Análisis de inversiones en condiciones
de riesgo e incertidumbre
Riesgo:
Los supuestos de la proyección se basan en probabilidades de ocurrencia.
Los posibles escenarios con sus resultados se conocen y existen antecedentes para estimar su distribución de frecuencia
Incertidumbre:
Es imposible asignar una probabilidad a los eventos futuros
Se desconocen los escenarios o su distribución de frecuencia
Cálculo de la desviación estándar
Se calcula como:
1
)(1
2
n
AAn
j
xj
Donde:
es la desviación estándar
Aj es el rendimiento de cada observación j.
Ax el rendimiento promedio de las observaciones
n es el número de observaciones
Riesgo y Rentabilidad
La decisión de aceptar proyectos con mayor riesgo se asocia con mayores exigencias de rentabilidad
Definición común de riesgo:
“Variabilidad relativa del retorno esperado”
La desviación estándar del retorno esperado respecto al retorno medio. A mayor desviación estándar, mayor la variabilidad de los retornos, y mayor riesgo.
Probabilidades subjetivas:
aquellas que no se pueden verificar de una manera objetiva
En la práctica la más utilizada es la que supone una distribución normal (67.5% de los casos los retornos caen en un rango que está entre el valor promedio del retorno +- una desviación estándar, 95% +- dos desviaciones estándar.
Ejemplo:
Una empresa tiene seis locales de ventas de
hamburguesas, sus rentabilidades promedio anual sobre
inversiones repetitivas son:
Observación
Rendimiento
Observado
Rendimiento
Promedio Desviación
Desviación al
cuadrado
j Aj Ax Aj-Ax (Aj-Ax)2
1 0,12
2 0,13
3 0,08
4 0,04
5 0,08
6 0,12
Suma 0,57 0 0
Promedio 0
Desv estand. 0
0 0,0%1
)(1
2
n
AAn
j
xj
Ejemplo:
Una empresa tiene seis locales de ventas de
hamburguesas, sus rentabilidades promedio anual sobre
inversiones repetitivas son:
Observación
Rendimiento
Observado
Rendimiento
Promedio Desviación
Desviación al
cuadrado
j Aj Ax Aj-Ax (Aj-Ax)2
1 0,12 0,095 0,025 0,000625
2 0,13 0,095 0,035 0,001225
3 0,08 0,095 -0,015 0,000225
4 0,04 0,095 -0,055 0,003025
5 0,08 0,095 -0,015 0,000225
6 0,12 0,095 0,025 0,000625
Suma 0,57 -9,02056E-17 0,00595
Promedio 0,095 0,00119
Desv estand. 0,034496377 0,0344964
0,034496377 3,4%1
)(1
2
n
AAn
j
xj
Ejemplo
Significa que :
existe un 67.5% de posibilidades de que la rentabilidad de un nuevo
local sea de 9,5% +-3,45%, o sea este entre 6,05% y 12.95%.
existe un 95% de que este entre 9,5 + - 6,90, o sea entre 2,6 y 16,4%
Si los resultados son aleatorios, una distribución normal podría ser utilizada
para calcular la probabilidad de que se localice en un intervalo
Intervalos de confianza
Probabilidad
Veces + ó -
D.Estand lim inferior Media limite superior
68% 1 6,1% 9,5% 12,9%
95% 2 2,6% 9,5% 16,4%
Excel
Excel permite calcular la desviación estándar
directamente.
De la barra herramientas seleccionar fórmulas,
estadísticas, DESVEST como nombre de la función y
seleccionar el rango donde se encuentran los datos
Ejemplo: =DESVEST(B9:B14)
Cálculo de la desviación estándar cuando
podemos asignar probabilidades
Si tenemos posibles escenarios futuros a los cuales se les puede asignar una probabilidad de ocurrencia. En este caso la fórmula para la calcular la desviación estándar cambia:
n
k
yk kPAA1
)()(
Donde: es la desviación estándar
Ak es el resultado esperado en cada escenario A
Ay el resultado promedio ponderado de los diferentes escenarios respecto a
la probabilidad P(k) para cada escenario
n es el número de escenarios
Ejemplo
Una empresa analiza la inversión de unos recursos ($20.000)
e identifica fruto de su experiencia tres escenarios que
condicionan el valor presente de los flujos netos proyectados y
les asigna una probabilidad de ocurrencia como sigue:
Escenario Inversión VPN sin Inver Probabilidad VPN esperado sin I Desviación Desviación Cuadra. Desv
(k) (I) (Ak) (Pk) Ay = sum(Ak x Pk) (Ak - Ay) (Ak - Ay)2 Pk(Ak - Ay)2
Expansión $ 20.000 $ 26.000 0,40
Normal $ 20.000 $ 22.000 0,45
Recesión $ 20.000 $ 16.000 0,15
suma 1,00 $ 0 0 0
Ejemplo
Una empresa analiza la inversión de unos recursos ($20.000)
e identifica fruto de su experiencia tres escenarios que
condicionan el valor presente de los flujos netos proyectados y
les asigna una probabilidad de ocurrencia como sigue:
Escenario Inversión VPN sin Inver Probabilidad VPN esperado sin I Desviación Desviación Cuadra. Desv
(k) (I) (Ak) (Pk) Ay = sum(Ak x Pk) (Ak - Ay) (Ak - Ay)2 Pk(Ak - Ay)2
Expansión $ 20.000 $ 26.000 0,40 $ 10.400 $ 3.300 10.890.000 4.356.000
Normal $ 20.000 $ 22.000 0,45 $ 9.900 -$ 700 490.000 220.500
Recesión $ 20.000 $ 16.000 0,15 $ 2.400 -$ 6.700 44.890.000 6.733.500
suma 1,00 $ 22.700 56.270.000 11.310.000
3.363,03
n
k
yk kPAA1
)()(
Ejemplo
Significa que :
existe un 67.5% de posibilidades de que el valor presente del flujo de caja este entre 22.700 +- 3.363,
existe un 95% de que este entre 22.700 + - 6.726
Para ambos intervalos el límite inferior está por debajo de 20.000 o sea correspondería a una VPN negativo. En este caso la clave es encontrar el punto para el que el VPN es mayor o igual a cero.
Lo primero es calcular el VPN esperado:
Intervalos de confianza
Probabilidad
Veces + ó -
D.Estand lim inferior valor esperado limite superior
68% 1 19.336,97 $ 22.700 26.063,03
95% 2 15.973,93 $ 22.700 29.426,07
VPN esperado
Escenario Inversión VP sin Inver VPN Probabilidad Rendimiento
(k) (I) (Ak) (Pk) esperado
Expansión $ 20.000 $ 26.000 $ 6.000 0,40 2.400
Normal $ 20.000 $ 22.000 $ 2.000 0,45 900
Recesión $ 20.000 $ 16.000 -$ 4.000 0,15 -600
suma 1,00 2.700
Ejemplo
Luego se encuentra a cuántas desviaciones estándar de la media está el
VPN igual a cero. Para tal efectos se divide el VPN esperado por la
desviación estándar
VPNE / DS = 2.700 / 3.363,03 = 0,80
El VPN igual a cero está a un 80% de la desviación estándar.
Como una desviación estándar a la izquierda tiene el 34% de probabilidad.
El 80% de ese 34% es 27.2% (0,8 x 0,34)
Más el 50% del lado derecho, la probabilidad de tener un VPN mayor o
igual a cero es del 77.2%
Criterios cuando hay riesgo
Algunos criterios que ayudan a simplificar el proceso de decisión cuando se comparan proyectos con consideraciones de riesgo
Dominancia
Cuando en todos los escenarios el resultado esperado de una alternativa es mejor que el de otra alternativa, la alternativa dominada se descarta.
Nivel de aspiración
Se fija un nivel de aspiración y se busca el proyecto que maximiza la probabilidad de alcanzarlo
Valor esperado
Se escoge el proyecto con el valor mayor esperado
Equivalencia de certeza
Corrige el resultado del valor esperado por un coeficiente de aversión al riesgo. Se escoge el proyecto con el mayor VPN en equivalencia de certeza
Ejemplo
Una empresa tiene cuatro alternativas de inversión
y sus VPN se calcularon en función de cinco
escenarios posibles, y para cada uno se tiene su
probabilidad de ocurrencia según la siguiente
tabla
Escenario
Probabilidad Proyecto 1 Proyecto 2 Proyecto 3 Proyectos 4
Recesivo 0,05 -$ 10.000 $ 0 -$ 15.000 -$ 3.000
Pesimista 0,15 -$ 4.000 $ 6.000 -$ 8.000 $ 5.000
Normal 0,40 $ 0 $ 7.000 $ 1.000 $ 11.000
Optimista 0,25 $ 6.000 $ 9.000 $ 9.000 $ 14.000
Expansivo 0,15 $ 9.000 $ 10.000 $ 18.000 $ 17.000
VPN de los Proyectos en cada uno de los escenarios
Ejemplo
Criterio de dominancia:
Para todos los escenarios el proyecto 2 domina al
proyecto 1.
Esto implica que de entrada se descarta el proyecto 1
Escenario
Probabilidad Proyecto 1 Proyecto 2 Proyecto 3 Proyectos 4
Recesivo 0,05 -$ 10.000 $ 0 -$ 15.000 -$ 3.000
Pesimista 0,15 -$ 4.000 $ 6.000 -$ 8.000 $ 5.000
Normal 0,40 $ 0 $ 7.000 $ 1.000 $ 11.000
Optimista 0,25 $ 6.000 $ 9.000 $ 9.000 $ 14.000
Expansivo 0,15 $ 9.000 $ 10.000 $ 18.000 $ 17.000
VPN de los Proyectos en cada uno de los escenarios
Ejemplo
Nivel de aspiración:
Si el inversionista tiene aversión al riesgo, es muy conservador y plantea como nivel de aspiración invertir en el proyecto más seguro, se escogería el proyecto 2.
Es el único que no arroja rentabilidades negativas en ningún escenario
Escenario
Probabilidad Proyecto 2 Proyecto 3 Proyectos 4
Recesivo 0,05 $ 0 -$ 15.000 -$ 3.000
Pesimista 0,15 $ 6.000 -$ 8.000 $ 5.000
Normal 0,40 $ 7.000 $ 1.000 $ 11.000
Optimista 0,25 $ 9.000 $ 9.000 $ 14.000
Expansivo 0,15 $ 10.000 $ 18.000 $ 17.000
VPN de los Proyectos en cada uno de los escenarios
Ejemplo
Valor Esperado:
Se calcula el valor esperado de cada proyecto en función de la probabilidad asignada a cada escenario y al resultado esperado.
En este caso se escogería el proyecto 4 por tener el mayor VPN esperado
Escenario
Probabilidad Proyecto 2 Proyecto 3 Proyecto 4
Recesivo 0,05 $ 0 -$ 15.000 -$ 3.000
Pesimista 0,15 $ 6.000 -$ 8.000 $ 5.000
Normal 0,40 $ 7.000 $ 1.000 $ 11.000
Optimista 0,25 $ 9.000 $ 9.000 $ 14.000
Expansivo 0,15 $ 10.000 $ 18.000 $ 17.000
Valor Esperado 7.450 3.400 11.050
VPN de los Proyectos en cada uno de los escenarios
n
k
k kPVPNxVPNxE1
)(*)(
Ejemplo
Eauivalencia de certeza:
Se corrige el resultado por un coeficiente de aversión
al riesgo, mediante:
Escenario
Probabilidad Proyecto 2 Proyecto 3 Proyecto 4
Recesivo 0,05 $ 0 -$ 15.000 -$ 3.000
Pesimista 0,15 $ 6.000 -$ 8.000 $ 5.000
Normal 0,40 $ 7.000 $ 1.000 $ 11.000
Optimista 0,25 $ 9.000 $ 9.000 $ 14.000
Expansivo 0,15 $ 10.000 $ 18.000 $ 17.000
Valor Esperado 7.450 3.400 11.050
VPN de los Proyectos en cada uno de los escenarios
22 )]([)(*)()(
)(*)(
xExPVPNxx
xVPNxEEC
Ejemplo
Eauivalencia de certeza:
Se corrige el resultado por un coeficiente de aversión
al riesgo, mediante:
22 )]([)(*)()(
)(*)(
xExPVPNxx
xVPNxEEC
Escenario Probabilidad Proyecto 2 Proyecto 3 Proyecto 4
1 0,05 $ 0 -$ 15.000 -$ 3.000
2 0,15 $ 6.000 -$ 8.000 $ 5.000
3 0,40 $ 7.000 $ 1.000 $ 11.000
4 0,25 $ 9.000 $ 9.000 $ 14.000
5 0,15 $ 10.000 $ 18.000 $ 17.000
Σ(VANx)^2*Px 60.250.000 90.100.000 144.950.000
E(VANx) 7.450,00 3.400,00 11.050,00
Ejemplo
Eauivalencia de certeza:
El proyecto elegido sería el proyecto 4 pues tiene el
mayor VPN en equivalencia de certeza
σ2 = 2.178,88
σ3 = 8.862,28
σ4 = 4.779,91
EC2 = 5.924,79
EC3 = -2.803,60
EC4 = 7.704,07
22 )]([)(*)()(
)(*)(
xExPVPNxx
xVPNxEEC
Ejercicio individual
Elabore una escala de prioridades en la selección
de los cuatro proyectos siguientes, que se evalúan
bajo condiciones de riesgo, según los criterios de
valor esperado y de equivalencia de certeza
Escenarios Probabilidad A B C D
1 0,06 300 180 290 240
2 0,18 250 160 260 160
3 0,40 150 120 160 20
4 0,26 80 10 0 -100
5 0,10 -60 -20 -90 -180
Riesgo sistemático y no sistemático
Los acontecimientos inesperados dan origen a dos tipos de riesgo:
Riesgo sistemático o de mercado (m), afecta a todo el mercado
Riesgo no sistemático (e) , se asocia con el proyecto o empresa
En este contexto el rendimiento total (R) de un proyecto se puede definir
R = E(R) + e + m
E(R) es el rendimiento esperado,
Riesgo sistemático y no sistemático
Una empresa puede reducir el riesgo total mediante la diversificación de sus inversiones, con ello reduce el riesgo no sistemático.
La forma de medir el riesgo sistemático es calculando el coeficiente beta ()
muestra la relación entre el riesgo sistemático de una inversión y el promedio del mercado
Un de 0,6 que la inversión tiene el 60% del riesgo sistemático que el promedio,
Un de 2 que tiene el doble
Riesgo sistemático y no sistemático
El beta para un sector de la economía se calcula
como
Ri Rentabilidad del sector i
Rm Rentabilidad promedio del mercado (Ej. la del mercado
bursatil)
)(
),(β
RmVar
RmRiCovi
Ejemplo
Calcular la rentabilidad el coeficiente beta de la industria i
Rit Rentabilidad del sector i en el momento t
Rmt Rentabilidad del mercado en el momento t
Ri Rentabilidad promedio del sector i
Rm Rentabilidad promedio del mercado (Ej. la del mercado bursatil)
Datos de Entrada
Año Rit Rmt Rit - Ri Rmt - Rm (Rit - Ri)(Rmt - Rm) (Rmt - Rm)2
1993 0,04300 0,07850
1994 0,06010 0,06930
1995 0,07410 0,07990
1996 0,09810 0,11610
1997 0,08890 0,14020
1998 0,09640 0,13320
1999 0,11320 0,12830
2000 0,10970 0,13010
Suma 0,68350 0,87560 0 0,00000
Ri promedio
Rm
Covarianza(Ri,Rm)
Varianza(Rm)
Beta
Top Related