –1 < x ≤ 1 Diketahui fungsi: f(x) =
0, jika 1 < x ≤ 3
1, jika x > 3
Gambar 3.17
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
Y
X
3
2
1
-1
-2
-3
y = f(x) = x
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
Y
X
3
2
1
-1
-2
-3
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 108
f. Fungsi Modulus
Fungsi Modulus atau nilai mutlak dari sebuah bilangan real x adalah
suatu fungsi f(x) dimana fungsi ini memetakan setiap bilangan real pada
domain fungsi ke unsur harga mutlaknya
fungsi f : x |x| atau f : x → |ax + b| dengan x R
artinya:
Contoh 15:
Diketahui fungsi f : x |x| dengan x R, tentukan f(– 2), f(–1), f(0),
f(1), dan f(2)
Penyelesaian :
f(x) = |x|
f(–2) = |-2|= 2
f(–1) = |-1|= 1
f(0) = |0|= 0
f(1) = |1|= 1
f(2) = |2|= 2
Gambar 3.18
+x, jika x ≥ 0
|x| =
-x , jika x < 0
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
Y
X
3
2
1
-1
-2
-3
y = f(x) = x
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 109
g. Fungsi Ganjil dan Fungsi Genap
Suatu fungsi f(x) disebut fungsi ganjil apabila berlaku f(–x) = –f(x)
dan disebut fungsi genap apabila berlaku f(–x) = f(x).
Fungsi f : x y = f(x) disebut fungsi genap jika f(-x) = f(x)
Jika digambarkan dalam grafik cartesius, grafik fungsi genap selalu
simetri terhadap sumbu Y
1) Fungsi f : x y = f(x) disebut fungsi ganjil jika f(-x) = -f(x)
Jika digambarkan dalam grafik cartesius Grafik fungsi ganjil
selalu simetri terhadap titik asal O
2) Jika f(– x) ≠ f(x) dan f(– x) ≠ – f(x) maka fungsi ini tidak genap dan
tidak ganjil
Contoh 16:
Manakah yang merupakan fungsi genap atau fungsi ganjil atau fungsi
tidak genap dan tidak ganjil?
a) f(x) = x2
b) f(x) = x3
c) f(x) = x2 – 4x
Penyelesaian :
a) f(x) = x2
f(–x) = (–x)2
= x2
f(–x) = f(x)
f(x) = x2 (fungsi genap)
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 110
Gambar 3.19
b) f(x) = x3
f(–x) = (– x)3
= – x3
–f(x) = – x3
f(–x) = – f(x)
f(x) = x3 (fungsi ganjil)
Gambar 3.20
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
Y
X
3
2
1
y = f(x) = x2
-3 -2 -1 0 1 2 3
4
Y
X
3
2
1
-1
-2
-3
y = f(x) =
x3
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 111
c) f(x) = x2 – 4x
f(–x) = (–x)2 – 4 (–x)
= x2 + 4x
Fungsi f(–x) ≠ f(x) dan f(–x) ≠–f(x).
Jadi, fungsi f(x) adalah tidak genap dan tidak ganjil.
K. Sifat-sifat Fungsi
a. Fungsi injektif (satu-satu)
Jika fungsi f : A B, setiap y B hanya mempunyai satu kawan
Saja di A, maka fungsi itu disebut fungsi satu-satu atau injektif.
A B A B A B
Fungsi injektif Bukan Fungsi injektif Fungsi Injektif
A B
Bukan Fungsi injektif Fungsi injektif
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 112
b. Fungsi surjektif (onto)
Pada fungsi f : A B, setiap y B mempunyai kawan di A, maka f disebut
fungsi surjektif atau onto.
Fungsi surjektif Fungsi surjektif Bukan Fungsi surjektif
c. Fungsi bijektif (korespondensi satu-satu)
Suatu fungsi dikatakan fungsi bijektif (korespondensi satu-satu) Apabila
memiliki sifat injektif sekaligus surjektif.
Contoh:
A B
Fungsi bijektif Bukan Fungsi bijektif
Fungsi bijektif Bukan Fungsi
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 113
L. Aljabar Fungsi
Bila f dan g suatu fungsi, maka pada operasi aljabar
penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian dapat
dinyatakan sebagai berikut.
a. Penjumlahan f dan g berlaku (f + g)(x) = f(x) + g(x)
Contoh
Diketahui f(x) = x + 2 dan g(x) = x2 – 4. Tentukan (f + g)(x).
Penyelesaian
(f + g)(x) = f(x) + g(x)
= x + 2 + x2 – 4
= x2 + x – 2
b. Pengurangan f dan g berlaku (f – g)(x) = f(x) – g(x)
Contoh
Diketahui f(x) = x2 – 3x dan g(x) = 2x + 1. Tentukan (f – g)(x).
Penyelesaian
(f – g)(x) = f(x) – g(x)
= x2 – 3x – (2x + 1)
= x2 – 3x – 2x – 1
= x2 – 5x – 1
c. Perkalian f dan g berlaku (f o g)(x) = f(x)o g(x)
Contoh
Diketahui f(x) = x – 5 dan g(x) = x2 + x. Tentukan (f × g)(x).
Penyelesaian
(f × g)(x) = f(x) . g(x)
= (x – 5)(x2 + x)
= x3 + x2 – 5x2 – 5x
= x3 – 4x2 – 5x
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 114
d. Pembagian f dan g berlaku xg
xfx
g
f
Contoh
Diketahui f(x) = x2 – 4 dan g(x) = x + 2. Tentukan xg
f
Penyelesaian :
xg
xfx
g
f
)2(
)2(
)2()2(
4
42
x
x
xx
x
x
M. Fungsi Komposisi
Dari dua jenis fungsi f(x) dan g(x) kita dapat membentuk sebuah fungsi baru
dengan menggunakan sistem operasi komposisi. operasi komposisi biasa
dilambangkan dengan "o" (komposisi/bundaran). fungsi baru yang dapat
kita bentuk dari f(x) dan g(x) adalah:
(g o f)(x) artinya f dimasukkan ke g
(f o g)(x) artinya g dimasukkan ke f
a. Menentukan komposisi dua fungsi atau lebih
Misalkan ada fungsi f(x) dan g(x), maka berlaku :
- g o f (x) artinya f masukin ke g
- f o g (x) artinya g masukin ke f
- h o g o f(x) artinya f masukin ke g kemudian hasilnya masukin
ke h
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 115
Contoh :
Diketahui f(x) = 2x – 3 dan g(x) = x2 – 4, maka rumus fog (x) =…
Penyelesaian : f o g (x) = g masukin ke f
2(x2 – 4) – 3 = 2x2 – 8 – 3 = 2x2 – 11
b. Mencari salah satu fungsi jika diketahui fungsi komposisi dan satu
fungsinya
1. Mencari fungsi depan Metode supertrik : invers saja !
Contoh :
Diketahui g (x) = 2x – 1 dan f o g (x) = 4x – 8 . Tentukan f(x) !
Penyelesaian :
Metode supertrik :
Invers dari g(x) = 2x – 1 adalah x 1
2
Maka, f(x) = x 1
4 8 2 x 1 8 2x 62
2. Mencari fungsi belakang
Metode supertrik : ganti x dengan yang akan dicari!
Contoh :
Diketahui g(x) = 2x – 1 dan g o f (x) = 4x2 – 2x + 1. Tentukan f(x) !
Maka, f(x) = ??
Penyelesaian :
2f(x) – 1 = 4x2 – 2x + 1
2f(x) = 4x2 – 2x + 1 + 1
f(x) = 2x2 – x + 1
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 116
Contoh:
Diketahui f(x) = 3x - 4 dan g(x) = 2x, maka tentukanlah rumus (f o g)(x)
dan (g o f)(x) ...
Penyelesaian:
(f o g)(x) = g dimasukkan ke f menggantikan x
(f o g)(x) = 3(2x)-4
(f o g)(x) = 6x - 4
(g o f)(x) = f dimasukkan ke g menggantikan x
(g o f)(x) = 2(3x-4)
(g o f)(x) = 6x-8
Contoh Soal 2
Misal fungsi f dan g dinyatakan dalam pasangan terurut :
f : {(-1,4), (1,6), (3,3), (5,5)}
g : {(4,5), (5,1), (6,-1), (7,3)}
Tentukan :
a. f o g d. (f o g) (2)
b. g o f e. (g o f) (1)
c. (f o g) (4) f. (g o f) (4)
Penyelesaian :
Pasangan terurut dari fungsi f dan g dapat digambarkan dengan
diagram panah berikut ini
a. (f o g) = {(4,5), (5,6), (6,4), (7,3)}
b. (g o f) = {(-1,5), (1,-1), (3,3), (5,1)}
c. (f o g) (4) = 5
d. (f o g) (2) tidak didefinisikan
e. (g o f) (1) = -1
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 117
Sifat-sifat Fungsi Komposisi
Fungsi komposisi memiliki beberapa sifat, diantaranya:
Tidak Komutatif
(g o f)(x) = (f o g)(x)
Asosiatif
(f o (g o h))(x) = ((f o g) o h)(x)]
Fungsi Identitas I(x) = x
(f o I)(x) = (I o f)(x) = f(x)
Cara Menentukan fungsi bila fungsi komposisi dan fungsi yang lain
diketahui
Misalkan jika fungsi f dan fungsi komposisi (f o g) atau (g o f) telah
diketahui maka kita dapat menentukan fungsi g. demikian juga sebaliknya.
Contoh Soal 3
Misal fungsi komposisi (f o g) (x) = -4x + 4 dan f (x) = 2x + 2.
Tentukan fungsi g (x).
Penyelesaian :
(f o g) (x) = -4x + 4
f (g (x)) = -4x + 4
2 (g (x)) + 2 = -4x + 4
2 g (x) = -4x + 2
g (x) = -4x + 2
2
g (x) = -2x + 1
Jadi fungsi g (x) = -2x + 1
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 118
N. Invers Fungsi
Jika diketahui suatu fungsi f(x) dan memenuhi syarat untuk memiliki invers,
maka invers fungsi dari f(x) ditulis 1f x
Apabila fungsi dari himpunan A ke B dinyatakan dengan f, maka invers dari
fungsi f merupakan sebuah relasi dari himpunan A ke B. Sehingga, fungsi
invers dari f : A -> B adalah f-1: B -> A. dapat disimpulkan bahwa daerah
hasil dari f-1(x) merupakan daerah asal bagi f(x) begitupun sebaliknya.
Cara menentukan fungsi invers bila fungsi f(x) telah diketahui:
Pertama
Ubah persamaan y = f (x) menjadi bentuk x sebagai fungsi dari y
Kedua
Hasil perubahan bentuk x sebagai fungsi y itu dinamakan sebagai f-1(y)
Ketiga
Ubah y menjadi x [f-1(y) menjadi f-1(x)]
1. Menentukan invers fungsi linier
Metode supertrik :
Jika diketahui f(x) = ax + b maka 1 x bf x
a
Jika diketahui f(x) = ax – b maka 1 x bf x
a
Jika 1ax b dx bf x maka f x
cx d cx a
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 119
2. Menentukan invers fungsi kuadrat
Metode supertrik : dicari separuhnya !
Jika diketahui f(x) = ax2 + 2bx + c maka 1 2f x x c b b
Contoh :
Tentukan invers fungsi dari f(x) = x2 + 4x + 6 !
Penyelesaian :
Dari soal diketahui bahwa a = 1 ; b = 2 ; c = 6, sehingga invers dari
f(x) adalah :
1 2
1 2
f x x c b b
f x x 6 2 2
x 2 2
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 120
1. Fungsi RRf : didefinisikan dengan rumus f(x) = x3-2. Apakah
fungsi f1 ada?
2. Fungsi f dan f didefinisikan dengan diagram panah dibawah ini.
Carilah fg dan gf ?
3. Didefinisikan fungsi h dan k pada himpunan bilangan rill sebagai
sebagai berikut:
∀ ∈ ⌊ ⌋ ⌈ ⌉
⌊ ⌋dan ⌈ ⌉ masing-masing adalah fungsi lantai (pembulatan ke
bawah) dan fungsi atap (pembulatan ke bawah). Apakah h=k?
jelaskan!
4. Misalkan X {1, 5, 9} dan Y {3, 4, 7}
a. Didefinisikan fungsi f:X Y dengan f(1) = 4, f(5) = 7, dan f(9) = 4.
Apakah f injektif? surjektif? bijektif?
b. Didefinisikan fungsi f:X Y dengan g(1) = 7, g(5) = 3, dan f(9) = 4.
c. Apakah g injektif? surjektif? bijektif?
LATIHAN 2.d
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 121
5. Misalkan X = {1, 2, 3}, Y = {1, 2, 3, 4} dan Z = {1, 2}
a. Buatlah fungsi f :X Y yang injektif tapi tidak surjektif.
b. Buatlah fungsi g :X Z yang surjektif tapi tidak injektif
c. Buatlah fungsi h:X X yang tidak injektif dan tidak surjektif
d. Buatlah fungsi f :X X yang injektif dan surjektif.
6. Diketahui A = {a, b, c} dan B = {0, 1, 2, 3} didefinisikan relasi f, g, h
dari P(A) (Power set A) ke B dengan aturan sebagai berikut:
f(X) = Jumlah elemen dalam X
g(X)= Jumlah „a‟ dalam X
h(X)=Jumlah elemen dalam A-X.
a. Mana diantara relasi f, g, dan h yang merupakan fungsi?
b. Mana diantara relasi f, g, dan h yang merupakan fungsi
injektif?
c. Mana diantara relasi f, g, dan h yang merupakan fungsi
surjektif?
d. Tentukan range (f) ∩ range (g)
7. Diketahui = {a, b} dan * adalah himpunan semua string yang
bisa dibentuk dari anggota-anggota . didefinisikan fungsi f dan g
: * C (bilangan cacah) dengan aturan sbb:
f(w) = Jumlah „a‟ + jumlah „b‟ dalam w
g(w) = Maksimal (jumlah „a‟ + jumlah „b‟)
h(w) = Panjang string „w‟
a. Tentukan range g
b. Tentukan f(w) – h (w)
c. Apakah g merupakan fungsi yang injektif? surjektif?
Logika, Himpunan, Relasi dan Fungsi | 122
8. Sebuah desa dihuni 500 penduduk. apakah pasti ada paling sedikit
2 penduduk yang berulang tahun pada hari yang sama?
9. Mana diantara fungsi f, g, dan h: {1, 2, 3, 4} {a, b, c, d} yang
didefinisikan dengan pasangan berikut ini yang mempunyai
invers?
f ={ (1,a), (2,a), (3,c), (4,d) }
g={ (1,a), (2,c), (3,b), (4,d) }
h={ (1,c), (2,b), (3,d), (4,a) }
10. Apakah fungsi f: Z Z didefinisikan dengan rumus f(n) = + 2
memiliki invers? jika y, tuliskan invers fungsinya. jika tidak,
jelaskan alasanya!