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iDETERMINACION DE LAS APROXIMACIONES EN FUNCIONES POR MEDIO DE LAS SERIES DETAYLOR
La función f es cualquier función que se puede representar mediante unaserie de potencias:
1. f(x)= c0 + c1(x-a) + c2(x-a)2 + c3(x-a)3+ c4(x-a)4,… |x-a| <R
Se determina que coeficientes cn tienen que estar en función de f. Paraempezar, se debe establecer si se hace x=a en la ecuación anterior, en talcaso todos los términos después del primero son 0 y obtienef(a)=c0.
De acuerdo con el teorema, se puede derivar la serie de la primera ecuacióntérmino a término:
2. f’(x)= c1 +2c2(x-a) + 3c3(x-a)2 +4 c4(x-a)3 + … |x-a| <R
Y al sustituir x=a en la segunda ecuación tiene f’(a)=c1
Luego de hacer este procedimiento se deriva ambas partes de la ecuación 2,lo cual genera la siguiente ecuación:
3. f’’(x)=2c2 +2*3c3(x-a) + 3*4c4(x-a)2 + … |x-a| <R
Nuevamente se debe hacerx=a en la tercera ecuación. El resultado es f’’(a)=2c2
Se aplica una vez mas los procesos anteriores, en dondela derivación de laserie de la ecuación 3 genera:
4. f’’’(x)=2*3c3 +2*3*4c4(x-a) + 3*4*5c5(x-a)2 + … |x-a| <R y la sustitución de x=a enla ecuación 4 da
f’’’(a)=2*3c3 =3!c3
Al continuar con la derivación y con la sustitución de x=a, se obtendrá:
f(n)(a)=2*3*4*….. ncn = n!cn
Para obtener la anterior ecuación para el n-esimo coeficiente cn, :
Cn=f(n)(a)n!
Si la función f se puede representar como una serie de potencias (expansión)en a, es decir, si
5. f (x )=∑n=0
∞cn(x−a)n|x−a|<R
Entonces sus coeficientes nos da la siguiente fórmula:
Cn=f(n)(a)n!
Al sustituir esta fórmula de nuevo en la serie decn, la función f tiene undesarrollo en serie de potencias en a, generando una nueva ecuación:
6. f (x )=∑n=0
∞ fn(a)n!
(x−a)n
¿f (a)+f' (a)1! (x−a )+f
''(a)2! (x−a)2+
f'''(a)3! (x−a)3+..
La serie de la ecuación anterior se denomina serie de Taylor de la función fen ao con respecto a a o centrada en a. Para casos especiales dondea=0 laserie de Taylor se transforma en:
7. f (x )=∑n=0
∞ fn (0 )1! xn=f (0 )+f
' (0 )1! x+
f'' (0)2! x2+…
Se le da el nombre especial de serie de Maclaurin, ya que estos casos sepresentan en forma continua.
(Stewart, 2008)
FUNCIONES.
Seno:
Primero se realizo la derivación de la función original tres veces,
para así remplazar la función f(x) por π3.
Reemplazamos con cada uno de los valores que dieron como resultado en lasderivadas en la ecuación general de las series de Taylor, por lo cual este patrón se define de manera indefinida:
f (a)+f'(π3 )1! (x−
π3 )+
f''(π3 )2! (x−
π3 )
2
+
f'''(x−π3 )
3! (x−π3 )
3
+..
√32
+1
2∗1! (x−π3 )− √3
2∗2! (x−π3 )
2
−1
2∗3! (x−π3 )
3
+…
Esta serie se puede escribir como una notación de suma de la siguiente manera:
senx=∑n=0
∞ (−1)n√32 (2n)! (x−
π3 )
2n
+∑n=0
∞ (−1)n
2 (2n+1 )! (x−π3 )
2n+1
Gráfica 1:se observa que es una función impar, el polinomio de Taylor correspondiente solo tiene potencias impares para toda x. En esta graficase ve la función de seno(x) y las aproximaciones que produjo la serie de Taylor.
Coseno:Se deriva la funcióncos(x)tres veces por la original, y reemplazando porcon lo cual se obtuvo:
f (a)+f' (0)1! +
f'' (0 )2! +
f''' (0 )3! +..
cos (x)=1+01!−
x2
2!+03!+
x4
4!−x6
6!
cos (x)=1−x22
+x4
24−
x6720
+…
Al escribirla como sumatoria queda de la siguiente forma, para todo x:
cos (x)=∑n=1
∞(−1)n x
2n
2n!
Grafica: se observa que es una función par, el polinomio de Taylor correspondiente solo tiene potencias pares para toda x. si le damos valores a x podemos observar que la función poco a poco se va aproximando a la función original.
Exponencial:En un primer momento se derivan la funciónex y se reemplazo x por 0 se genera:
Si f(x) = ex, entonces fn (x)=ex, por lo que fn (0)=e0=1 para toda n. porlo tanto, la serie de Taylor para f en o, es:
∑n=0
∞ fn(0)n!
xn=∑n=0
∞ xn
n!=1+
x1!
+x22!
+x33!
+…
Este resultado nos muestra que los polinomios de Taylor en 0, con n= 1,2 y 3 son :
T1 (x)=1+ x
T2(x)= 1+ x +x2
2!
T3(x)=1+ x + x2
2!+x3
3!
Para determinar el radio de convergencia haga an= xn
n! En tal caso:
|an+1an |=| xn+1
(n+1 )!∗n!
xn |=¿x∨ ¿n+1
→0<1¿
Por esto, según la prueba de la razón, la serie converge para toda x yel radio de convergencia es R=∞.
Grafica: se observa que si remplazamos x=1 obtenemos el valor del numero e. Si damos valores a x se observa que la serie de Taylor se aproxima al valor real al aumentar el grado del polinomio.
Tangente:La función f(x) se calcula en 0 al hallar sus derivaciones correspondientes para obtener:
Entonces, queda:
¿tan (o)+
1(cos (0)2)
1!+
2sen(0)
cos (0)3
2!+2¿¿¿
¿0+11!
x+02!
x2+23!
x3+R..
¿0+x+0x2+13x3+R
¿x+13x3+R
Donde R es el resto o término complementario. Cuanto mayor sea el grado del polinomio, más exacta es la aproximación. Se observa lo aproximadas que son las gráficas en las cercanías del cero.
Grafico: en la anterior grafica se puede observar que si le damos valores a x, se ve que se aproxima a la función original.
Logaritmo natural:
f(n )=(−1)(n+1 ) (n−1 )!xn
f(n )(1)=(−1 )(n+1) (n−1 )!1n =(−1 )(n+1) (n−1 )!
Sustituyendo en las series de Taylor:
ln (x )= 00!
+1 (x−1)1!
−1 (x−1)2
2!+2 (x−1 )3
3!−6 (x−1 )4
4!+…+(−1)(n+1 )(n−1 )!¿¿
Simplificando:
ln (x )= (x−1 )− (x−1 )2
2+
(x−1)3
3−
(x−1 )4
4+..+(−1)(n+1) (x−1)n
n
En lagráfica1, podemos observar la funciónln(x):
Grafica: Al darle valores a x, el polinomio de Taylor que nos dio comoresultado hay una aproximación evidente a la función original al aumentar progresivamente el grado del polinomio.
(Cortadellas Izquierdo , 2005-2004)
(Charles , 1980)
Bibliografía:
Charles , R. (1980). Un Enfoque en el Calculo numerico. Prentice-Hall Int.
Cortadellas Izquierdo , O. (2005-2004). un pequeña historia sobre series de Taylor.
Stewart, J. (2008). Calculo de una variable. Mexico: Cengage Learning.
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